Khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  …………………… ………………… Nguyễn Thị Thu KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƢƠNG PHÁP CẮT XUNG LƢỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  …………………… ………………… Nguyễn Thị Thu KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƢƠNG PHÁP CẮT XUNG LƢỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƢỚNG DẪN: GS.TSKH.TOÁN LÝ NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2012 MỤC LỤC Trang Mở đầu CHƢƠNG I CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG 1.1 S-ma trận giản đồ Feynman 1.2 Hàm Green hàm đỉnh 1.3 Bậc hội tụ giản đồ Feyman CHƢƠNG II TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÕNG 2.1 Giản đồ phân cực photon 15 2.2 Giản đồ lượng riêng electron 22 2.3 Hàm đỉnh bậc ba 32 2.4 Đồng thức Ward – Takahashi 42 CHƢƠNG III: TÁI CHUẨN HĨA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƢỢNG CỦA ELECTRON 3.1 Kỳ dị lý thuyết trường lượng tử 44 3.2 Tái chuẩn hóa điện tích 46 3.3 Tái chuẩn hóa khối lượng 50 3.4 Tái chuẩn hóa giản đồ vịng QED 58 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 PHỤ LỤC A: Metric giả Euclide 63 PHỤ LỤC B: Phương pháp cắt xung lượng lớn 68 PHỤ LỤC C: Khử phân kỳ mơ hình L int = gf 74 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ photon ten xơ phân cực chân khơng Hình 1.2 Các đồ thị hàm truyền đầy đủ electron phần lượng riêng Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ Gm sơ đồ xương L*m Các đường bị bỏ Hình 1.4 Giản đồ lượng riêng electron Hình 1.5 Giản đồ lượng riêng photon Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc Hình 1.7 Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon Hình 2.2 Giản đồ lượng riêng electron Hình 2.3 Giản đồ đỉnh Hình 2.4 Chứng minh giản đồ đồng thức Ward Dấu chéo ký hiệu việc thay đường photon với xung lượng khơng vào đường electron Hình 3.1 Tán xạ hai electron nặng Hình 3.2 Các đồ thị hàm truyền đầy đủ electron phần lượng riêng Hình 3.3 Hình 3.4 Hình 3.5 Hình 3.6 Tán xạ ánh sáng –ánh sáng bậc bốn Hình 3.7 Tán xạ electron với trường Hình 3.8 Tán xạ electron trường ngồi để tính moment từ dị thường Hình 3.9 Đỉnh đầy đủ biểu diễn tích đỉnh riêng đầy đủ hàm truyền đầy đủ Hình C.1 Hình C.2 DANH MỤC BẢNG BIỂU Trang Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ không gian xung lượng Các giản đồ phân kỳ bậc thấp QED 13 Sự khác học lượng tử lý thuyết trường 45 Ma trận Dirac có liên hệ với 65 MỞ ĐẦU Những thành tựu điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng điện tích cho phép tính tốn trình vật lý phù hợp tốt với số liệu thu từ thực nghiệm, với độ xác đến bậc theo số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn a = tương tác QED lý thuyết xây dựng hồn chỉnh Mơ phương pháp tính tốn q trình vật lý QED người ta xây dựng cơng cụ tính tốn cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) – lý thuyết tương tác hạt quark - gluon, tương tác yếu hay lý thuyết thống dạng tương tác lý thuyết điện yếu tương tác mạnh gọi mơ hình chuẩn [5, 6,7, 14,17, 22] Việc tính trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, khơng chứa vịng kín) ta khơng gặp tích phân phân kỳ, tính bổ lượng tử bậc cao cho kết thu được, ta gặp phải tích phân kỳ vùng xung lượng lớn hạt ảo, tương ứng với giản đồ Feynman có vịng kín hạt ảo Các giản đồ diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý trường tham gia tương tác quan niệm hạt điểm khơng có kích thước khơng tích Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân phân kỳ phải tiến hành theo cách tính tốn nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu cho trình vật lý hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trường nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu giải Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng electron Kraumer – Bethe, sau tác giả Schwinger Feynman Tomonaga thực hóa QED [14,20] Cách xây dựng chung S - ma trận phân loại phân kỳ thuộc Dyson F [10] Cách chứng minh tổng quát triệt tiêu phân kỳ số hạng tái chuẩn hóa chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, giúp ta giải hợp lý phần phân kỳ tính toán, kết ta thu thu hữu hạn cho biểu thức đặc trưng cho tương tác (bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã thời gian sống hạt) Khi so sánh với thực nghiệm kết thu được, phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trưng trình vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7,11,18,22] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên phương pháp R - toán tử N.N Bogoliubov khởi xướng [8] Mục đích luận văn Thạc sĩ vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại phương pháp cắt xung lượng lớn hạt ảo gần vịng kín minh họa q trình tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron QED bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho trình vật lý Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chương 1: Các giản đồ phân kỳ vòng Chương dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận quy tắc Feynman để mơ tả q trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày hàm Green photon, electron, hàm đỉnh QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp trình bầy mục 1.3 Phương pháp cắt xung lượng lớn giới thiệu ví dụ minh họa Chương 2: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp cắt xung lượng lớn Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp cắt xung lượng lớn QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lượng riêng photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ lượng riêng electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh bậc thấp Đồng thức Ward –Takahashi chứng minh đồ thị mục 2.4 Chương 3: Tái chuẩn hóa điện tích khối lượng QED Trong chương ta tái chuẩn hóa cho giản đồ vòng QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh cách định tính: việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý khối lượng vật lý electron Trong mục 3.4 trình bầy việc chứng minh việc tái chuẩn hóa gần vịng QED Phần kết luận: Tóm tắt lại kết thu luận văn thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính tốn cho lý thuyết trường tương tự Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [8]) tất bốn ( r thành phần véctơ - chiều ta chọn thực A = A , A ) gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số m = (0, 1, 2, 3),và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ - chiều ký hiệu thành phần với số CHƢƠNG CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG Trong chương giới thiệu vắn tắt luận điểm lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, giản đồ phân kỳ thường gặp gần vòng 1.1 S - ma trận giản đồ Feynman Biên độ xác suất trình tán xạ xác định yếu tố S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ trạng đầu trạng thái cuối trình ( S = T exp i ò L int (x )d 4x vật lý: ( ) ( ) (1.1) ) Trong L int (x ) = N J m(x )A m(x ) = e 0N y (x ) g my (x )A m(x ) Lagrangian tương tác điện từ, e0 điện tích “trần” electron Mỗi đỉnh tương tác có ba đường vào ra, có đường photon, hai đường electron hay positron ¥ Sử dụng phép khai triển hàm mũ e z = å biểu thức S – ma trận (1.1) dạng: (0) S= S () () + S + S + = = + iT ò L int ( x )d 4x + Yếu tố ma trận trận trình vật lý biểu diễn dạng: =d fi Ở < i | < f | véctơ trạng thái đầu cuối hệ, M f i biên độ xác suất dời chuyển, có ý nghĩa việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn xung lượng q trình vật lý Thay cơng thức (1.2) vào < f | S | i > ta có: Sử dụng khai triển (1.4), cụ thể hạt trạng thái đầu trạng thái cuối ta viết biểu thức tường minh cho số hạng khai triển nhiễu loạn cho trình sau: tán xạ electron (hay positron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon electron, hay hủy cặp electron – positron trình tán xạ khơng đàn tính, v.v Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ không gian xung lượng: Hạt trạng thái Electron trạng thái đầu Electron trạng thái cuối PHỤ LỤC B PHƢƠNG PHÁP CẮT XUNG LƢỢNG LỚN Ta tiến hành tính tốn tỉ mỉ số tái chuẩn hóa khn khổ lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Việc trình bày đầy đủ vấn đề phức tạp, nên ta dẫn kết dạng đơn giản nhất, mơ hình tương tác Lint  g3 Mơ hình tương tác đơn giản Lint  g3 cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết đồng thời sử dụng dễ dàng phương pháp toán học hữu hiệu Theo định lý giá trị thặng dư, kết phép lấy tích phân mặt phẳng phức khơng thay đổi chu tuyến biến dạng cực biểu thức dâu tích phân nằm chu tuyến Sự biến dạng không gian xung lượng, ta chuyển từ metric giả Euclide sang metric Euclide, có  nghĩa ta quay đường lấy tích phân quanh gốc tọa độ C góc , (chú ý p0  ip0 , p0 thực) cho bình phương độ dài tổng bình phương tất bốn tọa độ với thành phần thứ tư tọa độ thực Euclide bình phương vectơ chiều – chiều xung lượng tổng bình phương thành phần, tất thực) Như d p  id p.dp0  i zdz , z  p2 * Cách tính tích phân trƣờng hợp cắt xung lƣợng lớn Tính tích phân: f  p p K 73  l n Tính tích phân (B.1.1), rõ ràng cần giới hạn trường hợp hàm f  p vô hướng p2 f  p   p f1  p2  Thật vậy, K0 hàm Nếu f  p   p p f p2 thì: p p  f  p   p  Sau phép quay Wick góc , thực chất ta thay đổi từ metric giả Euclide sang metric Euclide, bình phương độ dài tổng bình phương tất bốn tọa độ với thành phần thứ tư tọa độ thực Điều cho phép không gian chiều,ta đưa vào hệ tọa độ cầu: p1   sin1 , p 3   sin1cos cos , p 0   sin1cos sin Dễ dàng kiểm tra từ công thức (A.3) suy hệ thức: p12  p22  p32  p02  2 0 Yếu tố thể tích p - khơng gian chiều với hệ tọa độ cầu xác định: r d pdp0   d p  H1 H H H d  d1d d (B.5) (B.6)  H i 74 l Ở đây: u1  , u2  1, u3  2 , u4   Sử dụng công thức (B.3), từ (B.6) ta có: H1 1, H2  , H3   sin 1, H4   sin 1 sin2 Theo cơng thức (B.7), thể tích (B.5) có dạng: Thay biểu thức cho d p vào tích phân (B.1) fp2  R  2  n p fp l i 000 Trong R bán kính hình cầu khơng gian xung lượng chiều Lấy tích phân theo biến 1 , 2  , ta tìm được: f  p2  d4p  p n l Sử dụng công thức dễ dàng tính tích phân: d4p  l p d4p  p l 2iR2 75 d  p l p Ở l  , công thức cuối ta cho R  Trong công thức (A.13) phép thay p  p  k l  k  l ta nhận được:   p2 d4p  pk  l pd Trong trường hợp riêng, F  p2  1, cơng thức (B.14) có dạng:  p l n 0 p (B.15) Trong (B.15) thực phép thay (A.14) ta tìm được:  Để tính tích phân phân kỳ loga: Ta tiến hành phép thay công thức (B.12) Kết ta tìm được: d4p   p  pk  l  Trong vùng lấy tích phân  khác với  mà ta lấy tích phân (B.17) Ta chứng minh tích phân (B.17) với việc tăng bán kính R tùy ý, khác với tích phân đứng vế trái (B.18) Thật vậy, bán kính Rcủa siêu hình cầu khơng 76 gian xung lượng chiều, khác với bán kính R siêu hình cầu  lượng hữu hạn Từ ta rút ra: với việc tăng R tỷ số tiến đến đơn vị, loga tỷ số tiến đến khơng Vì vậy, hiệu tích phân nói trên, ta có: R  lim   (B.19) p Chú ý điều viết: (B.20)   p Bây tính tích phân phân kỳ loga : (B.21) I   p Thực phép thay p  k  p biến tích phân (A.21) dạng :  p p p  d p   l 2    p  k  p   k  d p 2pkl2 (B.22) p  Tiếp theo ta có : (B.23) p p  I p  Theo công thức (A.12) (A.13) từ ta nhận : I Ngồi ta có :   l 2 (B.24) 77 (B.25)   Chú ý công thức (B.23) (B.24) ta nhận : p p (B.26)   p  pk  l  Tích phân cơng thức (B.25) theo k ta có : (B.27) pd4p Muốn tìm số c , ta thay vào công thức (B.26) k Lúc tích phân phía trái (B.26) theo công thức (B.26) không từ (B.26) suy Theo cơng thức (B.27) cơng thức (B.26) có dạng : pd4p   p  pk  l  78 PHỤ LỤC C KHỬ PHÂN KỲ TRONG MƠ HÌNH L int = gf Trong tất mơ hình tương tác hạt bản, xét mặt tốn học dẫn đến hai mơ hình tương tác bản: mơ hình tự tương tác hạt vô hướng thực L int = gf Mơ hình tương tác đơn giản, cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết Qua ví dụ L int = gf ta minh họa rõ ràng phương pháp khử phân kỳ, sử dụng lý thuyết trường lượng tử Trong lý thuyết L int = gf tồn hai giản đồ gần vòng:  Giản đồ tương ứng với phần lượng riêng hạt vơ hướng Hình C.1  Giản đồ khác ứng với giản đồ đỉnh ba Hình C.2 79 Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mơ hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: I k () : Tương ứng với giản đồ vòng Feynman với hai đường vơ hướng (xem hình C.1) Biểu thức (C.1) giản đồ lượng riêng hạt vơ hướng Tích phân (C.1) ảnh Fourier tích hai hàm truyền với biến số chập nhau:   I k 16 i  , 1 (trong   x2 ) Vì vậy, cơng thức (C.2) khơn Xét mặt tốn học, cần tiến hành định nghĩa lại đại lượng (C.2) Ở có cách giải vấn đề: Phương pháp cắt xung lượng lớn phương pháp dễ hiểu cả, bao gồm việc cắt tích phân có biến đường xung lượng giới hạn  Sau chuyển tích phân theo xung lượng bốn chiều dạng tích phân khơng gian Euclide điều chỉnh biểu diễn dạng toán học:  dp  i   d p E  i 4 d  Phương pháp cắt xung lượng lớn áp dụng tốt cho phân kỳ dạng loga Trong trường hợp đơn giản dẫn đến kết tương tự phương pháp khử phân kỳ Pauli – Villars Bây áp dụng phương pháp cho biểu thức (C.1): 80 I k   reg  I k   i 2  dp  m2pk  Thực phép biến đổi tích phân tương tự làm phương pháp điều chỉnh Pauli – Villar, sau cho   , thu được: I k   reg  Biến đổi biểu thức dấu tích phân (C.4):  m ln 2   1 x    xm Khi  thì: dx ln     dx ln Chú ý rằng: Với phần hữu hạn: 81 So sánh kết thu từ ba phương pháp khử phân kỳ khác trên, thấy phần phân kỳ tách thành phần kì dị I k I   anomalous I phần hữu hạn: definite Phần kì dị phương pháp Pauli – Villars ln chỉnh thứ nguyên 82 2 , phương pháp điều M ... đỉnh QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp trình bầy mục 1.3 Phương pháp cắt xung lượng lớn giới thiệu ví dụ minh họa Chương 2: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp cắt xung lượng lớn Trong chương... Lý thuyết trường lượng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trưng trình vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7,11,18,22] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương. .. NHIÊN  …………………… ………………… Nguyễn Thị Thu KHỬ PHÂN KỲ BẰNG PHƢƠNG PHÁP CẮT XUNG LƢỢNG LỚN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC