Một số định lý duy nhất trong lý thuyết nevanlina

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI M®T SO бNH LÝ DUY NHAT TRONG LÝ THUYET NEVANLINA LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI M®T SO бNH LÝ DUY NHAT TRONG LÝ THUYET NEVANLINA Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 604601 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS Nguyen Đình Sang, Trưàng Đai HQC Khoa HQC TE Nhiên - ĐHQGHN Hà N®i - 2012 LèI CAM ƠN Trưóc tiên tơi xin đưoc bày to lịng biet ơn đen thay cơng tác tai khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưòng Đai HQ c Khoa HQc Tn nhiên Hà Nđi, ắc biắt l T.S Ninh Vn Thu, nhung ngũi giang day cung cap nhung kien thúc khoa HQc quý báu suot nhung năm HQc vùa qua đe tơi có nen tang kien thúc đe thnc hi¾n lu¾n văn Tiep theo tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói thay giáo hưóng dan PGS TS Nguyen Đình Sang, ngưịi t¾n tình chi bao giúp đõ tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Cuoi xin cam ơn gia đình, ban bè giúp đõ, cő vũ đ®ng viên đóng góp cho tơi nhieu ý kien quý bỏu cuđc song, cụng viắc v hQc t¾p nói chung q trình thnc hi¾n lu¾n văn Xin chúc tác, HQc MQI ngưịi súc khoe, đat đưoc nhieu thành tích cao cơng t¾p nghiên cúu khoa HQ c g¾t hái thêm nhieu thành cơng cu®c song HQc viên: Dương Thanh Mi Mnc lnc LèI CAM ƠN DANH MUC CÁC KÝ HIfiU KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Mđt so khỏi niắm giai tớch phỳc 1.2 M®t so đ%nh lý ve xap xi .15 1.3 Đ%nh lý Montel ve tính chinh hình cna hàm giói han đeu 16 Tính chinh hình cua hàm giái han cua dãy hàm chinh hình 18 2.1 Tính chinh hình cna hàm giói han cna dãy hàm chinh hình m®t bien .18 2.2 Tính chinh hình cna hàm giói han cna dãy hàm chinh hình nhieu bien .23 2.3 Các ví du 24 2.4 Đ%nh lý Cartan ve tính chinh hình cna giói han cna dãy tn cau 28 TÀI LIfiU THAM KHAO 38 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU • Hol(Ω): vành hàm chinh hình mien Ω • Ck(Ω): khơng gian hàm kha vi liên tuc đen cap k trờn ã H(, ) (hoắc Hol(, )): cỏc ánh xa chinh hình tù ω vào Ω • ∆ := {z ∈ C : |z| < 1}: đĩa đơn v% m¾t phang phúc Me ĐAU Vi¾c nghiên cúu tính chat cna hàm giói han cna dãy cỏc hm xỏc %nh trờn mđt hop no ú Rn đưoc nhieu nhà toán HQ c quan tâm nghiên cúu mo r®ng tù mien khơng gian m®t chieu đen khơng gian nhieu chieu Trong giai tích phúc, nhà tốn HQc quan tâm đen tính chinh hình cna hàm giói han (điem ho¾c đeu) cna dãy hàm chinh hình Muc đích cna lu¾n văn trình bày lai ket qua Montel, H Cartan, W F Osgood [7], K R Davidson [2], S Krantz [4], ve chn đe Bo cuc cna lu¾n văn bao gom hai chương: Chương I: Kien thúc chuan b% N®i dung cna chương trình bày m®t so kien thúc ban cna giai tích phúc Các khái ni¾m ban khái ni¾m hàm chinh hình, sn h®i tu điem, sn h®i tu đeu, Đong thịi, chúng tơi giói thi¾u ket qua cő điem cna Montel, Ascoli-Arzela, Runge, StoneWeierstrass, ve tính chinh hình cna hàm giói han tiêu chuan cho sn h®i tu đeu Nhung kien thúc se so cho vi¾c nghiên cúu o chương sau Chương II : Tính chinh hình cna hàm giói han cna dãy hàm chinh hình Trong chương này, chúng tơi giói thi¾u ket qua cna W F Osgood, S Krantz, ve tính chinh hình cna hàm giói han Ket qua chi rang hàm giói han điem cna dãy hàm chinh hình chinh hỡnh mđt mo trự mắt cna mien xác đ%nh Các ví du cu the ve tính chinh hình cna hàm giói han đưoc trình bày đe minh HQA Ngồi ra, chúng tơi giói thi¾u đ%nh lý Cartan ve giói han đeu cna dãy tn cau Ket Lu¾n : Lu¾n văn làm đưac nhEng van đe sau Chúng minh tính chinh hình cna hàm giói han cna dãy hàm chinh hỡnh mđt bien b% chắn iem boi mđt hm kha tích chúng minh tính chinh hình mo trự mắt cna hm giúi han cna mđt dãy hàm chinh hình nhieu bien h®i tu điem Đưa m®t so ví du ve dãy hàm h®i tu điem giói han cna có the khơng chinh hình Chúng minh đ%nh lý mo r®ng Cartan cho mien khơng b% ch¾n Vì đieu ki¾n thịi gian lnc cịn han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Mong nh¾n đưoc sn góp ý cna Thay Cơ ban bè Chương Kien thẫc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm giai tích phÉc Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho Ω mđt mien mắt phang phỳc C, hm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) đưac GQI C - kha vi tai z0 ∈ C neu ton tai giói han huu han lim f (z0 + h) − f (z0) h→0 h Giá tr% giói han đưoc GQI đao hàm phúc cna hàm f (z) tai z0 Hàm MQI f (z) đưoc GQI C - kha vi Ω neu C - kha vi tai z0 ∈ Ω Đ%nh (z) đưoc GQI hàm chsnh hình tai điem z0 ∈ C neu nghĩa C1.1.2 - khaHàm vi taif m®t lân c¾n cna z0 Hàm f (z) đưoc GQI chsnh hình mien Ω neu chinh hỡnh tai MQI iem z thuđc mien Tắp hop MQI hàm chinh hình mien Ω, ký hi¾u H(Ω) Hàm f (z) chsnh hình tai điem vơ neu hàm ϕ(z) =f ( ) chinh hình z tai điem z = Đ%nh nghĩa 1.1.3 Hàm f (z) chinh hình tồn m¾t phang phúc C đưoc gQI hàm nguyên hàm u(x, y) v(x, y) R2 - kha vi Ω hàm u(x, y), Đ%nh lý 1.1.1 Hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) chsnh hình Ω neu v(x, y) thóa mãn đieu ki¾n Cauchy - Riemann, túc ∂u ∂v ∂u = , ∂x ∂y ∂y ∂v = − , ∀(x, y) ∈ Ω ∂x Ω ⊂ C.lýKhi cuahàm mői chsnh điem zhình ∈ Ω, hàm f (z) đưac Đ%nh 1.1.2 Gia sumi f lõn (z) cắn l mđt mien huu han khai trien thành chuői (z − z0) f (z) = f (z0) + 1! J (z − z0)2 f (z0) + 2! JJ f (z0) + (1.1) Hơn nua, chuői h®i tn đeu đen hàm f (z) hình trịn |z − z0| ≤ ρ tùy ý nam Ω điem(1.1 z0 ) đưoc GQI chuői Taylor cna hàm f (z) lân c¾n cna Chuoi Đ%nh nghĩa 1.1.4 Gia su f (z) ∈ H(D) Khi 1) Điem z0 ∈ Ω đưoc GQI không - điem (hay - điem) cna hàm f (z) neu f (z0) = 2) Điem z0 > ∈ 0) Ω đưoc GQI không - điem (n) b¾c m > 0(hay khơng điem cap m (z0) = 0, cho MQI n = 1, (m) cna hàm f (z) neu f , m − f (z0) ƒ= Đ%nh nghĩa 1.1.5 Hàm f (z) đưoc GQI hàm phân hình Ω⊂ C g neu f = g, h hàm chinh hình Ω h ƒ= Ω h Neu D = C ta nói f (z) phân hình C hay đơn gian f (z) hàm phân hình Đ%nh nghĩa 1.1.6 Điem z0 đưac GQI cnc điem cap m > cua hàm (z − )m.h(z), h(z) z0 f (z) neu lân c¾n cua z0 hàm f (z) = hàm chsnh hình lân c¾n cua z0 h(z0) ƒ= Nhắn xột 1.1.1 Cho l mđt mỏ Cn f m®t hàm bien phúc xác đ%nh Ω Khi đó, f chsnh hình Ω neu chs neu vái mői điem a ∈ Ω ton tai tng ỳng mđt lõn cắn U v mđt chuői : Σ α∈N n cα(z − a) = α Σ cα , , α α1, ,αn≤ n (z1 − a1)α1 (zn − an)αn h®i tn tái f (z) vái z ∈ U Ký hi¾u t¾p hàm chsnh hình Ω bái H(Ω) Đ%nh nghĩam1.1.7 Cho Ω mđt mỏ Cn v f = (f1, , fm) : Ω → C m®t ánh xa Chúng ta nói ánh xa f chsnh hình neu hàm fj chsnh hình vái mői ≤ j ≤ m Đ%nh nghĩa %nh nghĩa bái1.1.8 Gia metric Royden -Kobayashi KΩ mien Ω đưac đ f ∈ Hol(∆, Ω) chof (0) = p, f J (0) = →− KΩ (p, X ) { | →− X} ∃r r := inf i)f (D) t¾p má cua D f m®t ánh xa song chsnh hình tù D lên f (D) ii) f (D) ¢ ∂D iii) Ton tai m®t điem a ∈ D cho đ%nh thúc Jacobi det((df )a) ƒ= Chúng minh i)⇒ ii): hien nhiên ii) ⇒ iii): de thay f (D) ⊂ D¯ Tù khang đ%nh ii) suy rang ton tai a ∈ D cho f (a) = b D CHQN mđt lõn cắn V cna a D cho f (V ) ⊂ D Khơng mat tính tőng qt ta có the gia su rang V l mđt mo cna Cn v f (V ) ⊂ Cn 1) = f (z2), o z1, z2 ∈ V Theo gia thiet cna bő đe ta có D cóftính(zBây giị chi rang f |V đơn ánh Thnc v¾y gia su rang chat (IM ), ton tai m®t metric ρ cna D cho ρ cam sinh tơpơ cna D vàρ bat bien dưói Aut(D) Chúng ta có: ρ(f (z1), f (z2)) = = ρ(lim fi(z1), lim fi(z2)) = lim ρ(fi(z1), fi(z2)) = lim ρ(z1, z2) = ρ(z1, z2) Đieu suy rang z1 = z2 Theo đ%nh lý Osgood f (V ) t¾p mo Cn ánh xa han che f |V : V → f (V ) song chinh hình Do ta có đieu phai chúng minh iii) ⇒ i): Đ¾t U = {z ∈ D : det((df )z) ƒ= 0} Khi a ∈ U U mo D Chúng ta se chi rang U đóng D Gia su ngưoc lai U khơng đóng D Khi ton tai m®t điem a ∈ ∂U ∪ D cho det((df )a0 ) = CHQN mđt lõn cắn nho liờn thông V cna a0 D cho ánh xa chinh hình fi |V fn|V có the nđưoc xem xét ánh nhung ánh xa chinh hình tù V ⊂ (C) vào (C) Xét hàm chinh hình Ji : V → (C) J : V → (C) đưoc cho boi Ji(z) = det((df )z) Khi ú dóy {Ji} hđi tu eu trờn moi compact cna V tói J Có Ji(z) vói MQI i vói MQI z fi ∈ Aut(D) M¾t khác, Tù J (a0 ) = V ∪ U ƒ= vói MQI z ∈ V , đieu suy rang J khác hang so Theo Bő đe 2.4.3 có J (z) ƒ= vói MQI z ∈ V Đó đieu mâu thuan Do U t¾p đóng D, mà ta có U mo D nên U = D Theo đ%nh lý hàm ngưoc, f : D → M ánh sa mo vói moi z ∈ D điem l¾p f − 1(f (z)) Theo Bő đe 2.4.1 , S có f (D) ⊂ i≥1 fi(D) = D Su dung tính chat bat bien cna metric ρ cna D đoi vói Aut(D) l¾p lai chúng minh o chi rang f đơn ánh Theo đ%nh lý Osgood ta suy f : D → f (D) song chinh hình Bo đe 2.4.5 [3, Thm 5.5.1, p 268] Cho ρ m®t metric m®t đa tap compact D cho ρ cam sinh tô pô cua D ρ bat bien dưái Aut(D) Cho a m®t điem cua D Gia su rang f : D → D m®t ánh xa chsnh hình thóa mãn đieu ki¾n sau: i) f (a) = a ii)| det((df )a )| = iii)f m®t cn đoi vái ρ túc ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y)) vái MQI x, y ∈ D Khi f m®t ánh xa song chsnh hình ∞ M¾nh Giaváisulim {AAi }∞ i=1 {Ωi } i=1 hai dãy mien đađe tap2.4.6 phúc M i = A0 lim Ωi = Ω0 A0 Ω0 mien M Gia su rang {fi : Ai → Ωi } m®t dãy song chsnh hình Gia su thêm rang dãy {fi : Ai → M } h®i tn đeu t¾p compact cua A0 đen ánh xa chsnh hình F : A0 → M dãy −1 {gi := fi : Ωi → M} h®i tn đeu t¾p compact cua Ω0 đen ánh xa chsnh hình G : Ω0 → M Khi m®t hai khang đ%nh sau (i) A Dãyvà{f i } phân kỳ compact, nghĩa vái mői t¾p compact K ⊂ mői t¾p compact L ⊂ Ω0 , ton tai i0 cho fi (K) ∩ L = ∅ vái MQI i ≥ i0 , ho¾c t¾p compact chsnh hình F : A0 → Ω0 (ii) Ton tai m®t dãy cua {fi A}0⊂đen {fsong i } cho dãy {fi } h®i tn đeu j j H.Cartan [1] chúng minh đ%nh lý sau ve tính compact cna HQ ánh xa song chinh Đ%nh lý 2.4.7 Cho Ω t¾p b% ch¾n Cn Gia thiet rang {fi } m®t dãy ánh xa song chsnh hình fi : Ω → v hđi tn eu trờn mi compact cua Ω tái m®t ánh xa f Khi ba khang đ%nh sau tương đương: (i) f ánh xa song chsnh hình tù Ω lên Ω (ii) f (Ω) ƒ⊂ ∂Ω , biên cua Ω lay Cn (iii) Đ%nh thúc Jacobian det[fJ(z)] không đong nhat bang không Ω Chúng minh i) ⇒ ii) Hien nhiên ton tai a ∈ Ω cho f (a) = b ∈ Ω Đ¾t gj = fj−1 Do Ω mien b % ch¾n ii) ⇒ iii) Ta có f (Ω) ⊂ Ω Do neu có 3) f (Ω) ∩ Ω ƒ= ∅ Khi nên ton tai dãy {gjk } cna dãy {gj} h®i tu đeu tùng compact cna Ω tói g : Ω → Cn ( Đ%nh lý Montel ) Ta có g(b) = lim k fj−1 (f (a)), nua fjk (a) → f (a) mđt compact cna ( gia thiet ) Do k k→∞ h®i tu đeu tùng compact cna Ω nên ta có fj −1 g(b) = lim f k→∞ j −1 k Tù g(b) = a ∈ Ω CHQN (a)) = lim a = a ( k→ ∞ k fj V lân c¾n đn nho cna b Khi g(V ) nam mđt compact cna Do ú ton tai K compact Ω cho gjk (V ) ⊂ K ( k đn lón ) Khi vói f (g(x)) = lim k→ ∞ = lim k→ ∞ =x MQI x ∈ V ta có : f (gjk (x)) fjk (gvk (x))( gjk (V ) ⊂ K fjk h®i tu đeu K) Tù kéo theo (df )g(x) ◦ (dg)x = id vói ∀x ∈ V V¾y (det(Jf )y) ƒ= 0, ∀y ∈ g(V ) iii) ⇒ i) Ta có dãy hàm J (x) = det(Jf (x))∞j=1 chinh hình Ω h®i tu tói J (x) = det(Jf j(x)) tùngj compact cna Ω Hơn nua theo iii) ta có J ƒ≡ m¾t khác Jj (x) ƒ= vói ∀j ∀x ∈ Ω Vì v¾y J (x) vói ∀x ∈ Ω l¾p cna f −1f (x) Theo Bő đe 2.4.1 f : Ω → Cn m®t ánh xa mo vói ∀x ∈ Ω điem Tù Bő đe 2.4.2 ta suy f (Ω) ⊂ ∪fj(Ω) = Ω Đ¾t gj = fj−1 Do Ω b% ch¾n nên ton tai dãy {gjk } ⊂ {gj} cho {gjk } h®i tu đeu tùng compact cna Ω tói g Khi vói MQI x ∈ Ω dãy {fj (x)} h®i tu tói f (x) ∈ Ω Tù ta có g(f (x)) = lim gjk (fjk (x)) = x, ∀x ∈ D k→∞ Do det(Jg)y vói ∀y ∈ f (Ω) M¾t khác det(Jgj )(x) ƒ= vói ∀j ∀x ∈ Ω MQI x ∈ Ω đeu điem l¾p cna g −1(g(x))( Theo Bő đe 2.4.1 ) Do Tù det(Jg)x ƒ= vói ∀x ∈ Ω Suy g : Ω → Cn m®t ánh xa mo theo Bő đe 2.4.2 ta có g(Ω) ⊂ ∪gj (Ω) = Ω Do gj (x) nam m®t t¾p compact cna Ω vói moi x ∈ Ω Do f (g(x)) = lim fjk (gjk (x)) = x k→∞ V¾y f ◦ g = id, g ◦ f = id hay f ∈ Aut(Ω) M®t van đe mo đưoc đ¾t đ%nh lý H.Cartan trưịng hop mien bat kỳ có cịn khơng Neu khơng cịn có the đưa m®t đ%nh lý tương tn đ%nh lý cna H.Cartan ? Đ%nh lý m®t mo r®ng cna đ%nh lý Cartan cho mien khơng b% ch¾n Đ%nh lý 2.4.8 Gia su Ω mien b% ch¾n Cn Khi Aut(Ω) khơng compact ( vái tô pô compact _má ) neu chs neu ton tai p ∈ Ω m®t dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) cho dãy {fj (p)}∞j=1 h®i tn tái m®t điem nam biên cua Ω Chúng minh (” ⇐ ”): Neu ton tai p ∈ Ω m®t dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) cho dãy {fj (p)}∞j=1 h®i tu tói m®t điem nam biên cna Ω ta can chúng minh Aut(Ω) không compact Do Ω mien b% ch¾n nên tù dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) có the trích m®t dãy h®i tu tói hàm chinh hình f (Hurwitz) Ta có f (p) =lim fj (p) theo gia thiet f (p) ∈ ∂Ω v¾y k→∞ k f Aut(Ω) khơng ∈/ Aut(Ω) Do compact (” ⇒ ”): Gia thiet Aut(Ω) không compact Ta can chúng minh ton tai p ∈ Ω m®t dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) cho dãy {fj (p)}∞j=1 h®i tu tói m®t điem nam biên cna Ω ∞ chúng gia ∞ su vói MQI p ∈ Ω vói MQI dãy {fj } j=1 ∈ Aut(Ω) thìPhan dãy {f (p)} ∈ Aut(Ω) khơng h®i tu tói điem nam biên cna j j=1 Ω Do Ω b% ch¾n nên MQI dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) đeu có the trích m®t dãy {fj ∞k=1 h®i tu theo gia thiet f (p) = fjk (p) ∈/ ∂Ω }k lim k→∞ fj ∈ Aut(Ω) nên f (p) ∈ Ω tù G(q) = {f (q)|f ∈ Aut(Ω)} compact Xét dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) tùy ý Do Ω b% ch¾n nên ton tai m®t dãy {fjk } −→ f chinh hình Ta có the gia thiet dãy tương úng −1 k {fjk−1} −→ g chinh hình Do kfj−1 ∈ Aut(Ω) nên |detJf j (x)| ≤ M < ∞ vói ∀x ∈ K ⊂ Ω, Kcompact Ta có f (p) ∈ Ω vói ∀p ∈ Ω ,Ω b% ch¾n nên k |detJfkj−1 (x)| ≤ M < ∞ vói ∀x ∈ Ω Tù |detJf j (x)| ≥ vói ∀x ∈Ω nên |detJf (x)| ≥ v¾y f 1-1 Ω tương tn g - Ω v¾y f, g ngh%ch đao cna Tù suy rang f ∈ AutΩ vơ lý Aut(Ω) khơng compact Trong trưịng hop mien Ω khơng bi ch¾n: Đ%nh lý 2.4.9 Gia su Ω mien Cn Khi Neu Aut(Ω) không compact ( vái tô pô compact _má ) thỡ mđt hai ieu kiắn sau õy xay ra: (a) Ton tai {pj }∞j=1 « Ω ton tai {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) thóa mãn lim fj(pj) ∈ ∂Ω ∪ {∞} j→ ∞ (b) Ton tai {pj }∞j=1 « Ω ton tai {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) thóa mãn lim ||Jfj (pj )|| = ∞ j→ ∞ Neu mđt hai ieu kiắn: (a) Ton tai {pj }j=1 « Ω ton tai {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) thóa mãn lim fj(pj) ∈ ∂Ω ∪ {∞} j→ ∞ (b) Ton tai {pj }∞j=1 « Ω ton tai {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) thóa | | mãn lim detJfj(pj) = j→∞ Aut(Ω) khơng compact Chúng minh Chúng ta chúng minh khang đ%nh trưóc Trưịng hop 1: Neu (a) xay túc ton tai {pj }∞j=1 « Ω ton tai j→ {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) thoa mãn lim fj (pj ) ∈ ∂Ω ∪ {∞} Ta phai chúng ∞ minh Aut(Ω) không compact Phan chúng gia su Aut(Ω) compact Khi ton tai m®t dãy {fjk } ∞ k=1 cna dãy {fj } lim ∞ j=1 fjk = f f ∈ Aut(Ω) cho k→∞ Do pj « Ω ta có the gia thiet lim pj = p ∈ Ω Tù ta có j→∞ f (p) = lim fj(pj) ƒ∈ ∂Ω ∪ {∞} (mâu thuan) j→ ∞ V¾y Aut(Ω) khơng compact Trưòng hop 2: Neu (b) xay túc ton tai {pj }∞j=1 « Ω ton tai j→mãn lim |detJfj (pj )| = Ta chúng minh {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) thoa ∞ không compact Aut(Ω) Phan chúng gia su Aut (Ω) compact Khi ton tai m®t dãy {fjk } ∞ k=1 cna dãy {fj } lim ∞ j=1 cho fjk = f f ∈ Aut(Ω) k→∞ Ta có ho¾c detJf (x) = vói ∀x ∈ Ω ho¾c detJf (x) ƒ= vói ∀x ∈Ω (ĐL Hurwitz) Do f ∈ Aut(Ω) nên detJf ƒ= vói ∀x ∈ Ω (mâu thuan) V¾y Aut(Ω) không compact Chúng minh khang đ%nh : Gia su Aut(Ω) không compact Chúng ta can phai chúng minh neu (a) khơng xay (b) xay Gia su (a) không xay túc dãy {fj (pj )} « Ω vói vói MQI MQI dãy {pj } « Ω dãy {fj } bat kỳ Aut(Ω) Trưàng hap 1: Ton tai dãy {fj } không chuan tac Khi ton tai dãy {zj }∞j=1 « Ω; {ξj }∞j=1 ∈ Cn \ {0} vói ||ξj || = vói ∀j cho: E(fj(zj), dfj(zj)(ξj)) −→ ∞ j → ∞ Ta có (Jfj (zj)) = sup E(fj(zj), dfj(zj)(ξ)) || | ||ξ||=1 | ≥ E(fj(zj), dfj(zj)(ξj)) Do E(fj (zj ), dfj (zj )(ξj )) → ∞ j → ∞ nên ||Jfj (zj )|| → ∞ j → ∞ Trưàng hap 2: Trong trưòng hop ta có the gia su MQI dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) đeu chuan tac M¾t khác gia thiet m¾nh đe (a) không xay nên MQI dãy {fj }∞j=1 ∈ Aut(Ω) đeu không phân kỳ compact Ta se chúng minh Aut(Ω) t¾p compact ∞ ∞ Lay dãy {fj } j=1 ∞ ∈ cna dãy {f j } j=1 k=1 ¯ Aut(Ω) bat kỳ Khi ton tai dãycna {f jk } hđi tu eu cỏc compact Ω đen f −1 ∈ Hol(Ω, Ω ) Đ¾t {gj = fj }∞j=1 ∈∞ Aut(Ω) Khi khơng mat tính tőng qt ta có the gia su dãy {gjk } k=1 hđi tu eu trờn cỏc compact cna Ω đen g ∈ Hol(Ω, Ω¯ ) Theo M¾nh đe 2.4.6 f ∈ Aut(Ω) Do Aut(Ω) compact ( đieu mâu thuan vói gia thiet Aut(Ω) khơng compact ) V¾y Trưịng hop khơng xay Ví dn 2.4.10 Vái Ω = C dãy {fj = aj z + bj }∞j=1 ⊂ Aut(Ω) • Trưàng hap 1: lim aj = a0 ƒ= 0, lim bj = b0 dãy {fj }∞j=1 chuan j→∞ j→∞ tac • Trưàng hap 2: lim aj = 0, lim bj = b0 dãy {fj }∞j=1 khơng chuan j→∞ j→∞ tac ã Trng hap 3: lim aj = hoắc lim bj = ∞ dãy {fj }∞j=1 phân j→∞ j→∞ kỳ compact Ví dn 2.4.11 Dãy {fn = (n1 z1, nz2 )}∞n=1.Ta có : ||Jfn || −→ ∞ n→∞ Nhưng detJfn (z1 , z2) = detJfn−1 (z1, z2 ) = vái ∀n = 1, Tài li¾u tham khao [1] H.Cartan, Sur les fonctions de plusieurs variables complex: L’iteration des trans- formations interieurs d’un domain borne, Math Zeit (1932), 760-773 [2] K R Davidson, Pointwise limits of analytic functions, Amer Math Monthly 90 (1984), 391-394 [3] S Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der Mathema- tischen Wissenschaften, vol 318, Spinger- Verlag, Berlin, 1998 [4] S Krantz, On limits of sequences of holomorphic functions, Arxiv:1010.1285v1, 2010 [5] S Lang, Introduction to complex hyperbolic spaces, Spinger- Verlag, New York, 1987 [6] R Narasimhan, Serveral complex variables, The University of Chicago Press, Chicago, III- London, 1971 [7] W F Osgood, Note on the functions defined by infinite series whose terms are analytic functions of a complex variable, with corresponding results for definite intergrals, Ann Math (1901), 25-34 ... %nh lý H.Cartan trưịng hop mien bat kỳ có cịn khơng Neu khơng cịn có the đưa m®t đ%nh lý tương tn đ%nh lý cna H.Cartan ? Đ%nh lý m®t mo r®ng cna đ%nh lý Cartan cho mien khơng b% ch¾n Đ%nh lý 2.4.8... GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI M®T SO бNH LÝ DUY NHAT TRONG LÝ THUYET NEVANLINA Chuyên ngành: Toán giai tích Mã so: 604601 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI... má Chúng minh Ta ý rang đ%nh lý Montel van cho trưòng hop hàm nhieu bien Do đó, đ%nh lý đưoc chúng minh bang l¾p lu¾n tương tn l¾p lu¾n chúng minh Đ%nh lý 2.1.1 Đ%nh lý 2.2.2 Gia su {fj } dãy hàm