Một số định lý giới hạn trong lý thuyết martingale

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN DƯƠNG TH± ÁNH TUYET M®T SO бNH LÝ GIéI HAN TRONG LÝ THUYET MARTINGALE LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2018 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN DƯƠNG TH± ÁNH TUYET M®T SO бNH LÝ GIéI HAN TRONG LÝ THUYET MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQC Mã so: 8460112.02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang Mnc lnc Lài cam ơn Danh sách ký hi¾u Lài nói đau Chương Martingale bat thÉc ban 1.1 Martingale tính chat 1.1.1 Đ%nh nghĩa Martingale ví du 1.1.2 Các tính chat 10 1.2 Các bat thúc ban 11 1.2.1 M®t so bat thúc ban 11 1.2.2 Bat thúc hàm bình phương 15 Chương Lu¾t so lán đ%nh lý h®i tn 22 2.1 Đ%nh lý h®i tu martingale 22 2.2 Lu¾t so lón 24 2.2.1 Lu¾t so lón 24 2.2.2 Lu¾t manh so lón .26 2.3 H®i tu Lp 35 Chương Đ%nh lý giái han trung tâm 46 3.1 H®i tu L1− yeu, h®i tu őn đ%nh 46 3.2 Toc đ® h®i tu đ%nh lý giói han trung tâm 53 Ket lu¾n 60 Tài li¾u tham khao 61 Lài cam ơn Vói tình cam chân thành, em xin đưoc bày to lòng biet ơn đen trưòng Đai HQ c Khoa HQ c tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, Phịng Đào tao Sau Đai HQ c, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c q thay giáo t¾n tình hưóng dan, tao mQI đieu ki¾n cho em suot q trình HQc t¾p, nghiên cúu hồn thành khóa lu¾n Đ¾c bi¾t, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen GS.TSKH Đ¾ng Hùng Thang, chn nhiắm bđ mụn Xỏc suat v thong kờ toán HQ c, Khoa Toán - Cơ - Tin HQ c, trưòng Đai HQ c Khoa HQ c tn nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, ngưịi Thay trnc tiep giang day, hưóng dan khoa HQ c cho em Xin đưoc cam ơn lãnh đao chi huy HQc vi¾n Phịng Khơng - Khơng Qn, lãnh đao chi huy Phịng Quan Lý HQc viên Đồn 871 Tőng cuc tr% - Bđ Quoc Phũng, cựng cỏc ong nghiắp, ngũi thân gia đình, ban bè thân thiet đ®ng viên giúp đõ, tao MQI đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thành nhi¾m vu HQ c t¾p nâng cao trình đ® chun mơn cna Dù tác gia rat co gang, song lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Kính mong nh¾n đưoc sn góp ý, chi dan cna q thay, giáo, ban đong nghi¾p nhung ngưịi quan tâm tói đe tài nghiên cúu Xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 15 tháng 12 năm 2018 HQc viên Dương Th% Ánh Tuyet Danh sách ký hi¾u ||.||p Chuan cna khơng gian Banach Lp (Xn) Dãy bien ngau nhiên ↓ Giam h.c.c Hau chac chan d H®i tu theo phân phoi p H®i tu theo xác suat → → (Ω, F, P ) Khơng gian xác suat T¾p bien ngau nhiên X cho E|X|p < ∞ Lp L- p T¾p hop bien ngau nhiên X cho E|X|p < ∞ ↑ Tăng Lài nói đau Cái tên martingale đưoc Ville đưa vào ngơn ngu xác suat hi¾n đai (1939) chn đe đưoc làm női b¾t qua cơng trình cna Doob nhung năm 1940 đau nhung năm 1950 Lý thuyet Martingale, giong lý thuyet xác suat, bat nguon tù trò chơi cò bac, tro thành m®t loai q trình ngau nhiên có rat nhieu úng dung ve lý thuyet thnc tien, ắc biắt l mđt cụng cu khụng the thieu tính tốn ngau nhiên tốn HQ c tài Th¾t ra, thu¾t ngu martingale có m®t l%ch su lâu dài trị chơi cị bac, ú ban au nú cú ngha l mđt hắ thong đe bù đap tőn that bang cách tăng gap đôi tien thưong sau moi mat mát Tù đien tieng Anh cna Oxford bat đau su dung thu¾t ngu tù năm 1815 Khái ni¾m hi¾n đai nhat có mđt ti liắu tham khao Bachelier (1900) Cỏc nghiên cúu ve lý thuyet martingale boi Bernstein (1927, 1939, 1940, 1941) Lévy (1935a, b, 1937) có trưóc su dung tên martingale Các tác gia giói thi¾u martingale dưói dang tőng liên tiep đe tőng quát hố ket qua giói han cho tőng cna bien ngau nhiờn đc lắp Tuy nhiờn, cụng trỡnh tiep theo cna Doob, bao gom ca vi¾c khám phá đ%nh lý h®i tu martingale, hồn tồn thay đői hưóng cna đe tài Cuon sách cna ơng (1953) van l mđt anh hong lún gan ba thắp niờn Chi mói gan có sn hoi sinh quan tâm thnc sn hoat đ®ng lĩnh vnc lý thuyet giói han martingale mà đe c¾p tói vi¾c tőng quát hóa ket qua cho tőng cna bien ngau nhiờn đc lắp Lý thuyet xỏc suat núi chung, lý thuyet martingale nói riêng đóng góp m®t vai trị vô quan TRQNG sn phát trien chung cna toỏn HQc hiắn Nú chớnh l mđt nghnh toỏn HQc lón, vùa có tam lý thuyet o trình đ® cao, đáp úng đay đn tiêu chuan ch¾t che xác cna tốn HQc thuan túy đong thịi lai có pham vi úng dung het súc r®ng rãi khoa HQc tn nhiên, khoa HQ c xã h®i, cơng ngh¾, kinh te, y sinh HQc Vói tính úng dung cao nh vắy, martingale l mđt mang rat ỏng đưoc quan tâm nghiên cúu phát trien sâu r®ng nua Tuy nhiên, vói von kien thúc het súc han hep cna ve chuyên nghành Lý thuyet xác suat thong kê toán HQc, tác gia rat co gang HQ c hoi, tìm tịi, vói sn hưóng dan, chi bao vơ t¾n tình tù Thay hưóng dan, tác gia xin đưoc trình bày ket qua tìm hieu đưoc cna thơng qua lu¾n văn mang tên: M®t so đ%nh lý giói han lý thuyet Martingale Nđi dung chớnh cna luắn oc chia làm chương Cu the: Chương 1: Martingale bat thúc ban N®i dung chương cna luắn khụng cHQN trỡnh by lai mđt so kien thúc ban m®t so ket qua đưoc HQ c t¾p, nghiên cúu mơn HQ c chương trình đào tao thac sĩ Tốn HQc chuyên nghành Xác suat thong kê toán HQc m trung chn yeu trỡnh by mđt so kien thúc ban nhat lý thuyet Martingale Đó đ%nh nghĩa martingale, m®t so ví du, tính chat cna bat thúc ban liên quan như: Bat thúc Doob, Bat thúc cat ngang, Bat thúc Burkholder, Bat thúc Rosenthal Tiep theo, nđi dung chng 2: Luắt sú lún v cỏc %nh lý h®i tu Bo cuc chương đưoc trình bày chi tiet sau: 2.1 Đ%nh lý h®i tu Martingale 2.2 Lu¾t so lón 2.2.1 Lu¾t so lón 2.2.2 Lu¾t manh so lón 2.3 H®i tu Lp Đó nhung n®i dung TRQNG tâm cna chương này.e đây, hau het chúng minh cna đ%nh lý tu Martingale dna m®t so mo r®ng cna bat thúc, bat thúc thiet l¾p o se đưoc su dung nhieu lan phan sau Trong chương tác gia áp dung chúng đe chúng minh lu¾t so lón chi trình bày công cu ban Sau chương 3: Đ%nh lý giói han trung tâm TRQNG tâm chương giói thiắu %nh lý giúi han trung tõm v toc đ h®i tu đ%nh lý giói han trung tâm Ban chat martingale m®t dãy bien ngau nhiên thoa mđt so ieu kiắn ắc biắt Lý thuyet ve sn hđi tu cna dóy bien ngau nhiờn, luắt so lón, lu¾t manh so lón, đ%nh lý giói han trung tâm có le ko cịn q xa la lý thuyet xác suat Và tìm hieu chút khác bi¾t lý thú cna chúng qua ngơn ngu mói, ngơn ngu martingale Chương Martingale bat thÉc ban 1.1 Martingale tính chat 1.1.1 Đ%nh nghĩa Martingale ví dn Gia su (Ω, F , P ) không gian xác suat, G ⊂ F σ−trưòng cna F M®t bien ngau nhiên X đưoc GQI tương thích vói G neu X G −đo đưoc Trong trưịng hop ay, ta viet X ∈ G M®t dãy Fn , n = 1, 2, đưoc GQI m®t dãy tăng σ− trưịng neu Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F, ∀n Cho dãy tăng σ− trưòng Fn Dãy bien ngau nhiên (Xn) đưoc GQi tương thích vói dãy Fn neu vói moi n, Xn ∈ Fn Dãy (Xn) đưoc GQI thu®c Lp ta viet (Xn) ∈ Lp neu vói MQI n E|Xn|p < ∞ Dãy Xn ∈ L1 đưoc GQI m®t martingale đoi vói dãy Fn neu tương thích vói dãy Fn vói MQI m < n E(Xn|Fm) = Xm Kí hi¾u: martingale {Xn, Fn} Dãy Xn ∈ L1 đưoc GQI m®t supermartingale (martingale trên) đoi vói dãy Fn neu tương thích vói dãy Fn vói MQI m < n E(Xn|Fm) ™ Xm Dãy Xn ∈ L1 đưoc GQI m®t submartingale (martingale dưói) đoi vói dãy Fn neu tương thích vói dãy Fn vói MQI m < n E(Xn|Fm) “ Xm Chú ý: E(Xn|Fm) = Xm Đieu ki¾n E(Xn+1|Fn) = Xn Tương đương vói Th¾t v¾y, Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính chat cna kỳ vQNG có đieu ki¾n E(Xn+2|Fn) = E(E(Xn+2|Fn+1)|Fn) = E(Xn+1|Fn) = Xn Tiep tuc v¾y, bang quy nap ta có vói MQI k E(Xn+k|Fn) = Xn Tương tn cho đieu ki¾n E(Xn|Fm) ™ Xm E(Xn|Fm) “ Xm Dãy(Xn) martingale đoi vói dãy Fn chi −Xn martin- gale dưói đoi vói dãy Fn Gia su σ(X)n trưòng bé nhat sinh boi {Xm, m ™ n} Hien nhiên dãy (σ(X)n) m®t dãy tăng ta GQI σ− trưịng tn nhiên sinh boi dãy (Xn) Hien nhiên dãy (Xn) ln tương thích vói dãy (σ(X)n) Ta nói (Xn) m®t martingale neu m®t martingale đoi vói σ−trưịng tn nhiên = ε + E Σ.max |Xni |Σ I max |Xni | > εΣΣ ΣΣ1/2 i X Σ P max i |X ≤ ε + ΣE max ni | > ε ni i i → ε n → ∞ Suy rang E(maxi |Xni|) → nên Rn → Do đó, E[TnJ I(E)] → P (E) Đ¾t F∞ = ∞ Fnkn σ-trưòng sinh boi ∞ (3.13) Fn Vói bat kỳ E J ∈ F∞ bat kỳ ε >S0 ton tai m E ∈ Fmkm cho P (E∆E J ) < ε (∆ ký hi¾u hi¾u đoi xúng) Vì {TnJ } kha tích đeu |E[TnJ I(E J )] − E[TnJ I(E)]| ≤ E[|TnJ |I(E∆E J )], supn |E[TnJ I(E J )] − E[TnJ I(E)]| có the đưoc làm nho tùy ý bang cách cHQN ε đn nho Bây giò, tù (3.13) suy vói MQI E J ∈ F∞ , E[TnJ I(E J )] → P (E J ) Suy vói bat kỳ bien ngau nhiên X b% ch¾n F∞ − đo đưoc, E[TnJ X] → E(X) Cuoi cùng, neu E ∈ F , E[TnJ I(E)] = E[TnJ E(I(E) | F∞ )] → E[E(I(E) | F∞ )] = P (E) Đieu thiet l¾p (3.3) ket thúc chúng minh trưịng hop đ¾c bi¾t (3.11) xay Ta chi cịn phai xóa đieu ki¾n b% ch¾n (3.11) Neu η khơng b% ch¾n hau chac chan, cho trưóc ε > 0, cHQN điem liên tuc C cna η cho P (η > C) > ε Đ¾t 2 2 ηC = η I(η ≤ C) + CI(η > C), i− SnJJi Σ Xnj2 ≤ CΣ = X JJ = i XnJJj n i XniI j= Σj=1 Khi {SnJJi , FnJJi } m®t mang martingale đieu ki¾n (3.7), (3.9) (3.10) đưoc thoa mãn Bây giò X2 Σ I X2Σ Σ i n i i n i n i Σ ≤ C Σ + CI n X i i > CΣ ≤ Σ ≤ X2 i X JJ2 Σ X ΣI Σ n i n i i i i n i n i i Vì C điem liên tuc cna hàm phân phoi cna η2, Σ p I X ≤ C Σ →I(η2 ≤ C), n i > CΣ Σ ≤ C Σ + C + max X Σ I X2 i p →η C Σ X JJn2 i i Do η C b% ch¾n hau chac chan, phan đau tiên cna chúng minh nói vói ta rang SnJJ d→ ZC (őn đ%nh), bien ngau nhiên ZC E exp(− η2 t2) Neu E ∈ F , 2C có hàm đ¾c trưng 2 ≤ E| exp(itSnkn ) − exp(itSnJJkn )| + |E[I(E) exp(itSnJJkn )] 122 122 − exp(− ηCE[I(E) t )]| ηCt+ E| exp(− ) − exp(− 2 η t )| Vì SnJJkn → ZC (őn đ%nh), so hang thú hai o ve phai h®i tu tói n → ∞ So hang đau tiên so hang thú ba nho 2ε P (Snkn ƒ= SnJJkn ) ≤ P (Xn JJ lim sup| E[I(E) exp(itS n→∞ i Cho nên vói MQI ε > 0, Xni vói i đó) ≤ P (Unkn > C) → P > C) < ε (η nk n )] − E[I(E) exp(− η2t2)]| ≤ 4ε Suy giói han bang 0, theo Đ%nh lý 3.1.3 ket thúc chúng minh H¾ qua 3.1.6 Neu (3.7) (3.9) đưac thay bái đieu ki¾n: Σ p ]→ vái MQI ε > 0, E[X n I(| | > ε) | n,i−1 0, i F Xni i neu (3.8) đưac thay bang mđt ieu kiắn tng tn ve phng sai có đieu ki¾n: p Σ | Fn,i−1) η 2, Vnk = → n E(X n i neu (3.10) đúng, ket lu¾n cua Đ%nh lý 3.1.5 van 3.2 Toc đ® h®i tn đ%nh lý giái han trung tâm Cho X1 , X2 , l dóy cỏc bien ngau nhiờn đc lắp vúi k vQNG 0, phương sai đơn v%, moment b¾c ba b% ch¾n, túc: sup1™n s) Thu¾t ngu dau hi¾u modulus tích phân đưoc bao quanh boi |Φ((1 − s)−1/2 (x + s1/2 z)) − Φ((1 − s)−1/2 x)| + |Φ((1 − s)−1/2 x) − Φ(x)| Thu¾t ngu đau tiên o khơng lón (2π)−l/2(l − s)−1/2s1/2z cho cum tù thú hai khơng lón (2π)−l/2 e−x2/2 x[(l − s)−1/2 − 1] ™ (2π)−1/2 e−1/2 [(1 − s)−1/2 − 1] < π −1/2 e−1/2 s, Bang cách đoi xúng, m®t giói han đưoc áp dung mien < s < x < 0, ket hop ưóc tính này, ta suy rang đoi vói < s < , P (W (T ) ™ x) − Φ(x) − P (|T − 1| > s) ∫ −1/2 −l/2 −l/2 1/2 ∞ ™π e s+π s ze−z /4 dz ™ s /2((2πe) l −1/2 + 2π −1/2 ) < (2s)1/2 Đó P (W (T ) ™ x) − Φ(x) ™ (2s)1/2 + P (|T − l| > s) (3.18) Đieu ràng bu®c tam thưịng neu s Hơn nua, bang cách su dung “ m®t thn tuc tương tn, ta suy P (W (T ) ™ x) “ P (W (T ) ™ x; |T − 1| ™ s) − P (|T − 1| > s) “ P sup W (t) ™ xΣ − P (|T − 1| > s) |t−1| s) “ Φ(x) − (2s)1/2 − P (|T − 1| > s) (3.19) Bő đe (3.2.2) sau ket hop (3.18) (3.19) Quay tro lai vói vi¾c chúng minh Đ%nh lý (3.2.1), Ta biet rang ton tai m®t chuyen đ®ng Brown tiêu chuan W bien ngau nhiênTi, ™ i ™ n, cho (không mat tőng quát) Si = (Ti), ™ i ™ n Bő đe (3.2.2) bây giò khang đ%nh rang vói MQI n, x, ∆ > 0, 2 |P (Sn ™ x) − Φ(x)| ™ 2∆1/2 + P (|Tn − V | > ∆) + P (|V − 1| > ∆) n n (3.20) Đ¾t τ1 = T1 τi = Ti − Ti−1, ™ i ™ n Vói moi τi Gi-đo đưoc E(τi| Gi−1) = E(X2|Fi−1) hau chac chan Gi σ− trưòng sinh boi Sl, i ˙,St W (t) vói t ™ Ti Vì the Σ n T − n V = (τ − E(τ | G ))n i tőng cna martingale phân bi¾t i i−1 Đoi vói bat kỳ martingale phân bi¾t Zi, ™ i ™ n bat kỳ p “ ta có tù bat thúc cna Holder Burkholder (xem Đ%nh lý (1.2.9) Σn E p n Zi ™ (18pq ) E Σ Zi2 1/2 p p/ n ™ (18pq Σ 1/2 p p/2−1 )n E|Zi|p (3.21) p™, (18pq 1/2 )p np/2 max i™ E|Zi | −1 −1 q = (1 − p ) ™ vói p “ Áp dung nhung bat thúc n cho martingale phân bi¾t Zi = τi − E(τi|Gi−1), ta suy rang n Σ − p p P (|T n − V | > ∆) ™ ∆ (3.22) E| Z |n i p ™ ∆−p (18p21/2 )p np/2 max E|Zi | i™ n Bây giị, vói |Zi| ™ max(τi, E(τi|Gi−1)) E[E(τi|Gi−1)p] ™ E(τp), theo bat i thúc Jensen E|Zi|p ™ E[τip + E(τi|Gi−1)p] ™ 2E(τip) ™ 4Γ(p + 1)E|Xi|2p (3.23) Viắc mo rđng (p + 1) cna Stirling ngu ý rang đoi vói p “ 2, Γ(p + 1) ™ (2π)l/2 pp+l/2 e−p+l/24 , ket hop đieu vói ca hai phương trình(3.22) (3.23), thay rang P (|Tn − V | > ∆) ™ 10.5(9.4p2 )p p1/2 np/2 δ −p max E|Xi − |2p n (3.24) i™n Tù đieu ki¾n (3.14) có max E|Xi|2p ™ n−pM 2p, i™ n đieu vói (3.20) (3.24) ngu ý rang đoi vói MQI δ > 0, |P (Sn ™ x) − Φ(x)| ™ 2∆1/2 + 10.5(9.4p2 M )p pl/2 n−p/2 ∆−p + P (|V n2 − 1| > ∆) Bây giò cHQN ∆ = ∆(n) → p = p(n) → ∞ đe giam thieu tőng cna hai cum tù đau tiên o Đ¾t ∆ = 9.4M Dn−1/2 (log n)2 p = log n Neu n > e2thp > 2, 2δ 1/2 + 10.5(9.4p2 M )p pl/2 n−p/2 δ −p ™ 6.2MD 1/2 n1/4 log n + 10.5D − log n (log n)1/2 ™ (7M D1/2 + 2)n−l/4 log n, the, ta gia đ%nh rang D “ e H¾u qua là, |P (Sn ™ x) − Φ(x)| ™ (7M D1/2 + 2)n−1/4 log n + P (|Vn2 − 1| > ∆), ket hop vói(3.15) đieu ngu ý (3.16) Các ràng bu®c (3.16) áp dung tam thưịng neu ™ n < e2 Đieu ki¾n han che đong nhat (3.14) se q han che đoi vói m®t so úng dung, có the đưoc thay the bang m®t giói han ve thịi điem mũ Đ%nh lý 3.2.3 Van su dnng ký hi¾u đ%nh lý (3.2.1), gia su rang cho α > hang so M, C D max E[exp(|n1/2 X i™n |i α )] < M (3.25) P (|Vn − 1| > Dn−1/2 (log n)2+2/α ) ™ Cn−1/4 (log n)1+1/α (3.26) Khi vái n “ sup −∞ xp ™ ppe−pex H¾u qua là, np E|Xi |2p = E[(|n1/2 Xi |α )2p/α ] ™ (2p/α)2p/α e−2p/α M, su dung (3.25) Ket hop đieu vói (3.24), chúng tơi suy rang đoi vói hang so dương a b khơng phu thu®c vào n, p, ho¾c ∆ có the đưoc thnc hi¾n tùy ý lón, P (|Tn − Vn | > ∆) ™ a(bpα+1 )2p/α pl/2 n−p/2 ∆−p Tù tù (3.20) có đưoc |P (Sn ™ x) − Φ(x)| ™ 2∆1/2 + a(bpα+1 )2p/α pl/2 n−p/2 ∆−p + P (|V 2n − 1| > ∆) (3.28) Lan nua, cHQN ∆ p đe giam thieu tőng cna hai đieu ki¾n đau tiên Lan lna cHQN toi ưu ∆ = b1+2/α n−1/2 (log n)2+2/α p = log n Khi ∆1/2 + (bpα+1 )2p/α p1/2 n−p/2 ∆−p = b1/2+l/α n−1/4 (log n)1+1/α + b− log n (log n)1/2 ™ cn−1/4(log n)1+1/α vói m®t hang so c, neu cHQN b “ e Quay tro lai (3.28), thay rang |P (Sn ™ x) − Φ(x)| ™ dn−1/4 (log n)1+1/α + P (|V n2 − 1| > ∆) vói hang so d ket hop vói (3.26) đieu ngu ý (3.27) Ket luắn Túm lai, Nđi dung luắn tỡm hieu v tng ket mđt cỏch hắ thong ket qua kinh đien ve Lu¾t so lón, đ%nh lý giói han trung tâm m®t so đ %nh lý h®i tu cho Martingale Chương trình bày mđt so khỏi niắm v tớnh chat cna martingale cựng bat thúc ban Chương nghiên cỳu Luắt so lún v cỏc %nh lý hđi tu Chương 3: Đ%nh lý giói han trung tâm toc đ hđi tu cna nú Ti liắu tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Viet Phú, Nguyen Duy Tien (2004), Cơ sá lý thuyet xác suat, NXB Đai HQc Quoc Gia H Nđi [2] ắng Hựng Thang (2009), Mỏ đau ve lý thuyet xác suat úng dnng, NXB Giáo Duc (tái ban lan thú 4) [3] Đ¾ng Hùng Thang (2012), Xác suat nâng cao, NXB Đai HQc Quoc Gia H Nđi [4] ắng Hựng Thang (2001), Quỏ trỡnh ngau nhiên tính tốn ngau nhiên, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Tieng Anh [5] P Billingsley (1995), Probability and Measure, Willey, New York [6] C.C Heyde, P Hall (1980), Martingale limit theory and its application, ACADEMIC PRESS, INO ... lý h®i tn 2.1 Đ%nh lý h®i tn martingale Đ%nh lý 2.1.1 Neu {Sn, Fn, n ≥ 1} l mđt martingale dỏi L1-b% chắn, thỡ Sn hđi tn hau chac chan tái m®t bien ngau nhiên S vái E|S| < ∞ Chúng minh Đ%nh lý. .. Nói riêng |Xn| martingale dưói neu Xn ∈ Lp, p > |X|p martingale dưói Đ%nh lý 1.1.7 Cho {Xn, Fn} m®t martingale Khi đó, kỳ VQNg EXn m®t hang so (khơng phn thu®c n) Cho {Xn, Fn} m®t martingale dưái... i= Neu {Si, ≤ i ≤ n} martingale, {|Si|p, ≤ i ≤ n} martingale dưói Bang cách áp dung Đ%nh lý 1.2.1 cho martingale dưói này, ta thu đưoc H¾ qua 1.2.2 Neu {Si, Fi, ≤ i ≤ n} martingale, vái mői p