Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ Và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu các phương pháp khôi phục tuyến tính không thích nghi từ giá trị lấy mẫu và một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu.

MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, phương pháp xấp xỉ đại toán học ứng dụng cách triệt để có hiệu vào lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính Bài tốn khơi phục tín hiệu (hàm số) toán quan trọng lĩnh vực xử lý tín hiệu xử lý ảnh, thực tế khơng có loại máy cho ta thơng tin xác tín hiệu Một vấn đề tảng đặt tìm phương pháp tối ưu để khơi phục tín hiệu nén tín hiệu từ số hữu hạn giá trị lấy mẫu Lý thuyết sóng nhỏ hình thành phát triển năm 90 kỷ trước, công cụ biểu diễn hiệu xử lý tín hiệu, đặc biệt tốn khơi phục nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu Trong tốn xử lý tín hiệu, xử lý ảnh thị giác máy tính, tín hiệu mơ hình hóa hàm số biến nhiều biến Trước tiên xét số toán truyền thống khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu Vấn đề đặt cần khôi phục gần tín hiệu nhiều chiều f từ n giá trị lấy mẫu Trên sở thông tin xây dựng phương pháp để khôi phục Trong cách tiếp cận truyền thống thông tin giá trị lấy mẫu phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số, nghĩa điểm lấy mẫu phương pháp khơi phục tín hiệu chọn giống cho tín hiệu Các phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu nghiên cứu tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina, Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena, CHLB Đức Các tác giả cơng trình tính tốc độ hội tụ đại lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục khơng thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu Tuy nhiên, nhiều trường hợp phương pháp khơi phục khơng thích nghi khơng mềm dẻo linh hoạt dáng điệu tín hiệu khác Đề tài Luận án nghiên cứu cách tiếp cận cho tốn khơi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu cách buộc thông tin giá trị lấy mẫu phương pháp khơi phục phải thích nghi với tín hiệu Cách tiếp cận Giáo sư Đinh Dũng đề xuất nghiên cứu Cụ thể điểm lấy giá trị thử phương pháp khơi phục tín hiệu chọn cho chúng thích nghi với tín hiệu Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp khơi phục thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu tín hiệu đơn giản từ tập hợp có dung lượng hữu hạn đo số phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) chúng, tín hiệu đơn giản tổ hợp tuyến tính n số hạng từ từ điển Đề tài nghiên cứu đại lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục tối ưu có liên quan đến -entropy, độ dày phi tuyến xấp xỉ n số hạng Ngoài đề tài luận án nghiên cứu phương pháp xấp xỉ khơi phục khơng thích nghi tốt nhất, có phương pháp tuyến tính Để xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi khơng thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu Đề tài Luận án xây dựng biểu diễn sóng nhỏ giả nội suy hàm số Các phương pháp khơi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu cho bậc tiệm cận sai số xấp xỉ tốt phương pháp khôi phục khơng thích nghi nghiên cứu Tuy nhiên, độ phức tạp tính tốn phương pháp thích nghi đơi lớn phương pháp khơng thích nghi, đặc biệt phương pháp tuyến tính Ngồi phần Mở đầu, luận án gồm chương, Kết luận kiến nghị, Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án, Tài liệu tham khảo Chương 1: Nhắc lại số khái niệm tính chất liên quan đến luận án Phát biểu chứng minh định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác Chương 2: Nghiên cứu Khôi phục xấp xỉ hàm số phương pháp tuyến tính Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục xấp xỉ hàm số phương pháp phi tuyến Các kết luận án báo cáo tại: - Xêmina môn Giải tích, xêmina mơn Tốn giải tích, Khoa Tốn - Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội - Xêmina phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp Toán -Xêmina mơn Tốn giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức Các kết luận án đăng tạp chí Acta Mathematica Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast Asian Bulletin of Mathematics Chương CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN BẰNG GIÁ TRỊ LẤY MẪU Chương tơi trình bày định lý bổ đề kết luận án, định lý biểu diễn hàm số thuộc không gian Besov thành chuỗi B-spline đa thức lượng giác, chứng minh tương đương chuẩn 1.1 Không gian Besov Định nghĩa 1.1 Cho f ∈ L p (Id ), toán tử sai phân cấp l định nghĩa ∆lh f ( x ) l := ∑ (−1)l− j j =0 l f ( x + jh) j Định nghĩa 1.2 Nếu f ∈ L p (Id ), ωl ( f , t) p := sup ∆lh f |h| 0, ∀t > 0, (ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t ), ∀t, t ∈ R+ , t ≤ t , (iii) ∀γ ≥ 1, ∃C = C (γ) cho Ω(γt) ≤ C Ω(t), t ∈ R+ Định nghĩa 1.3 Cho < p, θ ≤ ∞, không gian Besov BΩ p,θ định nghĩa tập hợp hàm f ∈ L p (Id ) cho chuẩn Besov sau hữu hạn f BΩ p,θ := f p + | f | BΩ , p,θ | f | BΩ nửa chuẩn Besov, xác định p,θ | f | BΩ : = p,θ       θ ωl ( f , t ) p Ω ( t ) I θ hàm f xác định Rd , xác định toán tử Q(.; h) Q( f ; h) := σh ◦ Q ◦ σ1/h ( f ), σh ( f , x ) = f ( x/h) Từ định nghĩa Q( f ; h), ta có Q( f , x; h) = ∑ Λ( f , k; h) M(h−1 x − k), k với Λ( f , k; h) = ∑ λ( j) f h(k − j) j∈ Pd (µ) Tốn tử Q(.; h) có tính chất tương tự toán tử Q, gọi toán tử giả nội suy C (Rd ) Nhưng Q(.; h) không định nghĩa cho f Id , khơng khơi phục hàm số f với điểm lấy mẫu Id Một cách tiếp cận để xây dựng toán tử giả nội suy cho hàm số Id mở rộng đa thức nội suy Lagrange Cho số nguyên không âm k, đặt x j = j2−k , j ∈ Z Nếu f hàm số I, Ký hiệu Uk ( f ) Vk ( f ) đa thức nội suy Lagrange 2r điểm bên trái x0 , x1 , , x2r−1 2r điểm bên phải x2k −2r+1 , x2k −2r+3 , , x2k đoạn I xác định bởi: 2r −1 Uk ( f , x ) := f ( x0 ) + ∑ 2sk ∆2s −k f ( x0 ) s−1 s =1 Vk ( f , x ) := f ( x2k −2r+1 ) + ∏ ( x − x j ), s! j =0 2r −1 2sk ∆s 2− k ∑ f ( x2k −2r+1 ) s−1 s! s =1 ∏ (x − x2k −2r+1+ j ) j =0 Hàm số f định nghĩa hàm số mở rộng f R sau:    Uk ( f , x ), x < 0,    f k ( x ) = f ( x ), ≤ x ≤ 1,     V ( f , x ), x > k Nếu f liên tục I f liên tục R Giả sử Q toán tử giả nội suy (1.2 − 1.3) C (R) Chúng ta xây dựng toán tử Qk xác định Qk ( f , x ) := Q f k , x; 2−k , x ∈ I, với hàm f I Khi đó, Qk ( f , x ) = ∑ ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ I, J (k ) := s ∈ Z, −r < s < 2k + r s∈ J (k) ak,s ( f ) := Λ f k , s; 2−k = ∑ λ ( j ) f k 2− k ( s − j ) | j|≤µ Chúng ta nhận thấy Qk toán tử giả nội suy C (I) Cho f hàm số Id Giả sử Q tốn tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3) C (Rd ) Chúng ta xây dựng toán tử đa biến Qk xác định Qk ( f , x ) = ∑ ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ Id , s∈ J (k) J (k ) := s ∈ Zd , −r < si < 2k+k0 + r, i = 1, 2, , d tập hợp giá trị s cho Mk,s không đồng Id Chú ý ak,s ( f ) = ak,s1 (( ak,s2 ( ak,sd ( f ))), (1.4) hàm hệ số ak,si áp dụng tương tự cho hàm số biến xem f hàm số biến xi với biến lại cố định Tương tự tốn tử Q Q(.; h), tốn tử Qk tuyến tính bị chặn C (Id ) tái tạo P2r−1 Đặc biệt, có: Qk ( f ) ≤C Λ C (Rd ) f C (Rd ) , (1.5) với f ∈ C (Id ), với số C không phụ thuộc k và, Qk ( ϕ∗) = ϕ, ∀ ϕ ∈ P2r−1 , ϕ∗ hạn chế ϕ Id Toán tử nhiều biến Qk gọi toán tử giả nội suy C (Id ) Cho k ∈ Z+ , đặt qk := Qk − Qk−1 với quy ước Q−1 ( f ) = Ta định nghĩa Qk ∑ Qk = qk k ≤k Bổ đề 1.1 Giả sử f ∈ C (Id ) Khi đó, ta có f − Qk ( f ) ∞ ≤ Cω2r ( f , 2−k )∞ (1.6) → 0, k → ∞ (1.7) Do đó, f − Qk ( f ) ∞ Cho f ∈ C (Id ), từ (1.7), f biểu diễn thành chuỗi f = ∑ k ∈Z+ q k ( f ), q k ( f ) = ∑ ck,s ( f ) Mk,s , (1.8) s∈ J (k) chuỗi hội tụ theo chuẩn L∞ (Id ), ck,s hàm hệ số f , xác định Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số biến (d = 1) Cụ thể, ck,s ( f ) := ak,s ( f ) − ak,s ( f ), k ≥ 0, ak,s ( f ) := 2−2r+1 ∑ (m,j)∈Cr (k,s) 2r ak−1,m ( f ), k > 0, a0,s ( f ) := 0, j Cr (k, s) := {(m, j) : 2m + j − r = s, m ∈ J (k − 1), ≤ j ≤ 2r } , với k > 0, Cr (0, s) := {0} Trong trường hợp hàm nhiều biến, xác định ck,s tương tự (1.4) cho ak,s , tức là, ck,s ( f ) = ck,s1 ((ck,s2 ( ck,sd ( f ))), hàm hệ số ck,si áp dụng cho hàm số biến f xem f hàm số với biến xi với biến lại cố định Cho k ∈ Z+ , ký hiệu Σ(k ) không gian B-splines Mk,s , s ∈ J (k ) Nếu < p ≤ ∞, g ∈ Σ(k ) biểu diễn ∑ g= as Mk,s , s∈ J (k) g 2−dk/p { as } p p,k (1.9) , 1/p  { as } p,k :=  ∑ | as | p  , s∈ J (k) với vế phải thay supremum p = ∞ Từ (1.9) cho hàm số liên tục f Id , có nửa chuẩn sau tương đương với 1/θ B2 ( f ) := ∑ qk ( f ) k ∈Z+ p /Ω (2 −k ) θ , 1/θ B3 ( f ) := ∑ k ∈Z+ −dk/p ck,s ( f ) p,k /Ω (2 −k ) θ Định lý 1.1 Cho < p, θ ≤ ∞ hàm số Ω cho tồn số µ, ρ > C1 , C2 thỏa mãn Ω(t).t−µ ≤ C1 Ω(t ).t −µ , t ≤ t ; t, t ∈ I, (1.10) Ω(t).t−ρ ≥ C2 Ω(t ).t −ρ , t ≤ t ; t, t ∈ I (1.11) Khi đó, có 10 (i) Nếu µ > d p ρ < 2r hàm số f ∈ BΩ p,θ biểu diễn thành chuỗi (1.8) B2 ( f ) f (1.12) BΩ p,θ (ii) Nếu ρ < min(2r, 2r − + 1p ) g hàm số biểu diễn g= ∑ gk = k ∈Z+ ∑ ∑ k ∈Z+ s ∈ J ( k ) ck,s Mk,s thỏa mãn 1/θ ∑ B4 ( g) := gk k ∈Z+ p Ω (2 −k ) θ < ∞, g ∈ BΩ p,θ g (iii) Nếu µ > d p B4 ( g) BΩ p,θ ρ < min(2r, 2r − + 1p ) hàm số f xác định Id thuộc BΩ p,θ f biểu diễn thành chuổi có dạng (1.8) thỏa mãn điều kiện (1.12) Hơn nữa, chuẩn f 1.3 BΩ p,θ tương đương với chuẩn B2 ( f ) Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu Trong phần biểu diễn hàm số thuộc không gian Besov A thành chuỗi đa thức lượng giác chứng minh đẳng thức tương đương B p,θ chuẩn Cho f ∈ L p (Td ), biết, f (k ) hệ số Fourier thứ k f ∈ L p với ≤ p ≤ ∞ Cho k ∈ Zd+ Đặt Pk := {s ∈ Zd : 2k j −1 ≤ |s j | < 2k j , j = 1, , d}, a phần nguyên a ∈ R+ Cho k ∈ Zd+ , định nghĩa toán tử δk sau δk ( f ) := ∑ f (s)ei(s,·) s∈ Pk Chúng ta nhắc lại tương đương chuẩn biết Cho < p < ∞ θ ≤ ∞ Khi đó, 1/θ f A B p,θ ∑ S( A,k) k ∈Z+ δk ( f ) θ p , trường hợp θ = ∞ vế phải đẳng thức thay supremum 11 (1.13) Cho số nguyên không âm m, nhân de la Vallée Poussin Vm bậc m xác định sau: 2m−1 sin(mt/2) sin(3mt/2) Vm (t) := D ( t ) = , ∑ k 3m2 k=m 3m2 sin2 (t/2) ∑ Dm ( t ) : = eikt |k|≤m nhân Dirichlet biến bậc m Đặt V0 = Cho hàm số biến f ∈ L p (T) Chúng ta định nghĩa hàm số Um ( f ) Um := f ∗ Um = 3πm T f (t) Vm (· − t)dt, hàm số Vm ( f ) ∑ Vm ( f ) := f (hk ) Vm (· − hk ), (1.14) k ∈ Pm h = 2π/3m Pm := {k ∈ Z : ≤ k < 3m} Nếu m ∈ Zd+ , toán tử Vm hàm số nhiều biến f ∈ L p (Td ) xác định d Vm ( f ) := ∏ Vmj ( f ), j =1 toán tử biến Vm j áp dụng tương tự xem f hàm số biến x j với biến lại cố định Chú ý Vm ( f ) đa thức lượng giác bậc không vượt 2m j − với biến x j , Vm ( f , hk) = f (hk ), k ∈ Pmd , (1.15) d d h = (2π/3)(m1−1 , , m− d ), Pm : = { k ∈ Z : ≤ k j < 3m j , j = 1, , d } Chúng ta nhận d Vm ( f ) p −1/p ∏ mj { f (hk)} l νp , ≤ p ≤ ∞, (1.16) j =1 ν = | Pmd | = 3d ∏dj=1 m j Ký hiệu Tm không gian đa thức lượng giác bậc không vượt m j với biến x j , j = 1, , d Dễ dàng kiểm tra Vm ( f ) = f , ∀ f ∈ Tm 12 (1.17) Tiếp theo, cho hàm số biến f ∈ L p (T), định nghĩa v0 ( f ) := V1 ( f ), vk ( f ) := V2k ( f ) − V2k−1 ( f ), k = 1, 2, Cho k ∈ Zd+ , định nghĩa toán tử vk cho hàm nhiều biến L p (Td ) tương tự toán tử Vm Toán tử uk , k ∈ Zd+ tương tự thay Vm ( f ) Um ( f ) Bổ đề 1.2 Cho < p < ∞, < θ ≤ ∞ α( A) > 1/p Chúng ta có 1/θ  f A B p,θ  ∑ 2S( A,k) vk ( f ) θ p  , k ∈Zd+ với vế phải thay supremum cho trường hợp θ = ∞ Đặt ϕk,s := Vmk (· − shk ), Qk := {s ∈ Zd : ≤ s j < 3.2k j , j = 1, , d} mk := (2k1 , , 2kd ), hk := (2π/3)(2−k1 , , 2−kd ) Từ Bổ đề 1.2 (1.14)-(1.17) suy biểu diễn đa thức lượng A sau Đặt ≤ p ≤ ∞, < θ ≤ giác với giá trị lấy mẫu không gian B p,θ A biểu diễn thành chuỗi ∞, α > Thì f ∈ B p,θ f = ∑ ∑ k ∈Zd+ (1.18) f k,s ϕk,s s∈ Qk có tương đương chuẩn sau f A B p,θ ∑ 2S( A,k)−|k|1 /p k ∈Z+ θ f k,s | Qk | lp 1/θ (1.19) cho θ < ∞, với tổng vế phải thay supremum θ = ∞ Dựa biểu diễn (1.18)-(1.19), mở rộng khơng gian Besov với độ trơn hỗn hợp cho tập hợp hữu hạn A ⊂ Rd < p, θ ≤ ∞, không gian tất hàm số f xác định Td biễu diễn thành chuỗi (1.18) cho nửa A chuẩn rời rạc vế phải (1.19) hữu hạn Chúng ta dùng ký hiệu B p,θ = B p,θ cho A = {(0, , 0)} 13 Chương KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH Trong chương nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số không gian Besov BΩ p,θ phương pháp tuyến tính, xây dựng phương pháp tuyến tính đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp qua đại lượng ρn Đây kết công bố nội dung luận án 2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Đặt Xn = { x j }nj=1 n điểm Id , Φn = ϕj n j =1 họ n hàm số thuộc không gian Lq (Id ) If f ∈ Lq (Id ), để khôi phục hàm số f từ giá trị lấy mẫu f ( x1 ), , f ( x n ), định nghĩa phương pháp tuyến tính dựa giá trị lấy mẫu Ln ( Xn , Φn , ) công thức sau L n ( Xn , Φ n , f ) : = n ∑ f (x j ) ϕj (2.1) j =1 Cho W ⊂ Lq (Id ) Chúng ta nghiên cứu tính tối ưu phương pháp tuyến tính có dạng (2.1) để khơi phục hàm số f ∈ W từ n giá trị lấy mẫu đại lượng sau ρn (W, Lq (Id )) := inf sup f − Ln ( Xn , Φn , f ) q Xn ,Φn f ∈W Định nghĩa 2.2 Cho số nguyên không âm m, đặt K (m) := {(k, s) : k ∈ Z+ , k ≤ m, s ∈ I d (k )}, I d (k ) = {s ∈ Zd+ : ≤ si ≤ 2k , i = 1, , d} ký hiệu M (m) tập hợp gồm B-splines Mk,s , k ≤ m, s ∈ J (k ) Chúng ta định nghĩa 14 toán tử Rm hàm số f ∈ BΩ p,θ Rm ( f ) := ∑ qk ( f ) = k≤m ∑ ∑ ck,s ( f ) Mk,s , k≤m s∈ J (k) lưới G (m) điểm Id , G (m) := {2−k s : (k, s) ∈ K (m)} 2.2 Khôi phục hàm số phương pháp tuyến tính Định lý 2.1 Cho < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện định lý 1.1 µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − + 1/p) Giả sử với n ∈ Z+ , m số lớn thỏa mãn | G (m)| ≤ n (2.2) Ω , L ) Thì Rm xác định phương pháp tuyến tính lấy mẫu tối ưu cho ρn := ρn (U p,θ q sau Rm ( f ) = Ln ( Xn∗ , Φ∗n , f ) = ∑ f (2−k s)ψk,s , (2.3) (k,s)∈K (m) Xn∗ := G (m) = {2−k s : (k, s) ∈ K (m)}, Φ∗n := ψk,s (k,s)∈K (m) , có đánh giá tiệm cận sau sup Ω f ∈U p,θ f − Rm ( f ) q ρn 15 Ω(n−1/d )n(1/p−1/q)+ (2.4) Chương XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÍCH NGHI 3.1 Các đại lượng xấp xỉ khôi phục hàm số Định nghĩa 3.1 Cho B tập hợp Lq , định nghĩa phương pháp khôi phục với điểm giá trị lấy mẫu hàm để khơi phục thích nghi từ B theo hàm f ∈ W Cụ thể hàm f ∈ W ta chọn n điểm x1 , , x n , dựa thông tin giá trị lấy mẫu f ( x1 ), , f ( x n ) ta chọn hàm g = SnB ( f ) để khôi phục hàm f Khi SnB phương pháp khơi phục thích nghi Tốn tử SnB ( f ) định nghĩa xác sau Đặt I n tập hợp bao gồm tập hợp ξ Id có số phần tử khơng q n, V n tập hợp mà phần tử số thực aξ = { a( x )} x∈ξ , ξ ∈ I n , a( x ) ∈ R Gọi In ánh xạ từ W đến I n P ánh xạ từ V n đến B Khi cặp ( In , P) xác định ánh xạ SnB từ W đến B cho công thức SnB ( f ) := P { f ( x )} x∈ In ( f ) (3.1) Định nghĩa 3.2 Cho tập hợp B hàm số xác định tập Ω, giả chiều B định nghĩa số nguyên n lớn cho tồn điểm a1 , a2 , , an Ω b ∈ Rn để số phần tử tập hợp sgn (y) : y = f ( a1 ) + b1 , f ( a2 ) + b2 , , f ( an ) + bn , f ∈ B 2n , sgn ( x ) = với t > 0, sgn ( x ) = −1 với t ≤ cho x ∈ Rn , sgn ( x ) = ( sgn ( x1 ), sgn ( x2 ), , sgn ( xn )) 16 Định nghĩa 3.3 Cho B họ tập B Lq , sai số phương pháp khơi phục thích nghi tối ưu đo đại lượng Rn (W, B)q := inf inf sup f − SnB ( f ) q , B∈B SnB f ∈W (3.2) SnB tất ánh xạ định nghĩa (3.1) Ký hiệu Rn (W, B)q en (W )q B họ tất tập hợp B Lq cho | B| ≤ 2n , rn (W )q B họ tất tập hợp B Lq có giả chiều khơng q n Định nghĩa 3.4 Giả sử B W tập hợp Lq Chúng ta xấp xỉ phần tử W từ B E(W, B, Lq ) := sup inf f ∈W ϕ ∈ B f − ϕ q Cho họ B tập Lq , xem xét xấp xỉ tốt B ∈ B qua đại lượng sau d(W, B , Lq ) := inf E(W, B, Lq ) B∈B (3.3) Nếu B (3.3) họ tất tập B Lq thỏa mãn | B| ≤ 2n , d(W, B , Lq ) ký hiệu n (W, Lq ) Nếu B (3.3) họ tất tập B Lq cho dim p ( B) ≤ n, d(W, B , Lq ) kí hiệu ρn (W, Lq ) 3.2 Khơi phục hàm số khơng tuần hồn phương pháp thích nghi Trong phần này, xây dựng phương pháp xấp xỉ khơi phục thích nghi giá trị lấy mẫu tối ưu hàm số biến(d = 1) thuộc không gian Besov BΩ p,θ Hơn đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ phương pháp thông qua đại lượng en , rn Từ kết vừa nêu trên, tổng quát cho trường hợp nhiều biến kỹ thuật tương tự kết trình bày thơng qua định lý sau Định lý 3.1 Cho < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện định lý 1.1, ρ < min(2r, 2r − + 1/p) Thì có n Ω U p,θ q Ω ≥ ρn U p,θ 17 q Ω(1/n) Sau kết nhận chúng tơi nghiên cứu xấp xỉ khơi phục hàm số phương pháp thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu Định lý 3.2 Cho < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện định lý 1.1 Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − + 1/p), Ω rn (U p,θ )q Ω(1/n) (3.4) Ngồi ra, xây dựng tập hợp B Σn (M) cho dim p ( B) ≤ n phương pháp SnB thỏa mãn sup Ω f ∈U p,θ f − SnB ( f ) q Ω(1/n) (3.5) Định lý 3.3 Cho < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện định lý 1.1 Nếu µ > 1/p, ρ < min(2r, 2r − + 1/p), có Ω en U p,θ Ω(1/n) q (3.6) Đặc biệt, xây dựng tập hợp B Σn (M) có | B| ≤ 2n phương pháp SnB dạng (3.1) cho sup Ω f ∈U p,θ f − SnB ( f ) q Ω(1/n) (3.7) Bằng cách chứng minh tương tự, tổng quát kết cho trường hợp hàm số nhiều biến f ∈ Łq (Id ), d > 1, cụ thể phát biểu định lý sau Định lý 3.4 Cho < p, q, θ ≤ ∞, Ω hàm số thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1 µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − + 1/p), Ω rn (U p,θ )q Ω(n−1/d ) Hơn nữa, xây dựng tập hợp B Σn (M) cho dim p ( B) ≤ n phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SnB thỏa mãn sup Ω f ∈U p,θ f − SnB ( f ) 18 q Ω(n−1/d ) Định lý 3.5 Cho < p, q, θ ≤ ∞, Ω thỏa mãn điều kiện Định lý 1.1 Nếu µ > d/p, ρ < min(2r, 2r − + 1/p), có Ω en U p,θ Ω(n−1/d ) q Ngoài ra, xây dựng tập hợp B Σn (M) có | B| ≤ 2n phương pháp khôi phục giá trị lấy mẫu SnB (3.1) cho sup Ω f ∈U p,θ 3.3 f − SnB ( f ) q Ω(n−1/d ) Xấp xỉ khôi phục hàm số tuần hồn có độ trơn hỗn hợp phương pháp thích nghi Trong phần này, nghiên cứu phương pháp khơi phục thích nghi phương pháp phi tuyến, lớp hàm số mà xét đến A (xem Định nghĩa 3.12) Chúng ta xây dựng phương lớp hàm số f ∈ B p,θ pháp xấp xỉ khôi phực hàm số, đồng thời đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ qua đại lượng entropy A n (U p,θ , Lq ) A , L ) Trường độ dày phi tuyến ρn (U p,θ q hợp A = { a} đề xuất cách chứng minh đơn giản so với trường hợp tổng quát Đặt Φ = { ϕk }k∈Q họ phần tử Lq Ký hiệu Mn (Φ) đa tạp phi tuyến tập hợp tất tổ hợp tuyến tính có dạng ϕ = ∑ ak ϕk , K k∈K tập hợp Q có số phần tử n Chúng ta gọi n-term Lq -approximation phần tử f ∈ Lq liên quan đến họ Φ xấp xỉ Lq -approximation f phần tử từ Mn (Φ) Để đánh giá cận cho ước lượng tiêm cận A n (U p,θ , Lq ), sử dụng xấp xỉ phi tuyến n-term Lq -approximation họ V := { ϕk,s }s∈Q d k ,k ∈Z+ Chú ý họ V xây dựng từ tịnh tiến nguyên cặp đôi tích hỗn hợp tensor nhân nhiều biến de la Vallée Poussin 19 3.3.1 Xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp phi tuyến không gian B ap,θ Các kết chúng tơi nghiên cứu phương pháp xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp phi tuyến không gian Besov B ap,θ phát biểu định lý sau Định lý 3.6 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ r > 1/p Thì có a n (U p,θ , Lq ) a , Lq ) ≤ en (U p,θ (n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) (3.8) Ngồi ra, xây dựng tập hữu hạn V∗ V, tập hợp a → B có dạng (3.1) thỏa mãn B Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n , ánh xạ SnB : U p,θ f − SnB ( f ) a , B, Lq ) ≤ sup E(U p,θ a f ∈U p,θ q (n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) Định lý 3.10 suy từ định lý sau Định lý 3.7 Cho < p, q, θ ≤ ∞, < τ ≤ θ r > 1/p Thì, có a n (U p,θ , a Bq,τ ) ≤ en (U p,θ , Bq,τ ) Eθ,τ (n), (3.9) Eθ,τ (n) = (n/ logs n)−r (log n)s(1/τ −1/θ ) Ngoài ra, xây dựng tập hợp V∗ V, tập hợp B a → B có dạng (3.1) thỏa mãn Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n ánh xạ SnB : U p,θ a E(U p,θ , B, Bq,τ ) ≤ sup a f ∈U p,θ f − SnB ( f ) Bq,τ Eθ,τ (n) (3.10) a , L ) nhận từ định lý sau Cận ρ(U p,θ q Định lý 3.8 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ r > 1/p Thì có a ρ(U p,θ , Lq ) (n/ logs n)−r (log n)s(1/2−1/θ ) Sau phát biểu chứng minh kết phần Định lý 3.9 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ r > 1/p Thì a n (U p,θ , Lq ) a ρn (U p,θ , Lq ) n−r (log n)s(r+1/2−1/θ ) Hơn nữa, đánh giá tiệm cận phương pháp khơi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu a en (U p,θ , Lq ) a rn (U p,θ , Lq ) 20 n−r (log n)s(r+1/2−1/θ ) 3.3.2 A Xấp xỉ khôi phục hàm số không gian B p,θ Trong phần nghiên cứu xấp xỉ khôi phục hàm số phương A với A tập pháp phi tuyến không gian Besov tổng quát B p,θ hữu han Rd+ , không gian xem giao khơng gian B ap,θ Kết nhận xây dựng phương pháp phi tuyến đánh giá tốc độ hội tụ thông qua đại lượng -entropy A n (U p,θ , Lq ) A , L ) Ngoài nhận ước lượng độ dày phi tuyến ρn (U p,θ q tiệm cận sai số phương pháp khơi phục thích nghi giá trị lấy mẫu tối ưu qua A , L ) , r (U A , L ) đại lượng en (U p,θ q n p,θ q Định lý 3.10 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ α = α( A) > 1/p, s = s( A) Khi có A n (U p,θ , Lq ) A ≤ en (U p,θ , Lq ) (n/ logs n)−α (log n)s(1/2−1/θ ) (3.11) Ngoài ra, xây dựng tường minh tập hữu hạn V∗ V, tập A → B có dạng (3.1) cho B Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n , ánh xạ SnB : U p,θ A E(U p,θ , B, Lq ) ≤ sup f − SnB ( f ) A f ∈U p,θ E ( n ), q E(n) ký hiệu vế phải (3.11) Chứng minh định lý suy từ định lý sau Định lý 3.11 Cho < p, q, θ ≤ ∞, < τ ≤ θ α = α( A) > 1/p, s = s( A) Khi đó, A n (U p,θ , A Bq,τ ) ≤ en (U p,θ , Bq,τ ) Eθ,τ (n), (3.12) Eθ,τ (n) = (n/ logs n)−α (log n)s(1/τ −1/θ ) Ngồi ra, xây dựng tường minh tập hữu hạn V∗ V, A → B có dạng (3.1) tập B Mn (V∗ ) có | B| ≤ 2n , ánh xạ SnB : U p,θ cho A E(U p,θ , B, Bq,τ ) ≤ sup A f ∈U p,θ f − SnB ( f ) Bq,τ Eθ,τ (n) (3.13) Định lý 3.12 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ α > 1/p Khi có A ρ(U p,θ , Lq ) (n/ logs n)−α (log n)s(1/2−1/θ ) 21 (3.14) Chứng minh định lý suy từ định lý sau Định lý 3.13 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ α > 1/p Khi có A ρ(U p,θ , Bq,τ ) (n/ logs n)−α (log n)s(1/τ −1/θ ) Từ Định lý 3.10, 3.12 suy kết luận án: Định lý 3.14 Cho < p, q < ∞, < θ ≤ ∞ α = α( A) > 1/p, s = s( A) Đặt γn số đại lượng en , rn , n ρn Thì có ước lượng tiệm cận sau A γn (U p,θ , Lq ) n−α (log n)s(α+1/2−1/θ ) 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án bao gồm: Phát biểu chứng minh định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy qua giá trị lấy mẫu Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác Nghiên cứu khôi phục xấp xỉ hàm số phương pháp tuyến tính: Chúng tơi xây dựng phương pháp tuyến tính, đánh giá tốc độ tụ, đồng thời xây dựng phương pháp khơi phục thích nghi giá trị lấy mẫu tối ưu ước lượng tiệm cận mức độ sai số phương pháp không gian Besov BΩ p,θ Xây dựng phương pháp phi tuyến để xấp xỉ khôi phục hàm số, đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp phi tuyến không gian Besov A B p,θ Có thể phát triển kết luận án sau: A mà tập hợp A Nghiên cứu vấn đề không gian Besov B p,θ compact Rd+ 23 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N M Cuong and M X Thao, Adaptive sampling recovery of functions with bounded modulus of smoothness, Acta Math Vietnamica 42(2017), 113-127 N M Cuong and M X Thao, Quasi-interpolation representation and sampling recovery of multivariate functions, Acta Math Vietnamica 43(2018), 373-389 N.M Cuong, Nonlinear approximations of functions having mixed smoothness, Journal of Computer Science and Cybernetics, V.35, N.2 (2019), 1{DOI 10.15625/1813-9663/35/2/13578} N.M Cuong, Adaptive sampling recovery and nonlinear approximations of multivariate functions in Besov-type spaces, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, accepted 30-4-2019 24 ... Chương KHƠI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH Trong chương nghi? ?n cứu khôi phục xấp xỉ hàm số không gian Besov BΩ p,θ phương pháp tuyến tính, xây dựng phương pháp tuyến tính đánh giá tốc... Poussin 19 3.3.1 Xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp phi tuyến không gian B ap,θ Các kết chúng tơi nghi? ?n cứu phương pháp xấp xỉ khôi phục hàm số phương pháp phi tuyến không gian Besov B ap,θ phát... 3.2 Khơi phục hàm số khơng tuần hồn phương pháp thích nghi Trong phần này, xây dựng phương pháp xấp xỉ khơi phục thích nghi giá trị lấy mẫu tối ưu hàm số biến(d = 1) thuộc không gian Besov BΩ