Gần đúng eikonal trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM NGỌC MINH CHÂU GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý Toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VI BA Hà Nội – 2016 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS.Cao Thị Vi Ba, người trực tiếp hướng dẫn bảo tận tình cho tơi để tơi hồn thành khóa luận này, giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý Lí Thuyết Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, tồn thể cán bộ mơn Vật lý Lý thuyết nói riêng khoa Vật lý nói chung, người ln tận tình dạy bảo, giúp đỡ động viên cho Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn mơn đóng góp, thảo luận trao đổi ý kiến khoa học quý báu để hồn thành luận văn Do thời gian kiến thức cịn nhiều hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót,tơi mong nhận bảo, góp ý q thầy bạn Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Học viên Phạm Ngọc Minh Châu MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM 1.1 Hàm Green hai hạt 1.2 Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman CHƢƠNG BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM 12 2.1 Biên độ tán xạ hai hạt 12 2.2 Tính tích phân phiếm hàm 20 CHƢƠNG BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO 23 3.1 Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt 23 3.2 Bổ cho q trình tán xạ hai hạt .28 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 PHỤ LỤC 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm vào năm 1959 học lượng tử phi tương đối tính [12] sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm cho tán xạ hạt với lượng lớn Phép gần eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền hạt tán xạ, theo xung lượng hạt trao đổi nhỏ Phép gần sử dụng để nghiên cứu trình tán xạ hạt lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng Vậy biểu diễn eikonal liệu ứng dụng lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề nhà vật lý nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] phương trình chuẩn [13] Mục đích Luận văn: Nghiên cứu tính đắn phép gần eikonal phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét trình tán xạ hai hạt mơ hình tương tác Lin  x  g  x [7] Phương pháp tích phân phiếm t  x hàm tốn học cịn gọi phương pháp tích phân liên tục, vật lý gọi phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường Phƣơng pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức hàm Green hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm, chúng tơi tìm hàm Green hai hạt [719] Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu biên độ tán xạ hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Vấn đề đặt việc tính tốn tích phân phiếm hàm cách sử dụng gần quỹ đạo thẳng vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ liệu lý thuyết trường lượng tử có thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt? Nội dung nghiên cứu trình bày ba chương, kèm theo tài liệu tham khảo năm phụ lục Chương Biểu diễn hàm Green hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Trong mục §1.1, cách sử dụng biểu thức xác cho hàm Green hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm, thu biểu thức cho hàm Green hai hạt Việc phân tích ý nghĩa biểu thức cho hàm Green liên quan đến thừa số bàn luận mục §1.2 Chương Tính biên độ tán xạ dạng tích phân phiếm hàm Bằng cách chuyển tới mặt khối lượng hàm Green nêu trên, thu biên độ tán xạ hai hạt với dạng tích phân phiếm hàm tương ứng Mục §2.1 dành cho việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dạng tích phân phiếm hàm Việc tính tích phân phiếm hàm gần quỹ đạo thẳng trình bày mục §2.2 Chương Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ vùng lượng cao Việc đánh giá tích phân phiếm hàm sử dụng gần quỹ đạo thẳng dựa ý tưởng quỹ đạo hạt vùng tiệm cận lượng cao xung âlượng truyền nhỏ thẳng Kết chúng tơi tìm biểu diễn Glauber cho tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ mục §3.1 Việc tái chuẩn hóa khối lượng hạt tán xạ tiến hành mục §3.2 Kết luận Chúng tơi tóm tắt lại kết thu Luận văn thảo luận cách tổng quát hóa phương pháp cho trường hợp tương tác hạt phức tạp Trong Luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử metric Feynman Các véctơ phản biến: Các véctơ hiệp biến: x  x0  t, x1  x, x2  y, x3  z  x  g x   x  t, x  x, x   y, x Tenxơ metric: g  g   0  1 0    0 1  0 1   Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến  z    c  CHƢƠNG BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƢỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM §1.1 Hàm Green hai hạt Muốn tìm biên độ tán xạ sử dụng công thức rút gọn mà liên hệ yếu tố S-ma trận với trung bình chân khơng tích tốn tử trường [11] Đối với biên độ tán xạ hai hạt, cơng thức có dạng  2 4   p  p  q  q T  p , p ; q , q 2 2   i  dxk dyk Kx Kx m trước sau tán xạ, m Kx   i2  i y y2 1 q1, q2 x2              k 1 p1, p2 0|T m |  Ky Ky ,  m (1.1) m 1 xung lượng tương ứng hạt thuộc trường   m2 , i  1, , , m  2 Ki   yi  m2  , i  1, , thừa , số chứa T-tích vế phải cơng thức (1.1) hàm Green hai hạt G x1, x2; y1, y2  trường   x G  x1, x2 ; y1, y2   | T   x1   x2   y1   y2  |  Hàm Green cho hai hạt theo công thức [6]  i 2  (1.2) (1.3) G  x1, x2 ; y1, y2    exp   D   2    G  x1 , y1 |   G  x2 , y2 |    G  x1 , y2 |   G  x2 , y1 |   S0   Lưu ý S0 giá trị trung bình S-ma trận thăng giáng chân không   trường “nucleon”   ảnh hưởng trường meson x  đặt x S0    i2 G x , x ; y , y |    G  x , y |  G  x , y |    G  x , y |  G  x , y 2 1 2 2 | (1.4) (xem Phụ lục A.5):  G  x, y |    i dse im  s  s   sx     d d    0s4 v  exp ig            s      x  y  2 ()d    (1.5) Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức loại bỏ thành phần G  x1, y2 |  và thu biểu thức sau: G  x2 , y1 |   , ta i2G  x , x ; y , y |    G  x , y |   G  x |   ,y 2 i 2 d se is v  sn   sn   x  0n n s   2n   n dd expig  n1  n       sn n n   n  (1.6)     x n  y n  v n   d  0   Kết ta có hàm Green hai hạt biểu diễn tọa độ: G y  x,y;x , i    z  D1  z  z   z dz dz    C exp    1 1 2 2 2   sn  s n     n exp  ddsn  ig    xn    n  d n1      sn    d4,  x  y  v     n n  n  n (1.7)  m0 khối lượng trần “nucleon” Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu thức sau dạng: s  s    dnig  exp     xn    n  d  n1        s    dz  z s  z  x   d  expig  d n n n n n  n    exp ig dz  z  j2 n1   z 2     (1.8)    exp  j igj   expig  j , n n n  n1 n n n1 với jz  d   2n dx   4 z    n  n  n  s sn n Trong mơ hình hạt vô hướng   n (1.9) jn  z  mơ tả mật độ khơng gian “nucleon” chuyển động theo quỹ đạo cổ điển Song trường hợp jn  z  gọi mật độ dịng Sử dụng cơng thức tích phân Gauss dạng phiếm hàm [12] ta có:  i  i D 1 exp   A   j   exp       jAj  ,  C    A     D  d   x   A1 x  dz dz   z  A1  z  z   z  1 (1.10)   j   dzj  z   z  Ta nhận được: i C exp   2 2  z exp D1  ig z  z   z dz dz  2 n    sn sn    n     x2   d d  n n i C exp    z  D1  z  z   z dz dz  ig  j  j       1 2 2    n      exp  F   ~ exp (2.29)  F   F         F   Khi nghiên cứu trình lượng cao, phép gần kể gọi gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Trong gần này, tích xung lượng cao pk coi hiệu tích kikj i  j  vùng lượng i (1/ 2)b  2 v1   d p1 q1 Hình Sự đắn phép gần k k  i j 0, i  j vùng  lượng cao s  xung lượng truyền bé  ts 0 nghiên cứu khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn Thực việc lấy tích phân theo biến phiếm hàm nhận biểu thức đối xứng tương đối tính cho biên độ tán xạ sau g T  p , p ;q ,q   de4xD  x ixq1 p1 1 de 2   p1, p2 | q1,  2   (2.30) ,  gọi hàm pha , có dạng (xem Phụ lục C) q2   i  p1 , p2|q1 ,q2 g2 ikx p2 | q1, q2   p1, g  Dj j  (2 ) d kD(k)e   (k  2kp 1)(k  2kp ) (k  2kq 1)(k  2kp )      2kq ). (k  2kq 1)(k  2kq ) (k  2kp )(k   2  2 CHƢƠNG (2.31) BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO Trong chương nghiên cứu dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ hai hạt vùng lượng cao xung lượng lượng truyền nhỏ mục §3.1 Việc tính bổ cho q trình thảo luận mục §3.2 §3.1 Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt Chúng xét dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ hai hạt vùng lượng cao coi xung lượng truyền cố định Để thuận lợi, ta thực tính toán hệ khối tâm     q  q ,p   p , p q p  q 10 20 10 (3.1) 20 Các biến Mandelstam s,t,u có dạng s  q  q2 2  4q0  q  m  , 2 t   q  p 2   p  q 2  T  2q2 1 cos  , 1 2 (3.2) u   q  p 2   p  q 2  2q2 1 cos   2 1 Dễ thấy với lượng lớn phần truyền xung lượng cố định, vector truyền xung lượng T vuông góc với xung lượng p1 p2 T t q  q   , s (3.3)  q    q   t p1 u q1 s Hình Các biến số Mandelstam cho trình tán xạ hai hạt  Chúng ta chọn hướng q dọc theo trục z (3.4) q1   q0 ,0,0, qz  , q2   q0 ,0,0, qz  ,    0,  ,0  thu Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận vùng khảo sát, ta nghiên cứu hàm pha công thức (2.37) dạng:   x, p1 , p2 ,q1 ,q2   1  2 , (3.5) (xem Phụ lục (C.6))   (3.6)   g  d 42k eikx2   1 2  2 4 k    i (k  2kq ). k     k  2kp  k  2kq  2kq    g  d 42k eikx2   2  2 4 k    i  k  2kp  k  2kq  1 2kp  k 2   (3.7)  2kq  k     Chúng ta xem xét kỹ hàm 1 Có thể dựa vào lý thuyết thặng dư để tính hàm Tuy nhiên đơn giản dựa vào tính giải tích 1 biến số s Sự gián đoạn hàm nhát cắt theo chiều dương nửa trục s tính từ quy luật biết [9] bằng: g     2     d k eikx  2kq ) k 2kq2  2  s  2 4 k    i 2kp1 k (k    2g 4 q      z k  d k eik x e q k 2    q 022k   k      2q0     2ixz q0 2 e2q k    k ix        2kq2  (3.8)    Như ta thấy gián đoạn hàm  nhát cắt không phụ thuộc x không chứa trễ Ở vùng lượng cao p0   (3.8) trở thành:    s  i g d k e 2  2    x ik   2 s k  2  g 2 s s   x  biểu thức với  K   x  (3.9)   K0  x- hàm Mac Donald bậc không Sử dụng hệ thức tán sắc ba chiều, người ta khơi phục hàm pha lượng cao  1 2 i    ds  s g   s  s   s  2 is K0  x  ln   s 1  (3.10) s0   Hồn tồn tương tự ta tính  Sự gián đoạn hàm  dọc theo lát cắt phần âm trục thực s bằng: g     2        ikx  d ke  2kp ) k 2kq2 k 2kp2   2  s  2 4 k    i 2kq1 k (k  q   2g 4   ixz ik x  d qk e22k  0    k q0 e 2   k 2q  2   k     2q0   e 2ix q z  2 k 2       (3.11)    Biểu thức (3.11) có chứa x Tuy nhiên mức lượng cao với đối x   phụ thuộc bỏ qua Khi ta nhận được:    s  i g  d ke 2   2  2  ik x s k  2 2 s  K   x  (3.12)  Như vùng lượng cao, hàm   g2   2 i  ds  s g ss    2có dạng: s  2is K0  s x  ln   (3.13)  0 s0 Kết hàm pha với điều kiện xét bằng:  g K0 2  s x  (3.14)   Một điều thú vị đáng lưu ý lấy tổng hai phần hàm pha thành phần chứa phụ thuộc logarit lượng bị triệt tiêu Điều hệ đối xứng chéo biểu thức hàm pha (2.31) Trong vùng có khoảng cách bé bước sóng hạt x    , q0 (3.15) dáng điệu hàm pha để xác định nhờ biểu thức (3.8) (3.11) Cố định cho  x  , ta nhận q0 (3.16)  |x 0  0  s   Đại lượng 0 s hữu hạn vùng lượng cao có dáng điệu tiệm cận s  0 s s ln2 (3.17) 2 Như ảnh hưởng biên độ tán xạ lân cận  điểm mặt phẳng x triệt tiêu   Nhớ lại vùng lượng cao hàm pha o   s  công thức (3.14) không phụ thuộc x0 xz Ta sử dụng công thức  t  i  xt   ik d k dk e  x  t   dx dx D  x e z  s     2    2 2   k   k  z  k   z 2 z s    ik x  e d k   , 2 k   t     s   (3.18) ta thu kết cho thành phần cơng thức (2.31) vùng góc tán xạ nhỏ (t / s)  T s,t   lim 0  is  2 4  ig2 sK  x  1 ,  e     d x e ix   x   (3.19)  2  t Phần thứ hai biên độ tán xạ (2.31) nhận cách thay T  U hay p  p ta có de i   p1  p2 (3.20) i xU d xD  x  e T  s,u    g 2    Trong biểu thức (3.20) chứa thừa số dao động nhanh ei dấu tích phân xU biên độ T2  s,t  giảm nhanh T1  s,t theo hàm mũ   1s  Như cuối vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ, ta thu hàm pha tiết diện tán xạ trùng với biểu diễn Glauber học lượng tử với hàm eikonal:  s, x x  s  x 22zx  g K0 2 s     (3.21) V  dz,   V  s, x    4x  x e , g Yukawa tương tác hai hạt §3.2 Bổ cho q trình tán xạ hai hạt Lưu ý công thức (2.23) N(s,t) không phụ thuộc vào tọa độ, tính đến bổ cho hạt tán xạ, ta viết lại cơng thức (2.23) dạng [20] T(q q , )N(s,t) g2 |pp , 2  xd4 xe  i q1 p1  x  p, D  dS p  |,qq , (3.22)  N(s,t) hàm cịn lại sau tiến hành tái chuẩn hoá để loại bỏ đại lượng phân kỳ [17]: TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A X Đavưđov, Cơ học lượng tử, NXB ĐH&THCN, 1974 Người dịch Đặng Quang Khang [2] Nguyễn Mậu Chung, Hạt bản, NXB ĐHQG Hà Nội, 2015 [3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Akhiezer A.I and Berestetski V.B (1959), Quantum Electrodynamics, Moscow [6] Barbashov B.M (1965), Functional Integrals in Quantum Electrodynamics and Infrared Asymptotic of Green Function, Soviet Journal, JEPT, 48 pp 607-621 [7] Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N., Tavkhelidze A.N (1970), “Eikonal Approximation in Quantum Field Theory”, Teor Mat.Fiz 3, pp.342-352 [8] Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N., Tavkhelidze A.N (1970), “Straight-line Paths Approximation in Quantum Field Theory”, Phys Lett 33B, pp.484-488 [9] Brodskif, A.N editor, (1960) A New Method in the Theory of Strong Interactions , IL, Moscow, 1960.(Russian), Translators D V Sirkov, V V Serebrjakov and V A Mesherjakov, [10] Efimov, G V., Method of Functional Intergration , Dubna 2008 [11] Gasiorowicz S Elementary Particle Physics, (1969) John Witley &Sons, Inc [12] Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, p315 [13] Logunov A A and Tavkhelidze A N (1963) “Quasipotential approach in quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2) pp 380-399 [14] Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V (1974), “High Energry Scattering of the Composite Particle in the Functional Approach”, JINR, P2-8258, Dubna, pp.1-21; Journal of Theor And Math.Phys, vol.24 (2) (1975), pp.768-775, TMF, vol.24 (2) (1975) pp.195-205 [15] Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V (1976), “Bramsstrahlung Approximation for Inclusive Processes”, Journal of Theor And Math.Phys Vol.29 (1976), pp.1003-1011 [16] Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.29 (2), pp.1003-1011, TMF, vol.29 (2), pp.178-190 [17] Nguyen Suan Han and Eap Ponna; (1997) Straight –Line Path Approximation for the Studying Planckian-Energy Scattering in Quantum Gravity, Nuovo Cim A, N110A , pp 459-473 [18] Nguyen Suan Han, (2000) Straight –line Path Apptoximation for HighEnergy Elastic and Non-elastic Scattering in Quantum Gtavity , Euro Phys J C, vol.16, N3 , pp.547-553 [19] Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan, (2002) Planckian Scattering Beyond Eikonal Approximation in Quantum Gravity, e-print arXiv: grqc/0203054, 15 Mar 2002, 16p Eur Phys J C, vol.24, N1 pp.643-651 [20] Nguyen Suan Han, (1999), Radiative Correction to the Planckian –Energy Scattering in Quantum Gravity, Preprint ICTP, IC/I R/99/4 [21] Nguyen Suan Han, Le Hai Yen, Nguyen Nhu Xuan (2012) , High Energy Scattering in the Quasi-potential Approach, e-Print: arXiv:1201.0322 [hep-th] International Journal of Modern Physics A, vol.27,N1, 1250004(19) 19trang., [22] Pervushin V.N (1971) “Method Approximation, TMF No 9, p 284 of Functional Integration and Eikonal ... trình lượng cao, phép gần kể gọi gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Trong gần này, tích xung lượng cao pk coi hiệu tích kikj i  j  vùng lượng i (1/ 2)b  2 v1   d p1 q1 Hình Sự đắn phép gần. .. lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng Vậy biểu diễn eikonal liệu ứng dụng lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề nhà vật lý nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] phương trình chuẩn... tán xạ hạt trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Vấn đề đặt việc tính tốn tích phân phiếm hàm cách sử dụng gần quỹ đạo thẳng vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ liệu lý thuyết trường lượng tử có thu