Khử phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử bằng phương pháp pauli villars

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN DUY KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI - VILLARS LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN DUY KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI - VILLARS Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật Lý toán Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giảng viên hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG 1.1 S - ma trận giản đồ Feynman 1.2 Hàm Green hàm đỉnh 1.3 Bậc hội tụ giản đồ Feynman 11 CHƢƠNG 2: TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP PAULI-VILLARS 18 2.1 Giản đồ phân cực photon 18 2.2 Giản đồ lƣợng riêng electron 25 2.3 Hàm đỉnh bậc ba 29 2.4 Đồng thức Ward –Takahashi 37 CHƢƠNG 3: TÁI CHUẨN HĨA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƢỢNG ELECTRON TRONG QED 40 3.1 Kỳ dị lý thuyết trƣờng lƣợng tử 40 3.2 Tái chuẩn hóa điện tích 42 3.3 Tái chuẩn hóa khối lƣợng 46 a Dịch chuyển Lamb 52 b Moment từ dị thƣờng electron 53 3.4 Tái chuẩn hóa giản đồ vịng QED 54 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 PHỤ LỤC A 60 PHỤ LỤC B 65 PHỤ LUC C 68 MỞ ĐẦU Những thành tựu điện động lực học lƣợng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phƣơng pháp tái chuẩn hóa khối lƣợng điện tích cho phép tính tốn q trình vật lý phù hợp tốt với số liệu thu đƣợc từ thực nghiệm, với độ xác đến bậc số tƣơng tác theo lý thuyết nhiễu loạn a = tƣơng tác QED lý thuyết đƣợc xây dựng hồn chỉnh Mơ phƣơng pháp tính tốn q trình vật lý QED ngƣời ta xây dựng cơng cụ tính tốn cho Sắc động học lƣợng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) – lý thuyết tƣơng tác hạt quark - gluon, tƣơng tác yếu hay lý thuyết thống dạng tƣơng tác nhƣ lý thuyết điện yếu tƣơng tác mạnh đƣợc gọi mơ hình chuẩn [6, 7, 13, 18] Việc tính q trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, không chứa vịng kín) ta khơng gặp tích phân phân kỳ, nhƣng tính bổ lƣợng tử bậc cao cho kết thu đƣợc, ta gặp phải tích phân kỳ vùng xung lƣợng lớn hạt ảo, tƣơng ứng với giản đồ Feynman có vịng kín hạt ảo Các giản đồ diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý trƣờng tham gia tƣơng tác quan niệm hạt điểm khơng có kích thước khơng tích Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính tốn nhƣ nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn đƣợc giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu đƣợc cho trình vật lý hữu hạn Lƣu ý: việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trƣờng nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu giải Ý tƣởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lƣợng electron đƣợc Kraumer – Bethe, sau đƣợc tác giả Schwinger Feynman Tomonaga thực hóa QED [13,20] Cách xây dựng chung S - ma trận phân loại phân kỳ Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát triệt tiêu phân kỳ số hạng đƣợc tái chuẩn hóa chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích khối lƣợng electron, giúp ta giải hợp lý phần phân kỳ tính tốn, kết ta thu đƣợc hữu hạn cho biểu thức đặc trƣng cho tƣơng tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã thời gian sống hạt Khi so sánh, kết thu đƣợc phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trƣờng lƣợng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trƣng trình vật lý, đƣợc gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phƣơng pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trƣờng bao gồm: phƣơng pháp cắt xung lƣợng lớn [7], phƣơng pháp Pauli – Villars, phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên phƣơng pháp R - tốn tử N.N Bogoliubov khởi xƣớng [14] Mục đích luận văn Thạc sĩ vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại phƣơng pháp Pauli – Villars gần vịng kín minh họa q trình tái chuẩn hóa khối lƣợng điện tích electron QED bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho trình vật lý Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chƣơng, phần Kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục - Chương 1: Các giản đồ phân kỳ vòng Chƣơng dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận quy tắc Feynman để mơ tả q trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày hàm Green photon, electron, hàm đỉnh QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp đƣợc trình bày mục 1.3 - Chương 2: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp Pauli – Villars Trong chƣơng tách phần hữu hạn phần phân kỳ phƣơng pháp Pauli –Villars QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lƣợng riêng photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ lƣợng riêng electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh bậc thấp Đồng thức Ward –Takahashi đƣợc đƣợc chứng minh đồ thị mục 2.4 - Chương 3: Tái chuẩn hóa QED Trong chƣơng ta tái chuẩn hóa cho giản đồ vòng QED Mục 3.1 Khái quát kỳ dị lý thuyết trƣờng lƣợng tử Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.3 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lƣợng Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED gần vịng - Phần kết luận tóm tắt kết thu đƣợc luận văn thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính tốn cho lý thuyết trƣờng tƣơng tự Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất bốn thành r ( phần véctơ - chiều ta chọn thực A = A 0, A ) gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số m = (0, 1, 2, 3),và theo quy ƣớc ta gọi thành phần phản biến véctơ - chiều ký hiệu thành phần với số Chƣơng Các giản đồ phân kỳ vòng Trong chƣơng giới thiệu vắn tắt luận điểm lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tƣơng tác điện từ, quy tắc Feynman, giản đồ phân kỳ thƣờng gặp gần vòng 1.1 S - ma trận giản đồ Feynman Biên độ xác suất trình tán xạ đƣợc xác định yếu tố S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ trạng thái đầu trạng thái cuối q trình vật lý: ( ịL S = T exp i int (x )d 4x ) Trong L int (x ) = N (J m(x )A m(x ))= e 0N (y (x )g my (x )A m(x)) Lagrangian tƣơng tác điện từ, e0 điện tích “trần” electron Mỗi đỉnh tƣơng tác có ba đƣờng vào ra, có đƣờng photon, hai đƣờng electron haypos ¥ ez =å (0) n =1+ n! n=0 S =S z + S(1) + S(2) + = = + iT ò L int ( x )d 4x + (1.2) Yếu tố ma trận trận q trình vật lý biểu diễn dƣới dạng: =d fi Ở < i | < xác suất dời chuyển, có ý nghĩa việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo tồn xung lƣợng q trình vật lý Thay công thức (1.2) vào < f | S | i > ta có: Sử dung khai triển (1.4), cụ thể hạt trạng thái đầu trạng thái cuối ta viết đƣợc biểu thức tƣờng minh cho số hạng khai triển nhiễu loạn cho trình nhƣ sau: tán xạ electron (hay positron) với trƣờng điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon electron, hay hủy cặp electron – positron q trình tán xạ khơng đàn tính, v.v Bảng Quy tắc Feynman cho tƣơng tác điện từ không gian xung lƣợng: Hạt trạng thái Electron trạng thái đầu ( 10 Electron trạng thái cuối Positron trạng thái đầu Positron trạng thái cuối Photon trạng thái đầu hay trạng thái cuối Thế điện từ Chuyển động electron từ ® (hay positron theo chiều ngƣợc lại ® 1) ∫d k e − i ( ak +2 bk ∫d k e − i ( ak Sử dụng cơng thức(A.3.4) dễ dàng chứng minh công thức (A.3.5), (A.3.6), (A.3.7) ¥ e ị ia ( D + i e) a Cơng thức (A.3.8) chứng minh cách đặt biến β = −ia ( D + iε ) dụng cơng thức Gamma sử ¥ ị (A.3.9) 70 Phụ lục C Khử phân kỳ mô hình L int = gf Trong tất mơ hình tƣơng tác hạt bản, xét mặt tốn học dẫn đến hai mơ hình tƣơng tác bản: mơ hình tự tƣơng tác hạt vô hƣớng thực L int = gf Mơ hình tƣơng tác đơn giản, cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết Qua ví dụ L gf rõ int = ta minh họa ràng phƣơng pháp khử phân kỳ, đƣợc sử dụng thuyết lƣợng tử lý trƣờng Trong lý thuyết L int = gf tồn hai giản đồ gần vòng: giản đồ tƣơng ứng với phần lƣợng riêng hạt vô hƣớng giản đồ khác ứng với giản đồ đỉnh ba Hình C.1 Giản đồ tƣơng ứng với phần lƣợng riêng hạt vơ hƣớng Hình C.2 Giản đồ khác ứng với giản đồ đỉnh ba 71 Theo qui tắc Feynman, giản đồ Hình C.1 tƣơng ứng với tích phân đơn giản: i π2 I ( k) ~ tƣơng ứng với giản đồ Feynman vịng với hai đƣờng vơ hƣớng Biểu thức (C.2.1) giản đồ lƣơng riêng hạt vơ hƣớng Tích phân (C 2.1) ảnh Fourier tích hai hàm truyền với biến số chập nhau: (C.2.2) I (k ) ~ 16p 2i ò e ikx [Dc (x )]2dx Các tích phân (C.2.2) chứa hàm kỳ dị suy rộng dạng dl , l - (trong l = x ) Vì vậy, cơng thức (C.2.2) khơng phải đại lƣợng xác định Xét mặt toán học, phải tiến hành định nghĩa lại đại lƣợng (C.2.2) Ở có hai cách gải vấn đề: Bản chất phƣơng pháp Pauli-Villars việc thay hàm Green kỳ dị trƣờng vô hƣớng tự với khối lƣợng m tổ hợp tuyến tính sau: ∆c (x) → reg M ∆c (m) = ∆c (m) + ∑ci ∆c (Mi ) , i Ở kí hiệu Dc (m ) hàm Green trƣờng vô hƣớng với khối lƣợng m.Tuy nhiên chuyên đề hiểu hàm Green nhân quả, phƣơng pháp Pauli-Villars kí hiệu thống cho hàm Green ∆c ký hiệu thống cho hàm Green ∆c , nhƣ hàm Green ∆ret , ∆adv , ∆+ , ∆− ký hiệu khác nhau) Trong vế phải (C.2.3), hàm D( M i ) hàm Green bổ trợ với khối lƣợng M i, ci hệ số không đổi thỏa mãn điều kiện đặc biệt Những điều kiện lựa chọn cho reg∆(x, m) hàm đƣợc điều chỉnh biểu diễn tọa độ hàm số đủ điều 72 chỉnh lân cận hình nón ánh sáng, cho biểu diễn xung lƣợng D( p, m ) giảm đủ nhanh vùng xung lƣợng lớn | p |2 Đối với trƣờng có spin ngun, kỳ dị cao hình nón ánh sáng δλ, λ−1 có mặt hàm Green trễ D(x; m) với hệ số không phụ thuộc vào khối lƣợng m Chính thế, giả sử đặt điều kiện cho ci là: + å ci = i Để cho hàm Green đƣợc điều chỉnh reg∆(x, m) Chúng ta nhận đƣợc biểu thức mà khơng chứa kỳ dị dạng δλ, λ−1 Ảnh Fourier hàm Green đƣợc điều chỉnh reg∆(p, m) vùng xung lƣợng lớn | p |2 giảm nhanh nhƣ | p2 |−2 Nhƣ điều kiện : m2 + ∑ci Mi2 = (C.2.5) i khơng có kỳ dị dạng đảm bảo cho hàm Green đƣợc điều chinh q(l ), ln l đƣa đến điều kiện hàm Green reg∆(p, m) giảm nhanh | p2 |- vùng tử ngoại Thực phép lấy giới hạn Mi → ∞, thu đƣợc kết nhƣ mong muốn Áp dụng phƣơng pháp Pauli – Villars cho trƣờng hợp đơn giản đồ (1.1), cần đại lƣợng khối lƣợng bổ trợ M với hệ số c = -1 thỏa mãn điều kiện (C.2.4) Trong biểu diễn xung lƣợng có Dc (p) = Sử dụng phép (C.2.6) biểu thức dƣới dấu tích phân vế phải (C.2.1), nhận đƣợc : 73 I (k ) ® regM I (k ) = Vế phải phƣơng trình (C.2.7) biểu thức hữu hạn: reg I (k ) = lim M é ê ´ ê ë Theo phƣơng pháp tham số hóa tích phân Feynman: H Thì biểu thức (C.2.8) viết lại nhƣ sau (để đơn giản ta ngầm hiểu ε → ): reg I (k ) = M 74 Áp dụng cơng thức tích phân Gauss: ∫ (C.2.10) có : αβ   α+β  β2    α+β  (C.2.11) Tiếp tục đƣa vào phép biến đổi: α = ax;β = a(1 − x) ⇒ thức (C.2.11): ∂( α,β ( ) ) = a , thay vào biểu ∂ a, x reg M I(k) = i ∫1 = −∫1 dx∞∫d Sử dụng cơng thức tích phân: ¥ da ị - ea e é iaA e ê ë a 75 thu đƣợc : Xét biểu thức : é ln ê ë = ln m + x (1 - x )k - ie + m2 é + ln ê ê ë xM Sau lấy giới hạn M → ∞ , nhận đƣợc: reg I (k ) = - ln M µ tham số dƣơng tùy ý Nhƣ vậy, từ I(k) tách đƣợc phần phân kì hồng ngoại biểu diễn (C.2.13) đƣợc dƣới dạng êxM 76 regM I (k ) = - ln So sánh kết thu từ ba phương pháp khử phân kì khác trên, thấy phần phân kì tách thành phần kì dị phần hữu hạn: I (k ) = I anomalous + I definite Phần kì dị phƣơng pháp Pauli – Villars ln m2 , phƣơng pháp M chỉnh thứ nguyên Bảng C Phần phân kỳ phƣơng pháp khử phân kỳ Các phƣơng pháp Phân kỳ 77 ... QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp đƣợc trình bày mục 1.3 - Chương 2: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp Pauli – Villars Trong chƣơng tách phần hữu hạn phần phân kỳ phƣơng pháp Pauli ? ?Villars. .. phân kỳ 19 Bảng Các giản đồ phân kỳ bậc thấp QED: Ví dụ 20 Chƣơng Tách phân kỳ giản đồ vòng phƣơng pháp Pauli- Villars Trong chƣơng này, sử dụng phƣơng pháp Pauli- Villars để tách phần phân kỳ. .. tụ hay phân kỳ biểu thức (1.17): + Nếu K > : tích phân hội tụ + Nếu K £ : tích phân phân kỳ - K = : phân kỳ lôgarit - K = - : phân kỳ tuyến tính - K = - : phân kỳ bậc hai - K = - : phân kỳ bậc