2.2.2.1. Giới thiệu
Phương trình Schrodinger đưa ra mô tả chấp nhận được về hiện tượng siêu vi. Nhiều năng lượng phân tử và bán dẫn chịu chi phối bởi phương trình này. Vì phương trình của Schrodinger chỉ được giải theo phép giải tích trong một số ít trường hợp lý tưởng cao: Cho hầu hết các hệ thực tế, chúng ta cần đến mô tả số học. Chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp số học tương
sáng Monte Carlo. Phương pháp này phù hợp để miêu tả trạng thái cơ bản của nhiều hệ lượng tử.
Nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger được đưa ra như là sự tổ hợp tuyến tính của trạng thái tĩnh, trong đó sự phụ thuộc thời gian được đưa bởi một hệ số pha , là cấp năng lượng của hệ lượng tử đang tính. Thang năng lượng được chọn để tất cả năng lượng là dương. Trong phương pháp DMC, nên xem xét lời giải cho phương trình Schrodinger giả thiết thời gian ảo t, tức là sau khi thay thế thời gian bằng . Nghiệm sau đó được đưa ra bởi tổng số biến đổi trong công thức , Phương pháp DMC dựa trên quan sát rằng khi một hệ lượng tử phát triển trong thời gian ảo biến đổi dài nhất tương ứng với trạng thái cơ bản với năng lượng Theo dõi sự thay đổi của hàm sóng trong thời gian ảo đủ lớn, ta có thể xác định cả hai năng lượng trạng thái cơ bản và hàm sóng cơ bản của một hệ lượng tử, không quan tâm đến trạng thái ban đầu của hệ. Phương pháp DMC đưa ra một cách phát triển thực tế của thời gian ảo, hàm sóng của hệ lượng tử và cuối cùng đạt được năng lượng trạng thái cơ bản và hàm sóng.
Phương pháp DMC có thể được đưa vào công thức bằng hai cách khác nhau. Cách thứ nhất là dựa trên sự giống nhau của phương trình Schrodinger thời gian ảo và một phương trình khuếch tán tổng hợp. Thuật ngữ động (thế) năng trong phương trình Schrodinger tương ứng với thuật ngữ khuếch tán (nguồn/ bể/ phản ứng) trong phương trình khuếch tán tổng hợp. Sự phát sinh của phương trình khuếch tán-phản ứng có thể được giải quyết bằng việc mượn “phép tính ngẫu nhiên” khi nó lần đầu tiên được đề nghị bởi Fermi khoảng
năm 1945 . Thực ra phương trình thời gian ảo Schrodinger có thể được giải bởi tái tạo sự dịch chuyển ngẫu nhiên của các hạt chủ thể của quá trình sinh-huỷ áp đặt bởi thuật ngữ nguồn/ bể. Sự phân bố xác suất di chuyển của các hạt là đồng nhất với hàm sóng. Điều này chỉ xảy ra khi những hàm sóng là dương, đây là đặc điểm giới hạn phạm vi ứng dụng của phương pháp DMC. Công thức của DMC như trên được đưa ra lần đầu tiên bởi Anderson người đã sử dụng phương pháp này để tính năng lượng cơ bản của phân tử nhỏ như
H .
Công thức thứ hai của phương pháp DMC phát sinh từ phương pháp tích phân đường của Feynman của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger. Bằng phương pháp tích phân đường mà hàm sóng có thể biểu hiện như là tích phân đa chiều được đánh giá bằng áp dụng phương pháp Monte Carlo. Thuật toán để giải phương trình khuếch tán được tuân thủ bởi hàm sóng và thuật toán để đánh giá biểu diễn tích phân đường của hàm sóng sinh ra một và cùng công thức của DMC. Ta lựa chọn công thức nào của phương pháp DMC phụ thuộc vào sự thành thạo của mình: Một công thức của DMC dựa trên phương trình khuếch tán yêu cầu hiểu biết căn bản về lý thuyết của quá trình ngẫu nhiên, công thức tích phân đường rõ ràng yêu cầu sự thành thạo với công thức tương ứng của cơ học lượng tử.
Để trình bày công thức tích phân đường trong phương pháp DMC. Chúng tôi cũng trình bày một thuật toán số học và chương trình máy tính dựa trên phương pháp DMC, chúng ta áp dụng chương trình này để tính năng lượng trạng thái cơ bản và phương trình sóng cho một số hệ lượng tử mẫu.
theo ba bước. Những bước này được phác thảo ra để giúp chúng ta có cái nhìn tổng quan.
Bước một: Phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger
Trong bước này, nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger về hệ lượng tử được trình bày như chuỗi mở rộng đối xứng về hàm đặc trưng của Hamiltonian. Sau đó biểu diễn sự chuyển đổi từ thời gian thực sang thời gian ảo , thay thế . Lời giải của phương trình Schrodinger thời gian ảo đạt được trở thành một chuỗi đột biến số rã theo hàm mũ khit đ Ơ.Biến đổi kéo dài nhất tương ứng trạng thái cơ bản của hệ.
Bước hai: Công thức tích phân và tích phân Monte Carlo
Trong bước này, phương trình Schrodinger thời gian ảo được ngiên cứu bằng phương pháp tích phân đường. Bằng việc sử dụng tích phân đường, với điều kiện một hàm sóng trạng thái ban đầu được đưa ra. Phương pháp Monte Carlo cho phép ta đánh giá theo tích phân đường số học đến độ chính xác như ý, áp dụng hàm sóng trạng thái ban đầu là xác định dương. Trong trường hợp này hàm sóng được hiểu là mật độ xác suất và phương pháp Monte Carlo cổ điển được áp dụng. Theo cơ học lượng tử, bình phương của một giá trị của hàm sóng là mật độ xác suất, thực tế là hàm sóng trạng thái cơ bản phải là một số thực dương xác định đã áp đặt giới hạn vào việc ứng dụng kỹ thuật Monte Carlo để giải phương trình Schrodinger. Một cách áp dụng thuật toán Monte Carlo hiệu quả để tính hàm sóng như là một tích phân đa chiều lớn được thực hiện thông qua sự dịch chuyển khuếch tán và của quá trình sinh-tử áp dụng cho một tập hợp các hạt ảo. Sự phân bố theo khoảng cách của những mô hình này hội về một mật độ xác suất thể hiện cho hàm sóng trạng thái cơ bản. Sự dịch chuyển khuếch tán và quá trình sinh-tử có thể được mô phỏng trên một máy tính có sử dụng chương trình số ngẫu nhiên.
Bước ba: Đánh giá liên tục năng lượng cơ bản và mẫu của hàm sóng trạng thái cơ bản
Trong bước này, năng lượng và hàm sóng trạng thái cơ bản đã được xác định. Như đã nói ở trên, phương pháp Monte Carlo làm mẫu cho hàm sóng sau mỗi bước thời gian. Sự phân bố tọa độ có khoảng cách của các mô hình liên quan đến quá trình kết hợp khuếch tán và sinh-tử, sau mỗi bước thời gian xác định, đưa ra một phép xấp xỉ cho hàm sóng của hệ tại thời gian đó. Hàm sóng trong thời gian ảo quy về hàm sóng trạng thái cơ bản không phụ thuộc thời gian, khi và chỉ khi năng lượng tương đương năng lượng trạng thái cơ bản. Bởi năng lượng trạng thái cơ bản ban đầu là không biết nên ta bắt đầu với một dự đoán phù hợp, sau mỗi bước thời gian trong đó một quá trình dịch chuyển khuếch tán và sinh-tử được ứng dụng cho tất cả các hạt một lần, ta cải thiện ước tính năng lượng trạng thái cơ bản. Cuối cùng ước tính này quy về năng lượng trạng thái cơ bản theo yêu cầu và sự phân bố của các hạt quy về hàm sóng trạng thái cơ bản.
2.2.2.3. Phương trình Schrodinger thời gian ảo
Để cho đơn giản chúng ta hãy xem xét một hạt đơn có khối lượng m, di chuyển dọc theo trục x với điện thế . Hàm sóng của nó được tính theo phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger
(2.93)
Với Hamiltonian
(2.94)
Giả thiết điện thế khi x đ ±Ơ không xác định, tức là sự di chuyển của hạt được giữ trong một vùng không gian xác định. Từ phương trình (2.93) ta có
Các hàm đặc trưng là bình phương khả tích trong trường hợp này và những giá trị riêng được lấy từ phương trình không phụ thuộc thời gian Schrodinger
(2.96) Điều kiện biên Ta ký hiệu trạng thái riêng là và
sắp xếp năng lượng
(2.97) Các hàm riêng được là chuẩn hoá và thực
(2.98)
Các hệ số mở rộng cn trong (2.95) là
, (2.99)
Chúng miêu tả sự chồng chất của trạng thái ban đầu , cũng được giả định là thực, với hàm đặc trưng trong (2.98).
Ta biểu diễn một sự dịch chuyển không đáng kể nhưng chủ yếu của
thang năng lượng bằng sự thay thế và . Điều này
dẫn đến phương trình Schrodinger
(2.100)
(2.101)
Biến đổi của thời gian: Bây giờ ta sẽ biểu sự chuyển đổi từ thời gian thực sang thời gian ảo bằng cách giới thiệu một biến số mới . Phương trình Schrodinger trở thành
(2.102)
Và mở rộng (2.101)
(2.103)
Năng lượng được sắp xếp ở (2.97) ta có thể suy ra từ (2.103) khit đƠ (i) Nếu , hàm sóng sẽ phân kỳ theo cấp số nhân
nhanh chóng.
(ii) Nếu , hàm sóng sẽ biến mất theo cấp số nhân
nhanh chóng.
(iii) Nếu , hàm sóng quy về hàm sóng trạng
thái cơ bản tùy theo thừa số được xác định (2.99)
Cho , hàm quy về hàm sóng trạng thái cơ bản không quan tâm lựa chọn ban đầu của hàm sóng , với điều kiện có một sự chồng chất quan trọng số học giữa và f0(x), tức là với điều kiện c0
không quá nhỏ. Hàm sóng trạng thái cơ bản cho một hạt đơn không có giao điểm (trong trường hợp nhiều hệ Fermi điều này có thể sẽ không đúng) và ta có thể luôn thực hiện được yêu cầu c0 không triệt tiêu bằng việc chọn hàm
rộng.
Bây giờ chúng ta sẽ tìm một cách thực tế để lấy tích phân phương trình (2.102) cho một năng lượng chuẩn bất kỳ và hàm sóng ban đầu . Chúng ta sẽ hoàn thành phần này bằng cách dùng công thức tích phân đường.
2.2.2.4. Công thức tích phân đường
Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian (2.102) sẽ được viết (2.104)
Trong đó vật truyền ánh sáng được biểu diễn về mặt tích phân đường , thay thế
(2.105)
Với là một bước thời gian nhỏ. Ta thiết lập được xN ºx.Hàm sóng có thể viết dưới dạng
(2.106)
Trong đó
Và
(2.108)
Hàm liên quan đến thế năng (2.94). Hàm này là mật độ xác suất Gausse cho biến ngẫu nhiên xn tương đương với xn-1 và độ lệch
(2.109)
Hàm trọng số phụ thuộc cả vào động năng (2.94) và năng lượng tham chiếu . Sự khác nhau chính giữa hàm và là cái trước có thể được giải thích như mật độ xác suất trong khi cái sau không thể
(2.110)
Tích phân đường (2.106) có thể được ước lượng bằng giải tích cho . Bằng việc lựa chọn N đủ lớn, ta có thể đánh giá (2.106) theo số học đến độ chính xác theo yêu cầu. Tuy nhiên, bởi vì N cần thiết là một số lớn, các thuật toán chuẩn của tích phân số không thể được vận dụng trực tiếp, thay vào đó ta sử dụng phương pháp Monte Carlo. Theo phương pháp này bất kỳ phép tích phân Nchiều hội tụ của công thức
Nơi mà là mật độ xác suất
(2.112)
Và
(2.113)
Có thể được tính xấp xỉ bằng biểu diễn
(2.114)
ở đây chú thích x(i) có nghĩa là các sốxj(i) , i = 1, 2,., , j = 0, …, N - 1, được lựa chọn ngẫu nhiên với mật độ . Với càng lớn, xấp xỉ I
càng tốt. Trên thực tế, giá trị của như là kết quả của những sự mô phỏng khác nhau được phân bố bình thường, tức là dựa theo phân bố Gaussian, xung quanh giá trị chính xác I sự lệch chuẩn tỷ lệ 1/
Để xác định (x,t) trong (2.106), các số đã cho vàN, ta xác định
(2.115)
(2.116)
Để có thể áp dụng (2.111) và (2.24). Để được như vậy, ta chú ý rằng do (2.117)
Và (2.110) sự phân bố xác suất (2.115) thực sự tuân theo đặc tính (2.113). Sự biểu diễn (2.114) bây giờ có thể được gợi lên để đánh giá
bằng tích phân đường (2.106). Điều này yêu cầu sinh ra tập hợp vectơ tọa độ
= cho tại đó . Để đạt được vectơ x(i)
được làm mẫu mật độ xác suất ta làm như sau:
Trong bước một ta có một số cố định x = x , một số ngẫu nhiên Gaussian x với giá trị trung bình x (tức là một số ngẫu nhiên Gaussian được phân bố khoảng x ) và biến thiên s, theo mật độ xác suất P(x , x )
được cho bởi (2.107). Trong bước hai, một số Gaussian ngẫu nhiên x , với trung bình x và biến thiên s, được sinh ra dựa theo P(x , x ). Các bước này được tiếp tục sinh ra các số ngẫu nhiên x cho đến khi ta đạt được x . Hai số ngẫu nhiên liền nhau x vàx có liên quan qua phương trình
(2.118) Trong đó s được cho bởi (2.109) và là một số Gaussian ngẫu nhiên
với trung bình bằng không và độ lệch bằng một, có thể được đưa ra theo số học bởi thuật toán được biết đến như các phần tử số ngẫu nhiên. Ta có thể
x (x ) và bằng s. Do đó vectơ tọa độ { x , …., x }, đạt được thông qua phương trình (2.118) cho i = 1, 2,…, , được phân bố dựa theo mật độ xác suất (2.115). Ta chú ý trình tự vị trí xn cho bởi (2.118) xác định một quá trình ngẫu nhiên, đặt tên là quá trình khuếch tán Brown nổi tiếng.
Lặp lại lần mẫu hàm sóng có thể được xác định theo (2.114) và (2.106). Thuật toán được đưa ra không khả thi vì nó chỉ đưa ra cách để tính cho thời gian đã chọn t, nhưng không có phương pháp hệ thống nào để tính năng lượng trạng thái cơ bản và hàm sóng, điều mà yêu cầu một miêu tả chot đ Ơ
Thuật toán Monte Carlo ở trên có thể được cải tiến và sử dụng để xác định đồng thời cà và . ý tưởng cơ bản là để xem xét bản thân hàm sóng và một mật độ xác suất. Điều này có nghĩa rằng hàm sóng nên là một hàm xác định dương, một sự bắt buộc để hạn chế ứng dụng của phương pháp đề xuất. Bằng việc lấy mẫu hàm sóng ban đầu tại những điểm ta phát triển ra nhiều di chuyển ngẫu nhiên Gaussian tiến triển theo thời gian theo (2.115) hoặc tương ứng dựa theo (2.118), thay vì đi theo những di chuyển ngẫu nhiên tách biệt, ta ưu tiên việc theo di chuyển toàn cục cùng lúc. Thuận lợi của quá trình này là ta có thể lấy mẫu hàm sóng của hệ, thông qua vị trí thực tế của những di chuyển ngẫu nhiên và sản phẩm của trọng lượng cùng với đường cong tương ứng, sau mỗi bước thời gian Dt. Quá trình này, được giải thích phía dưới, cũng đưa ra một khả năng điều chỉnh lại giá trị củaER sau mỗi bước thời gian, và theo sự tiến triển thời gian của hệ cho càng nhiều bước thời gian cần thiết để quy về hàm sóng và năng lượng trạng thái cơ bản.
Quá trình, gọi là phương pháp DMC
(2.119)
như là sản phẩm của xác suất và trọng lượng được làm mẫu bởi một chuỗi quá trình ngẫu nhiên theo trình tự 0, 1, 2, …, 2N. Chúng tôi sẽ giải thích các quá trình này được miêu tả số học như thế nào.
Trạng thái ban đầu: Quá trình 0-th miêu tả các hạt (chuyển động ngẫu nhiên) được phân bố theo hàm sóng là cái được chọn điển hình như là hàmdirac-d
(2.120) Trong đó x0 được đặt trong một vùng mà trạng thái cơ bản của hệ lượng tử được mong là lớn. Sự phân bố ban đầu (2.120) đạt được bằng việc đơn giản là đặt tất cả phần tử tại điểm x0
Sự dịch chuyển khuếch tán: Như đã giải thích ở trên những vị trí liền nhau xn-1, xn ở (2.119) có thể được lấy ra từ (2.118) Thuật toán Monte Carlo đã sinh ra các vị trí x1 = x0 + s , x2 = x1 + s , vv…bằng việc sinh ra chuỗi số ngẫu nhiên , n =1, 2,…
Quá trình sinh-huỷ: Thay vì chồng chất sản phẩm của thừa số trọng lượng cho mỗi hạt, sẽ có hiệu quả hơn theo số học bằng việc tái tạo (xem bên dưới) hạt sau mỗi bước thời gian với xác suất tỷ lệ . Theo cách này, sau mỗi bước thời gian Dt, hàm sóng (bất thường) được đưa ra bởi một biểu đồ của phân bố không gian của hạt. Việc tính toán hàm sóng có thể được coi như một quá trình khuếch tán-phản ứng mô phỏng những hạt ảo. Trong quá trình tái tạo mỗi hạt được thay thế bởi một số hạt
trong đó int[x] biểu hiện phần số nguyên của x, và u đại diện một số ngẫu nhiên được phân bố giống nhau trong[0,1]. Trong trường hợp mn = 0 hạt bị bỏ đi và ta dừng quá trình khuếch tán, điều này coi như là “bỏ đi” của một hạt. Trong trường hợp mn = 1 hạt không bị ảnh hưởng và ta tiếp tục bước khuếch