Luận văn thạc sĩ tính duy nhất và ổn định của bài toán calderón

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THẾ DŨNG TÍNH DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TỐN CALDERĨN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 TRẦN THẾ DŨNG TÍNH DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TỐN CALDERĨN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nội – 2015 LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n hồn thành tai Khoa Toán - Cơ - Tin HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc HQc, Trưòng Đai Quoc gia H Nđi dúi sn húng dan tắn tỡnh, chu ỏo cna TS Đ¾ng Anh Tuan Nhân d%p tơi xin đưoc gui tói thay lịi biet ơn sâu sac nhat Tơi xin gui lịi biet ơn sâu sac tói ThS Chu Văn Ti¾p, ngưịi giúp đõ, gui cho tơi nhung tài li¾u tham khao Tơi xin đưoc bày to lịng biet ơn tói TS Nguyen Anh Tú, ngưịi có nhung ý kien, giúp đõ tơi ve n®i dung vi¾c ĐQc ban thao cho tơi nhung ý kien chinh sua q báu đe tơi có the hồn thành tot Lu¾n Văn Tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói thay B® mơn Giai tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trũng HKHTN - HQGHN ve sn đng viờn khớch lắ, giúp đõ nhung trao đői bő ích suot q trình HQc t¾p cơng tác Tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói thành viên lóp K53A1T khóa 2008-2012 trưịng ĐHKHTN - ĐHQGHN ve vi¾c giúp đõ tơi vi¾c su dung latex Tơi xin chân thành cam ơn Ban giám hi¾u, Phịng Sau đai Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, HQc, Ban chn nhi¾m Phòng Đào tao, Phòng CTCT - SV, trưòng Đai HQc Khoa hQc Tn nhiên, ĐHQGHN tao đieu ki¾n thu¾n loi giúp đõ tơi q trình HQ c t¾p nhiên cúu Cuoi cùng, tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói ngưịi thân, ban bè nhung ngưịi giúp đõ, đ®ng viên tơi q trình thnc hiắn Luắn Vn ny H Nđi, ngy 23 thỏng 01 năm 2015 HQc viên Tran The Dũng Mnc lnc LèI CAM ƠN DANH MUC CÁC KÝ HIfiU 0.1 Giói thi¾u tốn Kien thÉc chuan b% 1.1 Các không gian Lp, C k 1.2 Không gian Sobolev 13 Tớnh nhat 19 2.1 Phng trỡnh Schrăodinger 19 2.2 Nghi¾m CGO 28 2.2.1 Ưóc lưong vói q = 29 2.2.2 Ưóc lưong vói q ƒ= .33 2.2.3 Xây dnng nghi¾m CGO 35 2.3 Chúng minh tính nhat 36 Tính on %nh 39 3.1 Phng trỡnh Schrăodinger 42 3.2 Ket qua ve tính őn đ%nh 47 Tính nhat ∂Ω−,ε 54 4.1 Ưóc lưong Carleman .54 4.2 Tính nhat ∂Ω−,ε 62 TÀI LIfiU THAM KHAO 67 DANH MUC CC Kí HIfiU ã N: Tắp hop so tn nhiờn • Z+: T¾p hop so ngun khơng âm • |Ω|, |∂Ω| : Tương úng the tích cna Ω diắn tớch cna ã Sn1: Mắt cau n v% Rn • B(a, r) : Hình cau mo tâm a bỏn kớnh r ã AB: Hiắu oi xỳng cna hai t¾p hop A B, A∆B = (A\B) ∪ (B\A) Σ • a · b : Vói a = (a1, a2, · · · , an ) ∈ C n b = (b1 , b , · · · , bn) ∈ Cn |a| |ak| = n • |a|: Vói a = (a1, a2, · · · , an) Σ ∈ Cn n a · b = akbk k=1 k=1 • div (u) : Cho u : Ω ⊂ Rn → Cn đưoc xác đ%nh boi u(x) = (u1(x), u2(x), · · · , un(x)) Σn ta đ%nh nghĩa div ∂kuk (u) = n Cho u, v : Ω ⊂ R → C α = (α1, α2, · · · , α+n) ∈ Zn • ∂ku: đưoc xác đ%nh boi ∂ku =∂u ∂xk vói x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Ω • ∂α u : Đao hàm riêng cap |α| = α1 + α2 + · · · + αn cna hàm so u • ∇u : đưoc đ%nh nghĩa ∇u = (∂1u, ∂2u, · · · , ∂nu) • |∇u| : đưoc đ%nh nghĩa | ∇u| = |∂ku|2 n Σ k=1 • Dju: đưoc đ%nh nghĩa boi Dju = i ∂ju • Du: đưoc đ%nh nghĩa boi Du = (D1u, D2u, · · · , Dnu) n • |Du|: đưoc đ%nh nghĩa boi | Σ |Dku|2 Du| = k=1 • D u: đưoc đ%nh nghĩa boi D u = Dα1 Dα2 · · · Dαnu α α • ∇u · ∇v : đưoc đ%nh nghĩa ∇u · ∇v = • u: Hàm liên hop phúc cna hàm u n n Σ ∂ku · ∂kv k=1 Me AU 0.1 Giỏi thiắu bi toỏn Cho mđt vắt the dan đi¾n, GQI E(x) đi¾n trưịng tai v% trí x cna v¾t the, u(x) đi¾n the tai v% trớ x cna vắt the, I(x) l đ dũng đi¾n tai v% trí x cna v¾t the Khi ba đai lưong có moi quan h¾ sau: Moi liên h¾ giua đi¾n trưịng đi¾n the E = −∇u Đ%nh lu¾t Ohm cho ta R(x)I(x) = E(x) R(x) tính can tro cna v¾t the tai v% trí x Ta có the viet phương trình dưói dang I(x) = γ(x)E(x), γ(x) = R(x ) (0.1) tính dan cna v¾t the tai v% trí x Gia su v¾t the khơng có nguon hay tu, dịng qua biên cna hình cau mo B bat kỳ bang túc ∫ ν · IdS = 0, ∂B ν vectơ pháp tuyen đơn v% ngồi cna ∂B Gia su rang I kha vi, theo đ%nh lý Gauss - Green (xem [5]), thúc se tro thành ∫ ∇ · Idx = B vói có MQI hình cau mo B Tù đó, ta ∇ · I = = ∇ · I = ∇ · γE = −∇ · γ∇u Vì v¾y Phương trình (0.2) đưoc GQi (0.2) phương trình v¾t dan Vói gia thiet mien Ω vắt the khụng cú nguon hoắc tu, cho mđt iắn the f trờn biờn se cam sinh mđt iắn the u Ω, thoa mãn toán biên Dirichlet  (0.3)  ∇ · γ∇u = Ω,  u=f ∂Ω Bài tốn biên Dirichlet có nhat nghi¾m u ∈ H1(Ω) vói moi f ∈ 2H (∂Ω) nên ta thecó đ%nh nghĩa ánh xa Dirichlet - Neumann (DN) Λγf = γ ∂u ∂Ω ∂ν Ánh xa Λγf, f ∈ H (∂Ω) bieu th% dịng qua biên M®t cách hieu khác cna ánh xa DN sau (Λ γf, g)∂Ω = ∫ γ∇u · ∇vdx, f, g ∈ H (∂Ω), (0.4) Ω u nghi¾m cna tốn (0.3) v hàm thu®c H (Ω) thoa mãn v|∂Ω = g Cơng thúc (0.4) khơng phu thu®c vào vi¾c cHQN hàm v ∈ H (Ω) cho v|∂Ω = g, (Λγ f, f )∂Ω lưong can đe trì dịng biên, vói đ%nh nghĩa Λγ ánh 1 xa tuyen tính b% ch¾n tù H (∂Ω) tói H− (∂Ω) Bài tốn ngưoc Calderón xác đ%nh hàm γ biet thông tin ve ánh xa Λγ, túc neu ta đo đưoc dòng biên Λγ f, ∀f ∈ H (∂Ω), ta muon xác đ%nh γ M®t so úng dung cna tốn ngưoc Calderón tốn thăm dị đ%a v¾t lý, Ω se đưoc hieu Trái Đat, hay tốn đi¾n não đo vói Ω não cna ngưịi Xoay quanh tốn ngưoc ngưịi ta thưịng nghiên cúu m®t so dang sau: Xét tốn đi¾n não đo, ta đo dịng đi¾n be mắt vo nóo e tỡm bắnh cna mđt ngũi, ta quan tâm tói vi¾c neu tai hai thịi điem khác cựng mđt ngũi, neu cho ta cựng dũng iắn đo đưoc be m¾t vo não có giúp cho chỳng ta xỏc %nh oc cựng mđt bắnh hay khơng? Hay nói cách khác, tốn ngưoc Calderón có nhat nghi¾m hay khơng? Theo ngơn ngu tốn HQc tính nhat cna tốn ngưoc Calderón đưoc phát bieu sau Neu Λ γ1 = Λγ2 có suy đưoc γ1 = γ2 hay không? Cho biet dòng biên Λγ f, ∀f ∈ H (∂Ω) tìm cách xây dnng lai hàm γ Trong Lu¾n Văn này, khơng tìm hieu tốn Trong thnc te, q trình đo dịng biên, nhung lý khác se xay nhung sai so nhat đ%nh M®t câu hoi đ¾t ra, vói sai so cho phép li¾u có the giúp biet đưoc gan thơng tin ve v¾t dan hay khơng? Câu hoi đưoc phát bieu dưói ngơn ngu tốn HQ c: Neu ||Λγ1 − Λγ2 || H2 (∂Ω)→H bé li¾u có the suy đưoc ||γ1 − γ2||L∞(Ω) bé hay không? −1 (∂Ω) Bài tốn nhat nghi¾m ta nghiên cúu tính nhat cna tốn ta biet đưoc dịng tồn b® biên ∂Ω Tuy nhiên thnc te, chang han Ω não ngưịi, khơng phai lúc có the đo đưoc dịng tồn b® biên mà chi có the đo oc dũng trờn mđt phan no ú cna biờn Vắy neu ta chi đo đưoc dịng m®t phan cna biên ta có suy đưoc tính nhat cna v¾t dan hay khơng? Theo ngơn ngu tốn Λγ1 f |Γ = Λγ2 f |Γ , vói MQI HQ c: Neu Γ t¾p cna ∂Ω neu hàm f có suy đưoc γ1 = γ2 hay khơng? M®t so ket qua liên quan tói tốn ngưoc Calderón: trưịng hop n = 2, K Astala v L Păaivăarinta [2] chỳng minh oc tính nhat cna Λγ trưịng hop γ ∈ L () Vúi n 3, A Panchenko, L Păaivăarinta G Uhlmann [13] chi tính nhat cna3 Λγ vói γ ∈ C (Ω) Trong [12], A I Nachman đưa m®t cách xây dnng lai hàm γ tù ánh xa Λγ G Alessandrini [1] chúng minh ưóc lưong őn đ%nh dang log cho hàm γ ∈ C2(Ω), γ b% ch¾n đeu H n +2 (Ω) N Mandache [10] chi rang ưóc lưong őn đ%nh dang log toi ưu H Heck [7] chi ưóc lưong őn đ%nh dang log vói γ ∈ C +ε(Ω) H Heck J N Wang [8] chi ưóc lưong őn đ%nh dang log − log ∂Ω cho hàm γ ∈ H s+3 (Ω) cho tốn du li¾u khơng đay đn Trong Lu¾n Văn này, chúng tơi se trình bày ket qua trưịng hop n ≥ dna tài li¾u tham khao [14] Cu the o chương 2, chúng tơi se trình bày ket qua ve tính nhat cna J Sylvester G Uhlmann [15] vói γ ∈ C2(Ω) Ta chúng minh ... TÍNH DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TỐN CALDERĨN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nội – 2015 LèI CAM ƠN Lu¾n văn. .. Chúng minh tính nhat 36 Tính on đ%nh 39 3.1 Phương trình Schrăodinger 42 3.2 Ket qua ve tính őn đ%nh 47 Tính nhat ∂Ω−,ε 54 4.1 Ưóc lưong Carleman .54 4.2 Tính nhat... v|∂Ω = g Bő đe dưói chi tính hop lý cna đ%nh nghĩa nua Λq ánh xa tuyen tính b% ch¾n Bo đe 2.4 Neu q ∈ L∞(Ω) cho tốn (2.17) đ¾t chsnh Λq ánh xa 1 tuyen tính tù H (∂Ω) vào H− (∂Ω) thóa mãn (Λq