Một số định lí giới hạn dạng arc sin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG NGỌC HỒNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN CHO LỚP PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG SƠN VINH- 2012 LỜI CẢM ƠN! Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học c a TS L H ng S n Nh n d p t c gi xin ày t ng k nh trọng i t n s u s c tới Th y dành cho t c gi su t qu tr nh nghi n c u hoàn thành uận văn Nh n đ y, t c gi xin gửi ời c m n ch n thành tới c c th y cô gi o chuy n ngành , khoa To n, trường Đại học Vinh, đ nhi t t nh gi ng dạy gi p đ t c gi qu tr nh học tập thực hi n Luận văn T c gi xin ày t ng i t n s u s c tới an ch nhi m c ng c c th y cô khoa Sau Đại học - Đại học Vinh c c ạn học vi n cao học ngành To n kho 18 đ tạo u ki n gi p đ , g p ch n thành cho t c gi qu tr nh học tập nghi n c u Cu i c ng, t c gi xin ghi nhớ công ao to ớn c a gia đ nh người th n đ tạo u ki n thuận ợi để t c gi y n t m học tập, nghi n c u Xin ch n thành c m n quan t m, gi p đ qu uđ Trong qu tr nh thực hi n, uận văn tr nh kh i nh ng thi u s t, k nh mong g p c a qu th y cô c c ạn đọc Vinh, tháng năm 2012 T c gi N H MỤC LỤC Trang Mục ục .1 Mở đ u Chƣơng I ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY VÀ CÁC TÍNH CHẤT 1.1 Định nghĩa tính chất phân phối ổn định .6 1.1.1 Các định nghĩa phân phối ổn định Đ nh nghĩa 1.1.1.1 Đ nh nghĩa 1.1.1.2 Đ nh nghĩa 1 Đ nh nghĩa 1 1.2 Các tính chất phân phối ổn định Đ nh 1.1.2.1…………………………………………………………… Đ nh 1.1.2.2 10 1.2 Định nghĩa tính chất đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối biến đổi quy .11 1.2.1 Hàm biến đổi quy 11 Đ nh nghĩa 1.2.1.1…………………………………………………… 11 Đ nh 1.2.1.2 12 Đ nh 1.2.1.3…………………………………………………………… 13 1.2.2 Đại lƣợng ngẫu nhiên biến đổi quy 13 Đ nh nghĩa 1.2.2.1 14 Đ nh 1.2.2.2 14 Đ nh 1.2.2.3 15 H qu 1.2.2.4 15 H qu 1.2.2.5…………………………………………………………… 15 H qu 2 6…………………………………………………………… 16 1.2.3 Véctơ ngẫu nhiên biến đổi quy .16 Đ nh nghĩa 1.2.3.1 16 Đ nh nghĩa 1.2.3.2 16 Chƣơng II ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN 18 2.1 Một số định lí giới hạn cho dãy Rn Pn 18 ổ đ 1 19 Đ nh 2 21 H qu 2.1.3…………………………………………………………… 22 2.2 Phân phối giới hạn Rn Pn lớp phân phối ổn định 23 M nh đ 2.2.1 23 M nh đ 2.2.2 .23 Đ nh 2.2.3 24 H qu 2.2.4 25 Đ nh 2.2.5 25 Đ nh 2.2.6 26 2.3 Tích đại lƣợng ngẫu nhiên biến đổi quy 28 Đ nh 2.3.1 28 Đ nh 2.3.2 30 Đ nh 2.3.3 32 Kết luận .33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI NÓI ĐẦU Trong thuy t x c suất, định lí arc-sin giới thi u đ u ti n ởi P Lévy (1939) Kể từ đ , định lí arc-sin quan t m đặc i t c a c c nhà to n học L Briman (năm 1965), M Yor (năm 1981), J Piman M Yor (năm 1991),… Trong ĩnh vực ng dụng, định lí arc-sin ng dụng rộng r i c c ài to n v dự o kinh t , tài ch nh, o hiểm, ng n hàng, …, ti u iểu c c k t qu c a J Piman M Yor (năm 2004), Y Kasahara Y Yano (năm 2003), I erkes S Hormann (năm 2008) A Rouault, M Yor, M Zani (năm 2000), … Kh i ni m i n đ i ch nh quy J Karamata giới thi u ài o ti ng c a ông năm 1930 Tuy nhi n, trước đ nh ng t nh chất i n quan đ n kh i ni m i n đổi ch nh quy đ đ cập ởi Landau (năm 1911); Valiron (năm1913) Po ya (năm 1917) J Karamata đ đ nh nghĩa c ch chặt chẽ ng dụng kh i ni m ch nh quy ông i n quan đ n đ nh thuy t c a Tauberian (xem [4, 5, 13]) Nh ng t nh chất ng dụng phong ph c a kh i ni m ph n ph i i n đổi ch nh quy thuy t x c suất đ Wi iam Fe er tr nh ày cu n s ch c a ông xuất n n đ u ti n năm 1968 Cu n s ch đ thu h t quan t m đặc i t c a c c nhà nghi n c u thuy t x c suất ng dụng giai đoạn dài sau đ , ti u iểu c c nghi n c u v i n đổi ch nh quy Ứng dụng c a kh i ni m i n đổi ch nh quy c c đ nh giới hạn đ Laurens de Haan tr nh ày uận n c a m nh năm 1970 Nh ng nghi n c u sau đ v c c t nh chất ng dụng c a kh i ni m i n đổi ch nh quy c thể đ n như: Bingham N.H đ tổng hợp c c kh i ni m t nh chất i n quan đ n i n đổi ch nh quy cu n s ch ti ng c a m nh năm 1987; Resnick S.I (1986, 1987, 1991, 1996) mô t kh i ni m v đổi ch nh quy cho trường hợp nhi u chi u ng dụng c c Đ nh i n giới hạn; Kesten H (1973) Go die C.M (1991) nghi n c u i n đổi ch nh quy c c k t qu i n quan đ n phư ng tr nh h i quy ngẫu nhi n ; Basrak B (2002) Mikosch T (2000, 2002, 2003) đ nghi n c u c c k t qu i n quan đ n i n đổi ch nh quy p dụng để ph n t ch chuỗi thời gian vi c gi i quy t c c ài to n v tài ch nh; Leland W.E (1993), Heath D (1998), Mikosch T (2002) đ tr nh ày c c ng dụng c a phép i n đổi ch nh quy vi c gi i quy t c c ài to n qu n c c mạng viễn thông; … Với nh ng ng dụng c a ph n ph i i n đổi ch nh quy c c đ nh giới hạn dạng arc-sin, vi c nghi n c u c c t nh chất x c suất c a ph n ph i i n đổi ch nh quy c c đ nh trọng giới hạn i n quan c vai tr quan thuy t x c suất, đặc i t c c đ nh giới hạn dạng arc-sin i n quan đ n ph n ph i giới hạn c a tổng c trọng s ngẫu nhi n, với trọng s c c i n ngẫu nhi n i n đổi ch nh quy Với nh ng đ ch ng chọn đ tài “Một số định lí giới hạn dạng arc-sin cho lớp phân phối biến đổi quy” Trong uận văn ch ng tơi tr nh ày s k t qu mà c quan với đ nh i n arc-sin, đặc i t ớp ph n ph i i n đổi ch nh quy ph n ph i ổn đ nh Luận văn tr nh ày 35 trang Ngoài ph n mở đ u, k t uận, uận văn tr nh ày chư ng Chƣơng I Đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối biến đổi quy tính chất Chư ng tr nh ày s kh i ni m t nh chất c ổn đ nh, c c đ nh nghĩa c c t nh chất c n c a ph n ph i n c a đại ượng ngẫu nhi n, véct ngẫu nhi n c ph n ph i i n đổi ch nh quy Chƣơng II Định lý giới hạn dạng arc-sin Trong chư ng ch ng tr nh ày c c t nh chất v ph n ph i giới hạn n c a d y c dạng Rn  XY i 1 n i i Y i 1 ớp ph n ph i chuẩn, đưa u ki n để i P Rn   n   Đặc i t ch ng đưa m i i n h gi a hai u ki n Y(1)( n ) P P Rn   0, với Pn  n , Y(1)( n )  max Yi   Pn  1i  n  Yi i 1 Trong ph n cu i, ch ng tr nh ày v ph n ph i c a t ch c c đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i i n đổi ch nh quy CHƢƠNG I ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY VÀ CÁC TÍNH CHẤT Trong chư ng ch ng giới thi u s đ nh nghĩa tư ng đư ng c a ph n ph i ổn đ nh đại ượng ngẫu nhi n, véct ngẫu nhi n i n đổi ch nh quy, đưa iểu th c gi i t ch c a hàm đặc trưng s t nh chất c n c a ớp đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh i n ngẫu nhi n i n đổi ch nh quy 1.1 Định nghĩa tính chất phân phối ổn định 1.1.1 Các định nghĩa phân phối ổn định Một t nh chất quan trọng c a đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn hay ph n ph i Gaussian tổng c a hai đại ượng ngẫu nhi n độc ập c ph n ph i chuẩn đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn Nghĩa à: n u X đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i chuẩn, X X c c đại ượng ngẫu nhi n độc ập c c ng ph n ph i với X ất kỳ s dư ng a, b, uôn t n s dư ng c d  cho: d aX  bX  cX  d (1.1) d với "  '' k hi u cho kh i ni m ằng theo nghĩa ph n ph i Lớp c c đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh thể hi n t nh chất đặc trưng tr n c a ph n ph i chuẩn, ch ng ta thấy rằng, ph n ph i chuẩn trường hợp đặc i t c a ớp c c ph n ph i ổn đ nh Sau đ y, ch ng giới thi u s đ nh nghĩa v ph n ph i ổn đ nh Định nghĩa 1.1.1.1 Đại ượng ngẫu nhi n X gọi c ph n ph i ổn đ nh n u với X X độc ập c c ng ph n ph i với X với ất kỳ s dư ng a, b, uôn t n s dư ng c d  cho (1 1) th a m n X gọi c ph n ph i ổn đ nh theo nghĩa hẹp n u (1 1) đ ng với d  0, với a  0, b  Gi sử hai đại ượng ngẫu nhi n X Y gọi đ ng dạng n u t n c c s A  B  d cho X  AY  B Khi đ , i n ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh c thể ph t iểu sau: Định nghĩa 1.1.1.2 Đại ượng ngẫu nhi n X gọi c ph n ph i ổn đ nh n u với X X độc ập c c ng ph n ph i với X với ất kỳ s dư ng a, b th aX1  bX uôn đ ng dạng với X Như ch ng ta đ i t, ph n ph i ổn đ nh – trừ s trường hợp đặc i t ph n ph i Gauss, ph n ph i Cauchy hay ph n ph i Levy – đ u không c iểu th c gi i t ch cụ thể cho hàm mật độ hàm ph n ph i Tuy nhi n, ớp c c ph n ph i ổn đ nh c thể mô t c ch đ y đ thông qua công cụ hàm đặc trưng iểu diễn hàm đặc trưng c a ph n ph i ổn đ nh đ đ cập đ n c c nghi n c u c a R Weron [13], V.M Zolotarev [14] Trong uận văn này, ch ng mô t iểu diễn hàm đặc trưng c a V.M Zolotarev [10] Định nghĩa 1.1.1.3 Đại ượng ngẫu nhi n X đư c gọi  - ổn đ nh n u hàm đặc trưng c a X c dạng:     exp(  t [1  i tan sign( t)]  i t),  1,  (t )    exp( t [1  i sign(t )ln t ]  i t ),   1,   (1.2) với    2,     1,   0,   Khi đ ta vi t X ~ S ( ,  ,  ,  ) Nhận xét: Định nghĩa 1.1.1.3 cho thấy ph n ph i ổn đ nh n i chung phụ thuộc vào tham s : tham s ổn đ nh s đặc trưng mũ   (0; 2]; tham s v độ ch  [1;1]; tham s đ a phư ng   tham s đ nh v   Ph n ph i c a X đ i x ng quanh g c tọa độ O     0, trường hợp hàm đặc trưng X c dạng đ n gi n:  (t )  e  t  Định nghĩa 1.1.1.4 X gọi đại lượng ngẫu nhi n c ph n ph i ổn đ nh n u với X1, X2 độc ập c ng ph n ph i với X với s dư ng c, d , t n a, b  , b  0, cho d cX  dX  a  bX , hay  x x  xa FX    FX    FX  , c d   b  FX , FX , FX tư ng ng c c hàm ph n ph i c a c c đại lượng ngẫu nhi n X1 , X , X , “  ” k hi u cho tích chập 1.1.2 Các tính chất phân phối ổn định Từ đ nh giới hạn trung t m ta c k t qu sau: Định lí 1.1.2.1 Nếu X ~ S ( ,  ,  ,  )  x ( X  x)  C (1   )  , lim x   lim x ( X   x)  C (1   )  ,   x với 1     C   2 x  sin( x)dx   ( )sin ,    ( x) hàm Gamma Định lí 1.1.2.1 n i l n t nh chất đuôi “heavy-tail” c a ph n ph i ổn đ nh: Khi x  , ta c F ( x)   F ( x) ~ ax  , x   F ( x) ~ a | x | , x  , với a  C (1   )  , C x c đ nh tr n Khi   0, ph n ph i c a ph n ph i ổn đ nh ch sang b n ph i, nghĩa 21 N u F không i n tục, đặt Yˆ  Y1  U1 , Y1 U1 độc ập, U1 c hàm ph n P ph i i n tục  U1  N u Y(1)( n )   h u ch c ch n, th Yˆ(1)( n ) / Y(1)( n )  1 P P Ngoài ra, Sn  Yˆn , từ Sn / Y(1)( n )  , n u t n  ta c Yˆn / Yˆ(1)( n )  s Cn cho Cn n  ydFˆ ( y ) / Cn  , n(1  Fˆ (Cn ))  0, đ đặt Cn Bˆ n  n  ydFˆ ( y ), ch ng ta chia hai trường hợp: (i) Y1  ; (ii) Y1   Trường hợp (i) t m thường ch ng ta c thể cho Bn  nY1 Trong trường hợp (ii), Bˆ n / n  Cn  ydFˆ ( y)  , U1   U n P   0, Bˆ n với ch P Sn / Bˆn  1 ổ đ ch ng minh Định lí 2.1.2 Điều kiện cần đủ để Y(1)( n ) Sn P   V1  DANL Chứng minh Đi u ki n đ suy từ ổ đ tr n, P Y(1)( n ) / Sn   Ta đ nh nghĩa:  Vk  , Vk  0, Tk   Vk 0, Vk  0,  đặt n Zn  T k k 1 Vk n V k 1 k y ta gi sử 22 Do T1 , …, Tn độc ập, ph n ph i c a Z n n T  k 1 n (n) k , mà theo L eve M [8] trang 328, ta đ c n n k 1 k 1 D P  N (0, 1)   Tk2 ( k( n ) )2  1, Tk k( n)  suy (Z n  x V1 , V2 , )  N (0, 1) D P Do đ Z n   N (0, 1), đ lấy Bn cho Sn / Bn  1, từ n Zn  ta thấy V1  DANL , t c n V k 1 k Bn Sn / Bn D / Bn   N (0, 1) k k 1 V N i c ch kh c c t n Dn cho n V k 1 k D / Dn   N (0, 1) Theo Darling D.A [5] ta ại c max(V1 , , Vn ) P   Dn Đặt  Vk , Vk( n )    0, n V đ ta c k 1 n  (V k 1 (n) k n P Vk  Dn , D / Dn   N(0, 1), mà theo L eve M [8] th ) / D  1, dẫn tới (n) k Vk  Dn , n V k 1 k P / Dn2  1, đ nh ch ng minh P Hệ 2.1.3 Điều kiện cần đủ để Rn   V1  DANL 23 2.2 PHÂN PHỐI GIỚI HẠN CỦA Rn VÀ P n TRONG LỚP PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH Với F ( x) hàm ph n ph i c a y, đặt F ( x)   F ( x) gi sử với F ( yx) y  0, lim  Ta đ x  F ( x) i t Y (n) (1) / Sn  1 tổng p n X Y i 1 (n) k (k ) / Sn , ( n) Y(1)( n )  Y(2)   Y((nn)) với Y((i )n )  max{Yi } c ph n ph i tư ng tự đ 1i  n n XY /S i 1 i i n Mệnh đề 2.2.1 Nếu lim F ( yx) / F ( x)  1, với y  0, x  n X Y /S i 1 1 n D  X Ch ng minh c a mệnh đề 2.2.1 xem [3] Cho Y  RV ( ), nghĩa Y c ph n ph i i n đổi ch nh quy với tham s  , ta c m nh đ sau Mệnh đề 2.2.2 Cho Y  RV ( ),    Y  Nếu X độc lập với Y  X  , XY  RV ( ) Chứng minh Cho G( x) hàm ph n ph i c a X Ta ch ng minh   F ( y / x) lim  dG ( x)   x dG ( x) y  F ( y) 0 Từ (1 5) ta c F ( x) ~ x g (u ) a ( x )exp [ ]du, đ  x u x a( x)  0, lim g (u)  Lấy  ( x) cho lim a( x)  a  0, x 0 x 0 F ( x) ( x)    ( x) / x   với   0, đ 1  F ( y)   ( y) F ( y / x)dG ( x)   xdG ( x)  F ( y ) ( y )  (y ) Đặt I y  [0,  ( y)], với x  I y ,  ( x) / x  hay y / x   Do đ 24 y F ( y / x) g (u )  a ( y / x) ~x exp[  du ]  x m( y ) x ( y ) , x  1, a( y ) u F ( y) y/ x với  ( y)  sup g (u ) , u  y /  ( y), m( y)  sup a( y / x) / a( y) xI y u Dễ thấy  ( y)  0, m( y)  ( y  ), y đ ớn mà    ( y)  m( y)  2, ta c F ( y / x) / F ( y)  x, x  [1, ( y)] N u  x  th F ( y / x) F ( y)  1, c đ nh x, đ F ( y / x) F ( y)  x , sử dụng đ nh hội tụ chặn Le esgue ta c  y ( XY  y )   F ( )dG( y ), y  0, x ( XY   y )  y  F ( x )dG( x)  Do đ n u H ( x) hàm ph n ph i c a XY , th lim  H ( x)     x dG ( x), x  F ( x) (*) H ( x)  lim   x dG ( x), x  F ( x)  (**) từ đ ch ng ta c u ph i ch ng minh Định lý 2.2.3 Nếu T biến ngẫu nhiên có hàm đặc trưng  f (u )  exp[b u (1  ic u )],    1, u (T  0)  1  arctan c  Chứng minh Ta c 1   eiux u  exp[  b u (1  ic )]du x  2  iu u  (T  0)  lim 25   e bu 1    sin(cbu )du  lim  ebu sin(ux  bcu )du x   0 u Đặt t  u , đ   e bu sin(cbu )du  0 u   e    bt dt  arctan c, t  sin(cbt ) đặt ux  v, đ lim x  1 e   lim x  sin(ux  bcu )du 1 e   b ( u / x ) sin(v  bcv )  Đ nh  bu dv v  sin v dv   0 v ch ng minh Hệ 2.2.4 Nếu T ~ S ( , c tan (T  0)   ,  b , 0) 1  arctan c, với     p Định lí 2.2.5 Nếu Y1  RV ( ),    1, Rn   R với 1  ( x)  2 ( x)  ( R  x )    arctan[ tan ],  1 ( x)  2 ( x) 1 ( x)    y  x dG( y ), 2 ( x)  y x   y  x dG ( y ), G( x) hàm y x phân phối X Chứng minh Ta c n n n i 1 i 1 i 1 ( Rn  x)  ( X iYi  x Yi )  ( Yi ( X i  x)  0) 26 Đặt Tk ( x)  Yk ( X k  x), đ theo mệnh đề 2.2.1, Tk ( x)  RV ( ), t n s n Bn cho  T ( x) / B k 1 k n D  T ( x), từ đ ta c D Rn   R ( R  x)  (T ( x)  0) N u  ( x) hàm ph n ph i c a T th c c1  c2  tan(  ), c1  c2 với  ( x) / (1   ( x))  c1 / c2 x   Trong (*) (**) ch ng ta c thể c1    y  x dG ( y ),  y  x dG ( y ) y x c2   y x Từ đ ta c u ph i ch ng minh Nhận xét: N u   1/ ( X1  0)  ( X1  1)  1/ 2, với  x  1, x1/2 (1  x)1/2 1 ( x)  , 2 ( x)  th (21 )2  (22 )2  1, đ 2 ta đặt 21  sin  , 22  cos Theo định lí 2.2.5, ta c , ( R  x )  sin   cos  arctan( ),  sin   cos mà sin   cos   tan(  ) sin   cos Do đ ( R  x )    N i chung, trường hợp c a đ nh  arcsin( x ) tr n cho X  X1  trường hợp đặc i t c a cơng th c Tak cs [15] Định lí 2.2.6 Nếu Y(1)( n ) / Sn hội tụ đến biến ngẫu nhiên khơng suy biến Y1  RV ( ),    27 n 1 Chứng minh Trong, [5] đưa Y(1)( n )  m, S n c ph n ph i m   Y((km) ) mà k 1 (Y((km) )  y)  F ( y) / F (m), đ với   ta c n ( )  E (e (n)   Sn /Y(1)   )  e n  [( ,  )]n1 dF ( y), y  đ y ( , y)   e  x dF ( x) Sự hội tụ c a n ( ) tới  ( ) dẫn đ n   s 0 [( y , y)] dF ( y) ~ e  ( ) , s  , s hay  e  s ( y ,  ) e  (  ) dF ( y ) ~ , s   s B y ch ng ta thay ( y,  )  t , với t  [0, ), đ e  (  ) 0 e dQ (t ) ~ s , s  ,  với Q (t )    st dF ( y ) Ta c thể gi sử F ( y)  0, với y  0, đ  ( y ,  ) t lim Q (t )  t 0 dẫn đ n lim t 0 Q (t )   ( )e  t Ta ại c ,  y  ( y,  )   ( , y)  F ( y)   (1  e y ( / y ) x )dF ( x)  F ( y )e    e  x F ( yx)dx,  từ đ ta thấy với ất k y cho F ( y)  1,  ( / y, y) hàm gi m nghi m ngặt đ i với y Do ( y,  )   log(1   ( y,  )) hàm 28 gi m nghi m ngặt đ i với y, để đ n gi n ta đặt Q (( y,  ))  F ( y) Khi y  , ( y,  ) ~  ( y,  ), dẫn đ n lim  ( y,  ) y  F ( y)  [ ( )]1 e  , hay lim  e y  Đ nh  x F ( yx) e  [ ( )]1  e  dx   h( )  F ( y) ch ng minh 2.3 Tích đại lƣợng ngẫu nhiên biến đổi quy Hàm t ch ph c tạp h n nhi u so với hàm tổng, đặc i t trường hợp d  Tuy nhi n trường hợp chi u, ch ng ta c thể ch ng minh t nh chất đuôi c a hàm ph n ph i c a t ch c c i n ngẫu nhi n i n đổi ch nh quy với c c u ki n chặt chẽ h n Định lí 2.3.1 Giả sử X X biến ngẫu nhiên độc lập không âm X biến đổi quy với tham số   (1) Nếu X1 , X độc lập phân phối với ( X1 )  ,   X1 X  x  /   X1  x    (2) Giả sử X1 , X , , X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối, ( X1  x) ~ c x với c  Khi ( X X n  x) ~  n1c (n  1)! x  log n1 x Chứng minh (1) : Với M  ta c ( X  x / y ) ( X X  x)   d ( X  y ) ( X  x) ( X  x ) (0; M ]  Từ đ ta c ( X  x / y ) d ( X  y )  I1  I (2.1)  ( X  x ) ( M ;)  29 ( X1  x / y) / ( X1  x)  y  , đ ng cho y   0, M  Do đ M I1   y d ( X  y ), x  ,  ( X1 ) , M   Vậy, n u ( X1 )  , th (1) đ ng t đ u với trường hợp  Yi / c  x   x  , x  (2): Ch ng ta chuỗi độc ập c ng ph n ph i Yi  n Khi  log Y / c  x  i 1 i   , n  ph n ph i ta c n n ( log(Yi / c)  x)  y (n  1)!  i 1 Khi đ x n 1  y e dy, x  0 p dụng Đ nh Karamata  n     (Yi / c)  x / c n   i 1    n log( x / c n )  (n  1)! n x / cn (n  1)! ~ ~ y n1e y dy  n (n  1)!  n1c n (n  1)! (log z ) n1 z  1e y dz (log( x / c n )) n1 ( x / c n )  (log x)n1 ( x)  , x   (2.2) Ti p theo xét d y c c đại ượng ngẫu nhi n độc ập c ng ph n ph i { X i }, độc ập với Yi  , th a m n u ki n ( X1  x) ~ c x  không t nh tổng qu t, gi sử c  K hi u hàm ph n ph i c a n Y i 2 i G( x) cho h  x    30 với ất kỳ hàm tăng th a m n x / h  x    Khi đ n  i 2 ( X  Yi  x)   ( X  x / y)dG( y)  h( x)   ( X  x / y ) (Y1  x / y )dG( y )   ( X  x / y )dG( y ) (Y1  x / y ) h( x)  I1  x   I  x  Với   0, x đ ớn y   0, h  x   ,   X1  x / y   1   Y1  x / y  1   Do đ h( x)  I1 ( x) ~ (Y1  x / y )d ( y ) Chọn h  x   x / log log x Khi đ   I  x   G  x / log log x   O  x / log log x  log n2 x  o  x  log n1 x   Lập uận tư ng tự ta c   (Y1  x / y )dG ( y )  o( x  log n1 x) h( x) Từ (2 2), ch ng ta thu n n i 2 ( X  Yi  x) ~ I1 ( x) ~ (Yi  x) Một ập uận tư ng tự cho thấy ch ng ta c thể thay th v tr i ất kỳ gi tr Yi ởi X i Do đ (2) ch ng minh Định lí 2.3.2 Cho X , X đại lượng ngẫu nhiên độc lập không âm cho X X biến đổi quy với tham số   0; X 2p , với p  có mật độ Lebesgue dạng f  x   c0 x  e cx ,  x  0,  , c, c0  0,   , x    X  x 1  đơn điệu tới hạn theo x Khi X biến đổi quy với 31 tham số  ,   X1 X  x    X 2  ( X1  x) Chứng minh Do X1 X  RV   đ  X1 X  p  RV  / p  với p  Không t nh tổng qu t gi sử p  gi sử đ n gi n c  Khi X X i n đổi ch nh quy, t n hàm s i n đổi chậm L th a m n  L ( x ) x    ( X X  x )    ( X  x / y ) f ( y ) d ( y )    c0 x1   ( X  z 1 ) z  e ( zx ) dz  c0 x 1 1    1/ (1  )  x  ( X   ) e d 1  x  e  x dU (r ), đ U r   c0     X  1/  1   / 1 d  c0  1/   X  z 1  z  dz Do đ 1/ L( x ) x  (   1)/    e x dU (r ), từ Đ nh Tauberian Karamata (xem Feller [9], XIII, ph n 5) ta c U ( x) ~ L( x 1/ ) x (   1)/ x   ((    1) /   1) Theo gi thi t,   X1  z 1  z  đ n u tới hạn, ta c ( X  x) ~  L( x ) , c0((    1) /  ) x nghĩa X i n đổi ch nh quy với s  C c k t qu c a hàm t ch v c c i n ngẫu nhi n dư ng độc ập c thể ch ng minh ằng c ch ogarit sau đ p dụng c c k t qu tổng 32 qu t tư ng ng c a t nh i n đổi ch nh quy Định lí 2.3.3 Nếu X i đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối thực,  log X1   RV   cho     X1  x1   o    X1  x   Khi ( X1 X n  x) ~ n( X1  x), với n  Chứng minh Với x  0, từ hệ 1.2.2.5 ta c   X1 X n  x     log X1   log X n  log x  ~ n(log X1  log x)  n( X1  x), (đi u ph i ch ng minh) Chú ý: Từ i n đổi ch nh quy c a  log X1  ta c : với x  0,        log X1   x     X1  e x   o   X1  e x   o    log X   x  33 KẾT LUẬN Luận v n thu đƣợc nh ng kết sau: Tr nh ày c h th ng c c đ nh nghĩa t nh chất c a ph n ph i ổn đ nh i n ngẫu nhi n i n đổi ch nh quy Tr nh ày c c t nh chất v ph n ph i giới hạn c a Rn ớp ph n n ph i chuẩn, đưa u ki n để Rn   n  , với Rn  P XY i i i 1 n Y i 1 i n Đưa m i i n h gi a hai u ki n XY i 1 n i i Y i 1 i   P Y(1)( n ) n Y i 1 P   0, i với Y(1)( n )  max Yi  1i  n Tr nh ày s t nh chất x c suất c a t ch c c đại ượng ngẫu nhi n c ph n ph i i n đổi ch nh quy Hƣớng mở luận v n: Ti p tục nghi n c u ph n ph i giới hạn c a Rn ớp ph n ph i chuẩn ớp ph n ph i ổn đ nh Nghi n c u v m i i n h gi a ph n ph i giới hạn c a Rn ớp ph n ph i chuẩn ph n ph i giới hạn c a Rn ph n ph i ổn đ nh 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Qu ng (2008), “Xác suất nâng cao”, NXB Đại học Qu c gia, Hà Nội [2] Nguyễn Duy Ti n, Vũ Vi t Y n (2003), “Lý thuyết xác suất”, NXB Đại học Qu c gia, Hà Nội [3] Breiman L (1965), “On some limit theorems similar to the arc-sin law” Theory Probab Appl 10, p 323-331 [4] Bingham N.H., Go die C M , Teuge s J L (1987), “Regular Variation” Cambridge University Press, Cambridge [5] Dar ing D A (1952), “the role of the maximum term in the sum of independent random variables”, Trans Amer Math Soc, p 95-107 [6] Gnedenco V , Ko mogorov A N (1954), “Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables”, Addison-wesley, Cambridge, Mass [7] Levy P (1962), “Remarques sur un probleme relatif aux lois tables” Stanford Univ Press, Stanford, CA, p 211-218 [8] L eve M, “Probability Theory”, Van Nostrand, Princeton, N J., (1963) [9] Fe er W (1967), “An Introduction to Probability Theory and Its Applications” Vol II, John Wiley & Sons [10] No an J P (2005), “Stable Distributions Model for Heavy Tailed Data” American University‟s press [11] Rychlik Z., Wa czynski T (2001), “Convergence in law of random sums with nonrandom centering” J Math Sci (New York), Vol 106, p 28602864 [12] Uchaikin V.V., Zolotarev V.M (1999), “Chance and Stability” Utrecht: VSP, Netherlands [13] Weron R (2001), “Levy-stable distributions revisited: Tail index > 35 does not exclude the Levy-stable regime” Internationa Journa of Modern Physics.Vol 12 p 209-223 [14] Zolotarev V M (1986), “One-Dimensional Stable Distributions” Amer Math Soc press [15] Takacs L (1958), “On a sojourn time problem”, Theos Prob Applications 3, p 57-65 (English translation) [16] Widder D.V., “The Laplace Tranform”, Princeton Univ Press, Princeton, N.J (1964) ... II ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC- SIN 18 2.1 Một số định lí giới hạn cho dãy Rn Pn 18 ổ đ 1 19 Đ nh 2 21 H qu 2.1.3…………………………………………………………… 22 2.2 Phân phối giới hạn. .. dạng arc- sin i n quan đ n ph n ph i giới hạn c a tổng c trọng s ngẫu nhi n, với trọng s c c i n ngẫu nhi n i n đổi ch nh quy Với nh ng đ ch ng chọn đ tài ? ?Một số định lí giới hạn dạng arc- sin cho... nh giới hạn dạng arc- sin, vi c nghi n c u c c t nh chất x c suất c a ph n ph i i n đổi ch nh quy c c đ nh trọng giới hạn i n quan c vai tr quan thuy t x c suất, đặc i t c c đ nh giới hạn dạng arc- sin