Một số định lý duy nhất trong lý thuyết Nevanlina : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT TRONG LÝ THUYẾT NEVANLINA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————- DƯƠNG THANH MI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT TRONG LÝ THUYẾT NEVANLINA Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Sang, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQGHN Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy cơng tác khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, đặc biệt T.S Ninh Văn Thu, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức để thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đình Sang, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để hồn thành luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ, cổ vũ động viên đóng góp cho tơi nhiều ý kiến quý báu sống, công việc học tập nói chung q trình thực luận văn Xin chúc người sức khỏe, đạt nhiều thành tích cao cơng tác, học tập nghiên cứu khoa học gặt hái thêm nhiều thành công sống Học viên: Dương Thanh Mi Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm giải tích phức 1.2 Một số định lý xấp xỉ 15 1.3 Định lý Montel tính chỉnh hình hàm giới hạn 16 Tính chỉnh hình hàm giới hạn dãy hàm chỉnh hình 18 2.1 Tính chỉnh hình hàm giới hạn dãy hàm chỉnh hình biến 18 2.2 Tính chỉnh hình hàm giới hạn dãy hàm chỉnh hình nhiều biến 23 2.3 Các ví dụ 24 2.4 Định lý Cartan tính chỉnh hình giới hạn dãy tự đẳng cấu 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • Hol(Ω): vành hàm chỉnh hình miền Ω • C k (Ω): khơng gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω • H(ω, Ω) (hoặc Hol(ω, Ω)): tập ánh xạ chỉnh hình từ ω vào Ω • ∆ := {z ∈ C : |z| < 1}: đĩa đơn vị mặt phẳng phức MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu tính chất hàm giới hạn dãy hàm xác định tập hợp Rn nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng từ miền không gian chiều đến khơng gian nhiều chiều Trong giải tích phức, nhà tốn học quan tâm đến tính chỉnh hình hàm giới hạn (điểm đều) dãy hàm chỉnh hình Mục đích luận văn trình bày lại kết Montel, H Cartan, W F Osgood [7], K R Davidson [2], S Krantz [4], chủ đề Bố cục luận văn bao gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức giải tích phức Các khái niệm khái niệm hàm chỉnh hình, hội tụ điểm, hội tụ đều, Đồng thời, giới thiệu kết cổ điểm Montel, Ascoli-Arzela, Runge, Stone-Weierstrass, tính chỉnh hình hàm giới hạn tiêu chuẩn cho hội tụ Những kiến thức sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương II : Tính chỉnh hình hàm giới hạn dãy hàm chỉnh hình Trong chương này, chúng tơi giới thiệu kết W F Osgood, S Krantz, tính chỉnh hình hàm giới hạn Kết hàm giới hạn điểm dãy hàm chỉnh hình chỉnh hình tập mở trù mật miền xác định Các ví dụ cụ thể tính chỉnh hình hàm giới hạn trình bày để minh họa Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu định lý Cartan giới hạn dãy tự đẳng cấu Kết Luận : Luận văn làm vấn đề sau Chứng minh tính chỉnh hình hàm giới hạn dãy hàm chỉnh hình biến bị chặn điểm hàm khả tích chứng minh tính chỉnh hình tập mở trù mật hàm giới hạn dãy hàm chỉnh hình nhiều biến hội tụ điểm Đưa số ví dụ dãy hàm hội tụ điểm giới hạn khơng chỉnh hình Chứng minh định lý mở rộng Cartan cho miền không bị chặn Vì điều kiện thời gian lực cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Mong nhận góp ý Thầy Cô bạn bè Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm giải tích phức Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω miền mặt phẳng phức C, hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) gọi C - khả vi z0 ∈ C tồn giới hạn hữu hạn f (z0 + h) − f (z0 ) h→0 h lim Giá trị giới hạn gọi đạo hàm phức hàm f (z) z0 Hàm f (z) gọi C - khả vi Ω C - khả vi z0 ∈ Ω Định nghĩa 1.1.2 Hàm f (z) gọi hàm chỉnh hình điểm z0 ∈ C C - khả vi lân cận z0 Hàm f (z) gọi chỉnh hình miền Ω chỉnh hình điểm z thuộc miền Ω Tập hợp hàm chỉnh hình miền Ω, ký hiệu H(Ω) Hàm f (z) chỉnh hình điểm vô hàm ϕ(z) = f ( ) chỉnh hình z điểm z = Định nghĩa 1.1.3 Hàm f (z) chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C gọi hàm nguyên Định lý 1.1.1 Hàm f (z) = u(x, y) + iv(x, y) chỉnh hình Ω hàm u(x, y) v(x, y) R2 - khả vi Ω hàm u(x, y), v(x, y) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann, tức ∂u ∂v ∂u ∂v = , = − , ∀(x, y) ∈ Ω ∂x ∂y ∂y ∂x Định lý 1.1.2 Giả sử f (z) hàm chỉnh hình miền hữu hạn Ω ⊂ C Khi lân cận điểm z0 ∈ Ω, hàm f (z) khai triển thành chuỗi f (z) = f (z0 ) + (z − z0 ) (z − z0 )2 f (z0 ) + f (z0 ) + 1! 2! (1.1) Hơn nữa, chuỗi hội tụ đến hàm f (z) hình trịn |z − z0 | ≤ ρ tùy ý nằm Ω Chuỗi (1.1) gọi chuỗi Taylor hàm f (z) lân cận điểm z0 Định nghĩa 1.1.4 Giả sử f (z) ∈ H(D) Khi 1) Điểm z0 ∈ Ω gọi không - điểm (hay - điểm) hàm f (z) f (z0 ) = 2) Điểm z0 ∈ Ω gọi không - điểm bậc m > 0(hay không - điểm cấp m > 0) hàm f (z) f (n) (z0 ) = 0, cho n = 1, , m − f (m) (z0 ) = Định nghĩa 1.1.5 Hàm f (z) gọi hàm phân hình Ω ⊂ C g f = g, h hàm chỉnh hình Ω h = Ω h Nếu D = C ta nói f (z) phân hình C hay đơn giản f (z) hàm phân hình Định nghĩa 1.1.6 Điểm z0 gọi cực điểm cấp m > hàm f (z) lân cận z0 hàm f (z) = h(z), h(z) (z − z0 )m hàm chỉnh hình lân cận z0 h(z0 ) = Nhận xét 1.1.1 Cho Ω tập mở Cn f hàm biến phức xác định Ω Khi đó, f chỉnh hình Ω với điểm a ∈ Ω tồn tương ứng lân cận U chuỗi : cα (z − a)α = α∈Nn cα1 , ,αn (z1 − a1 )α1 .(zn − an )αn α1 , ,αn ≤0 hội tụ tới f (z) với z ∈ U Ký hiệu tập hàm chỉnh hình Ω H(Ω) Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω tập mở Cn f = (f1 , , fm ) : Ω → Cm ánh xạ Chúng ta nói ánh xạ f chỉnh hình hàm fj chỉnh hình với ≤ j ≤ m Định nghĩa 1.1.8 Giả metric Royden -Kobayashi KΩ miền Ω định nghĩa → − → − KΩ (p, X ) := inf{ | ∃f ∈ Hol(∆, Ω) chof (0) = p, f (0) = r X } r → − với p ∈ Ω X ∈ Cn 10 dãy hàm nguyên Fn cho Fn (z) = F (nz) hội tụ điểm C đến hàm giới hạn g , g nhận giá trị (0, +∞) nhận giá trị C \ [0, +∞) × (−π, +π) Bây ta tiến hành xây dựng hàm E có tính chất nêu Thật vậy, với số dương a >) ta gọi γa đường cong biên nửa dải Ha mặt phẳng R2 cho Ha = (a, +∞) gọi miền giới hạn Ha Ea miền Ha Chú ý a < b Ea ⊂ Eb Ha ∩ Eb hình chữ nhật mở (a, b) × (−π, +π) Đặt f (z) = exp(exp(z)) Khi đó, |f (x ± iπ)| = 1/ exp(exp(x)) nên |f | khả tích γa với giá trị tích phân f 1,a lấy theo |dz| Điều đảm bảo hàm Ia (z) = 2πi γa f (w) dw w−z tồn giải tích phần bù γa Hiển nhiên, ta có đánh giá |Ia (z)| ≤ f 1,a 2πdist(z, γa ) Ước lượng Ia có giới hạn không tiếp xúc z → ∞ theo hướng trừ hướng dọc theo trục thực dương Ia bị chặn đoạn [a + 1, +∞) Thực tế, I(x) → x → +∞ Tiếp theo, giả sử < a < b z ∈ γa ∪ γb Khi đó, ta có Ib (z) − Ia (z) = 2πi f (w) = f (z)χa,b (z), ∂(Ha ∩Eb ) w − z χa,b hàm đặc trưng hình chữ nhật Ha ∩ Eb Điều Ib (z) = Ia (z) Ea ∪a Ea = C Tức là, ta định nghĩa hàm nguyên E cách đặt E(z) = Ia (z) Ea với a Đặc 24 biệt, hàm E có giới hạn khơng tiếp xúc ∞ theo hướng trừ hướng dọc theo trục thực dương R+ Nếu x ∈ Ha ∩ R+ ta chọn số b > x Khi đó, x ∈ Eb E(x) = Ib (x) = Ia (x) + f (x) = O(1) + exp(exp(x)) x → +∞ Từ đó, Re[E(x)] → +∞ x → +∞ Như vậy, hàm E hàm cần tìm Ví dụ 2.3.2 Gọi U = {z ∈ C : |Re z| < 1, |Im z| < 1} Với j = 1, 2, · · · , ta định nghĩa Sj = {z ∈ U : 1 1 ≤ |Re z| ≤ 1− , ≤ |Im z| ≤ 1− } [j + 2] [j + 2] [j + 2] [j + 2] Với j áp dụng định lý Runge tập Sj ∪ Tj Chú ý phần bù tập Sj ∪ Tj liên thơng Do đó, ta đẩy cực hàm xấp xỉ vào phần bù tập U Sau đó, với j xây dựng hàm fj U cho |fj (z) − 0| < 1/j với z ∈ Tj , |fj (z) − 1| < 1/j với z ∈ Sj Dễ dàng thấy dãy {fj } hội tụ đến hàm f cho    0 z ∈ U \ {z ∈ U : Re z = Im z = 0} f (z) =   1 z ∈ U ∩ {z ∈ U : Re z = Im z = 0} Vì vậy, hàm giới hạn f chỉnh hình tập mở trù mật U tập loại trừ hai trục tọa độ U 25 Ví dụ 2.3.3 Gọi Kn hợp thành điểm {0}, đoạn [1/n, n] tập compact Sn := {z ∈ C : |z| ≤ n dist(z, R+ ) ≥ 1/n} Gọi gn dãy hàm giải tích triệt tiêu lân cận Sn [1/n, n] đồng hình cầu quanh {0} Gọi pn đa thức nhận cách sử dụng định lý Runge cho |pn (z) − gn (z)| < 1/n với z Kn Với z mặt phẳng phức thuộc Kn với n đủ lớn Khi đó, giới hạn limn→∞ pn (z) tồn tại điểm không khắp nơi trừ {0} với giá trị điểm Theo cách xây dựng, giới hạn tập Sn Vì vậy, hội tụ C \ [0, ∞] Dãy {pn } không hội tụ lân cận {0} hàm giới hạn khơng liên tục {0} Thực tế, khơng hội tụ lân cận điểm trục thực dương Để chứng tỏ điều này, ta ý dãy {pn } hội tụ hình cầu U bán kính r, tâm điểm x > |pn (z)| < 1/2 U với n ≥ r > 1/n Thêm nữa, |pn (z)| < 1/n ≤ 1/2 Sn Nhưng hợp thành Sn U chứa đường tròn bán kính x tâm gốc tọa độ Vì vậy, từ nguyên lý mô đun cực đại ta suy |pn (0)| < 1/2 Điều mâu thuẫn Ví dụ 2.3.4 Gọi Ln hợp thành Kn điểm {1/(2n)} Gọi hn hàm giải tích lân cận Ln , gần Kn điểm {1/(2n)} Cũng giống ví dụ trên, áp dụng định lý Runge tồn đa thức qn cho |qn (z) − hn (z)| < 1/n Ln Rõ ràng dãy {qn } hội tụ điểm đến nơi Tuy nhiên, hội tụ không gần điểm 26 {0} qn (1/2n) xấp xỉ Lập luận ví dụ trên, hội tụ tập Sn hội tụ khơng gần điểm trục thực dương 2.4 Định lý Cartan tính chỉnh hình giới hạn dãy tự đẳng cấu Dưới số kết cần dùng : Bổ đề 2.4.1 Giả sử Ω ⊂ Cn f : Ω → Cn ánh xạ chỉnh hình giả thiết det(df (a)) = với a ∈ Ω Khi tồn lân cận U a V f (a) cho f (U ) ⊂ V vàf |V đẳng cấu Bổ đề 2.4.2 [6, Prop 5, p.79 ] Cho D miền đa tạp phức M Cho{ϕi } dãy ánh xạ mở từ D vào M Giả sử dãy {ϕi } hội tụ tập compact D tới ánh xạ ϕ : D → M Giả sử a ∈ D, a điểm cô lập ϕ−1 (ϕ(a)) Khi với lân cận mở U a , tồn i0 cho ϕ(a) ∈ ϕ(U ) với i ≥ i0 Bổ đề 2.4.3 [6, Cor., p.80] Giả sử M đa tạp phức {fi } dãy hàm chỉnh hình M , dãy hội tụ tập compact M tới hàm chỉnh hình f Khi fi (z) = với tất z, i f khác số f (z) = với z ∈ M Bổ đề 2.4.4 Cho D miền đa tạp phức M cho D có tính chất (IM ) Giả sử {fi } ⊂ Aut(D) hội tụ tập compact D tới ánh xạ f Khi khẳng định sau tương đương: 27 i)f (D) tập mở D f ánh xạ song chỉnh hình từ D lên f (D) ii) f (D) ∂D iii) Tồn điểm a ∈ D cho định thức Jacobi det((df )a ) = Chứng minh i)⇒ ii): hiển nhiên ¯ Từ khẳng định ii) suy tồn ii)⇒ iii): dễ thấy f (D) ⊂ D a ∈ D cho f (a) = b ∈ D Chọn lân cận V a D cho f (V ) ⊂ D Khơng tính tổng qt ta giả sử V tập mở Cn f (V ) ⊂ Cn Bây f |V đơn ánh Thực giả sử f (z1 ) = f (z2 ), z1 , z2 ∈ V Theo giả thiết bổ đề ta có D có tính chất (IM ), tồn metric ρ D cho ρ cảm sinh tôpô D vàρ bất biến Aut(D) Chúng ta có: ρ(f (z1 ), f (z2 )) = = ρ(lim fi (z1 ), lim fi (z2 )) = lim ρ(fi (z1 ), fi (z2 )) = lim ρ(z1 , z2 ) = ρ(z1 , z2 ) Điều suy z1 = z2 Theo định lý Osgood f (V ) tập mở Cn ánh xạ hạn chế f |V : V → f (V ) song chỉnh hình Do ta có điều phải chứng minh iii) ⇒ i): Đặt U = {z ∈ D : det((df )z ) = 0} Khi a ∈ U U mở D Chúng ta U đóng D 28 Giả sử ngược lại U khơng đóng D Khi tồn điểm a0 ∈ ∂U ∪ D cho det((df )a0 ) = Chọn lân cận nhỏ liên thông V a0 D cho ánh xạ chỉnh hình fi |V f |V xem xét ánh ánh xạ chỉnh hình từ V ⊂ (C)n vào (C)n Xét hàm chỉnh hình Ji : V → (C) J : V → (C) cho Ji (z) = det((df )z ) Khi dãy {Ji } hội tụ tập compact V tới J Có Ji (z) = với i với z fi ∈ Aut(D) Mặt khác, Từ J(a0 ) = V ∪ U = với z ∈ V , điều suy J khác số Theo Bổ đề 2.4.3 có J(z) = với z ∈ V Đó điều mâu thuẫn Do U tập đóng D, mà ta có U mở D nên U = D Theo định lý hàm ngược, f : D → M ánh sạ mở với z ∈ D điểm cô lập f − 1(f (z)) Theo Bổ đề 2.4.1 , có f (D) ⊂ i≥1 fi (D) = D Sử dụng tính chất bất biến metric ρ D Aut(D) lặp lại chứng minh f đơn ánh Theo định lý Osgood ta suy f : D → f (D) song chỉnh hình Bổ đề 2.4.5 [3, Thm 5.5.1, p 268] Cho ρ metric đa tạp compact D cho ρ cảm sinh tô pô D ρ bất biến Aut(D) Cho a điểm D Giả sử f : D → D ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn điều kiện sau: i) f (a) = a ii)|det((df )a )| = 29 iii)f đẳng cự ρ tức ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y)) với x, y ∈ D Khi f ánh xạ song chỉnh hình ∞ Mệnh đề 2.4.6 Giả sử {Ai }∞ i=1 {Ωi }i=1 hai dãy miền đa tạp phức M với lim Ai = A0 lim Ωi = Ω0 A0 Ω0 miền M Giả sử {fi : Ai → Ωi } dãy song chỉnh hình Giả sử thêm dãy {fi : Ai → M } hội tụ tập compact A0 đến ánh xạ chỉnh hình F : A0 → M dãy {gi := fi−1 : Ωi → M } hội tụ tập compact Ω0 đến ánh xạ chỉnh hình G : Ω0 → M Khi hai khẳng định sau (i) Dãy {fi } phân kỳ compact, nghĩa với tập compact K ⊂ A0 tập compact L ⊂ Ω0 , tồn i0 cho fi (K) ∩ L = ∅ với i ≥ i0 , (ii) Tồn dãy {fij } ⊂ {fi } cho dãy {fij } hội tụ tập compact A0 đến song chỉnh hình F : A0 → Ω0 H.Cartan [1] chứng minh định lý sau tính compact họ ánh xạ song chỉnh Định lý 2.4.7 Cho Ω tập bị chặn Cn Giả thiết {fi } dãy ánh xạ song chỉnh hình fi : Ω → Ω hội tụ tập compact Ω tới ánh xạ f Khi ba khẳng định sau tương đương: 30 (i) f ánh xạ song chỉnh hình từ Ω lên Ω (ii) f (Ω) ⊂ ∂Ω , biên Ω lấy Cn (iii) Định thức Jacobian det[f (z)] không đồng không Ω Chứng minh i) ⇒ ii) Hiển nhiên ii) ⇒ iii) Ta có f (Ω) ⊂ Ω Do có 3) f (Ω) ∩ Ω = ∅ Khi tồn a ∈ Ω cho f (a) = b ∈ Ω Đặt gj = fj−1 Do Ω miền bị chặn nên tồn dãy {gjk } dãy {gj } hội tụ compact Ω tới g : Ω → Cn ( Định lý Montel ) Ta có g(b) = lim fj−1 (f (a)), k k→∞ fjk (a) → f (a) tập compact Ω ( giả thiết ) Do fj−1 hội tụ compact Ω nên ta có k g(b) = lim fj−1 (fjk (a)) = lim a = a k k→∞ k→∞ Từ g(b) = a ∈ Ω Chọn V lân cận đủ nhỏ b Khi g(V ) nằm tập compact Ω Do tồn tập K compact Ω cho gjk (V ) ⊂ K ( k đủ lớn ) Khi với x ∈ V ta có : f (g(x)) = lim f (gjk (x)) k→∞ = lim fjk (gvk (x))( gjk (V ) ⊂ K fjk hội tụ K) k→∞ =x Từ kéo theo (df )g(x) ◦ (dg)x = id với ∀x ∈ V Vậy (det(Jf )y ) = 0, ∀y ∈ g(V ) 31 iii) ⇒ i) Ta có dãy hàm Jj (x) = det(Jfj (x))∞ j=1 chỉnh hình Ω hội tụ tới J(x) = det(Jf (x)) compact Ω Hơn theo iii) ta có J ≡ mặt khác Jj (x) = với ∀j ∀x ∈ Ω Vì J(x) = với ∀x ∈ Ω Theo Bổ đề 2.4.1 f : Ω → Cn ánh xạ mở với ∀x ∈ Ω điểm cô lập f −1 f (x) Từ Bổ đề 2.4.2 ta suy f (Ω) ⊂ ∪fj (Ω) = Ω Đặt gj = fj−1 Do Ω bị chặn nên tồn dãy {gjk } ⊂ {gj } cho {gjk } hội tụ compact Ω tới g Khi với x ∈ Ω dãy {fj (x)} hội tụ tới f (x) ∈ Ω Từ ta có g(f (x)) = lim gjk (fjk (x)) = x, ∀x ∈ D k→∞ Do det(Jg)y = với ∀y ∈ f (Ω) Mặt khác det(Jgj )(x) = với ∀j ∀x ∈ Ω Từ det(Jg)x = với ∀x ∈ Ω Suy g : Ω → Cn ánh xạ mở x ∈ Ω điểm cô lập g −1 (g(x))( Theo Bổ đề 2.4.1 ) Do theo Bổ đề 2.4.2 ta có g(Ω) ⊂ ∪gj (Ω) = Ω Do gj (x) nằm tập compact Ω với x ∈ Ω Do f (g(x)) = lim fjk (gjk (x)) = x k→∞ Vậy f ◦ g = id, g ◦ f = id hay f ∈ Aut(Ω) Một vấn đề mở đặt định lý H.Cartan trường hợp miền có cịn khơng Nếu khơng cịn đưa 32 định lý tương tự định lý H.Cartan ? Định lý mở rộng định lý Cartan cho miền không bị chặn Định lý 2.4.8 Giả sử Ω miền bị chặn Cn Khi Aut(Ω) khơng compact ( với tô pô compact _mở ) tồn p ∈ Ω ∞ dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) cho dãy {fj (p)}j=1 hội tụ tới điểm nằm biên Ω Chứng minh (” ⇐ ”): ∞ Nếu tồn p ∈ Ω dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) cho dãy {fj (p)}j=1 hội tụ tới điểm nằm biên Ω ta cần chứng minh Aut(Ω) không compact Do Ω miền bị chặn nên từ dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) trích dãy hội tụ tới hàm chỉnh hình f (Hurwitz) Ta có f (p) = lim fjk (p) theo giả thiết f (p) ∈ ∂Ω f ∈ / Aut(Ω) Do k→∞ Aut(Ω) khơng compact (” ⇒ ”): Giả thiết Aut(Ω) không compact Ta cần chứng minh tồn p ∈ Ω ∞ dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) cho dãy {fj (p)}j=1 hội tụ tới điểm nằm biên Ω Phản chứng giả sử với p ∈ Ω với dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) dãy {fj (p)}∞ j=1 ∈ Aut(Ω) khơng hội tụ tới điểm nằm biên Ω Do Ω bị chặn nên dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) trích dãy {fjk }∞ / ∂Ω k=1 hội tụ theo giả thiết f (p) = lim fjk (p) ∈ k→∞ fj ∈ Aut(Ω) nên f (p) ∈ Ω từ G(q) = {f (q)|f ∈ Aut(Ω)} compact Xét dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) tùy ý Do Ω bị chặn nên tồn dãy 33 {fjk } −→ f chỉnh hình Ta giả thiết dãy tương ứng {fj−1 } −→ g chỉnh hình Do fj−1 ∈ Aut(Ω) nên |detJfj−1 (x)| ≤ M < ∞ k k k với ∀x ∈ K ⊂ Ω, Kcompact Ta có f (p) ∈ Ω với ∀p ∈ Ω ,Ω bị chặn nên |detJfj−1 (x)| ≤ M < ∞ với ∀x ∈ Ω Từ |detJfjk (x)| ≥ với ∀x ∈ Ω k nên |detJf (x)| ≥ f 1-1 Ω tương tự g - Ω f, g nghịch đảo Từ suy f ∈ AutΩ vơ lý Aut(Ω) khơng compact Trong trường hợp miền Ω không bi chặn: Định lý 2.4.9 Giả sử Ω miền Cn Khi Nếu Aut(Ω) không compact ( với tô pô compact _mở ) hai điều kiện sau xảy ra: (a) Tồn {pj }∞ j=1 Ω tồn {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) thỏa mãn lim fj (pj ) ∈ ∂Ω ∪ {∞} j→∞ (b) Tồn {pj }∞ j=1 Ω tồn {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) thỏa mãn lim ||Jfj (pj )|| = ∞ j→∞ Nếu hai điều kiện: (a) Tồn {pj }∞ j=1 Ω tồn {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) thỏa mãn lim fj (pj ) ∈ ∂Ω ∪ {∞} j→∞ (b) Tồn {pj }∞ j=1 Ω tồn {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) thỏa mãn lim |detJfj (pj )| = j→∞ 34 Aut(Ω) khơng compact Chứng minh Chúng ta chứng minh khẳng định trước Trường hợp 1: Nếu (a) xảy tức tồn {pj }∞ j=1 Ω tồn {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) thỏa mãn lim fj (pj ) ∈ ∂Ω ∪ {∞} Ta phải chứng minh j→∞ Aut(Ω) không compact Phản chứng giả sử Aut(Ω) compact Khi tồn dãy {fjk }∞ k=1 dãy {fj }∞ j=1 cho lim fjk = f f ∈ Aut(Ω) k→∞ Do pj Ω ta giả thiết lim pj = p ∈ Ω Từ ta có j→∞ f (p) = lim fj (pj ) ∈ ∂Ω ∪ {∞} (mâu thuẫn) j→∞ Vậy Aut(Ω) không compact Trường hợp 2: Nếu (b) xảy tức tồn {pj }∞ j=1 Ω tồn {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) thỏa mãn lim |detJfj (pj )| = Ta chứng minh Aut(Ω) j→∞ không compact Phản chứng giả sử Aut (Ω) compact Khi tồn dãy {fjk }∞ k=1 dãy {fj }∞ j=1 cho lim fjk = f f ∈ Aut(Ω) k→∞ Ta có detJf (x) = với ∀x ∈ Ω detJf (x) = với ∀x ∈ Ω (ĐL Hurwitz) Do f ∈ Aut(Ω) nên detJf = với ∀x ∈ Ω (mâu thuẫn) Vậy Aut(Ω) không compact Chứng minh khẳng định : Giả sử Aut(Ω) không compact Chúng ta cần phải chứng minh (a) không xảy (b) xảy 35 Giả sử (a) khơng xảy tức dãy {fj (pj )} Ω với dãy {pj } Ω với dãy {fj } Aut(Ω) Trường hợp 1: Tồn dãy {fj } khơng chuẩn tắc Khi tồn dãy {zj }∞ j=1 n Ω; {ξj }∞ j=1 ∈ C \ {0} với ||ξj || = với ∀j cho: E(fj (zj ), dfj (zj )(ξj )) −→ ∞ j → ∞ Ta có ||(Jfj (zj ))|| = sup E(fj (zj ), dfj (zj )(ξ)) ||ξ||=1 ≥ E(fj (zj ), dfj (zj )(ξj )) Do E(fj (zj ), dfj (zj )(ξj )) → ∞ j → ∞ nên ||Jfj (zj )|| → ∞ j → ∞ Trường hợp 2: Trong trường hợp ta giả sử dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) chuẩn tắc Mặt khác giả thiết mệnh đề (a) không xảy nên dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) không phân kỳ compact Ta chứng minh Aut(Ω) tập compact ∞ Lấy dãy {fj }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) Khi tồn dãy {fjk }k=1 ¯ dãy {fj }∞ j=1 hội tụ tập compact Ω đến f ∈ Hol(Ω, Ω) Đặt {gj = fj−1 }∞ j=1 ∈ Aut(Ω) Khi khơng tính tổng qt ta giả sử dãy {gjk }∞ k=1 hội tụ tập compact Ω đến ¯ g ∈ Hol(Ω, Ω) Theo Mệnh đề 2.4.6 f ∈ Aut(Ω) Do Aut(Ω) compact ( điều mâu thuẫn với giả thiết Aut(Ω) không compact ) Vậy Trường hợp khơng xảy 36 Ví dụ 2.4.10 Với Ω = C dãy {fj = aj z + bj }∞ j=1 ⊂ Aut(Ω) • Trường hợp 1: lim aj = a0 = 0, lim bj = b0 dãy {fj }∞ j=1 chuẩn j→∞ j→∞ tắc • Trường hợp 2: lim aj = 0, lim bj = b0 dãy {fj }∞ j=1 khơng chuẩn j→∞ j→∞ tắc • Trường hợp 3: lim aj = ∞ lim bj = ∞ dãy {fj }∞ j=1 phân j→∞ j→∞ kỳ compact Ví dụ 2.4.11 Dãy {fn = ( n1 z1 , nz2 )}∞ n=1 Ta có : ||Jfn || −→ ∞ n→∞ Nhưng detJfn (z1 , z2 ) = detJfn−1 (z1 , z2 ) = với ∀n = 1, 37 Tài liệu tham khảo [1] H.Cartan, Sur les fonctions de plusieurs variables complex: L’iteration des trans- formations interieurs d’un domain borne, Math Zeit (1932), 760-773 [2] K R Davidson, Pointwise limits of analytic functions, Amer Math Monthly 90 (1984), 391-394 [3] S Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 318, Spinger- Verlag, Berlin, 1998 [4] S Krantz, On limits of sequences of holomorphic functions, Arxiv:1010.1285v1, 2010 [5] S Lang, Introduction to complex hyperbolic spaces, Spinger- Verlag, New York, 1987 [6] R Narasimhan, Serveral complex variables, The University of Chicago Press, Chicago, III- London, 1971 [7] W F Osgood, Note on the functions defined by infinite series whose terms are analytic functions of a complex variable, with corresponding results for definite intergrals, Ann Math (1901), 25-34 38