Phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính giới hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHUNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC XÁC ĐỊNH DÃY SỐ VÀ TÍNH GIỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ NHUNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC XÁC ĐỊNH DÃY SỐ VÀ TÍNH GIỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - 2017 i Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương Dãy số số hệ thức lượng giác liên quan 1.1 Một số định lý dãy số 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt 1.2 Các hệ thức lượng giác 1.2.1 Các hệ thức lương giác 1.2.2 Các hệ thức lượng giác hypebolic 1.3 Một số lưu ý phương pháp lượng giác hóa dãy số 1.3.1 Nhận xét phương pháp lượng giác xác định dãy số xn+1 = f (xn ) 1.3.2 Nhận xét phương pháp lượng giác xác định dãy số xn+2 = f (xn+1 , xn ) 2 7 12 13 13 Chương Phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn 2.1 Phương pháp lượng giác xác định dãy số 2.1.1 Sử dụng phép lượng giác xác định công thức tổng quát dãy số 2.1.2 Dùng phương pháp lượng giác để giải số toán tính tốn dãy số 2.1.3 Tìm cơng thức tổng qt dãy số hàm hypebolic 2.2 Phương pháp lượng giác tính giới hạn dãy số 2.2.1 Tính giới hạn dãy số cơng thức tổng qt dãy số 15 15 15 27 32 41 41 ii 2.2.2 Tính giới hạn dãy số truy hồi 46 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 61 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH NGND Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc học trò suốt trình học tập, nghiên cứu giúp đỡ tác giả hoành thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học Thầy hội semina Toán học Hà Nội trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội nhận xét góp ý cho luận văn Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, lãnh đạo trường trung học phổ thơng Lý Tử Tấn - Thường Tín - Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện để tác giả hồn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng nghiệm túc học tập nghiên cứu khoa học, song trình thực khơng tránh khỏi sơ suất Vì vậy, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2017 Học viên Nguyễn Thị Nhung Lời nói đầu Dãy số chuyên đề quan trọng chương trình chun tốn trường trung học phổ thơng chun Các tốn liên quan đến dãy số thường tốn khó, thường gặp kì thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp quốc gia, khu vực, quốc tế, Olympic 30/4 Olympic sinh viên Các dạng toán dãy số phong phú đa dạng phức hợp nên khó phân loại hệ thống hóa thành chuyên đề riêng biệt Mục tiêu luận văn nhằm đề cập đến số vấn đề dãy số liên quan đến chương trình tốn bậc trung học phổ thông Nội dung luận văn ”Phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn” hệ thống dạng toán dùng hàm lượng giác, hàm lượng giác hypebolic để xác định số hạng tổng quát dãy số, tìm giới hạn vài dãy số, số toán kỳ thi học sinh giỏi Nội dung luận văn gồm hai chương Chương trình bày dãy số số hệ thức lượng giác liên quan Trong chương này, trình bày khái niệm dãy số, số định nghĩa, định lý vài dãy số đặc biệt Tiếp theo, trình bày hệ thức lượng giác lượng giác hypebolic số ý tưởng phương pháp lượng giác hóa dãy số Chương khảo sát phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn Trong chương này, trình bày số tốn sử dụng phương pháp lượng giác, lượng giác hypebolic để xác định số hạng tổng quát dãy số tìm giới hạn tương ứng Tiếp theo, trình bày phương pháp lượng giác số toán tính tốn dãy số, tính giới hạn số dãy số truy hồi Chương Dãy số số hệ thức lượng giác liên quan 1.1 1.1.1 Một số định lý dãy số Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1 Dãy số hàm số từ N∗ (hoặc từ N, tập N) vào tập hợp số R (N, Q, C) Các số hạng dãy số thường kí hiệu un , , xn , yn , thay u(n), v(n), Bản thân dãy số kí hiệu (un ), (vn ), (xn ), (yn ), {un }, {vn }, {xn }, {yn }, Định nghĩa 1.2 Cho dãy un , n ∈ N • Dãy (un ) gọi dãy đơn điệu tăng un ≤ un+1 , ∀n ∈ N • Dãy (un ) gọi dãy đơn điệu giảm un ≥ un+1 , ∀n ∈ N • Dãy (un ) gọi dãy (đơn điệu) tăng ngặt un < un+1 , ∀n ∈ N • Dãy (un ) gọi dãy (đơn điệu) giảm ngặt un > un+1 , ∀n ∈ N Nhận xét 1.1 • Nếu (xn ) tăng, (yn ) tăng (xn + yn ) tăng • Nếu (xn ) giảm, (yn ) giảm (xn + yn ) giảm • Nếu (xn ) tăng (−xn ) giảm (xn ) giảm (−xn ) tăng • Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) tăng (giảm) (xn yn ) tăng (giảm) • Một dãy khơng tăng, khơng giảm Ví dụ xn = (−1)n ∀n ∈ N Định nghĩa 1.3 Cho dãy số (xn ), n ∈ N • Dãy (xn ) gọi bị chặn tồn số M cho xn ≤ M ∀n ∈ N (1.1) • Dãy (xn ) gọi bị chặn tồn số m cho xn ≥ m ∀n ∈ N (1.2) Các số M thỏa mãn (1.1) gọi cận dãy số, số bé cận gọi cận (xn ), kí hiệu supn xn Các số m thỏa mãn (1.2) gọi cận dãy số, số lớn cận gọi cận (xn ), kí hiệu inf n xn Định lý 1.1 Dãy (un ) bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn số M số m cho ∀n ∈ N, m ≤ un ≤ M 1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt Cấp số cộng Định nghĩa 1.4 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số cộng với công sai d (d = 0) un = un−1 + d, ∀n = 2, 3, Tính chất 1.1 Dãy số {un } cấp số cộng với cơng sai d uk−1 + uk+1 • un = u1 + (n − 1)d uk = với k = 2, 3, • Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u1 , u2 , , un u1 +un = uk +un−k với k = 2, 3, , n − n n • Sn = u1 + u2 + · · · + un = (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d] 2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.5 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số nhân với công bội q (q = 0, q = 1) un = un−1 · d, ∀n = 2, 3, Tính chất 1.2 Dãy số {un } cấp số nhân với cơng bội d • un = u1 · q n−1 với k = 2, 3, • u2k = uk−1 · uk+1 với ∀k = 2, 3, u1 (q n − 1) • Sn = u1 + u2 + · · · + un = q−1 Nhận xét 1.2 Theo định nghĩa ta có • Nếu {un } cấp số cộng a > dãy {vn } với = aun ∀n ∈ N lập thành cấp số nhân • Nếu {un } cấp số nhân với số hạng dương < a = dãy {vn } với = loga un ∀n ∈ N lập thành cấp số cộng Nhận xét 1.3 Nếu |q| < {un } gọi cấp số nhân lùi vô hạn u1 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn tính theo cơng thức S = 1−q Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.6 Dãy số dương {un } thỏa mãn điều kiện un = 2un−1 un+1 , un−1 + un+1 ∀n > gọi cấp số điều hòa Dãy Fibonaci Định nghĩa 1.7 Dãy u1 , u2 , xác định sau u1 = 1, u2 = un = un−1 + un−2 , ∀n = 3, 4, gọi dãy Fibonaci Dãy Fibonaci có nhiều tính chất thú vị xuất cách tự nhiên nhiều lĩnh vực khác Người ta tìm cơng thức tổng qt dãy (cơng thức Binet) √ n √ n 1+ 1− un = √ −√ 2 5 Dãy số dạng xn+1 = f (xn ) Đây dãy số thường gặp toán giới hạn dãy số Dãy số hoàn toàn xác định biết giá trị ban đầu x0 Do hội tụ dãy số phụ thuộc vào tính chất hàm số f (x) x0 Một đặc điểm quan trọng dãy số a giới hạn dãy số a phải nghiệm phương trình x = f (x) Chúng ta có số kết sau Định lý 1.2 Cho dãy số (xn ) : x0 = a xn+1 = f (xn ) Khi đó, hàm số y = f (x) đồng biến, dãy cho đơn điệu Khi đó, để biết dãy tăng hay giảm cần xét dấu biểu thức f (x) − x Định lý 1.3 Cho dãy số (xn ) : x0 = a, xn+1 = f (xn ) Khi đó, hàm số y = f (x) nghịch biến hai dãy (x2k ) (x2k+1 ) đơn điệu ngược chiều Trong trường hợp hai dãy (x2n ) (x2n+1 ) hai dãy kề Nhận xét 1.4 Để biết dãy tăng, dãy giảm ta xét dấu f (f (x)) − x Định nghĩa 1.8 Hàm số f : (a, b) → (a, b) gọi hàm số co (a, b) tồn số thực q, < q < cho |f (x) − f (y)| ≤ q|x − y| với x, y thuộc (a, b) Định lý 1.4 Nếu f (x) hàm số co khoảng (a, b) dãy số {xn } xác định x0 = a ∈ (a, b), xn+1 = f (xn ) hội tụ Giới hạn dãy số nghiệm (a, b) phương trình x = f (x) Định nghĩa 1.9 Dãy {un } gọi hội tụ a, ký hiệu limn→∞ un = a, với ε > cho trước tùy ý, tìm số n0 cho với n ≥ n0 có |un − a| < ε, tức lim un = a ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , |un − a| < ε n→∞ Định lý 1.5 (Tính giới hạn) Giới hạn dãy hội tụ 48 a2 = a1 + b1 α α = b cos cos2 , b2 = 2 a2 b1 = b cos α α cos 2 Bằng quy nạp ta dễ dàng có b sin α cos 2αn α α α α an = b cos cos · · · cos n−1 · cos n = n 2 2 · sin 2αn α α α α b sin α bn = b cos cos · · · cos n−1 · cos n = n 2 2 · sin 2αn b sin α b sin α b sin α = lim α = n→∞ α sin 2n n→∞ 2n · sin αn α α ⇒ lim bn = lim n→∞ 2n Ta có an = bn · cos α 2n ⇒ lim an = n→∞ α b sin α b sin α · lim cos n = n→∞ α α Bài toán 2.37 Cho dãy {un } xác định u1 = 2, u2 = un = 4un−1 − un−2 n arccot(u2i ) Tìm lim Sn Sn = n→∞ i=1 Lời giải Ta chứng minh u2n − un+1 un−1 = ∀n ≥ Thật vậy, un (4un−1 ) = un−1 (4un ) kéo theo un (un + un−2 ) = un−1 (un+1 + un−1 ) u2n − un+1 un−1 = u2n−1 − un un−2 = · · · = u22 − u3 u1 = Ta có arccot u2n = arccot un 4un = arccot un (un+1 + un−1 ) u2n − un+1 un−1 49 un+1 un un · un−1 + un+1 un un−1 − un = arccot Suy = arccot n un+1 un − arccot un un−1 n arccot(u2i ) = arccot(u21 ) i=1 arccot(u2i ) + i=2 un−1 un−1 có giới hạn < un−1 < un ⇒ < Ta chứng minh un un un−1 Mặt khác dãy giảm, suy un un−1 ≤ lim n→∞ un Mà un = 4un−1 − un−2 , nên un−1 un−2 un−1 un−2 un−1 1=4 − ⇒1=4 − un un un un−1 un un−1 Nếu đặt x = lim , n→∞ un √ √ un+1 = + = 4x − x2 ⇒ x = − ⇒ lim n→∞ un √ π Vậy lim Sn = arccot(2 + 3) = n→∞ 12 Bài toán 2.38 (HSG Quốc gia lần XXV, 1987) Cho cấp số cộng gồm π π 1987 số hạng với số hạng đầu u1 = cơng sai Tính giá trị 1987 3974 S= cos(±u1 ± u2 · · · ± u1987 ) tổng chứa tất số hạng ứng với tất cách khác để lấy dấu cộng hay trừ trước số u1 , u2 , , u1987 Lời giải Ta chứng minh từ toán tổng quát Bài toán thực chất n ∀{uj }n1 n cos(±u1 ± u2 · · · ± u1987 ) = cos uj j=1 Ta chứng minh quy nạp Với n = cos u1 + cos(−u1 ) = cos u1 50 Với n = 2, ta có cos(u1 + u2 ) + cos(u1 − u2 ) + cos(u2 − u1 ) + cos(−u1 − u2 ) = cos u1 cos u2 + cos(−u1 ) cos u2 = cos u1 cos u2 Giả sử tốn với n, đó:  n+1 2n+1  n cos uj = 2n j=1 cos uj  cos un+1 j=1 cos(±u1 ± u2 · · · ± u1987 ) cos un+1 =2 cos(±u1 ± u2 · · · ± u1987 ) = Trở lại tốn ta có: 1987 1987 S=2 cos uj j=1 Do {uj } cấp số cộng nên u1987 = u1 + 1985d = 1985π π π + = 1987 · 1987 Bài toán 2.39 (HSGQG, 1984) Cho dãy số u1 , u2 , sau: u1 = 1, u2 = 2, , un+1 = 3un − un−1 Dãy số v1 , v2 , cho theo quy luật = arccot ui Hãy tìm lim n→∞ Lời giải Trước hết nhận xét dãy u1 , u2 , số hạng lẻ dãy Fibonaci: 1, 1, 2, 3, 5, Gọi dãy t1 , t2 , t3 , t4 , Ta có t1 = t2 = tn+2 = tn+1 + tn (n ≥ 1) Ta chứng minh arccot t2 − arccot t3 − arccot t5 − · · · − arccot t2n+1 = arccot t2n+1 (2.11) Thật vậy, theo cơng thức cộng cung ta có: arccot t2n − arccot t2n+1 = arccot t2n t2n+1 + t2n t2n+1 = arccot t2n+1 − t2n t2n−1 51 Chú ý tm+1 tm+2 − tm tm+3 = (−1)m Nếu đặt m = 2n − t2n t2n+1 − t2n+2 t2n−1 = −1 Từ t2n t2n+1 + = t2n+2 t2n−1 Suy arccot t2n − arccot t2n+1 = arccot t2n+2 (2.12) Trong (2.12) thay n = 1, 2, 3, cộng lại thu (2.11) Từ (2.11) suy n arccot ui − arccot ui = arccot t2n+2 i=2 Do lim t2n+2 = +∞ nên lim arccot t2n+2 = Từ suy n→∞ n→∞ n lim n→∞ arccot ui = arccot ui = i=2 π Vậy n lim = lim n→∞ n→∞ arccot ui = i=2 π π π + = 4 Bài toán 2.40 (HSGQG, 2013) Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định √ x1 = 1, y1 = xn+1 yn+1 − xn = x2n+1 + yn = với n = 1, 2, Chứng minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng Phân tích: Đây tốn cho hai dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi phức tạp Ta tiếp cận tính vài giá trị đặc biệt ban đầu hai dãy số 52 √ − x2 y2 − x1 = ⇒ y2 = Ta có x22 + y1 = ⇒ x2 = √ √ √ = + Tương tự, ta có x3 = − + 3, y3 = 2− √ + + Từ ta nhận thấy x2n + yn2 = (2.13) n = 1, 2, Ta có cách giải sau Lời giải Ta viết (2.13) dạng xn 2 + yn 2 = 1, cho phép ta nghĩ đến công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = ∀x ∈ R √ π π Ta nhận thấy x1 = = sin , y1 = = cos Ta chứng minh 6 quy nạp với n nguyên dương, công thức xác định hai dãy số cho π π xn = sin , y = cos (2.14) n · 2n · 2n Thật vậy, với n = mệnh đề 2.14 Giả sử mệnh đề 2.14 đến n ≥ Áp dụng cơng thức truy hồi, ta có xn+1 = − yn = − cos π = · 2n sin2 π · 2n+1 sin 3·2π n xn π = cos = = xn+1 sin 3·2πn+1 · 2n+1 π · 2n+1 = sin yn+1 Theo nguyên lý quy nạp tốn học, ta có (2.14) với n ngun dương Từ ta có π π = 0, lim y = lim cos = lim xn = lim sin n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ · 2n · 2n Nhận xét 2.1 Hai dãy số toán xây dựng từ hai hàm lượng giác sin cosin sử dụng công thức lượng giác: sin x = sin x x cos , 2 cos2 x = (1 + cos x) 2 53 Hoàn toàn tương tự, ta xây dựng dãy số xác định hàm số lượng giác, nhờ sử dụng cơng thức lượng giác Bài √ tốn 2.41 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x0 = , y0 = xn yn+1 = x2n+1 xn + 2yn x2n+1 = yn n với n = 0, 1, 2, Với số tự nhiên n, đặt z = i=0 xi Chứng minh y1 dãy (zn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn √ π π = sin , y = = tan Từ Lời giải Ta nhận thấy x0 = · 20 · 20 công thức xác định dãy số, ta lại có √ − π x0 + 2y0 x21 = y0 ⇒ x1 = = sin 4·2 2x21 √ π = − = tan x0 4·2 Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác định hai dãy số cho π π xn = sin , y = tan (2.15) n · 2n · 2n π Đặt αn = , ∀n ∈ N Từ công thức truy hồi dãy số, ta có · 2n xn sin αn − cos αn αn x2n+1 = − = − = = sin2 2yn 2 tan αn n αn ⇒ xn+1 = sin n sin2 α2n sin α2n 2x2n+1 αn yn+1 = = = αn = tan xn sin αn cos 2 y1 = Theo nguyên lý quy nạp tốn học, ta có (2.15) với n số tự nhiên Vậy √ x0 π z0 = = = cos , y0 54 zn = π π π x0 x1 · · · xn = cos cos · · · cos y0 y · · · yn 4·2 4·2 · 2n Áp dụng công thức lượng giác, ta có π π π π π zn sin = sin cos cos · · · cos · 2n · 2n · 2n · 2n−1 · 20 π π π = sin cos · · · cos = ··· · 2n−1 · 2n−1 · 20 π = n+1 sin n+1 22 Suy zn = lim zn = n→∞ 2n+1 sin 4·2π n π 4·2n lim n→∞ sin π n 4·2 · π π = 2 Bài toán 2.42 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x0 =   xn yn = − x2n − yn+1  xn = 2 + yn+1 √ với n = 0, 1, 2, Chứng minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng √ √ π = cos Với n = 0, Lời giải Ta nhận thấy x0 = = 2 · 20 π x0 y0 = − x20 ⇔ y0 = = tan Từ công thức truy hồi dãy · 20 số, ta có    x1 y1 = − x21 x2 = 16 4+ y12 ⇔ − y12 √   x0 = y1 = 4( − 1)2 + y12  √  2+ π  x1 = = cos ⇔ 4·2 √  y1 = 2( − 1) = tan π 4·2 55 Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác định hai dãy số cho xn = cos π π , yn = tan n 4·2 · 2n (2.16) π , ∀n ∈ N Từ cơng thức truy hồi dãy số, ta có · 2n   16 16 αn     x2n+1 = αn = cos x2n+1 =  2 + tan + yn+1 ⇔ sin2 α2n − xn − cos αn   2   = αn = tan2 α2n yn+1 = yn+1 = + xn + cos αn cos Đặt αn = ⇔ xn+1 = cos α2n yn+1 = tan α2n Theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có (2.16) với số tự nhiên Từ có lim xn = lim cos n→∞ n→∞ π π = 2, lim y = lim tan = n n→∞ n→∞ · 2n · 2n Bài √ toán 2.43 Cho hay dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x0 = 2, y0 = 2x2n+1 = xn yn+1 x2n+1 yn + 2(xn − yn ) = với n = 0, 1, 2, Chứng minh hai dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng √ √ π Lời giải Ta nhận thấy x0 = = = sin y0 = = · π tan Từ công thức truy hồi dãy số với n = 0, x21 y0 +2(x0 −y0 ) ⇔ 4·2 √ √ 2x0 π 2x21 x1 = − = − ⇒ x1 = sin y1 = = 2( − 1) = y0 4·2 x0 π tan Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, 4·2 công thức xác định hai dãy số cho xn = sin π , · 22 yn = tan π · 2n (2.17) 56 π , ∀n ∈ N Từ công thức trung hồi dãy số, ta có Đặt αn = · 2n  16   x2n+1 = + yn+1 − xn   =4 yn+1 + xn  xn sin αn αn   =2− = − cos αn = sin2 x2n+1 = − yn tan αn ⇔ αn sin x   yn+1 = n+1 = = tan α2n xn sin αn ⇔ xn+1 = sin α2n yn+1 = tan α2n Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có (2.17) với n số tự nhiên Từ ta có π π lim xn = lim sin = 0, lim y = lim = tan n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ · 22 · 2n Bài toán 2.44 Cho hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác định x0 =   xn = 2yn + yn2  4x2 + x y = 2y n n+1 n+1 n+1 với n = 0, 1, 2, Với số tự nhiên n, đặt zn = xn Chứng minh yn dãy (zn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn π Lời giải Ta nhận thấy x0 = = cos Với n = 0, x0 + y02 = 2y0 ⇔ π y0 = ⇒ y0 = √ = cot Từ công thức truy hồi dãy số, ta có 3  √ π x1 = = cos x1 + y1 = 2y1 y1 = 2x1 ·π2 ⇔ ⇔ √ 2 2  4x1 + y1 = 2y1 y1 = 12 y1 = = cot 3·2 Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác định hai dãy số cho π π xn = cos , y = cot (2.18) n · 2n · 2n 57 π , ∀n ∈ N Từ cơng thức truy hồi dãy số ta có Đặt αn = · 2n  x n+1 + yn+1 = 2yn+1 4x2 + cos αy = 2y n+1 n+1 n+1  2 x2n+1 + yn+1 = 4yn+1 ⇔ αn 2 x2n+1 = (1 − cos αn )yn+1 = sin2 yn+1 2   α − sin2 α2n  sin2 n (4 + yn+1  )=4 yn+1 = αn sin ⇔ ⇒ α n x2n+1 = sin2 yn+1  x2 = sin2 αn y 2 n+1 n+1  α xn+1 = cos n ⇒ yn+1 = cot αn π π Vậy xn = cos , y = cot Theo nguyên lý quy nạp toán học, n 3·2 · 2n π xn = sin nên ta có (2.18) với n số tự nhiên Vậy zn = yn · 2n lim zn = n→∞ Bài √ toán 2.45 Cho ba dãy số dương (xn ), (yn ), (zn ) xác định x0 = 3, y0 =    xn = yn zn xn = xn+1 yn+1   x2 + y = n n+1 với n = 0, 1, 2, Chứng minh ba dãy số hội tụ tìm giới hạn chúng √ π π Lời giải Ta nhận thấy x0 = = sin , y0 = = cos 3 x0 √ π z0 = = = tan Từ cơng thức xác định dãy số, ta lại có y0  π √ x1 = = sin x0 = x1 y1 x1 y1 = 3·2 ⇔ ⇔ √ y1 = = cos π x21 = − y0 x21 = − 3·2 z1 = π x1 = √ = tan y1 3·2 58 Ta chứng minh quy nạp với n số tự nhiên, công thức xác định ba dãy số cho π π π , y = cos , z = tan (2.19) xn = sin n n · 2n · 2n · 2n π Đặt αn = , ∀n ∈ N Với n = 0, (2.19) Giả sử (2.19) · 2n đến n ≥ 1, ta phải chứng minh (2.19) với n + Theo công thức truy hồi giả thiết quy nạp, ta có   αn α  xn+1 = sin xn+1 = sin n  xn+1 yn+1 = sin αn ⇔ ⇔ sin αn α2n   y = xn+1 = − cos αn yn+1 = cos  n+1 sin α2n zn+1 = xn+1 αn = tan yn+1 Theo nguyên lý quy nạp tốn học, ta có (2.19) với n số tự nhiên Từ ta có π π = 0, lim y = lim cos = 2, lim xn = lim sin n n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ · 2n · 2n π lim zn = lim tan = n→∞ n→∞ · 2n Bài toán 2.46 (Olympic 30/4 - 2008) Cho hai dãy số dương (xn ) (yn ) xác định √ xn yn x = y1 = , xn+1 = yn+1 = với ∀n ≥ 4yn+1 − 1 − 4x2n+1 Tính lim xn lim yn n→∞ n→∞ Lời giải Ta chứng minh x2 + y = với n ≥ 1 Với n = 1: VT = + = = VP 2 Giả sử đẳng thức với n = k Tức x2n + yn2 = Ta chứng minh đẳng thức với n = k + Thật vậy, ta có x2k + yk2 = ⇔ xk+1 (4yk+1 − 1) + yk+1 (1 − 4x2k+1 ) =1 59 2 ⇔ (x2k+1 + yk+1 − 1)(16x2k+1 yk+1 + 1) = 2 ⇔ xk+1 + yk+1 = (đpcm) Đặt xn = sin αn ⇒ yn = cos αn với < αn < π sin αn − sin2 αn ⇔ sin α = n+1 cos2 αn+1 − cos2 αn+1 = sin αn ⇒ sin αn+1 = ⇒ sin 3αn+1 αn Bằng quy nạp ta chứng minh π π xn = sin y = cos với n ≥ n · 3n−1 · 3n−1 Suy αn+1 = Suy sin 4·3πn−1 π π lim xn = lim sin = lim · π n→∞ n→∞ · 3n−1 n→∞ · 3n−1 4·3n−1 π = lim yn = lim cos n→∞ n→∞ · 3n−1 =0 Vậy lim xn = lim yn = n→∞ n→∞ Bài tốn 2.47 (Sáng kiến kinh nghiệm - Nguyễn Đình Đức - THPT Chun Lê Q Đơn - Bình Định 2009) Cho dãy (un ) xác định  √  u = e   √ u2 = e  √  u u = u (∀n ≥ 2) n+1 n−1 n a) Chứng minh với n ∈ Z+ ta có ≤ un ≤ e e √ b) Lập dãy số (vn ) biết = n u1 u2 · · · un Tìm lim n→∞ Lời giải a) Ta chứng minh un > với n ∈ Z+ Thật vậy, u1 > 0, u2 > Giả sử un > với n ≤ k , ta có √ uk+1 uk = > uk−1 60 Vậy un > với n ∈ Z+ √ π 2π nπ Ta lại có u1 = e = ecos , u2 = e = ecos Giả sử un = ecos ∀n ≤ k , ta có √ un+1 √ nπ (n−1)π un e cos cos (n+1)π cos π6 cos nπ −cos 6 = = = e = e (n−1)π cos un−1 e nπ Vậy un = ecos ∀n ∈ Z+ x Ta lại có −1 ≤ cos nπ ≤ hàm y = e hàm đồng biến R, nên nπ ≤ ecos ≤ e e b) Ta có √ n π 2π nπ u1 u2 un = e n cos +cos +···+cos π (2n + 1)π sin − sin π 12 12 = e 2n sin 12 = nπ (n + 1)π sin cos π 12 12 = e n sin 12 Mặt khác, ta có nπ cos (n+1)π −1 12 sin 12 ≤ ≤ π π π n sin 12 n sin 12 n sin 12 Mà −1 = lim = n→∞ n sin π n→∞ n sin π 12 12 lim Vậy lim = e0 = n→∞ 61 Kết luận Luận văn ”Phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn” thu số kết sau: Luận văn trình bày hệ thống số định lý dãy số, số hệ thức lượng giác Trình bày phương pháp lượng giác hóa dãy số như: phương pháp lượng giác định dãy số sai phân bậc bậc hai phi tuyến Trình bày số dạng tốn sử dụng phép lượng giác sử dụng hàm hypebolic để xác định công thức tổng quát dãy số tìm giới hạn chúng Ngồi ra, luận văn dùng phương pháp lượng giác để giải số tốn tính tốn dãy số tính giới hạn dãy số truy hồi Mặc dù cố gắng, thời gian có hạn lực cá nhân cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý kiến quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn 62 Tài liệu tham khảo [1] Trần Nam Dũng (chủ biên), Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Văn Huyện, Lê Phúc Lữ, Nguyễn Tất Thu (2016), Các phương pháp giải tốn qua kì thi Olympic, NXB Giáo dục [2] Dư Quốc Đạt (2012), THPT Nguyễn Hữu Cầu, Tài liệu giáo viên “diễn đàn toán học.net” Tp Hồ Chính Minh [3] Phan Huy Khải (1997), Tuyển tập toán lượng giác, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc (2002), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu(chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2007), Chuyên đề chọn lọc Dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [6] Trần Thị Thanh Thủy (2013), Một số dạng toán xác định dãy số giới hạn dãy số, Luận văn thạc sĩ Tốn học ĐHKHTN, ĐHQGHN [7] Ban tổ chức kì thi Olympic 30/4 (2012), Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4(2007-2011) toán 11, NXB Đại học sư phạm [8] Conhiagin X.C, Tononian G.A, Sarygin I.F (1996), Đề thi vô địch toán 19 nước, NXB Giáo dục ... 2.2 Phương pháp lượng giác tính giới hạn dãy số Phương pháp lượng giác dùng vào việc giải tốn tìm giới hạn dãy số, dãy số có mối liên hệ với hàm số lượng giác sau: 2.2.1 Tính giới hạn dãy số cơng... văn ? ?Phương pháp lượng giác xác định dãy số tính giới hạn? ?? hệ thống dạng toán dùng hàm lượng giác, hàm lượng giác hypebolic để xác định số hạng tổng quát dãy số, tìm giới hạn vài dãy số, số toán... để xác định số hạng tổng quát dãy số tìm giới hạn tương ứng Tiếp theo, trình bày phương pháp lượng giác số tốn tính tốn dãy số, tính giới hạn số dãy số truy hồi 2 Chương Dãy số số hệ thức lượng