Phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính giới hạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN THỊ NHUNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC XÁC ĐỊNH DÃY SỐ VÀ TÍNH GIỚI HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp NGƯỜI HƯỚNG DẪN K

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHUNG

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

XÁC ĐỊNH DÃY SỐ VÀ TÍNH GIỚI HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - 2017

Mục lục

Chương 1 Dãy số và một số hệ thức lượng giác liên quan 2

1.1 Một số định lý cơ bản về dãy số 2

1.1.1 Định nghĩa và tính chất 2

1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt 3

1.2 Các hệ thức lượng giác 7

1.2.1 Các hệ thức lương giác cơ bản 7

1.2.2 Các hệ thức lượng giác hypebolic 9

1.3 Một số lưu ý về phương pháp lượng giác hóa dãy số 12

1.3.1 Nhận xét về phương pháp lượng giác xác định dãy số xn+1 = f (xn) 13

1.3.2 Nhận xét về phương pháp lượng giác xác định dãy số xn+2 = f (xn+1, xn) 13

Chương 2 Phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính giới hạn 15 2.1 Phương pháp lượng giác xác định dãy số 15

2.1.1 Sử dụng phép thế lượng giác xác định công thức tổng quát của dãy số 15

2.1.2 Dùng phương pháp lượng giác để giải một số bài toán về tính toán dãy số 27

2.1.3 Tìm công thức tổng quát của dãy số bằng hàm hy-pebolic 32

2.2 Phương pháp lượng giác tính giới hạn của dãy số 41

2.2.1 Tính giới hạn của một dãy số bằng công thức tổng quát của dãy số đó 41

2.2.2 Tính giới hạn của dãy số truy hồi 46

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH.NGND Nguyễn Văn Mậu Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũngnhư giải đáp các thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiêncứu và giúp đỡ tác giả hoành thành luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáokhoa Toán - Cơ - Tin học và các Thầy trong hội semina Toán học Hà Nộicủa trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đãnhận xét góp ý cho bản luận văn này

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, lãnh đạo trườngtrung học phổ thông Lý Tử Tấn - Thường Tín - Hà Nội đã động viên, cổ

vũ, tạo điều kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù có rất nhiều cố gắng và nghiệm túc trong học tập và nghiêncứu khoa học, song quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất

Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo,

cô giáo và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thị Nhung

Lời nói đầu

Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình chuyên toán ởcác trường trung học phổ thông chuyên Các bài toán liên quan đến dãy

số thường là những bài toán khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏimôn Toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế, Olympic 30/4 và Olympic sinhviên Các dạng toán về dãy số rất phong phú và đa dạng và cũng rất phứchợp nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên đề riêng biệt.Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy

số liên quan đến chương trình toán bậc trung học phổ thông

Nội dung của luận văn ”Phương pháp lượng giác xác định dãy số vàtính giới hạn” là hệ thống dạng toán dùng hàm lượng giác, hàm lượng giáchypebolic để xác định số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới hạn của mộtvài dãy số, và một số bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi

Nội dung của luận văn gồm hai chương

Chương 1 trình bày về dãy số và một số hệ thức lượng giác liên quan.Trong chương này, trình bày các khái niệm cơ bản về dãy số, một số địnhnghĩa, định lý cơ bản và một vài dãy số đặc biệt Tiếp theo, trình bàycác hệ thức lượng giác và lượng giác hypebolic cơ bản cũng như một số ýtưởng về phương pháp lượng giác hóa dãy số

Chương 2 khảo sát các phương pháp lượng giác xác định dãy số và tínhgiới hạn Trong chương này, trình bày một số bài toán có thể sử dụng đượcphương pháp lượng giác, lượng giác hypebolic để xác định số hạng tổngquát của dãy số và tìm giới hạn tương ứng Tiếp theo, trình bày phươngpháp lượng giác trong một số bài toán về tính toán dãy số, tính giới hạncủa một số dãy số truy hồi

Định nghĩa 1.2 Cho dãy un, n ∈ N.

• Dãy (un) được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1, ∀n ∈ N

• Dãy (un) được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1, ∀n ∈ N

• Dãy(un)được gọi là dãy (đơn điệu) tăng ngặt nếuun < un+1,∀n ∈ N

• Dãy (un) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm ngặt nếu un > un+1, ∀n ∈

N

Nhận xét 1.1

• Nếu (xn) tăng, (yn) tăng thì (xn+ yn) tăng

• Nếu (xn) giảm, (yn) giảm thì (xn + yn) giảm

• Nếu (xn) tăng thì (−xn) giảm và nếu (xn) giảm thì (−xn) tăng

• Nếu hai dãy số dương (xn), (yn) cùng tăng (giảm) thì (xnyn) tăng(giảm)

• Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm Ví dụ xn = (−1)n

∀n ∈ N

Định nghĩa 1.3 Cho dãy số (xn), n ∈ N.

• Dãy (xn) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại hằng số M sao cho

Định nghĩa 1.5 Dãy số u1, u2, u3, được gọi là một cấp số nhân vớicông bội q (q 6= 0, q 6= 1) nếu un = un−1 · d, ∀n = 2, 3,

Tính chất 1.2 Dãy số {un} là cấp số nhân với công bội d thì

Định nghĩa 1.6 Dãy số dương {un} thỏa mãn điều kiện

được gọi là dãy Fibonaci

Dãy Fibonaci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tựnhiên trong nhiều lĩnh vực khác nhau Người ta đã tìm được công thứctổng quát của dãy là (công thức Binet)

un = √1

5

1 +√

52

!n

− √15

1 −√

52

!n

Dãy số dạng xn+1 = f (xn)

Đây là dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số.Dãy số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết giá trị ban đầu x0 Do vậy sựhội tụ của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f (x) và x0

Một đặc điểm quan trọng của dãy số này là nếu a là giới hạn của dãy

số thì a phải là nghiệm của phương trình x = f (x) Chúng ta có một sốkết quả cơ bản như sau

Khi đó, nếu hàm số y = f (x) đồng biến, thì dãy đã cho đơn điệu

Khi đó, để biết dãy tăng hay giảm cần xét dấu của biểu thức f (x) − x.Định lý 1.3 Cho dãy số (xn) : x0 = a, xn+1 = f (xn) Khi đó, nếu hàm

số y = f (x) nghịch biến thì hai dãy con (x2k) và (x2k+1) đơn điệu ngượcchiều Trong trường hợp này hai dãy con (x2n) và (x2n+1) là hai dãy con

với mọi x, y thuộc (a, b)

Định lý 1.4 Nếu f (x) là hàm số co trên khoảng (a, b) thì dãy số {xn}

xác định bởi x0 = a ∈ (a, b), xn+1 = f (xn) hội tụ Giới hạn của dãy số lànghiệm duy nhất trên (a, b) của phương trình x = f (x)

Định nghĩa 1.9 Dãy{un}được gọi là hội tụ vềa, ký hiệulimn→∞un = a,nếu với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, tìm được số n0 sao cho với mọi n ≥ n0

Định lý 1.6 (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cho limn→∞xn = l và a ∈ R.

Khi đó:

• Nếu a > l thì ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 ta đều có a > xn

• Nếu a < l thì ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 ta đều có a < xn

Định lý 1.7 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cholimn→∞xn =

Khi đó dãy {xn} hội tụ và limn→∞xn = l

Định lý 1.9 (Tính chất đại số của dãy hội tụ) Cho hai dãy {xn}, {yn}

và limn→∞xn = a, limn→∞yn = b Khi đó

• Dãy {−xn} hội tụ và limn→∞(−xn) = −a

• Dãy {|xn|} hội tụ và limn→∞|xn| = |a|

• Dãy {xn+ yn} hội tụ và limn→∞(xn + yn) = a + b

• Dãy {xn− yn} hội tụ và limn→∞(xn− yn) = a − b

• Dãy {kxn} hội tụ và limn→∞(kxn) = ka

• Dãy {xn· yn} hội tụ và limn→∞(xn· yn) = ab

Định lý 1.10 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Định lý 1.11 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ

Định lý 1.12 (Định lý Bolzano - Weierstrass) Từ một dãy bị chặn luônrút ra được một dãy con hội tụ.

Định lý 1.13 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi∀ε > 0

cho trước tùy ý tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có

|xn− xm| < ε

1.2 Các hệ thức lượng giác

1.2.1 Các hệ thức lương giác cơ bản

sin2x + cos2x = 1tan x · cot x = 1



x 6= kπ2

∗ Cung bù

sin(π − x) = sin xcos(π − x) = − cos xtan(π − x) = − tan xcot(π − x) = − cot x

∗ Cung sai kém π

sin(π + x) = − sin xcos(π + x) = − cos xtan(π + x) = tan xcot(π + x) = cot x

∗ Cung phụ

sinπ

2 − x = cos xcosπ

2 − x = sin xtan

π

2 − x = cot xcot

cot(a ± b) = cot a cot b ∓ 1

cot a ± cot b , (a, b 6= kπ)

∗ Công thức nhân đôi

sin 2a = 2 sin a cos acos 2a = cos2a − sin2a = 2 cos2a − 1 = 1 − 2 sin2a

tan2a = 1 − cos 2a

1 + cos 2a tan

3a = 3 sin a − sin 3a

3 cos a + cos 3acot2a = 1 + cos 2a

∗ Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a + cos b = 2 cosa + b

2 cos

a − b2cos a − cos b = −2 sina + b

2 sin

a − b2sin a + sin b = 2 sina + b

2 cos

a − b2sin a − sin b = 2 cosa + b

2 sin

a − b2tan a ± tan b = sin(a ± b)

cos a cos bcot a ± cot b = sin(b ± a)

cosh x = cos ix, sinh x = −i sin ix, tanh x = −i tan ix; coth x = i cot ix.

Vì vậy, tất cả các công thức lượng giác đối với sin x, cos x, tan x, cot x thìcũng có thể áp dụng cho sinh x, cosh x, tanh x, coth x

∗ Các đồng nhất thức cơ bản

cosh2x − sinh2x = 1

1 − tanh2x = 1

cosh2xcoth2x − 1 = 1

sinh2x

∗ Công thức cộng

sinh(x ± y) = sinh x cosh y ∓ cosh x sinh ycosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh ytanh(x ± y) = tanh x ± tanh y

1 ± tanh x tanh y

∗ Công thức góc nhân đôi

cosh 2x = cosh2x + sinh2x = 2 cosh2x − 1 = 2 sinh2x + 1sinh 2x = 2 sinh x cosh x

tanh 2x = 2 tanh x

1 + tanh2x

∗ Công thức góc nhân ba

cosh 3x = 4 cosh3x − 3 cosh xsinh 3x = 4 sinh3x + 3 sinh xtanh 3x = 3 tanh x + tanh

3

x

1 + 3 tanh2x

∗ Công thức biến đổi tổng thành tích

cosh x + cosh y = 2 cosh x + y

2 cosh

x − y2cosh x − cosh y = 2 sinh x + y

2 sinh

x − y2sinh x + sinh y = 2 sinh x + y

2 cosh

x − y2sinh x − sinh y = 2 coshx + y

2 sinh

x − y2tanh x + tanh y = sinh(x + y)

cosh x cosh ytanh x − tanh y = sinh(x − y)

0 và sinh x < 0, ∀x < 0

+ Do y0 = cosh x ≥ 1, y00 = sinh x nên hàm y = sinh x luôn đồng biếntrên R và lồi với mọi x < 0, lõm với mọi x ≥ 0

∗ Hàm số y = cosh x

+ Tập xác định R, hàm cosh x là hàm chẵn (vì cosh(−x) = cosh(x)).+ Ta có cosh x = e

x+ e−x

2 · 2√exe−x = 1, vậy cosh x ≥ 1.+ Do y0 = sinh x, y00 = cosh x ≥ 1 nên hàm y = cosh x đồng biến trong

[0, +∞) và nghịch biến trong (−∞, 0) và là hàm lõm với mọi x ∈ R.

1.3 Một số lưu ý về phương pháp lượng giác hóa

dãy số

Ta để ý rằng

|a| ≤ 1 ⇔ ∃t ∈ [0, π] sao cho a = cos t;

a > 1 ⇔ ∃t ∈ R sao cho a = cosh t;

a < −1 ⇔ ∃t ∈ R sao cho a = − cosh t;

sao cho a = tan t

Giống như phương pháp giải phương trình, tính tích phân, khi xét một

số bài toán dãy số ta cũng lượng giác hoá hoặc lượng giác hypebolic hoáchúng Cách biễu diễn số hạng đầu cần tương thích với công thức truy hồicủa dãy

Ví dụ 1.1 Cho dãy (un) với un = 2n

1.3.1 Nhận xét về phương pháp lượng giác xác định dãy số

• Sử dụng công thức cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a, sin 3a = 3 sin a −

4 sin3a, cosh 3a = 4 cosh3a − 3 cosh a, sinh 3a = 4sh3a + 3 sinh a tagiải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy xn+1 = 4x3n −3xn, xn+1 = 3xn − 4x3

Tìm un

Lời giải Ta biểu diễn un = √vn

3, thay vào giả thiết có

Trong một vài trường hợp đặc biệt, sử dụng công thức

cos(n + 2)a = 2 cos a cos(n + 1)a − cos na,sin(n + 2)a = 2 cos a sin(n + 1)a − sin na

ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy xn+2 = kxn+1 − xn

với |k| ≤ 2

Sử dụng công thức

sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x,sinh(x − y) = sinh x cosh y − sinh y cosh x,sinh(n + 2)a = 2 cosh a sinh(n + 1)a − sinh na

ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy xn+2 = kxn+1 − xn

⇒ x3 = 2 cosh a sinh(a + 2k) − sinh(a + k) ⇒ x3 = sinh(a + 3k)

Bằng quy nạp ta có xn = sinh(a + nk) Bằng phương pháp đổi dãy đưa

xn+2 = axn+1 + bxn về một trong 2 dạng xn+2 = kxn+1 − xn khi |k| ≤ 2,

Chương 2

Phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính giới hạn

2.1 Phương pháp lượng giác xác định dãy số

2.1.1 Sử dụng phép thế lượng giác xác định công thức tổng

quát của dãy số

Mỗi một công thức lượng giác sẽ cho chúng ta một đẳng thức đại số

và nhiều dãy số có công thức phức tạp sẽ trở lên đơn giản nếu như chúng

ta khéo léo sử dụng các phép thế lượng giác Ở đây, chúng ta xét các bàitoán được giải bằng cách dựa trên các đặc trưng của một số đa thức đại

số sinh bởi hàm số sin và cosin

Bài toán 2.1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un} biết rằng

un = cos(2n−1α)

Nếu |u1| ≥ 1, xét số thực β sao cho

u1 = 1

2



β + 1β

 Ta có

2



12



β + 1β



= 12



β + 1β

yn+1 = apyn2 + b

Lời giải Nếu |u1| ≤ 1 thì tồn tại ϕ sao cho cos ϕ = u1 Khi đó:

u2 = 4 cos3ϕ − 3 cos ϕ = cos 3ϕ, , un = cos 3n−1ϕ

Nếu |u1| > 1, xét số thực β sao cho

u1 = 1

2



β + 1β



= 12



β + 1β

3

− 3



12



β + 1β



= 12



(3 + 2√

2)3n−1+ (3 − 2√

Bài toán 2.6 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un} biết rằng



β − 1β



= 12



β − 1β

3

+ 3



12



β − 1β



= 12

un = √1

a



α√a

Bài toán 2.7 (Đề đề nghị thi Olympic 30/4/1999) Xác định số hạng tổngquát của dãy số {un} biết rằng

b3 + 18ab27a2

b3 + 18ab27a2

 Ta biết rằng đồ thị

hàm số f (x) nhận điểm uốn A−b

3a;

−b3a

làm tâm đối xứng Do đó, nếu

!3 n−1

+ 3 −

√52

!3 n−1

, ∀n = 1, 2, 3,

Vậy un = vn− 1 = 3 +

√52

!3n−1

+ 3 −

√52

!3n−1

− 1, ∀n = 1, 2, 3,

Bài toán 2.10 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {xn} biết rằng

Bài toán tổng quát 2.1 Cho a, b là hai số dương và hai dãy (an), (bn)

được xác định như sau

Tìm công thức tổng quát của an, bn

Bài toán 2.12 Cho a, b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a < b

và hai dãy (an), (bn) được xác định

và hai dãy (an), (bn) được xác định

Tìm công thức tổng quát của an, bn

Lời giải Ta có 0 < b < a nên a

b > 1 Xét số thực dương β sao cho



β + 1β



Hay a = b

2



β + 1β

 Do đó,

, v1 =

s

1cos2 π 6

6cos2 π 12

∗ Nhận xét: Với giả thiết của bài ta liên tưởng ngay đến công thức

tan(a + b) = tan a + tan b

1 − tan a tan b

= 2 tan

π 8

 Bằng quynạp ta chứng minh được rằng

un = tanhπ

3 + (n − 1)

π8



= tanπ

3 +

π4

Ta cũng có thể dùng phương pháp lượng giác để giải một số bài toán

về tính toán dãy số như sau:

Bài toán 2.18 Cho hai dãy {an} và {bn} được xác định như sau:

a0 =

√2

2 , an+1 =

√22

Lời giải Từ định nghĩa của hai dãy {an} và {bn} ta có 0 < an < 1

và bn > 0, ∀n ∈ N Với αn ∈ 

0, π2 và βn ∈ 0, π2
, đặt an = sin αn và

bn = tan βn Vì a0 =

√2

√22

√

1 − cos αn = sin αn

2tan βn+1 = bn+1 =

= 1 − cos βnsin βn = tan

vuuuut

Lời giải Nếu |a1| ≥ 1 thì |a2| = |2a2

a1999 = cos 1999a = cos(π + 2kπ − a) = − cos a = −a1

⇒ 2

3 ≤ 1 − t2 < 1 ⇒ 2 < 2

1 − t2 < 3 ⇒ 2 < xnyn < 3, ∀n ≥ 2

Bài toán 2.23 (Olympic 30/4 - 2008) Xác định số hạng tổng quát củadãy số {un} biết rằng

u2 = 4 sin2α(1 − sin2α) = sin22α

u3 = 4 sin22α(1 − sin22α) = sin24α

Bằng quy nạp ta chứng minh được

2.1.3 Tìm công thức tổng quát của dãy số bằng hàm hypebolic

Trong một số bài toán muốn tìm số hạng tổng quát của dãy số Trongtrường hợp số hạng đầu u1 có |u1| > 1 ta còn có thể dùng hàm lượng giáchypebolic để xác định số hạng tổng quát của dãy số đó

Bài toán 2.24 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un} biết rằng

(un) :

(cho u1, |u1| > 1

4 Dạng (un) :

(cho u1, |u1| > 1

β và đặt

(

cosh α = u1sinh α = pu21 − 1

giải hệ tìm eα ta được u2 = cosh α cosh β + sinh β sinh β = cosh(α +β) Chứng minh quy nạp ta được

Lời giải ∗ Với dạng (a)

+ Nếu u1 > 1 thì ta đặt u1 = cosh α Chứng minh quy nạp ta được

−b3a hay a > 0,c =

b2 + 9a3a , d =

b3 + 18ab

27a2 , α > √2

a − b3a Ta đặt un = axn + b thế vào giả thiết rồi

tìm hai số a, b sao cho vn+1 = 4vn3 + 3vn

Bài toán 2.26 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un} biết rằng

(un) :

(cho u1, |u1| > 1

un+1 = (8u3n + 4un)p1 + u2

n, ∀n ∈ N∗ (b)

Lời giải ∗ Với dạng (a)

+ Trường hợp 1: nếu u1 > 1 thì ta đặt u1 = cosh α, α 6= 0 Chứng minhquy nạp ta được

Nếu u1 = 1 hoặc u1 = −1 thì un = 1 hoặc un = −1

Nếu −1 < u1 < 1 thì ta đặt tanh α = u1 Chứng minh quy nạp ta được

un = tanh(3n−1α) = (e

2α)3n−1 − 1(e2α)3 n−1