Luận văn thạc sĩ phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính giới hạn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± NHUNG PHƯƠNG PHÁP LƯeNG GIÁC XÁC бNH DÃY SO VÀ TÍNH GIéI HAN LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC HÀ N®I - 2017 NGUYEN TH± NHUNG PHƯƠNG PHÁP LƯeNG GIÁC XÁC бNH DÃY SO VÀ TÍNH GIéI HAN LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS TSKH NGUYEN VN MắU H NđI - 2017 iii Mnc lnc Li cam ơn Lài nói đau Chương Dãy so v mđt so hắ thẫc lang giỏc liờn quan 1.1 M®t so đ%nh lý ban ve dãy so 1.1.1 Đ%nh nghĩa tính chat 1.1.2 Mđt vi dóy so ắc biắt 1.2 Các h¾ thúc lưong giác 1.2.1 Các h¾ thúc lương giác ban 1.2.2 Các h¾ thúc lưong giác hypebolic .9 1.3 M®t lưu ý ve pháp lưong giácgiác hóaxác dãyđ%nh so 12 1.3.1soNh¾n xétphương ve phương pháp lưong dãy so xn+1 = f (xn) 13 1.3.2 Nh¾n xét ve phương pháp lưong giác xác đ%nh dãy so xn+2 = f (xn+1, xn) 13 Chương Phương pháp lưang giác xác đ%nh dãy so tính giái han 15 2.1 Phương pháp lưong giác xác đ%nh dãy so 15 2.1.1 Su dung phép the lưong giác xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy so 15 2.1.2 Dùng phương pháp lưong giác đe giai m®t so tốn ve tính tốn dãy so 27 2.1.3 Tìm cơng thúc tőng qt cna dãy so bang hàm hypebolic 32 2.2 Phương pháp lưong giác tính giói han cna dãy so 41 2.2.1 Tính giói han cna m®t dãy so bang cơng thúc tőng qt cna dãy so 41 2.2.2 Tính giói han cna dãy so truy hoi .46 Ket lu¾n 61 Tài li¾u tham khao 61 Lài cam ơn Tác gia xin bày to sn kính TRQNG lịng biet ơn sâu sac đen GS TSKH NGND Nguyen Văn M¾u Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna hQc trị suot q trình HQc t¾p, nghiên cúu giúp đõ tác gia hồnh thành lu¾n văn Tác gia xin gui lịi cam ơn chân thành tói thay giáo, giáo khoa Toán - Cơ - Tin HQc Thay h®i semina Tốn HQc Hà N®i cna trưịng Đai HQc Khoa hQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia H Nđi ó nhắn xột gúp ý cho ban luắn văn Tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p, lãnh đao trưịng trung HQc phő thơng Lý Tu Tan - Thưịng Tín - Hà N®i đng viờn, c v, tao ieu kiắn e tỏc gia có the hồn thành nhi¾m vu cna M¾c dù có rat nhieu co gang nghi¾m túc HQc t¾p nghiên cúu khoa HQc, song q trình thnc hi¾n khơng tránh khoi nhung sơ suat Vì v¾y, tác gia rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay giáo, cô giáo ban đe ban lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 27 tháng 10 năm 2017 HQc viên Nguyen Th% Nhung Lài nói đau Dãy so m®t chuyên đe quan TRQNG chương trình chun tốn o trưịng trung HQc phő thơng chun Các tốn liên quan đen dãy so thưịng nhung tốn khó, thưịng g¾p kì thi HQc sinh gioi mơn Tốn cap quoc gia, khu vnc, quoc te, Olympic 30/4 Olympic sinh viên Các dang toán ve dãy so rat phong phú đa dang rat phúc hop nên khó phân loai h¾ thong hóa thành chun đe riêng bi¾t Muc tiêu cna lu¾n văn nham đe c¾p đen m®t so van đe ban cna dãy so liên quan đen chương trình tốn b¾c trung HQc phő thơng Nđi dung cna luắn Phng phỏp long giỏc xỏc đ%nh dãy so tính giói han” h¾ thong dang toán dùng hàm lưong giác, hàm lưong giác hypebolic đe xác đ%nh so hang tőng quát cna dãy so, tìm giói han cna m®t vài dãy so, m®t so toán kỳ thi HQc sinh gioi Nđi dung cna luắn gom hai chng Chng trỡnh by ve dóy so v mđt so hắ thỳc lưong giác liên quan Trong chương này, trình bày khỏi niắm c ban ve dóy so, mđt so %nh nghĩa, đ%nh lý ban m®t vài dãy so đ¾c bi¾t Tiep theo, trình bày h¾ thúc lưong giác lưong giác hypebolic ban m®t so ý tưong ve phương pháp lưong giác hóa dãy so Chương khao sát phương pháp lưong giác xác đ%nh dãy so tính giói han Trong chương này, trình bày m®t so tốn có the su dung đưoc phương pháp lưong giác, lưong giác hypebolic đe xác đ %nh so hang tőng quát cna dãy so tìm giói han tương úng Tiep theo, trình bày phương pháp lưong giác m®t so tốn ve tính tốn dãy so, tính giói han cna m®t so dãy so truy hoi Chương Dãy so v mđt so hắ thẫc lang giỏc liờn quan 1.1 M®t so đ%nh lý ban ve dãy so 1.1.1 Đ%nh nghĩa tính chat Đ%nh nghĩa 1.1 Dãy so l mđt hm so tự N (hoắc tự N, hoắc t¾p cna N) vào t¾p hop so R (N, Q, C) Các so hang cna dãy so thưòng đưoc kí hi¾u un, vn, xn, yn, thay u(n), v(n), Ban thân dãy so đưoc kí hi¾u (un), (vn), (xn), (yn), ho¾c {un}, {vn}, {xn}, {yn}, Đ%nh nghĩa 1.2 Cho dãy un, n ∈ N • Dãy (un) đưoc GQi dãy đơn đi¾u tăng neu un ≤ un+1, ∀n ∈ N • Dãy (un) đưoc GQi dãy đơn đi¾u giam neu un ≥ un+1, ∀n ∈ N • Dãy (un) đưoc GQI dãy (đơn đi¾u) tăng ng¾t neu un < un+1, ∀n ∈ N ã Dóy (un) oc GQI l dóy (n iắu) giam ng¾t neu un > un+1, ∀n ∈ N Nh¾n xét 1.1 • Neu (xn) tăng, (yn) tăng (xn + yn) tăng • Neu (xn) giam, (yn) giam (xn + yn) giam • Neu (xn) tăng (−xn) giam neu (xn) giam (−xn) tăng • Neu hai dãy so dương (xn), (yn) tăng (giam) (xnyn) tng (giam) ã Mđt dóy cú the khụng tăng, khơng giam Ví du xn = (−1)n ∀n ∈ N Đ%nh nghĩa 1.3 Cho dãy so (xn), n N ã Dóy (xn) oc gQI l b% chắn neu ton tai hang so M cho xn ≤ M ∀n ∈ N (1.1) • Dãy (xn) đưoc gQI b% ch¾n dưói neu ton tai hang so m cho xn ≥ m ∀n ∈ N (1.2) Các so M thoa mãn (1.1) đưoc GQI c¾n cna dãy so, so bé nhat c¾n đưoc GQI c¾n cna (xn ), kí hi¾u supn xn Các so m thoa mãn (1.2) đưoc GQI c¾n dưói cna dãy so, so lón nhat c¾n dưói đưoc GQI c¾n dưói cna (xn ), kí hi¾u inf n xn Đ%nh lý 1.1 Dãy (un) b% ch¾n neu vùa b% ch¾n trên, vùa b% ch¾n dưái, nghĩa ton tai m®t so M m®t so m cho ∀n ∈ N, m ≤ un ≤ M 1.1.2 Mđt vi dóy so ắc biắt Cap so cđng %nh nghĩa Dãy d, ∀n đưoc=GQI ,n u 3, + vói cơng sai d 1.4 (d ƒ= 0) so neuuu =2 ,uun−1 2, 3,m®t cap so c®ng Tính chat 1.1 Dãy so {un} cap so cđng vúi cụng sai d thỡ ã u n = u1 uk−1 + + (n − 1)d = uk uk+1 vói MQI k = 2, 3, ã Neu cap so cđng huu han phan tu u1, u2, , un u1+un = uk+un−k vói MQI k = 2, 3, , n − n n • Sn = u1 + u2 + · · · + un = (u1 + un) = [2u1 + (n − 1)d] Cap so nhân 2 Đ%nh nghĩa Dãy u2,neu u 3u , n = uđưoc GQI∀n = m®t , 1) vói cơng b®i q1.5 (q ƒ= 0,soq u ƒ= 2,cap 3, so nhân n−1 · d, Tính chat 1.2 Dãy so {un} cap so nhân vói cụng bđi d thỡ ã un = u1 à qn1 vói MQI k = 2, 3, = uk−1 · uk+1 vói ∀k = 2, 3, k • u u1(qn − 1) q−1 • Sn = u + u + · · · + un = Nh¾n xét 1.2 Theo đ%nh ngha ta cú ã Neu {un} l mđt cap so c®ng a > dãy {vn} vói = aun n N lắp thnh mđt cap so nhõn ã Neu {un} l mđt cap so nhõn vúi so hang dương < a ƒ= dãy {vn} vói = loga un ∀n ∈ N lắp thnh mđt cap so cđng Nhắn xột 1.3 Neu |q| < {un } đưoc cap so nhân lùi vô han u1 Tőng cna cap so nhân lùi vơ han đưoc tính theo cơng thúc S = 1−q GQI Cap so đieu hòa Đ%nh nghĩa 1.6 Dãy so dương {un} thoa mãn đieu ki¾n un = 2un−1un+1 đưoc gQI , ∀n > un−1 + un+1 cap so đieu hòa Dãy Fibonaci Đ%nh nghĩa 1.7 Dãy u1, u2, đưoc xác đ%nh sau u1 = 1, u2 = un = un−1 + un−2, đưoc gQI dãy Fibonaci ∀n = 3, 4, Dãy Fibonaci có rat nhieu tớnh chat thỳ v% v xuat hiắn mđt cỏch tn nhiên nhieu lĩnh vnc khác Ngưòi ta tìm đưoc cơng thúc tőng qt cna dãy (cơng thúc Binet) √ Σ √ Σ 1+ n 1− n − un √ √ = 5 2 π π xn = sin tan · 2n · 22 , (2.17) yn = Đ¾t αn = π , ∀n ∈ N Tù công thúc trung hoi cna dãy so, ta có n · 16 =   x n+  n+  y n+1 =4 − xn + xn =2 x2 =2 αn = sin22 αn 2ntan −α sin2 αn xn ⇔ sin = − cos αn n+ − yn x2 = 2 sin = tan y αn n+1 x =2 = n+1 αn sinn+1 αn ⇔ yn+1 = tan αn Theo nguyên lý quy nap tốn HQc, ta có (2.17) vói MQI n so tn nhiên Tù ta có π π lim x = lim sin Σ = 0, lim y = lim tan Σ = n→∞ n n→∞ 4· 22 n n→ ∞ n→∞ · 2n Q Bài toán 2.44 Cho hai dãy so dương (xn), (yn) xác đ%nh boi x0 = 2yn  √  xn = 4+ n  n+ 4x21 + y2 xn y n+ = 2y n+1 vói đ¾t MQI zn n = 0, 1, 2, Vói moi so tn nhiên n, ynn x rang dãy (zn) có giói han huu han tìm giói han đó.= Chúng minh π √ Lài giai Ta nh¾n thay = = cos Vói n 4+y = 2y0 ⇔ = 0, x0 x0 = cot π Tù cơng thúc truy hoi cna dãy so, ta có y20 = ⇒ y0 = 2√  3 π x = √3 = cos x √4 + y1 = y1 = 3· ⇔ 2x ⇔ √ 1 2y1 π 2 4x1 + y1 = y1 = y1 = = cot 3· 2y1 12 Ta chúng minh bang quy nap rang vói MQI n so tn nhiên, công thúc xác đ%nh hai dãy so cho π π xn = cos , yn = · 2n(2.18) cot · 2n Đ¾t αn = π , ∀n ∈ N Tù cơng thúc truy hoi cna dãy so ta có n 3·2   xn+1 + = 2yn+1 y2 n+ 4 x ⇔ n+ cos + αy2 n+1 4+2 = α=24 4y n+1 22 n y n+  n+ (4 + yn+1) = ⇒ y sin2 αn n x yn+1 n+1 (1 − cos αn)yn+1 =  = sin − sin2 αn   x αn   n+ x = y sinsi n+1 2n+1 ⇔ ⇒ n+ = cos   x = sin2 n+1 αn y2 n+1 x  αn αn  yn+1 = cot π π V¾y xn = cos , y = cot Theo nguyên lý quy nap toán n n HQc, 3·2 3·2 ta π nên zn có (2.18) vói MQI n so tn nhiên V¾y = sin = 3· 2n xn y lim zn = n→ ∞ n   n = yn z n n), (yn), (zn) xác đ%nh boi x0 Bài soxdương (x =toán 3, y02.45 = 1Cho ba dãy  √ Q xn = xn+1yn+1   n+ + yn = x vói MQI n = 0, 1, 2, Chúng minh rang ba dãy so h®i tu tìm giói han cna chúng √ Lài giai Ta nh¾n thay x = = sin π , y = = cos π 3 x0 √ z = = tanπ Tù cơng thúc xác đ%nh dãy so, ta lai có = π y0x  x1 = = sin √ ⇔ x = 1y1 ⇔  √ 2π· x1y1 = 2 = cos 3· y1 x1 = − x1 = − y0 = x π z1 = = √ = tan y 3·2 Ta chúng minh bang quy nap rang vói MQI n so tn nhiên, cơng thúc xác đ %nh ba dãy so cho π π π xn = sin , yn = cos , zn = tan (2.19) n n n · · · π Đ¾t αn = , ∀n ∈ N Vói n = 0, (2.19) Gia su (2.19) · 2n đen n ≥ 1, ta phai chúng minh (2.19) vói n + Theo cơng thúc truy hoi gia thiet quy nap, ta có ⇔  αn  x x y = sin = sin n+1 n+1 = sin αn  n+ n+  x αn sin α αn ⇔ n αn  sin yn+1 = αn xn+1 = − cos αn yn+1 = cos xn+ zn+1 = yn+ = tan Theo nguyên lý quy nap toán nhiên Tù ta có lim n→ ∞ xn = lim n→ ∞ HQ c, ta có (2.19) vói MQI π π yn = lim = 0, n n→ cos · sin · lim ∞ n→ 2 π ∞ lim zn = · n = n→ lim tan ∞ n→ ∞ n n so tn = 2, Q Bài toán 2.46 (Olympic 30/4 - 2008) Cho hai dãy so dương (xn) (yn) đưoc xác đ%nh boi √ xn yn vói ∀n ≥ x1 = y1 , xn+1 4y yn+1 − 2 4x = = = −1 Tính lim n→ ∞ xn lim n→ ∞ yn n+ n+1 Lài giai Ta chúng minh x2 + y2 = vói n ≥ Vói n = 1: VT + = = VP 2 = Gia su thúc vói n = k Túc x2 + y2 = Ta chúng minh thúc vói n = k + Th¾t v¾y, ta ncó n x2 + y = k k Σ Σ2 ⇔ x − 1) + k+ k+ 1 k+ (1 − Σ y 4x2 (4 k+ Σ2 ) =1 2 2 ⇔ (xk+12 + yk+1 − 1)(16xk+1yk+1 + 1) = ⇔ xk+1 + yk+1 = (đpcm) π Đ¾t < x n = sin αn ⇒ yn = cos αn vói < αn sin αn ⇒ sin αn+1 = cos2 α n+ − 1 = − sin2 αn ⇔ sin αn+1 cos2 α n+1 ⇒ sin 3αn+1 = sin αn αn Suy = n+ α Bang quy nap ta se chúng minh đưoc π xn = sin Suy lim xn n→∞ yn = cos vói n ≥ · 3n−1 4π· 3n−1 π Σ π = lim si = lim n→ n n→ ∞ ∞ si · · · =0 n 4 · 3n−1 3n−1 π 3n−1 π lim yn = lim V¾y lim π n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ xn = lim cos · 3n−1 yn = 4·3n−1 = n→∞ Bài tốn 2.47 (Sáng kien kinh nghi¾m - Nguyen Đình Đúc - THPT Chun Lê Q Đơn - Bình Đ%nh 2009) Cho dãy (un) xác đ%nh boi  u1 = e√3 √u2 = √e √ 3 (∀n ≥ 2) = un un+1 un− Q a) Chúng minh rang vói MQI n ∈ Z+ ta có ≤ e ≤ u n ·· · √ b) L¾p dãy so (vn) biet = Lài giai n e u1u2 un Tìm n→∞ lim a) Gia Ta chúng nvói≤MQI n∈ su un minh >0u vói MQI k, ta cóZ+ Th¾t v¾y, u1 > 0, u2 > n > uk+1 = > √ uk uk− V¾y un > vói √ Ta lai có u1 ta có MQI =e u n+1 = u cos =e e = un− V¾y un = π , e2 cos =e u √ n n ∈ Z+ nπ ec Gia su = ecos u √ cos 2π n = e2 cos π nπ cos nπ −cos (n−1)π ∀n ≤ k, = ecos (n+1)π 6 (n − 1)π 6 6 os + = ecos ∀n ∈ Z nπ Ta lai có −1 ≤ cos 6nπ ≤ hàm y = ex hàm đong bien R, nên e e b) Ta có v = u u √n ≤ .u co s nπ =e ≤ e cos π +cos 2π +···+cos nπ π Σ sin (2n + 1)nπ − sin n n 6 = eπ2n sin = en sin 12 π (n + 1)π co s M¾t khác, ta có cos −1 n sin π lim n→∞ n→ ∞ π = e0 = 1 −1 n sin 1π sin nπ 12 n sin V¾y lim (n+1)π = lim n→∞ nπ si n 12 12 12 ≤ Mà 12 ≤ n sin1 π = n sin 1π Q Ket lu¾n Lu¾n văn ”Phương pháp lưong giác xác đ%nh dãy so tính giói han” thu oc mđt so ket qua sau: Luắn ó trỡnh by hắ thong mđt so %nh lý c ban ve dóy so, mđt so hắ thỳc long giỏc ban Trình bày ve phương pháp lưong giác hóa dãy so như: phương pháp lưong giác đ%nh dãy so sai phân b¾c nhat b¾c hai phi tuyen Trình bày m®t so dang tốn su dung đưoc phép the lưong giác ho¾c su dung hàm hypebolic đe xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy so tìm giói han cna chúng Ngồi ra, lu¾n văn cịn dùng phương pháp lưong giác đe giai m®t so tốn ve tính tốn dãy so ho¾c tính giói han cna mđt dóy so truy hoi Mắc dự ó rat co gang, thịi gian có han lnc cá nhân cịn han che, v¾y lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý kien cna q thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hoàn chinh Tác gia xin chân thành cam ơn Tài li¾u tham khao [1] Tran Nam Dũng (chn biên), Võ Quoc Bá Can, Nguyen Văn Huy¾n, Lê Phúc Lu, Nguyen Tat Thu (2016), Các phương pháp giai toán qua kì thi Olympic, NXB Giáo duc [2] Dư Quoc Đat (2012), THPT Nguyen Huu Cau, Tài li¾u cna giáo viên “dien đàn tốn HQc.net” Tp Ho Chính Minh [3] Phan Huy Khai (1997), Tuyen t¾p tốn lưang giác, NXB Giáo duc [4] Nguyen Văn M¾u, Pham Th% Bach NGQc (2002), M®t so tốn CHQN LQc ve lưang giác, NXB Giáo duc [5] Nguyen Văn M¾u(chn biên), Tran Nam Dũng, Nguyen Minh Tuan (2007), Chuyên đe CHQN LQc ve Dãy so áp dnng, NXB Giáo duc [6] Tran Th% Thanh Thny (2013), M®t so dang toán ve xác đ%nh dãy so giái han cua dãy so, Lu¾n văn thac sĩ Tốn HQc ĐHKHTN, ĐHQGHN [7] Ban tő chúc kì thi Olympic 30/4 (2012), Tuyen t¾p đe thi Olympic 30 tháng 4(2007-2011) tốn 11, NXB Đai HQc sư pham [8] Conhiagin X.C, Tononian G.A, Sarygin I.F (1996), Đe thi vơ đ%ch tốn 19 nưác, NXB Giáo duc ... M®t lưu ý ve pháp lưong giácgiác hóaxác dãy? ?%nh so 12 1.3.1soNh¾n xétphương ve phương pháp lưong dãy so xn+1 = f (xn) 13 1.3.2 Nh¾n xét ve phương pháp lưong giác xác đ%nh dãy so xn+2 =... Chương Phương pháp lưang giác xác đ%nh dãy so tính giái han 15 2.1 Phương pháp lưong giác xác đ%nh dãy so 15 2.1.1 Su dung phép the lưong giác xác đ%nh công thúc tőng quát cna dãy so... tưong ve phương pháp lưong giác hóa dãy so Chương khao sát phương pháp lưong giác xác đ%nh dãy so tính giói han Trong chương này, trình bày m®t so tốn có the su dung đưoc phương pháp lưong giác,