Bài toán tìm bao lồi của tập hữu hạn các điểm hoặc các hình tròn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————–o0o——————– Nguyen Kieu Linh BÀI TỐN TÌM BAO LOI CUA T¾P HUU HAN CÁC ĐIEM HO¾C CÁC HÌNH TRỊN Chun ngành: Tốn úng dung Mã so: 9460112.01 LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS HOÀNG NAM DŨNG PGS TS PHAN THÀNH AN Hà N®i - 2019 LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nhung ket qua trình bày lu¾n án này, dưói sn hưóng dan cna TS Hồng Nam Dũng PGS TS Phan Thành An, mói, trung thnc chưa tùng đưoc công bo bat kỳ cơng trình cna khác Nhung ket qua viet chung vói thay hưóng dan tác gia khác đưoc sn đong ý đưa vào lu¾n án Nghiên cúu sinh Nguyen Kieu Linh ii LèI CAM ƠN Trưóc het, tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac tói Thay hưóng dan, TS Hoàng Nam Dũng PGS TS Phan Thành An Tù t¾n đáy lịng, tơi vơ biet ơn sn giúp đõ t¾n tình, q báu mà Thay dành cho tơi suot q trình thnc hi¾n lu¾n án Nhò nhung ý tưong mà Thay goi ý, nhung góp ý, hưóng dan cna Thay, nhung tài li¾u bő ích mà Thay cung cap nhung cu®c trao đői thú v% cna Thay ve cơng vi¾c nghiên cúu, tơi hồn thành đe tài cna Các Thay dành cho tơi rat nhieu sn quan tâm, chi dan giúp đõ không chi nghiên cúu khoa HQc mà cho ca nhung HQc ve cu®c song, ve tình ngưịi Chính nhị sn quan tâm cna Thay, tơi tn tin đe vưot qua nhung lúc g¾p khó khăn, vap váp, th¾m chí that bai Xin cam ơn ve tat ca nhung Thay mang đen cho Tôi xin chân thành cam ơn thay anh ch% em o khoa Toán - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i; nhóm Toi ưu cho Hình HQc Tính tốn Phịng Giai tích so & Tính tốn Khoa HQc, Vi¾n Tốn HQc, Vi¾n Hàn lâm Khoa HQc Cơng ngh¾ Vi¾t Nam; nhóm nghiên cúu tai Trung tâm nghiên cúu bieu đo Voronoi, Đai HQc Hanyang, Seoul Hàn Quoc Nhung ý kien quý báu cna thay ban o kỳ seminar tao sn gan bó vói mơi trưịng nghiên cúu giúp tơi rat nhieu vi¾c hồn thành lu¾n án Tơi rat biet ơn Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai hQc Quoc gia Hà N®i Cơng tác quan lý đào tao mơi trưịng nghiên cúu cna Trưịng góp phan khơng nho đe cho lu¾n án đưoc hồn thành dn đ%nh Tơi xin gui lịi cam ơn tói Quy Phát trien Khoa HQc Cơng ngh¾ Quoc gia Vi¾t Nam (NAFOSTED) Lu¾n án đưoc ho tro mđt phan ve mắt ti chớnh boi Quy, khuôn khő Đe tài Nghiên cúu khoa HQc ban mã so 101.012014.28 Tôi xin chân thành cam ơn GS.TSKH Hoàng Xuân Phú, GS.TSKH Pham Kỳ Anh, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS Tran Vũ Thi¾u, PGS.TS Nguyen Th% Thu Thuy, PGS.TS Pham NGQc Anh nhung ngưịi Thay, ngưịi Cơ luụn luụn quan tõm, theo dừi, đng viờn khớch lắ tinh than giúp tơi vưot qua nhung khó khăn q trình thnc hi¾n lu¾n án Tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành đen thay cơ, ban đong nghi¾p o HQc vi¾n Cơng ngh¾ Bưu Vien thơng tao đieu ki¾n ve thịi gian khích l¾ tinh than rat nhieu, giúp tơi n tâm ve cơng vi¾c suot thịi gian làm nghiên cúu sinh Xin gui lịi cam ơn tói ban bè, nhung ngưòi quan tâm, yêu men đng viờn tụi ca cuđc song lan cụng viắc nghiên cúu khoa HQc Cuoi cùng, lu¾n án se khơng the hồn thành neu khơng có sn đ®ng viên ho tro ve MQI m¾t cna gia đình thân u Tơi khơng the dien đat đưoc bang lịi lịng biet ơn đoi vói nhung gia đình dành cho tơi tù trưóc đen Tat ca cơng súc tâm huyet lu¾n án q tơi muon gui tói nhung ngưịi thân gia đình vói tat ca lịng biet ơn sâu sac nhat Mnc lnc Trang Lài cam đoan .i Lài cam ơn .ii Mnc lnc Danh mnc ký hi¾u chE viet tat Danh mnc bang Danh mnc hình ve Ma đau Chương Kien thÉc chuan b% .13 1.1 Sn đ%nh hưóng m®t so kien thúc liên quan 13 1.2 Bài tốn tìm bao loi úng dung 16 1.2.1 Bài tốn tìm bao loi cho t¾p huu han điem 16 1.2.2 Bài tốn tìm bao loi cho t¾p hình trịn 28 Chương Bài tốn tìm bao loi cho t¾p điem .34 2.1 Cai tien thu¾t tốn Quickhull khơng gian R2 .35 2.1.1 Thu¾t tốn Quickhull 35 2.1.2 Han che phép tính orient .37 2.1.3 Su dung vector đ%nh hưóng .38 2.1.4 Tien xu lý chia nho toán 41 2.1.5 M®t so ket qua tính tốn .44 2.2 Cai tien thu¾t tốn gói q 47 2.2.1 Ky thu¾t mien han che 49 2.2.2 Mien han che tot nhat 55 2.2.3 Ky thu¾t mien han che tot nhat 56 2.2.4 M®t so ket qua tính toán .58 Chương Bài tốn tìm bao loi cho t¾p hEu han hình trịn .64 3.1 Sn đ%nh hưóng cho hình tròn R2 64 3.2 Giói thi¾u thu¾t tốn QuickhullDisk .69 3.3 Sn đan cna thu¾t toán 74 3.4 Đ® phúc tap tính tốn 79 3.4.1 Đ® phúc tap tính tốn trưịng hop xau nhat .79 3.4.2 Đ® phúc tap tính tốn trung bình 80 3.4.3 Đ® phúc tap tính tốn theo nghĩa smoothed analysis 81 3.5 M®t so ket qua tính tốn 87 Chương Úng dnng cua tốn tìm bao loi cho t¾p điem 90 4.1 Bài tốn xác đ%nh v% trí toi ưu 90 4.1.1 Phát bieu tốn tính chat .91 4.1.2 Thuắt toỏn v sn hđi tu .93 4.1.3 M®t so ket qua tính tốn .97 4.2 Bài tốn tìm bao loi dưói cna t¾p huu han điem R3 100 4.2.1 Bao loi dúi cna mđt iem 100 4.2.2 Ky thu¾t han che tính bao loi dưói cho t¾p huu han điem R 4.2.3 M®t so ket qua tính tốn Ket lu¾n Danh mnc cơng trình khoa HQC CUA tác gia liên quan đen án Tài li¾u tham khao 102 108 110 lu¾n 112 113 Danh mnc ký hi¾u chE viet tat conv(D) ∂(conv(D)) CH(D) VC [p, q] pq H+, H− bao loi cna t¾p hop D biên cna bao loi conv(D) t¾p hình trịn cnc biên cna t¾p D t¾p đinh cna bao loi conv(C) đoan thang noi p vói q đưịng thang qua p q nua không gian dương, âm cna siêu phang H D∆ + t¾p hình trịn cna D khơng nam phía âm cna đưịng thang ∆ D∆ t¾p hình trịn cna D khơng nam phía dương cna đưịng thang ∆ − l(d, dJ ) tiep tuyen phai cna hai hình trịn d dJ (x1x2 xd)Ox1x2 xd mien han che cna siêu phang (x1x2 xd) siêu phang TQA đ® Ox1 x2 xd dimF dist(c, ∆) ∆ cl(1), cl(2), depth(P ) prev(d) next(d) DT(P ) CHL(P ) |P| FVOR(D) freg(d) MCS CH(pq) ||x − y|| PA(x) (u, v) so chieu cna F khoang cách tù điem c đen đưịng thang lóp loi thú nhat, lóp loi thú hai, đ® sâu cna t¾p P hình trịn cnc biên ke trưóc cna d hình trịn cnc biên ke sau cna d tam giác phân Deulaunay cna t¾p P bao loi dưói cna t¾p P lnc lưong cna t¾p P bieu đo Voronoi mien xa nhat cna t¾p hình trịn D mien Voronoi cna hỡnh trũn d hỡnh trũn nho nhat chỳa mđt bao loi cna t¾p hình trịn xung quanh đoan thang pq khoang cách giua x y hình chieu cna điem x lên t¾p A tích vơ hưóng cna hai vector u vector v Danh sách bang Chương 2.1 So sánh h¾ so tăng toc cna bon phiên ban Quickhull so vói thu¾t tốn Quickhull ban đau 47 2.2 Thịi gian tính bao loi vói du li¾u hình vng (đơn v%: giây).59 2.3 Thịi gian tính bao loi vói du li¾u hình trịn (đơn v%: giây) 60 2.4 Thịi gian tính bao loi cho kieu du li¾u tao hình l¾p phương (đơn v%: giây) 61 2.5 Thịi gian tính bao loi vói kieu du li¾u m¾t cau (đơn v%: giây) 61 Chương 3.1 Thịi gian chay tính bao loi cho kieu du li¾u hình trịn rong (đơn v%: giây) .88 3.2 Thòi gian chay tính bao loi cho kieu du li¾u hình vuông rong (đơn v%: giây) 89 Chương 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Thịi gian tính tốn cho t¾p D1 (đơn v%: giây) .98 Thịi gian tính tốn cho t¾p D2 (đơn v%: giây) .98 Thịi gian tính tốn cho t¾p D3 (đơn v%: giây) .99 Thịi gian tính tốn cho t¾p D4 (đơn v%: giây) .99 Thịi gian chay tính bao loi dưói (đơn v%: giây) 109 Danh sách hình ve Chương 1.1 Các điem cnc đ¾c bi¾t 17 1.2 Bao loi cna t¾p điem không gian R2 17 1.3 Bao loi cna t¾p điem khơng gian R3 17 1.4 Quy trỡnh tn đng nhắn dang bien so xe .22 1.5 Chup anh tù camera .23 1.6 Tien xu lý anh .23 1.7 Trích vùng bien so xe 23 1.8 Tìm bao loi cho moi kí tn 23 1.9 Đưòng ngan nhat 23 1.10 Ban đo vói du li¾u vector 24 1.11 Đoi tưong điem ban đo 24 1.12 Đoi tưong đưàng ban đo 24 1.13 Đoi tưong vùng ban đo 24 1.14 Thu¾t tốn tìm bao loi cho đoi tưong điem 25 1.15 Thu¾t tốn tìm bao loi cho đoi tưong đưòng 25 1.16 Thu¾t tốn tìm bao loi cho đoi tưong vùng 25 1.17 Đ® sâu cna m®t điem v cỏc lúp loi cna mđt hop 26 1.18 Lưói tam giác phân Delaunay cna t¾p điem 27 1.19 Moi liên h¾ giua tam giác phân Delaunay bao loi dưói 27 1.20 Bài tốn tìm bao loi cho t¾p hình trịn 28 1.21 Bài tốn gói cáp (cable packing problem) .31 1.22 Bài tốn tìm đưịng ngan nhat (shortest path problem) 31 1.23 Bài tốn đưịng r®ng nhat (largest channel problem) .31 1.24 Xác đ%nh đưòng ngan nhat giua hai điem vói v¾t can hình trịn 32 Chương 2.1 Thu¾t tốn Quickhull 36 2.2 vector đ%nh hưóng 39 2.3 Minh HQA trưịng hop i) cna M¾nh đe 2.1.2 40 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Minh HQA trưịng hop ii) cna M¾nh đe 2.1.2 40 Trưòng hop px ≤ rx ≤ qx 41 Trưòng hop qx ≤ rx ≤ px 41 Bon t¾p điem Q1, Q2, Q3 Q4 42 Bon t¾p S1, S2, S3, S4 vói bon điem r1, r2, r3 r4 .42 Năm kieu du li¾u 46 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 Minh HQA ket qua tính tốn cna năm kieu du li¾u 10.000 điem 48 Di¾n tích giói han siêu phang TQA đ® Ox1x2 xd−1 51 Diắn tớch giúi han trờn siờu phang TQA đ Ox1 51 Mien han che cna siêu phang (a1a2t) Ox1x2 51 Mien han che cna siêu phang (a1a2t) Ox1x2 đưoc giói thi¾u boi An Trang [8] 52 Ti so di¾n tích giói han cna (a1a2 ad−1t) Ox1x2 xd−1 55 Ti so di¾n tích giói han cna (at) Ox1 55 Ti so han che cna (a1a2t) Ox1x2 55 Đo th% so sánh thịi gian chay cna thu¾t tốn gói q Thu¾t 2.15 2.16 2.17 2.18 tốn 2.9 cho du li¾u hình vng 60 2.19 Đo th% so sánh thịi gian chay cna thu¾t tốn gói q Thu¾t tốn 2.9 cho du li¾u hình tròn 60 2.20 So sánh thịi gian chay cna thu¾t tốn gói q, thu¾t tốn cai tien [8] Thu¾t tốn 2.9 cho du li¾u hình l¾p phương.62 2.21 So sánh thịi gian chay cna thu¾t tốn gói q, thu¾t tốn cai tien [8] Thu¾t tốn 2.9 cho du li¾u m¾t cau 62 Chương 3.1 V% trí tương đoi cna hình trịn d đưịng thang đ%nh hưóng ∆ .65 3.2 Tiep tuyen phai .67 3.3 3.4 3.5 3.6 Bao loi cna mđt hỡnh trũn 68 Các hình trịn cnc biên dp dq 71 Các t¾p hop D1, D2 hình trịn dr 71 Các t¾p hop P0, P1 P2 72 thuđc P vúi mắt phang (abp) mđt cỏch thuắn loi đơn gian Trưóc tiên ta đ¾t xE := min{x : (x, y, z) ∈ (E)}, max xE := max{x : (x, y, z) ∈ (E)}, yE := min{y : (x, y, z) ∈ (E)}, max yE := max{y : (x, y, z) ∈ (E)}, zE := min{z : (x, y, z) ∈ (E)}, max zE := max{z : (x, y, z) ∈ (E)} Theo M¾nh đe 4.2.2 đe tìm m¾t dưói ta chi xét nhung m¾t phang có nz < Do ta có the đ¾t nx ny d α=− ,β=− ,γ= nz nz nz Khi m¾t phang (abp) qua ba điem a, b, p có dang z = αx + βy + γ Vì ellipse (E) giao cna m¾t phang (abp) paraboloid (P) nên có phương trình z = (x qx)22 + (y − qy) z = αx + βy + γ − (4.22) Tri¾t tiêu z h¾ (4.22) ta đưoc (x − qx)2 + (y − qy)2 = αx + βy + γ (4.23) Bien đői (4.23) ta đưoc phương trình có dang α2 β2 (x − qx − + (y − qy − = αqx + 2) βqy + ) α2 + β + γ 4 (C) Rõ ràng (C) có dang phương trình đưịng trịn m¾t phang Oxy đưịng trịn hình chieu cna (E) theo phương song song vói truc Oz lên m¾t phang TQA đ® Oxy Đưịng trịn (C) có tâm điem c có TQA đ® cx = qx +2α (4.24) cy = qy +2 β bán kính r = αqx + βqy + α2 + β2 + γ 4 (4.25) Dna vào đ¾c điem cna đưịng tròn (C) ta suy xE = cx − r, max xE = cx + r, yE = cy − r, max yE = cy + r Bő đe 4.2.3 cho ta công thúc xác đ%nh zE max zE Bo đe 4.2.3 Đ¾t zE := min{z : (x, y, z) ∈ (E)}, max zE := max{z : (x, y, z) ∈ (E)} Chúng minh rang i) zE = (cq − r)2, ii) max zE = (cq + r)2 Chúng minh Cho w(x, y, z) ∈ (E) wJ (x, y) ∈ (C) hình chieu cna theo phương song song vói Oz lờn mắt phang TQA đ Oxy (GQI tat l hỡnh chieu) Ta có wJ q2 = (x − qx )2 + (y − qy )2 = z (4.26) Dau bang thú hai (4.26) xay w(x, y, ∈z) P Boi v¾y tìm zE tương đương vói vi¾c tìm v% trí cna điem wJ đưịng C trịn ( ) cho wJ q nh¾n giá tr% nho nhat Ta se chúng minh rang wJ giao điem cna đưòng thang cq đưòng tròn ( ) Thắt vắy, gia su rang s = wJ l mđt điem bat kỳ đưòng tròn ( ),Cta se chúng w q < sq ƒ J Xét hai trưòng hop cna Cđiem q Hình 4.3 C ( ): Áp dung bat thúc Trưàng hap - Điem q nam bờn ngoi hoắc thuđc tamJ giỏc cho tam giỏc cqs, ta có cq < cs + qs Vì cq = cwJ + wJ q J cw = cs w q < qs C ( ): Áp dung bat thúc tam Trưàng hap - Điem q nam hoắc thuđc J giỏc cho tam giỏc cqs ta có cw = cs < cq + qs Vì cwJ = cq + qwJ nên wJ q < qs Như v¾y ca hai trưịng hop ta đeu có wJ q < qs hay wJ q nh¾n giá tr% nho nhat J w giao điem cna cq đưòng tròn (C) Đieu chi rang zE = wJ q = (cq − r)2 Áp dung cách chúng minh tương tn ta nh¾n đưoc phát bieu ii) max zE = max wJ q = (cq + r)2 GQI hình chieu cna điem a, b, p aJ , bJ , pJ , aJ , bJ , cJ ∈ (C) Ta có m¾nh đe sau M¾nh đe 4.2.4 Nhung iem thuđc P m cú hỡnh chieu nam ngoi đưàng trịn (C) nam m¾t phang (abp) Ngưac lai, nhung điem có hình chieu nam bên đưàng trịn (C) nam dưái m¾t phang (abp) s s q wj c a) Hình 4.3 (C) wJ (C) qc b) wJ giao điem cna đưòng thang cq đưòng tròn (C) t p (P) b (E)a pj (C1) (C) q tj c aj r bj Hình 4.4 Moi quan h¾ giua (E) (C) Chúng minh GQI t(tx , ty , tz ) điem bat kỳ cnaJ P mà có hình chieu tJ (tx , ty ) nam ngồi đưịng trịn C (Hình 4.4) Khi ta có t c2 > r2 , túc t − q − Σ2 x x α Σ2 < αqx + β βqy + ty − qy − + α2 + β + γ 4 (4.27) Bien đői Bat thúc (4.27) ta nh¾n đưoc (tx − qx)2 + (ty − qy)2 < αtx + βty + γ (4.28) Bat thúc (4.28) chi rang điem t nam dưói m¾t phang (abp) Trưịng hop cịn lai đưoc chúng minh tương tn M¾nh đe 4.2.5 4.2.6 dưói giúp ta xác đ%nh nhanh mđt iem nam trờn hay dúi mđt mắt phang nhũ phộp so sỏnh TQA đ Mắnh e 4.2.5 Neu điem t(tx, ty, tz) ∈ P thóa mãn m®t nhung đieu ki¾n sau i) tx < xE, ii) tx > max xE, iii) ty < yE, iv)ty > max yE, v) tz > max zE nam m¾t phang (abp) Chúng minh Trưóc tiên ta chúng minh rang tx < xE hình chieu tJ (tx , ty ) cna t nam đưịng trịn (C) Th¾t v¾y, rõ ràng rang tx < xE = cx − r cx − tx > r M¾t khác, tJ c2 = (cx − tx )2 + (cy − ty )2 > r2 + (cy − ty )2 > r2 Suy ra, tJ nam ngồi đưịng trịn (C) Như v¾y, theo M¾nh đe 4.2.4 ta có the ket lu¾n rang t nam o phía m¾t phang (abp) Các trưịng hop ii) - iv) đưoc chúng minh tương tn i) Đe chúng minh v) ta gia su rang t(tx , ty , tz ) ∈ P thoa mãn tz = (tx − qx)2 + (ty − qy)2 > max zE = (cq + r)2 Boi v¾y hình chieu tJ (tx , ty ) cna t(tx , ty , tz ) thu®c (C1 ) vói (C1 ) đưịng trịn có tâm q(qx , qy ) bán kính r1 > cqJ + r hay r1 J− r > cq Bat thúc chi rang (C1 ) chúa (C) Do điem t ∈ (C1 ) t nam ngồi (C), ket hop vói M¾nh đe 4.2.4 ta có điem t nam phía (abp) M¾nh đe 4.2.6 Neu điem t(tx, ty, tz) ∈ P thóa mãn tz < zE cq < r t nam dưái m¾t phang (abp) Chúng minh Gia su rang t(tx, ty, tz) ∈ P thoa mãn tz = (tx − qx)2 + (ty − qy)2 < zE = (cq − r)2 Boi v¾y hình chieu tJ (tx , ty ) ∈ (C2 ) vói (C2 ) đưịng trịn có tâm q(qx , qy ) bán kính r2 < |cq − r| Vì cq < r nên r2 < r − cq cqJ < r − r2 J Bat thúc chi rang (C2 ) đưoc chúa (C) Do điem t ∈ (C2 ) t nam (C), ket hop vói M¾nh đe 4.2.4 ta suy điem t nam phía dưói (abp) Nhị M¾nh đe 4.2.5 4.2.6 ta có the cai tien Thn tuc LF(e, P ) thành Thn tuc LFRes(e, P ) dưói Thu tnc 4.3 LFRes(e, P ) Đau vào: Cho P = {pi = (xi, yi, zi) : xi, yi, zi ∈ R, zi = (xi − qx)2 + (yi − qy)2, i = 1, , n}, n ≥ 3, e := [a, b] m®t canh cna convL(P ) Đau ra: M®t m¾t F cna convL(P ) qua e 1: l := 2: if (pl ∈ {a, b, pl }) then đ¾t pl := pl+1 →− −→ 3: Xét (abpl) vói pl = (plx, ply, plz), tính nl = (nlx, nly, nlz) ab × apl d = →− = plxnx + ply ny + plz nz √ 4: if ny nl , cq = α2 + β2 n < then tính giá tr% α d = − x , β =, − γ = l lz √ r = cq γ 2+ αqx + βqy + nlz nlz nl z for all v ∈ P \ {a, b, pl} tính zE = (cq − r)2 if (cq < r) and (vz < zE) then set l := l + goto 2; α α 7: else tính max = (cq + r)2, xE + + r, = + − r, max zE = qx qx xE2 β β yE = qy + − r, max yE = qy + + r 2 8: if ((min xE ≤ vx ≤ max xE) and (min yE ≤ vy ≤ max yE) and (vz < max zE)) and (nlxvx + nly vy + nlz vz < d)) then set l := l + goto 2; 9: return F = (abpl) 5: 6: Thu¾t tốn 4.4 tìm tat ca m¾t cna convL(P ) đưoc cai tien tù thu¾t tốn gúi qu Thuắt toỏn ny thay thn tuc tỡm mđt m¾t cna bao loi thu¾t tốn gói q bang thn tuc LFRes(e, P ) tỡm mđt mắt dúi cna bao loi dưói Vì v¾y Thu¾t tốn 4.4 có đ phỳc tap tớnh toỏn giong thuắt toỏn gúi qu O(n2) trưịng hop xau nhat Thu¾t tốn 4.4 Thu¾T TỐN TÌM BAo LOI DƯÉI convL (P ) Đau vào: Cho P = {pi = (xi , yi , zi ) ∈ R3 , i = 1, , n}, n ≥ Đau ra: T¾p Q tat ca m¾t dưói cna convL (P ) 1: Tìm canh đau tiên e0 cna convL(P ) 2: Xét hàng đoi Q := ∅ t¾p EL(P ) := 3: GQI LFRes(e, P ) e nhắn oc mđt m¾t dưói Fe qua e0 Đay canh cna Fe trù e0 vào EL(P ) Đay Fe vào t¾p Q 4: while (Q = ∅) 5: Lay Fe tù phía cna Q 6: T := t¾p canh Fe 7: for each e ∈ T ∩ EL(P ) có chung canh e vói Fe 8: GQI LFRes(e, P ) đe nh¾n đưoc m¾t J Fe Đưa vào EL (P ) tat ca canh eJ ƒ= e0 cna FeJ chưa xuat hi¾n EL (P ) xố canh xuat hi¾n EL (P ) Đay FeJ vào Q 4.2.3 M®t so ket qua tính tốn Trong n®i dung chúng tơi thu nghi¾m so cho thu¾t tốn [7] thu¾t tốn vùa đưoc trình bày o muc trưóc đe so sỏnh toc đ cna chỳng Cỏc thuắt toỏn ny oc thnc thi boi chương trình C chay PC Core i5 1.6 GHz 3M vói GB RAM Dưói Bang 4.5 minh HQA thòi gian chay (đơn v% tính bang giây) cna thu¾t tốn tính bao loi dưói đưoc giói thi¾u boi P T An D T Giang [7] Thu¾t tốn 4.2 su dung ky thuắt han che cna chỳng tụi Cđt cuoi cựng liắt kê ti l¾ tăng toc cna thu¾t tốn cna chúng tơi so vói thu¾t tốn [7] Du li¾u đau vào cna thu¾t tốn t¾p điem đưoc tao trờn be mắt mđt paraboloid (tat ca cỏc iem đeu đinh cna bao loi bao loi dưói) có dang P = {pi = (xi , yi , zi ) : xi , yi , zi ∈ R, zi = xi2 + yi , i = 1, , n} ⊂ R3 , t¾p {(xi , yi ), xi , yi ∈ R, i = 1, , n} đưoc cHQN ngau nhiên tù phân bo đeu hình vng cõ 200 × 200 Hình 4.5 bieu dien đo th% so sỏnh thũi gian chay cna cỏc bđ du liắu cna thu¾t tốn tìm bao loi dưói đưoc giói thi¾u [7] Thu¾t tốn 4.4 Tù Bang 4.5 Hình 4.5 ta thay rõ ràng Thu¾t tốn 4.4 áp dung cai tien cna tăng toc nhanh so vói thu¾t tốn đưoc giói thi¾u [7] Cu the thịi gian chay thu¾t tốn cna chúng tơi nhanh gap 1,58 đen 2,24 lan Bang 4.5 Thòi gian chay tính bao loi dưói (đơn v%: giây) Đau vào Thu¾t tốn [7] Thu¾t tốn 4.4 Ti so thăng toc 1.000 0,136 0,061 2,23 2.000 0,454 0,248 1,83 5.000 2,684 1,500 1,79 7.000 7,014 3,129 2,24 11.000 14,321 8,484 1,69 17.000 41,307 24,666 1,67 20.000 63,197 37,332 1,69 22.000 70,866 40,235 1,76 30.000 153,240 96,738 1,58 35.000 200,496 125,490 1,60 250 200 150 100 50 Thuật toán [7] Thuật tốn 4.4 Hình 4.5 Đo th% so sánh thịi gian chay tính bao loi dưói cna thu¾t tốn [7] Thu¾t tốn 4.4 Ket lu¾n Chương Trong chương chúng tơi đe xuat m®t phương pháp giai m®t tốn tìm v% trí toi ưu ú ta tỡm mđt iem x mđt D loi đóng cho trưóc cho khoang cách Euclide xa nhat tù x tói điem cna t¾p huu han C ngan nhat Phương pháp đưoc áp dung mđt thuắt toỏn dúi vi phõn e giai quyet bi tốn toi ưu khơng trơn khơng ràng bu®c Chúng tơi đe xuat m®t bưóc tien xu lý quan TRQNG tìm đinh cna bao loi cna C trưóc giai tốn xác đ%nh v% trí toi ưu M®t so ket qua tính tốn thnc nghi¾m cna chúng tơi chi rang vi¾c thnc hi¾n bưóc tien xu lý có ý nghĩa M®t đe xuat khác đe tăng toc cho thu¾t tốn tìm bao loi dưói cho lóp tốn úng dung tìm tam giác phân Deulaunay bieu đo Voronoi đưoc giói thi¾u o Chương Vói ket qua tính tốn chúng tơi chi rang thu¾t tốn cai tien nhanh khoang 1,8 lan so vúi mđt thuắt toỏn khỏc e xuat [7] năm 2015 Ket lu¾n Lu¾n án trình bày m®t so van đe liên quan đen tốn tìm bao loi cna t¾p huu han điem t¾p huu han hình trịn đat đưoc ket qua chớnh nh sau ã e xuat oc mđt so ky thu¾t đe tăng toc cho thu¾t tốn Quickhull khơng gian R2 Các tính tốn chi thu¾t tốn áp dung ky thu¾t tăng toc hi¾u qua, tăng khoang lan so vói phiên ban hi¾n có ã Giúi thiắu mđt ky thuắt giúi han khụng gian tỡm kiem e cai tien thn tuc tỡm mđt mắt cna bao loi qua mđt mắt cho trúc ỏp dung cho thu¾t tốn gói q tìm bao loi cna t¾p huu han điem Rd vói d ≥ Mđt so thu nghiắm tớnh toỏn ó chi rang thu¾t tốn áp dung ky thu¾t giam đưoc khoang 40% so vói thu¾t tốn gói q ban đau khoang 35% so vúi mđt phiờn ban cai tien thuắt toỏn ny nm 2013 ã e xuat thuắt toỏn QuickhullDisk tìm bao loi cna t¾p huu han hình trịn m¾t phang dna vào ý tưong cna thu¾t tốn QuickhullDisk tính bao loi cho b® điem Các chúng minh sn ỳng an cna thuắt toỏn v tớnh đ phỳc tap tính tốn trưịng hop xau nhat, trung bình theo nghĩa smoothed analysis đưoc trình bày m®t cách chi tiet Các tính tốn cna chúng tơi chi rang thu¾t tốn QuickhullDisk chay nhanh gap khoang 3,8 lan so vúi thuắt toỏn tng dan ã Trỡnh bày m®t phương pháp giai m®t tốn tìm v% trớ toi u: tỡm mđt iem x mđt D loi đóng cho trưóc cho khoang cách Euclide xa nhat tù x tói điem cna t¾p huu han C ngan nhat Phương pháp đưoc áp dung l mđt thuắt toỏn dúi vi phõn (subgradient algorithm) e giai quyet tốn toi ưu khơng trơn Chúng tơi đe xuat m®t bưóc tien xu lý quan TRQNG tìm đinh cna bao loi cna C trưóc giai tốn xác đ%nh v% trí toi ưu M®t so ket qua tính tốn thnc nghi¾m cna chúng tơi chi rang, vi¾c tính bao loi trưóc thnc hiắn bi toỏn l hiắu qua ã Mđt e xuat khác đe tăng toc cho thu¾t tốn tìm bao loi dưói cho lóp tốn úng dung tìm tam giác phân Deulaunay bieu đo Voronoi đưoc đe xuat Các ket qua tính tốn chi rang thu¾t toán cai tien nhanh khoang 1,8 lan so vúi mđt thuắt toỏn khỏc e xuat [7] nm 2015 Trong thịi gian tiep theo chúng tơi se tiep tuc tìm hieu mo r®ng tốn tìm bao loi cho t¾p hình cau, t¾p đoan thang, t¾p đa giác loi, t¾p đa di¾n loi,t¾p hình ellipse v.v Hơn nua, chúng tơi muon tiep tuc tìm hieu úng dung cna tốn tìm bao loi tốn hình HQc khác tìm đưịng ngan nhat be mắt mđt a diắn loi khụng cú vắt can có v¾t can, tính bieu đo voronoi cna t¾p hình trịn, tìm đưịng ngan nhat vói đ rđng cho trúc trỏnh cỏc vắt can l cỏc hình trịn hay đa giác loi, v.v Danh mnc cơng trình khoa HQC cua tác gia liên quan đen lu¾n án 1.N D Hoang and N K Linh (2015), “Quicker than quickhull”, Vietnam Journal of Mathematics 43, pp 57–70 2.N K Linh and L D Muu (2015), “A convex hull algorithm for solving a location problem”, RAIRO-Operations Research 49, pp 589–600 3.N K Linh, C Song, J Ryu, P T An, N D Hoang, D.-S Kim (2019), “QuickhullDisk: A Faster Convex Hull Algorithm for Disks”, Submitted to Applied Mathematics and Computation 4.N D Hoang and N K Linh (2019), “The expected number of extreme discs”, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics 35, pp 88-93 Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Văn Hien, Lê Dũng Mưu, Nguyen Huu Đien (2014), Giáo trình Giai tích loi úng dnng, NXB Đai HQc Quoc gia H Nđi, H Nđi [2] Tran Bỡnh Nguyờn (2011), Hắ thong nh¾n di¾n bien so xe, http://www.ieev.org/2011/01/tong-quan-ve-he-thong-nhan -dien-bang-so html#comment-post-message Tieng Anh [3]S G Akl and G T Toussaint (1978), “Efficient convex hull algorithms for pattern recognition applications”, International Conference on Pattern Recognition, Kyoto, Japan, pp 483–487 [4]S G Akl and G T Toussaint (1978), A fast convex hull algorithm, Information Processing Letters 7, pp 219–222 [5]P T An (2010), Method of orienting curves for determining the convex hull of a finite set of points in the plane, Optimization 59(2), pp 175–179 [6]P T An and T V Hoai (2012), “Incremental convex hull as an orientation to solving the shortest path problem”, International Journal of Information and Electronics Engineering 2(5), pp 652–655 [7]P T An and D T Giang (2015), “A direct method for determining the lower convex hull of a finite point set in 3D”, Advances in Intelligent Systems and Computing, Springer, Proceedings of 3rd International Conference on Computer Science, Applied Mathematics and Applications (ICCSAMA, May 11-13, Metz, France) 358, pp 15–26 [8]P T An and L H Trang (2013), “An efficient convex hull algorithm for finite point sets in 3D based on the method of orienting curves”, Optimization 62, pp 975–988 [9]F Aurenhammer, R Klein, and D Lee (2013), “Voronoi diagrams and delaunay riangulations”, World Scientific Publishing Co Pte Ltd [10]C B Barber, D P Dobkin, and H Huhdanpaa (1996),“The quickhull algorithm for convex hulls", University of Minnesota [11]J L Bentley, H T Kung, M Schkolnick, and C D Thompson (1978), “On the average number of maxima in a set of vectors and application”, Journal of the Association for Computing Machinery 25(4), pp 536–543 [12]P Bhaniramka, R Wenger and R Crawfis (2004), “Isosurface construction in any dimension using convex hulls”, IEEE Transactions on Visualization and Com- puter Graphics 10(2), pp 130–141 [13]B Bhattacharya (1982), “Worst-case analysis of a convex hull algorithm, Depart- ment of Computer Science, Simon Fraser University”, Unpublished manuscript [14]P Bolstad (2002), “GIS Fundamentals: A First Text on Geographic Information Systems”, White Bear Lake, Minnesota: Eider Press [15]S Boyd and L Vandenberghe (2004), Convex optimization, Cambridge University Press [16]D R Chand and S S Kapur (1970), “An algorithm for convex polytopes”, Journal of the ACM 1, pp 78–86 [17]T M Chan (1996), Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions, Discrete & Computational Geometry, pp 361–368 [18]W Chen, K Wada, K Kawaguchi, and D Z Chen (1998), “Finding the convex hull of discs in parallel”, International Journal of Computational Geometry & Applications 3, pp 305–319 [19]V Damerow and C Sohler (2004), “Extreme points under random noise”,Eropean Symposium on Algorithms 3221, pp 264–274 [20]M M David (2002), Computation geometry, Department of Computer Science [21]N Dinh and H X Phu (1992), “Solving a class of regular optimal control prob- lems with state constraints by the method of orienting curves”, Optimization 25, pp 231–247 [22]N Dinh and H X Phu (1992), “Solving a class of optimal control problems which are linear in the control variable by the method of orienting curves”, Acta Mathematica Vietnamica 17, pp 115–134 [23]R L Graham (1972), “An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set”, Information Processing Letters , pp 132–133 [24]R L Graham and F Yao (1981), Finding the convex hull of a simple polygon, Department of Computer Science, Stanford University [25]B Grunbaum and G.C Shepphard (1969), “Convex polytope”, Bulletin of the London Mathematical Society 1, pp 257–300 [26]P Hansen, D Peeters, D Richard, and J F Thisse (1985), “The minisum and minimax location problems revisited”, Operations Research 33, pp 1251–1265 [27]R A Jarvis (1973), “On the identification of the convex hull of a finite set of points in the plane”, Information Processing Letters 2, pp 18–21 [28]Y -B Jia and H Lin (2003), “On the Convex Hulls of Parametric Plane Curves”, Department of Computer Science [29]S G Jonathan (1990), “A proof for a Quickhull algorithm”, Electrical Engineering and Computer Science Technical Reports, Syracuse University [30]M Kallay (1984), “The complexity of incremental convex hull algorithms in R d”, Information Processing Letters 19 (4), pp 197-198 [31]D -S Kim, K Yu, Y Cho, D Kim, and C Yap (2004), “Shortest paths for disc obstaches”, Lecture Notes in Computer Science 3045, pp 62–70 [32]P McMullen and G C Shephard (1971), Convex polytopes and the upper bound conjecture, Cambridge University Press, Cambridge [33]M Megiddo (1989), “On the ball spanned by balls”, Discrete & Computational Geometry [34]Y Nesterov (2004), Introductory lectures on convex optimization: a basic course, Kluwer Academic Publishers [35]D Olivier and G Mordecai (1995), “Incremental algorithm for finding the convex hulls of discs and the lower envelopes of parabolas", Information Processing Letters 56, pp 157–164 [36]F Plastria (1992), “The generalized big square small square method for planar single facility locatio”, European Journal of Operations Research 62, pp 163 174 [37]H X Phu (1987), Zur Lăosung einer regulăaren Aufgabenklasse der optimalen Steuerung im Groòen mittels Orientierungskurven, Optimization 18, pp 6581 [38]H X Phu (1987), Zur Lăosung eines Zermeloschen Navigations problems”, Optimization 18, pp 225–236 [39]H X Phu (1987), Ein konstruktives Lăosungsverfahren fuăr das problem des Inpolygons kleinsten Umfangs von J Steiner”, Optimization 18, pp 349–359 [40]H X Phu (1991), “Method of orienting curves for solving optimal control prob- lems with state constraints”, Numerical Functional Analysis and Optimization 12, pp 173–211 [41]H X Phu and N Dinh (1995), “Some remarks on the method of orienting curves”, Numerical Functional Analysis and Optimization 16, pp 755–763 [42]H X Phu, H.G Bock, and J Schlăoder (1997), The method of orienting curves and its application for manipulator trajectory planning”, Numerical Functional Analysis and Optimization 18, pp 213–225 [43]F P Preparata and M.I Shamos (1985), Computational Geometry, 2nd Printing Springer-Verlag, New York [44]F P Preparata and S J Hong (1977), “Convex hull of finite set of points in two and three dimensions”, Communications of the ACM 2, pp 87–93 [45]S Ramaswami (1993), “Convex hulls: complexity and applications (a survey)”, Technical report, Department of Computer & Information Science, University of Pennsylvania [46]D Rappaport (1989), “Computing the furthest site Voronoi diagram for a set of discs”, Technical report no 89–250, Dept of Computing and Information Science, Queen’s University [47]D Rappaport (1992), “A convex hull algorithm for discs, and application”, Computational Geometry: Theory and Applications 1, pp 171–187 [48]R T Rockafellar (1970), Convex analysis, Princeton University Press [49]J O’ Rourke (1998), Computational geometry in C, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge [50]A P Ruszczynski (2006), Nonlinear optimization, Princeton University Press [51]M Shamos (1975), Computational geometry, Ph.D Dissertation, Yale University [52]N M Sirakov and P A Mlsna (2004), “Search space partitioning using convex hull and concavity features for fast medical image retrieval”, Proc of the IEEE International Symposium on Biomedical Imaging, Arlington, USA, pp 796–799 [53]D A Spielman and S -H Teng (2004), “Smoothed analysis of algorithms: Why the simplex algorithm usually takes polynomial time”, Journal of the ACM 51 (3), pp 385–463 [54]H Tuy (1996), A general d.c approach to location problems, State of the Art in Global Optimization: Computational Methods and Applications, eds C.A Floudas and P M Pardalos, Kluwer, pp 413–432 [55]H K Xu (2003), “An iterative approach to quadratic optimization”, Journal of Optimization Theory and Applications 116, pp 659-678 [56]B Yuan and C L Tan (2007), “Convex hull based skew estimation”, Pattern Recognition 40 (2), pp 456–475 [57]X Zhang, Z Tang, J Yu, and M Guo (2010), “A fast convex hull algorithm for binary image”, Informatica 34, pp 369–376 ... tốn gói q đe tìm bao loi cna t¾p đinh cna bao loi vùa tìm đưoc Bao loi cna t¾p hop bao loi cna t¾p hop P ban đau Thịi gian đe tìm bao loi cna moi t¾p O(m log m) Do tőng thịi gian tìm bao loi cna... camera Hình 1.7 Trích vùng bien so xe Hình 1.6 Tien xu lý anh Hình 1.8 Tìm bao loi cho moi kí tn Hình 1.9 Đưịng ngan nhat H¾ thong thơng tin đ%a lý (GIS) Bài tốn tìm bao loi đưoc úng dung mơ hình. .. Delaunay bao loi dưói 27 1.20 Bài tốn tìm bao loi cho t¾p hình trịn 28 1.21 Bài tốn gói cáp (cable packing problem) .31 1.22 Bài tốn tìm đưịng ngan nhat (shortest path problem) 31 1.23 Bài