Bài toán calderón trong hình tròn đơn vị

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN THU HIEN BÀI TỐN CALDERĨN TRONG HÌNH TRỊN ĐƠN V± LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN THU HIEN BÀI TỐN CALDERĨN TRONG HÌNH TRỊN ĐƠN V± Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 46 01 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Đ¾NG ANH TUAN Lài cam ơn Tơi xin chân thành cam ơn Ban giám hi¾u, Ban chn nhi¾m Khoa Tốn - Cơ - Tin Phịng Sau Đai HQc, Phòng Đào tao, Phòng CTCT - SV, trưòng Đai HQc HQ c, Khoa hQc Tn nhiên, ĐHQGHN tao đieu ki¾n thu¾n lịi giúp đõ tơi q trình HQ c t¾p nghiên cúu Tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưịng ĐHKHTN - ĐHQGHN ve sn đng viờn khớch lắ, giỳp suot q trình HQ c t¾p Đ¾c bi¾t, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS.Đ¾ng Anh Tuan, ngưịi ln hưóng dan, chi bao t¾n tình, sát tơi q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn tói em Mai Th% Kim Dung, ngưịi giúp tơi vi¾c su dung Latex hồn thi¾n trình bày lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói ngưịi thân, ban bè nhung ngưịi giúp đõ, đ®ng viên tơi suot quỏ trỡnh thnc hiắn luắn H Nđi, ngày 24 tháng 11 năm 2019 HQc viên Nguyen Thu Hien Mnc lnc Lài cam ơn Danh mnc kí hi¾u Ma đau Chuan b% 1.1 M®t so kien thúc giai tích 1.2 Không gian Sobolev 1.2.1 Không gian Sobolev xuyen 1.2.2 Không gian Sobolev B 17 Bài toán biên elliptic 26 2.1 Phương trình elliptic 26 2.2 Ánh xa Dirichlet - Neumann .31 Bài tốn Calderón 35 3.1 Ví du Alessandrini 35 3.2 Mo r®ng ví du Alessandrini 36 3.3 M®t so ví du khác 44 Ket lu¾n 52 Tài li¾u tham khao .54 Danh mnc kớ hiắu ã N : Tắp hop so tn nhiờn ã Z+ : Tắp hop so nguyờn khụng õm ã Zn+: Tắp hop so nguyờn khụng õm n chieu • α : đa chi so, α ∈+Zn , α = (α1, α2, , αn) • | α| = α1 + α2 + + αn • Dαu : đưoc đ%nh nghĩa Dαu = ∂|α|u ∂x1α1 ∂x2α2 ∂xnαn • B = {(x1, x2) ∈ R2|x2 + x2 < 1}, hình trịn đơn v% tâm tai goc • Tn xuyen n chieu, Tn = Rn/2πZn • S1 = {eiθ|θ ∈ R} ⊂ R2 • Vói A có the S1, B, Tn ta đ%nh nghĩa: ∫ đđ p p C| |u(x)| dx < ∞}, ≤ p < ∞ − (A) − − − − L = {u : − − → A AL e b e s g u e • C(S1): Khơng gian hàm liên tuc R, tuan hồn chu kì 2π • Cm(B): Khơng gian hàm có đao hàm tói cap m liên tuc B, vói ∀|α| ≤ m • C∞ (B): Khơng gian hàm kha vi vô han B, C∞ (B) = T ∞ Cm(B) m= • C0(B) = {u ∈ C(B), supp u t¾p compact B}, supp u = {x ∈ B : u(x) 0} • C0m(B) = {u ∈ Cm(B), supp u l compact B} ã C0 (B) = T ∞ m= Cm(B) T gian hàm u có đao hàm Dαu liên tuc đeu B, ∀|α| ≤ m • C m (B) : Khơng • C∞ (B) = ∞ Cm(B) m= • ∇ u = (ux1 , ux2 ) , uxj , j = 1, đao hàm riêng cna u theo xj Ma đau Xét v¾t the dan đi¾n m®t ban mong, có the xem hình trịn B vói tính dan γ(x) Gia thiet mien B v¾t the khụng cú nguon hoắc tu mđt iắn ỏp f lờn S1 se sinh mđt iắn the u B, thoa mãn toán biên Dirichlet  (1)  ∇ · (γ∇u) = B,  u = f S1 Bài toán biên Dirichlet (1) có nhat nghi¾m u ∈ H11(B) vói moi f1 ∈ H21 (S1) Khi đócó the đ%nh nghĩa ánh xa Dirichlet-Neumann Λ γ : H (S1) → H − (S1) đưoc xác đ ta %nh boi Λγf = γ∂νu|S1 Λγf bieu th% dịng đi¾n theo hưóng pháp tuyen S1 Ánh xa DirichletNeumann hồn tồn đưoc xác đ%nh bang phép đo đac biên Bài tốn Calderón đ¾t neu ta hieu ánh xa Dirichlet-Neumann ta biet đưoc ve tính dan cna v¾t the dan đi¾n Trong lu¾n văn này, cơng vi¾c cna ngưịi viet trình bày ví du mo r®ng cna Alessandrini ve tốn Calderón xét đưoc tính őn đ%nh khơi phuc lai tính dan cna v¾t Ngồi ngưịi viet quan tâm đen ket qua ve tính őn đ%nh C α , < α < 1, cna T.Barcelo đong nghi¾p báo [11], tính őn đ%nh H α , < α < 1, cna A Clop đong nghi¾p báo [5] Bo cuc cna lu¾n văn gom chương: • Chương 1: Trình bày nhung kien thúc ve giai tích, khơng gian Sobolev xuyen khơng gian Sobolev hình trịn đe su dung cho chương sau • Chương 2: Trình bày ket qua ve tính trơn cna nghi¾m phương trình elliptic Sau đó, tù đ%nh lý ve sn ton tai nhat nghi¾m cna tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic, ngưịi viet trình bày đ%nh nghĩa m®t so tính chat cna ánh xa Dirichlet-Neumann Trong trưịng hop h¾ so cna phương trình elliptic đ¾c bi¾t, ngưịi viet nhac lai ket qua giúp cho vi¾c viet đưoc tưịng minh ánh xa Dirichlet- Neumann • Chương 3: Xuat phát tù ví du cna Alessandrini, ngưịi viet quan tâm đen lóp tính dan   α0 + α1 (a − r) neu < (2) γ (x) = r < a, r = |x| ,  α α0 neu a < r < 1, Đoi vói lóp tính dan này, ngưịi viet thu đưoc ket qua: (+)Viet tưòng minh ánh xa Dirichlet - Neumann (D-N) (+)Tính őn đ%nh Lipschitz (+)Khơi phuc đưoc tính dan tù ánh xa D-N Ve tính őn đ%nh cna tính dan Cα báo [11], T.Barcelo đong nghi¾p thu đưoc ǁγ1 − γ2ǁL∞(Ω) ≤ V.ǁΛγ1 − Λγ2 ǁ∗ Σ Bang n®i suy dan đen C β őn đ%nh, < β < α Trong lu¾n văn, ngưịi viet dùng dãy tính dan γa (r) = + aαρ a r Σ , a > 0,   e r2−1 |r| < 1, ρ (r)  0 |r| ≥ 1, = đe chi rang β không the bang α Ve tính őn đ%nh cna tính dan H α báo [5], A.Clop đong nghi¾p thu đưoc ǁγ1 − γ2ǁL2(Ω) ≤ V.ǁΛγ1 − Λγ2 ǁ∗ Bang n®i suy dan đen H β őn đ%nh, < Σβ < α Đe chi β khơng bang α ta can đen dãy tính dan phúc tap Trong trưòng hop C β őn đ%nh ta can m®t hình trịn cịn trưịng hop ta can đen nhieu hình trịn Khi so hình trịn tăng vơ han ta se thay không H α őn đ%nh Chương Chuan b% 1.1 Mđt so kien thẫc giai tớch Ký hiắu Tn xuyen n chieu, Tn = Rn/2πZn Hàm f : Tn → C đưoc hieu f : Rn → C, tuan hồn vói chu kỳ 2πZn Đ%nh nghĩa 1.1 Cho p ∈ [1; +∞), không gian Lp(Tn) đưac đ%nh nghĩa sau Lp (Tn ) := f : Rn → C : ∫ |f (x)|p dx < +∞ ,  Tn  ∫ tích phân Lebesgue [0; 2π]n, vái chuan Tn  ǁf ǁLp (Tn ) :=   (2π)n ∫ |f (x)| p Nhắn xột 1.1 (1) L2(Tn) l mđt khụng gian Hilbert C, vói tích vơ hưóng dx ∫ n L2(Tn) f T(x)g(x)dx, f, g ∈ L2(Tn) (f, g) := (2π) n Tn (2) Vói n = , T = R/2πZ = S1, hàm f : T = S1 → C đưoc hieu f : R → C, tuan hồn vói chu kỳ 2π (3) Vói n = 2, T2 = R2/2πZ2 ƒ= S2, hàm f : T2 → C đưoc hieu f : R2 → C thoa mãn f (x1 + k12π, x2 + k22π) = f (x1, x2), ∀k1, k2 ∈ Z, ∀(x1, x2) ∈ R2 Khi L2 (T) = L2 Σ S1 = L2 (0, 2π) ; L2 (Tn ) = L2 ((0, 2π)n ) ... β không bang α ta can đen dãy tính dan phúc tap Trong trưịng hop C β őn đ%nh ta can m®t hình tròn trưòng hop ta can đen nhieu hình trịn Khi so hình trịn tăng vô han ta se thay không H α őn đ%nh... 1.2.2 Không gian Sobolev B 17 Bài tốn biên elliptic 26 2.1 Phương trình elliptic 26 2.2 Ánh xa Dirichlet - Neumann .31 Bài toán Calderón 35 3.1 Ví du Alessandrini ...ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN THU HIEN BÀI TỐN CALDERĨN TRONG HÌNH TRỊN ĐƠN V± Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 46 01 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài