Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ̃ NGUYÊN ĐÌNH THINH PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ̃ NGUYÊN ĐÌNH THINH PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2011 MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Các phương pháp giải phương trình Schrodinger 1.1 1.2 1.3 1.4 hocc̣ lươngc̣ tư Phương phap khai triển theo song riêng phần ́ Phương phap ham Green ́ Phương phap chuẩn cổđiển……… ………… ́ Mối liên hệ biên độ tán xạ theo sóng riên biên độ tán xạ eikonal… …………………… 1.4.1 Phép chuyển đởi từ biên độ s biên độ sóng eikonal ……… 1.4.2 Phép chuyển đổi từ biên độ s biên độ sóng riêng phần…… 1.5 Sơ đồ mối liên hệ phương pháp b Chương 2: Các hiệu ứng hấp dẫn điện từ toán tán xa c̣ lượng Plangck……………………………….………….….24 2.1 Tán xạ toàn phần toàn phần hấp dẫn…………… ……………….……… 24 2.2 Cưcc̣ điểm tán xa…… ……………………………………….……… c̣31 2.3 Tán xạ hấp dẫn có kể thêm tương tác điện từ…………… ……….………33 Kết luận: …………………………………………………………………………36 Phụ lục A: Các định lý dụng cho biên độ tán tán xạ………… ………… …….37 Phụ lục B: Phương trinh̀ Lippman- Schwingger…………… ………… …… 40 Phụ lục C: Các phương pháp Hamilton Jacobi………… ………… ……….….45 Phụ lục D: Trường nền Schwarzschild…… …………………………….….… 50 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………… 53 MỞ ĐẦU Trong năm gần có tiến quan trọng hiểu biết về tán xạ thang lượng Planck lý thuyết trường lượng tử /110/ Nghiên cứu trình lý thuyết hấp dẫn lượng tử cung cấp sở khoa học để nhận thức rõ tượng vật lý sinh kỳ dị tạo thành lỗ đen, việc mất thông tin cải biến sợi dây lý thuyết hấp dẫn Các kết thu đều khẳng định: biên độ tán xạ Planck hạt vùng s » M Pl lượng cao cỡ = G- 1/2 (trong s lượng hat, M Pl khối lượng Planck, G - số hấp dẫn) t- bình phương xung lượng truyền nhỏ, giới hạn (leading term ) với pha phụ thuộc vào lượng Số hạng bở (non-leading terms ) toán tán xạ nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu 20 năm nay, có Bộ mơn Vật lý lý thuyết ĐHQG Hà Nội Kết bước đầu Bộ mơn Vật lý thuyết tìm số hạng bở bậc nhất cho số hạng biên độ biên độ tán xạ eikonal lý thuyết hấp dẫn lượng tử, hai phương pháp khác phương pháp tích phân phiếm hàm phương trình chuẩn /8-9/ Việc tìm phương pháp khác cho toán vẫn vấn đề thời Mục tiêu Bản Luận văn nghiên cứu toán tán xạ lượng cao hạt qua việc giải phương trình Schrodinger học lượng tử với ba phương pháp khác -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green, phương pháp chuẩn cổ điển, việc giải phương trình Klein – Gordon lý thuyết hấp dẫn lượng tử Nghiên cứu số hiệu ứng lượng tử thảo luận Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, bốn phụ lục tài liệu tham khảo -1- Chƣơng : Giới thiệu ba cách giải phương trình Schrodinger Trong mục 1.1, xuất phát từ phương trình Schrodinger học lượng tử, biên độ tán xạ biểu diễn qua sóng riêng phần Mục 1.2 Đưa cách giải thứ hai phương trình Schrodinger thơng qua hàm Green để tìm biên độ tán xạ Trong mục 1.3, ta quay về sử dụng phương pháp chuẩn cổ điển để giải phương trình Schrodinger, từ thu biên độ tán xạ econal Việc so sánh ba phương pháp giúp ta có cách nhìn khác về toán tán xạ học lượng tử phần 1.4 Chƣơng 2: Xuất phát từ phương trình Klein-Gordon trường hấp dẫn tìm biên độ qua sóng riêng phần, theo phương pháp tương tự dược sử dụng học lượng tử mục 2.1 Trong mục 2.2 số hạng số hạng bở bậc nhất biên độ tán xạ hạt vô hướng trường hấp dẫn xác định, từ suy kì dị cực điểm biên độ tán xạ eikonal xuất trục ảo s-mặt phẳng phức Mục 2.3 dành cho việc xem xét đồng thời hai loại tương tác hấp dẫn tương tác điện từ cho toán tán xạ Ở vùng xung lượng truyền lớn, kết thu có nhiều hiệu ứng vật lý lý thú Cuối kết luận chung, phụ lục, tài liệu tham khảo liên quan tới luận văn Phụ Lục A, Phụ Lục B, Phụ lục C Phụ lục D Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = -2- Chƣơng CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ r r Xét chuyển động hạt trường xuyên tâm tán xạ U (r ) Giả thiết U (r ) trường đối xứng khơng phụ thuộc vào góc j Khi học lượng tử, trình tán xạ hạt có thể mơ tả nghiệm phương trình Schrodinger: é h ê - 2m ê ë 1.1 Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần Phương trình Schrodinger: é ê h - ê ë Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào gốc tọa độ 0, chọn hướng dòng hạt tới dọc theo trục 0Z Ta thấy xa tâm tán xạ hạt không không chịu tác dụng nên chuyển động tự nên chuyển động mơ tả sóng phẳng sau : r Y (r ) = eikz in Ở gần tâm tán xạ hạt bị tán xạ Hàm U(r) mô tả tương tác hạt với tâm lực có thể giả thiết hàm khác không miền khơng gian hữu hạn r < a mà ta gọi miền tác dụng lực Khi hàm sóng bị thay đởi chủn động hạt tán xạ phải mô tả hàm cầu phân kỳ: r Y (r ) = f ( q, j ) out Biên độ sóng phân kì f(θ ,ϕ ) công thức (1.1.3) gọi biên độ tán xạ Hàm sóng tồn phần mơ tả chuyển động hạt tới hạt tán xạ khoảng cách lớn (r>a) tâm tán xạ tởng sóng tới Yin sóng tán xạ Yout : 2m -3r Y(r ) = e ikz + f ( q, j ) r Với Y(r ) nghiệm phương trình Schrodinger (1.1.1) Trong biểu thức (1.1.4), số hạng thứ nhất viết toạ độ Đề các, mô tả chuyển động hạt tới, cịn số hạng thứ hai toạ độ cầu mơ tả chuyển động hạt tán xạ toạ độ cầu Ta có thể biểu diễn hình vẽ sau: Các sóng phẳng tới Mặt khác, nghiệm phương trình Schrodinger (1.1.1) trường hợp r U (r ) đối xứng trục(đối với z) khơng phụ thuộc góc j có thể viết dạng: ¥ Y(r , q) = å bl R l (r )P (cos q) , (1.1.5) l= đây, bl hệ số không đổi xác định điều kiện biên điều kiện chuẩn hoá Pl (cos q) đa thức Legendre xác định công thức: P (x ) = l Ta giải phương trình Schrodinger R l (r ) sau : Từ phương trình (1.1.1) ta có : é h ê ê ë 2m -4- - Thay biểu thức (1.1.5) vào phương trình (1.1.7), ta có: r dr ỗ Trong ú D V Gii phng trỡnh dạng tách biến : Thay (1.1.9) vào (1.1.8), ta hệ phương trình sau : í ỉ ï d ù ù ù ỗ ù dx ố ù ù ù ï ì ï D q Ở xˆ pˆ phương trình Schrodinger& xˆ = x Trong thuật ngữ trị riêng, phép biến đổi chuẩn lượng tử viết p= Q= Trong W(x,E) hàm Hamilton đặc trưng lượng tử Ở ta tự chọn xung lượng nhiên định nghĩa thuật ngữ E P=P(E) Từ mối quan hệ phép biến đởi cho ta phương trình Hamilton Jacobi lượng tử cho hàm đặc trưng h ¶ 2W(x,E) ¶x2 i W(x,E) phải thỏa mãn điều kiện giới hạn ta xét sau Chú ý có thể coi phương trình nguyên lý có thể nhận lại từ phương trình Schrodinger& Nếu phương trình Schrodinger& thêm nhiều tính chất vật lý viết dạng iW ( x ,E ) / h Trong y (x , E ) hàm độc lập với thời gian Nếu V(x) nhỏ nhiều so với lượng E, ta có thể sử dụng gần Eikonal để giải vấn đề Với phương pháp gần thay đởi rất nhỏ khoảng cách bước sóng Comptom Lúc ta có thể sử -47- dụng khái niệm phần bán cổ điển hàm sóng bán cở điển viết sau y ( + ) : eiS(x)/ h Thay y (x , E ) = eiS(x)/ h vào phương trình (1.1.1) ta được: é h ê - => ê ë é ê => => h - 2m ê ë - h 2m ¶ x => h - 2m ¶ x => h => - 2m - h 2m h 2m h Trong giới hạn cở điển h ® thay S '( x ) =E-U(x) 2m => -48- Khi E>>V phương tán xạ hạt thay đởi rất nhỏ Lúc quỹ đạo cở điển có thể gần đường thẳng (hình 2) dọc theo phương z z b Hình 2: Giản đồ q trình tán xạ Tích phân biểu thức (1.2.21) ta được: S h z = òU -L Ở tích phân tính từ khoảng lớn –L, khơng bị ảnh hưởng đến Hơn số tùy ý chọn cách Vậy giới hạn V ® , S h ® kz Bằng cách mở rộng nhị thức tích phân bỏ qua bậc thứ hạng cao ta có: y -49- PHỤ LỤC D TRƢỜNG NỀN SCHWARZSCHILD Chúng ta dẫn metric toạ độ cầu đối xứng Khoảng cách điểm metric mô tả dạng: ds = g (r , 00 Từ đây, tìm dạng hai hàm chưa biết g00(r , t ) grr (r , t ) Để tiện cho tính tốn tiếp theo, đặt: Để tìm hàm trên, cần giải phương trình trường Einstein Bởi vậy, đưa ký hiệu Christoffel: Gikm = g in (gkn ,m + gmn ,k - gkm ,n ) đây, “,k” biểu thị đạo hàm riêng theo k Nói chung rất khó để tính tốn ký hiệu với liên kết i, k m, phải tính tốn tới 12 đạo hàm khác tensor metric Chúng ta tìm cách khác sau: Phương trình trắc địa mơ tả chủn động hạt cho bởi: dx m m +G ds Nhưng phương trình Euler-Lagrangian là: nl d ¶L m Chúng ta chọn Lagrangian dạng: +e +r -50- Việc so sánh phương trình (C.2) (C.3) tìm ký hiệu Christoffel Chúng ta đặt m= để cho đơn giản, trường hợp khác tính hồn tồn tương tự Từ (C.4) dẫn tới: ¶L = ¶x ¶L ¶ x& = - en Và từ có: 0=-e êds Bây giờ tính tốn thành phần tensor Ricci: R R R R R Ứng dụng phương trình trường Einstein: R mn Chúng ta quan tâm 0=R -51- (D.12) 0=R Lấy tích phân vế phương trình (C.12) ta được: r(r ) = - n(r ) Þ - g00 Đặt vào (C.7) ta có: (1 - r r ')e- r - = Ta đặt l (r ) = e- r Do ta có phương trình: l '+ r l = r Nghiệm phương trình là: l =1- r* số Như vậy, dẫn metric dạng: (D.13) Đ ối v ới g = tr mn ờ n g hấ p dẫ n có r * = 2GM ta thu metric Schwarzschild Còn tán xạ hấp dẫn hạt mang điện tích có metric Reissner-Nordstom -52- TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT I Nguyễn Ngọc Giao (1999), Lý thuyết trường hấp dẫn, Đại học Quốc gia TPHCM Nguyễn Ngọc Giao (1999), Hạt bản, Trường ĐHKH Tự Nhiên, Hà nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội AI TIẾNG ANH t Hoof, (1988) “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating Point Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876 D.Amati, M.Ciafaloni and G.Veneziano, (1988) “Classical and Quantum Gravity Effects from Planckian Energy Superstring”, Int J Mod Phys A3, pp1615-1561 H Verlinde and E Verlinde, (1992)” Scattering at Planckian Energies”, Nucl.Phys.B371, pp 246-252 D.Kabat and M Ortiz, (1992) “Eikonal Gravity and Planckian Scattering”, Nucl.Phys.B388, pp.570-592 Nguyen Suan Han and Eap Ponna; (1997) “ Straight-Line Path Approximation for the Studying Planckian-Scattering in Quantum Gravity”, Nuo Cim A, N110A pp 459-473 Nguyen Suan Han, (2000) “Straight-Line Path Approximation for the HighEnergy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity” Euro Phys J C, vol.16, N3 p.547-553 Proceedings of the th International Workshop on Graviton and Astrophysics heid in Beijing, from October 10-15, 1999 at the Beijing Normal University, China, Ed Liao Liu, et al World Scientific Singapore (2000)pp.319-333 -53- S Das and P Majumdar, (1998) “Aspects of Planckian Scattering Beyon the Eikonal ” Journal Pramana, India, 51, pp 413-418 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Functional Approach” E-print arxiv: gr-qc/0203054, 15 mar 2002, 15p; European physical journal c, Vol 24, pp.643651 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan, (2008)“ Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Quasi-Potential Approach” E-print arxiv: 0804.3432 v2 [quant-ph] To be published in european physical journal c (2008) 10 Rosenfelder r (2008), “Path Integrals for Potential Scattering”,E-print arxiv: 0806.3217v2[nucl-th] 11 Charles Poole Herbert Goldstien and John Safko Classical Mechanics Addison Wesley 12 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi Theory and the Quantum Action Variable” Physical Review Letters, 50(1):3–6, 1983 13 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi/action-angle quantum mechanics” Physical Review D, 28(10):2491–2502, 1983 14 Marco Roncadelli and L.S Schulman “Quantum Hamilton-Jacobi Theory” Physical Review Letters, 99(17), 2007 15 t Hoof, (1988) “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating Point Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876 A.K Kapoor R.S Bhalla and P.K Panigrahi “Quantum Hamilton-Jacobi formalism and the bound state spectra” arXiv, quant-ph/9512018v2, 1996 16 J.J Sakurai Modern Quantum Mechanics Pearson Education, 2007 -54- ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ̃ NGUYÊN ĐÌNH THINH PHƯƠNG PHÁP SĨNG RIÊNG PHẦN CHO BÀI TỐN TÁN XẠ TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán. .. độ tán xạ sóng riêng phần giới hạn tán xạ lượng cao ngược lại 1.4.1 Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng eikonal Như tính tốn trên, biên độ tán xạ thu phương pháp sóng. .. lượng tử với ba phương pháp khác -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green, phương pháp chuẩn cở điển, việc giải phương trình Klein – Gordon lý thuyết hấp dẫn lượng tử Nghiên cứu