Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *************** CHU MINH TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *************** Chu Minh TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội – 2011 MỤC LỤC Mở đầu ……………………………………………………………… Chương Các giản đồ phân kỳ vòng 1.1 S-matrận giản đồ Feynman 1.2 Hàm Green hàm đỉnh 1.3 Bậc hội tụ giản đồ Feynman …………………… Chương Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên 2.1 Giản đồ phân cực photon ………… ……… 2.2 Giản đồ lượng riêng electron …….… 2.3 Hàm đỉnh bậc ba ………………… ……… … 2.4 Đồng thức Ward –Takahashi ………………… 15 22 27 32 Chương Tái chuẩn hóa điện tích khối lượng QED 3.1 Tái chuẩn hóa điện tích …….………………… 35 3.2 Tái chuẩn hóa khối lượng ……… ……………… 39 3.3 Tái chuẩn hóa giản đồ vịng QED …… 47 Kết luận ………………………… …………… …………… 49 Tài liệu tham khảo ……………………………….……………… 50 Phụ lục Phụ lục A Metric giả Euclide …… Phụ lục B Phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên ………………………………………………… Phụ lục C Khử phân kỳ mơ hình L int = gf 5 65 MỞ ĐẦU Những thành tựu điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng điện tích cho phép tính tốn trình vật lý phù hợp tốt với số liệu thu từ thực nghiệm, với độ xác đến bậc số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn a = tương tác QED lý thuyết xây dựng hồn chỉnh Mơ phương pháp tính tốn q trình vật lý QED người ta xây dựng cơng cụ tính tốn cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) – lý thuyết tương tác hạt quark - gluon, tương tác yếu hay lý thuyết thống dạng tương tác lý thuyết điện yếu tương tác mạnh gọi mơ hình chuẩn [6, 7, 13, 18] Việc tính trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, khơng chứa vịng kín) ta khơng gặp tích phân phân kỳ, tính bổ lượng tử bậc cao cho kết thu được, ta gặp phải tích phân kỳ vùng xung lượng lớn hạt ảo, tương ứng với giản đồ Feynman có vịng kín hạt ảo Các giản đồ diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý trường tham gia tương tác quan niệm hạt điểm khơng có kích thước khơng tích Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính tốn nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu cho trình vật lý hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trường nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu giải Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng electron Kraumer – Bethe, sau tác giả Schwinger Feynman Tomonaga thực hóa QED [13,20] Cách xây dựng chung S - ma trận phân loại phân kỳ Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát triệt tiêu phân kỳ số hạng tái chuẩn hóa chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, giúp ta giải hợp lý phần phân kỳ tính tốn, kết ta thu hữu hạn cho biểu thức đặc trưng cho tương tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã thời gian sống hạt Khi so sánh, kết thu phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trưng trình vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên phương pháp R - toán tử N.N Bogoliubov khởi xướng [14] Mục đích luận văn Thạc sĩ vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại cách điều chỉnh thứ nguyên hạt ảo gần vịng kín minh họa q trình tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron QED bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho trình vật lý Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục - Chương I: Các giản đồ phân kỳ vòng Chương dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận quy tắc Feynman để mơ tả q trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày hàm Green photon, electron, hàm đỉnh QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp trình bày mục 1.3 Chương II: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ nguyên QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lượng riêng photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ lượng riêng electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh bậc thấp Đồng thức Ward –Takahashi được chứng minh đồ thị mục 2.4 - Chương III: Tái chuẩn hóa QED Trong chương ta tái chuẩn hóa cho giản đồ vòng QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh cách định tính: việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý khối lượng vật lý electron Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED gần vịng - Phần kết luận tóm tắt kết thu luận văn thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính tốn cho lý thuyết trường tương tự Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất bốn thành r phần véctơ - chiều ta chọn thực A = A , A gồm thành phần thời gian ( ) thành phần không gian, số m = (0, 1, 2, 3),và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ - chiều ký hiệu thành phần với số Chương Các giản đồ phân kỳ vòng Trong chương giới thiệu vắn tắt luận điểm lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, giản đồ phân kỳ thường gặp gần vòng 1.1 S - ma trận giản đồ Feynman Biên độ xác suất trình tán xạ xác định yếu tố S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ trạng thái đầu trạng thái cuối q trình vật lý: ( ịL S = T exp i int (x )d 4x ) Trong L int (x ) = N (J m(x )A m(x ))= e 0N (y (x )g my (x )A m(x )) Lagrangian tương tác điện từ, e0 điện tích “trần” electron Mỗi đỉnh tương tác có ba đường vào ra, có đường photon, hai đường electron ¥ hay positron Sử dụng phép khai triển hàm mũ e z = å n=0 thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dạng: S = S(0) + S(1) + S(2) + = = + iT ò L int ( x )d 4x + (1.2) Yếu tố ma trận trận q trình vật lý biểu diễn dạng: =d fi Ở < i | < f xác suất dời chuyển, có ý nghĩa việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn xung lượng q trình vật lý Thay cơng thức (1.2) vào < f | S | i > ta có: Sử dung khai triển (1.4), cụ thể hạt trạng thái đầu trạng thái cuối ta viết biểu thức tường minh cho số hạng khai triển nhiễu loạn cho trình sau: tán xạ electron (hay positron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon electron, hay hủy cặp electron – positron q trình tán xạ khơng đàn tính, v.v Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ không gian xung lượng: Hạt trạng thái Electron trạng thái đầu Electron trạng thái cuối Positron trạng thái đầu Positron trạng thái cuối Photon trạng thái đầu hay trạng thái cuối Thế điện từ Chuyển động electron từ ® (hay positron theo chiều ngược lại ® 1) Chuyển động photon hai đỉnh Đỉnh với số lấy tổng m Trong sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tránh việc đưa vào khối lượng điều chỉnh lớn M hay tham số điều chỉnh lớn L để khử tích phân phân kỳ theo xung lượng 65 Phụ lục C Khử phân kỳ mơ hình L int = gf Trong tất mơ hình tương tác hạt bản, xét mặt tốn học dẫn đến hai mơ hình tương tác bản: mơ hình tự tương tác hạt vô hướng thực L int = gf Mơ hình tương tác đơn giản, cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết Qua ví dụ L int = gf ta minh họa rõ ràng phương pháp khử phân kỳ, sử dụng lý thuyết trường lượng tử C.1 Giản đồ lượng riêng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mơ hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: I k () Tương ứng với giản đồ vòng Feynman với hai đường vơ hướng (xem hình C.1) Hình C.1 : 66 Chuyển từ chiều sang n chiều ( với n = - 2e ) ta viết: I (k ) ® reg eJ (k ) = (C.2) Áp dụng công thức tham số hóa Feynman (C.3) Với a = ( p Ta reg J (k ) = e 2e im ò p (C.4) Áp dụng tích phân: ò Với m = 2, dx ò reg eJ (k ) = 67 Sử dụng công thức khai triển: a e Ta có: é ê ê p {m ë = - e ln ê G( e) = Trong g = 0.5772 số Euler Mascheroni reg J (k ) = Cho e ® 0+ reg J (k ) = - Trong 68 Như phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân ( phân kỳ loga vùng tử ngoại) có cực e tách thành phần riêng 69 C.2 Giản đồ đỉnh Hình C.2 Bằng cách xét bậc hội tụ giản đồ suy biểu thức tích phân tương ứng với giản đồ hội tụ Thật vậy: K 3 = N e + N p - = + - > Do hàm đỉnh hội tụ Bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta chứng minh giản đồ hội tụ sau: Giản đồ đỉnh tương ứng với tích phân sau G(p, k ) = Trong tam giác liên quan đến đỉnh có ba đường – đường có xung lượng q - hàm truyền vô hướng 70 truyền vô hướng truyền vơ hướng Viết lại tích phân (C.8) dạng: G(p, k ) = (C.9) Áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: G( p, k ) ® reg e I ( p, k ) = (C.10) Sử dụng công thức tham số hóa Feynman: abc Với: a = q - m ; b = (q + k )2 - m ; c = (q a (1 - x - y ) + bx + cy = = (q - m )(1 - x = q - 2q( py - kx ) + k 2x + p 2y Tích phân (C.10) viết lại: 71 Áp dụng cơng thức: = 2m2e ị dx ò dy = 72 Khai triển Cho e ® G(1 + e) = e G( e) = e ỗ ổ ỗ reg ỗ ỗ ố p[( py - kx ) - k x - p y ]ø = + (1 + e) ln ỗ = - (1 + e) ln ỗ reg I e (C.18) (C.16) (C.17) (C.19) Kết luận: với toán hàm đỉnh hạt vơ hướng tích phân (C.8) khơng phân kỳ mà lượng hữu hạn xác định (C.19) 73 ... vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều. .. HỌC TỰ NHIÊN *************** Chu Minh TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC... đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ nguyên QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lượng riêng