Bài toán tìm bao lồi của tập hữu hạn các điểm hoặc các hình tròn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– Nguyễn Kiều Linh BÀI TỐN TÌM BAO LỒI CỦA TẬP HỮU HẠN CÁC ĐIỂM HOẶC CÁC HÌNH TRỊN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HOÀNG NAM DŨNG PGS TS PHAN THÀNH AN Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn TS Hoàng Nam Dũng PGS TS Phan Thành An, mới, trung thực chưa công bố cơng trình khác Những kết viết chung với thầy hướng dẫn tác giả khác đồng ý đưa vào luận án Nghiên cứu sinh Nguyễn Kiều Linh i LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, TS Hoàng Nam Dũng PGS TS Phan Thành An Từ tận đáy lịng, tơi vơ biết ơn giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy dành cho tơi suốt q trình thực luận án Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, góp ý, hướng dẫn Thầy, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp trao đổi thú vị Thầy cơng việc nghiên cứu, tơi hồn thành đề tài Các Thầy dành cho tơi nhiều quan tâm, dẫn giúp đỡ không nghiên cứu khoa học mà cho học sống, tình người Chính nhờ quan tâm Thầy, tự tin để vượt qua lúc gặp khó khăn, vấp váp, chí thất bại Xin cảm ơn tất Thầy mang đến cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; nhóm Tối ưu cho Hình học Tính tốn Phịng Giải tích số & Tính tốn Khoa học, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam; nhóm nghiên cứu Trung tâm nghiên cứu biểu đồ Voronoi, Đại học Hanyang, Seoul Hàn Quốc Những ý kiến quý báu thầy bạn kỳ seminar tạo gắn bó với mơi trường nghiên cứu giúp tơi nhiều việc hồn thành luận án Tơi biết ơn Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Công tác quản lý đào tạo môi trường nghiên cứu Trường góp phần khơng nhỏ luận án hồn thành dự định Tơi xin gửi lời cảm ơn tới Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia Việt Nam (NAFOSTED) Luận án hỗ trợ phần mặt tài Quỹ, khuôn khổ Đề tài Nghiên cứu khoa học mã số 101.012014.28 Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Hoàng Xuân Phú, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS Trần Vũ Thiệu, PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thuỷ, PGS.TS Phạm Ngọc Anh người Thầy, người Cô ln ln quan tâm, theo dõi, động viên khích lệ tinh thần giúp tơi vượt qua ii khó khăn q trình thực luận án Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cô, bạn đồng nghiệp Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng tạo điều kiện thời gian khích lệ tinh thần nhiều, giúp yên tâm công việc suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, người quan tâm, yêu mến động viên sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học Cuối cùng, luận án khơng thể hồn thành khơng có động viên hỗ trợ mặt gia đình thân u Tơi khơng thể diễn đạt lời lịng biết ơn gia đình dành cho từ trước đến Tất công sức tâm huyết luận án quà muốn gửi tới người thân gia đình với tất lịng biết ơn sâu sắc iii Mục lục Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Danh mục bảng Danh mục hình vẽ Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 13 1.1 Sự định hướng số kiến thức liên quan 13 1.2 Bài tốn tìm bao lồi ứng dụng 16 1.2.1 Bài tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn điểm 16 1.2.2 Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn 28 Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập điểm 34 2.1 Cải tiến thuật tốn Quickhull khơng gian R2 35 2.1.1 Thuật toán Quickhull 35 2.1.2 Hạn chế phép tính orient 37 2.1.3 Sử dụng vector định hướng 38 2.1.4 Tiền xử lý chia nhỏ toán 41 2.1.5 Một số kết tính toán 44 2.2 Cải tiến thuật tốn gói q 47 2.2.1 Kỹ thuật miền hạn chế 49 2.2.2 Miền hạn chế tốt 55 2.2.3 Kỹ thuật miền hạn chế tốt 56 2.2.4 Một số kết tính tốn 58 Chương Bài tốn tìm bao lồi cho tập hữu hạn hình tròn 64 3.1 Sự định hướng cho hình trịn R2 64 3.2 Giới thiệu thuật toán QuickhullDisk 69 3.3 Sự đắn thuật toán 74 3.4 Độ phức tạp tính tốn 79 3.4.1 Độ phức tạp tính tốn trường hợp xấu 79 3.4.2 Độ phức tạp tính tốn trung bình 80 3.4.3 Độ phức tạp tính tốn theo nghĩa smoothed analysis 81 3.5 Một số kết tính toán 87 Chương Ứng dụng tốn tìm bao lồi cho tập điểm 90 4.1 Bài tốn xác định vị trí tối ưu 90 4.1.1 Phát biểu tốn tính chất 91 4.1.2 Thuật toán hội tụ 93 4.1.3 Một số kết tính toán 97 4.2 Bài tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm R3 100 4.2.1 Bao lồi tập điểm 100 4.2.2 Kỹ thuật hạn chế tính bao lồi cho tập hữu hạn điểm R3 102 4.2.3 Một số kết tính toán 108 Kết luận 110 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 112 Tài liệu tham khảo 113 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt conv(D) ∂(conv(D)) CH(D) VC [p, q] pq bao lồi tập hợp D biên bao lồi conv(D) tập hình trịn cực biên tập D tập đỉnh bao lồi conv(C ) đoạn thẳng nối p với q (x1 x2 xd )Ox1 x2 xd đường thẳng qua p q nửa không gian dương, âm siêu phẳng H tập hình trịn D khơng nằm phía âm đường thẳng ∆ tập hình trịn D khơng nằm phía dương đường thẳng ∆ tiếp tuyến phải hai hình trịn d d miền hạn chế siêu phẳng (x1 x2 xd ) dimF dist(c, ∆) cl(1), cl(2), depth(P ) prev(d) next(d) DT(P ) siêu phẳng tọa độ Ox1 x2 xd số chiều F khoảng cách từ điểm c đến đường thẳng ∆ lớp lồi thứ nhất, lớp lồi thứ hai, độ sâu tập P hình trịn cực biên kế trước d hình trịn cực biên kế sau d tam giác phân Deulaunay tập P H +, H − + D∆ − D∆ l(d, d ) CHL (P ) |P | FVOR(D) freg(d) MCS CH(pq ) ||x − y|| PA (x) u, v bao lồi tập P lực lượng tập P biểu đồ Voronoi miền xa tập hình trịn D miền Voronoi hình trịn d hình tròn nhỏ chứa tập bao lồi tập hình trịn xung quanh đoạn thẳng pq khoảng cách x y hình chiếu điểm x lên tập A tích vơ hướng hai vector u vector v Danh sách bảng Chương 2.1 So sánh hệ số tăng tốc bốn phiên Quickhull so với thuật toán Quickhull ban đầu 47 2.2 Thời gian tính bao lồi với liệu hình vng (đơn vị: giây) 2.3 Thời gian tính bao lồi với liệu hình trịn (đơn vị: giây) 2.4 Thời gian tính bao lồi cho kiểu liệu tạo hình lập phương 59 60 (đơn vị: giây) 61 2.5 Thời gian tính bao lồi với kiểu liệu mặt cầu (đơn vị: giây) 61 Chương 3.1 Thời gian chạy tính bao lồi cho kiểu liệu hình trịn rỗng (đơn vị: giây) 88 3.2 Thời gian chạy tính bao lồi cho kiểu liệu hình vng rỗng (đơn vị: giây) 89 Chương 4.1 Thời gian tính tốn cho tập D1 (đơn vị: giây) 98 4.2 Thời gian tính tốn cho tập D2 (đơn vị: giây) 98 4.3 Thời gian tính tốn cho tập D3 (đơn vị: giây) 99 4.4 Thời gian tính tốn cho tập D4 (đơn vị: giây) 99 4.5 Thời gian chạy tính bao lồi (đơn vị: giây) 109 Danh sách hình vẽ Chương 1.1 Các điểm cực đặc biệt 17 1.2 Bao lồi tập điểm không gian R2 17 1.3 Bao lồi tập điểm không gian R3 17 1.4 Quy trình tự động nhận dạng biển số xe 22 1.5 Chụp ảnh từ camera 23 1.6 Tiền xử lý ảnh 23 1.7 Trích vùng biển số xe 23 1.8 Tìm bao lồi cho kí tự 23 1.9 Đường ngắn 23 1.10 Bản đồ với liệu vector 24 1.11 Đối tượng điểm đồ 24 1.12 Đối tượng đường đồ 24 1.13 Đối tượng vùng đồ 24 1.14 Thuật tốn tìm bao lồi cho đối tượng điểm 25 1.15 Thuật tốn tìm bao lồi cho đối tượng đường 25 1.16 Thuật tốn tìm bao lồi cho đối tượng vùng 25 1.17 Độ sâu điểm lớp lồi tập hợp 26 1.18 Lưới tam giác phân Delaunay tập điểm 27 1.19 Mối liên hệ tam giác phân Delaunay bao lồi 27 1.20 Bài tốn tìm bao lồi cho tập hình trịn 28 1.21 Bài tốn gói cáp (cable packing problem) 31 1.22 Bài tốn tìm đường ngắn (shortest path problem) 31 1.23 Bài toán đường rộng (largest channel problem) 31 1.24 Xác định đường ngắn hai điểm với vật cản hình trịn 32 Chương 2.1 Thuật toán Quickhull 36 2.2 vector định hướng 39 2.3 Minh họa trường hợp i) Mệnh đề 2.1.2 40 2.4 Minh họa trường hợp ii) Mệnh đề 2.1.2 40 2.5 Trường hợp px ≤ rx ≤ qx 41 2.6 2.7 Trường hợp qx ≤ rx ≤ px 41 Bốn tập điểm Q1 , Q2 , Q3 Q4 42 2.8 Bốn tập S1 , S2 , S3 , S4 với bốn điểm r1 , r2 , r3 r4 42 2.9 Năm kiểu liệu 46 2.10 Minh họa kết tính tốn năm kiểu liệu 10.000 điểm 48 2.11 Diện tích giới hạn siêu phẳng tọa độ Ox1 x2 xd−1 51 2.12 Diện tích giới hạn siêu phẳng tọa độ Ox1 51 2.13 Miền hạn chế siêu phẳng (a1 a2 t) Ox1 x2 51 2.14 Miền hạn chế siêu phẳng (a1 a2 t) Ox1 x2 giới thiệu An Trang [8] 52 2.15 Tỉ số diện tích giới hạn (a1 a2 ad−1 t) Ox1 x2 xd−1 55 2.16 Tỉ số diện tích giới hạn (at) Ox1 55 2.17 Tỉ số hạn chế (a1 a2 t) Ox1 x2 55 2.18 Đồ thị so sánh thời gian chạy thuật tốn gói q Thuật tốn 2.9 cho liệu hình vng 60 2.19 Đồ thị so sánh thời gian chạy thuật tốn gói q Thuật tốn 2.9 cho liệu hình trịn 60 2.20 So sánh thời gian chạy thuật tốn gói q, thuật toán cải tiến [8] Thuật toán 2.9 cho liệu hình lập phương 62 2.21 So sánh thời gian chạy thuật tốn gói q, thuật tốn cải tiến [8] Thuật toán 2.9 cho liệu mặt cầu 62 Chương 3.1 Vị trí tương đối hình trịn d đường thẳng định hướng ∆ 65 3.2 Tiếp tuyến phải 67 3.3 Bao lồi tập hình trịn 68 3.4 Các hình trịn cực biên dp dq 71 3.5 Các tập hợp D1 , D2 hình trịn dr 71 3.6 Các tập hợp P0 , P1 P2 72 p (P) (E) w b a p (C) r q w c a b Hình 4.2 Hình chiếu (E) lên mặt phẳng tọa độ Oxy Bước 1: Tạo tập P = {pi (xi , yi , zi ) ∈ R3 , i = 1, 2, , n − 1} cho cao độ pi thỏa mãn zi = (xi − qx )2 + (yi − qy )2 , q(qx , qy ) điểm trung bình tập hợp P ∗ Bước 2: Tính bao lồi convL (P ) tập P Bước 3: Chiếu tất mặt bao lồi convL (P ) theo phương song song với trục Oz lên mặt phẳng Oxy (mặt chứa tập điểm P ∗ ) ta nhận tam giác phân Delaunay tương ứng P ∗ Trong Thủ tục LF(e, P ) ta phải xem xét điểm v nằm phía hay phía mặt phẳng (abp) hay khơng, tức ta phải tính tốn sử dụng công thức (4.21) phức tạp Bởi vậy, đề xuất ý tưởng để giảm số điểm phải tính tốn thay vào việc phải sử dụng công thức (4.21) ta cần thực phép so sánh tọa độ Nhắc lại tốn ta tìm bao lồi tập P = {pi = (xi , yi , zi ) : xi , yi , zi ∈ R, zi = (xi − qx )2 + (yi − qy )2 , i = 1, , n} ⊂ R3 , q(qx , qy ) điểm trung bình tập P ∗ Như tập điểm P phân bố bề mặt paraboloid (P) có phương trình z = (x − qx )2 + (y − qy )2 (P) Giả sử mặt phẳng (abp) với a, b, p ∈ P có phương trình nx x + ny y + nz z = d Vì a, b, p ∈ P nên (abp) cắt paraboloid (P) theo đường ellipse (E) Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hoành độ, tung độ cao độ điểm thuộc (E) Dựa vào giá trị ta có xét vị trí tương đối điểm 103 thuộc P với mặt phẳng (abp) cách thuận lợi đơn giản Trước tiên ta đặt xE := min{x : (x, y, z) ∈ (E)}, max xE := max{x : (x, y, z) ∈ (E)}, yE := min{y : (x, y, z) ∈ (E)}, max yE := max{y : (x, y, z) ∈ (E)}, zE := min{z : (x, y, z) ∈ (E)}, max zE := max{z : (x, y, z) ∈ (E)} Theo Mệnh đề 4.2.2 để tìm mặt ta xét mặt phẳng có nz < Do ta đặt α=− nx ny d , β=− , γ= nz nz nz Khi mặt phẳng (abp) qua ba điểm a, b, p có dạng z = αx + βy + γ Vì ellipse (E) giao mặt phẳng (abp) paraboloid (P) nên có phương trình z = (x − qx )2 + (y − qy )2 z = αx + βy + γ (4.22) Triệt tiêu z hệ (4.22) ta (x − qx )2 + (y − qy )2 = αx + βy + γ (4.23) Biến đổi (4.23) ta phương trình có dạng (x − qx − α β α2 β ) + (y − qy − )2 = αqx + βqy + + + γ 2 4 (C) Rõ ràng (C) có dạng phương trình đường trịn mặt phẳng Oxy đường trịn hình chiếu (E) theo phương song song với trục Oz lên mặt phẳng tọa độ Oxy Đường trịn (C) có tâm điểm c có tọa độ cx = qx + α2 cy = qy + β2 (4.24) bán kính r= αqx + βqy + α2 β + + γ 4 Dựa vào đặc điểm đường tròn (C) ta suy xE = cx − r, max xE = cx + r, yE = cy − r, max yE = cy + r Bổ đề 4.2.3 cho ta công thức xác định zE max zE 104 (4.25) Bổ đề 4.2.3 Đặt zE := min{z : (x, y, z) ∈ (E)}, max zE := max{z : (x, y, z) ∈ (E)} Chứng minh i) zE = (cq − r)2 , ii) max zE = (cq + r)2 Chứng minh Cho w(x, y, z) ∈ (E) w (x, y) ∈ (C) hình chiếu theo phương song song với Oz lên mặt phẳng tọa độ Oxy (gọi tắt hình chiếu) Ta có w q = (x − qx )2 + (y − qy )2 = z (4.26) Dấu thứ hai (4.26) xảy w(x, y, z) ∈ P Bởi tìm zE tương đương với việc tìm vị trí điểm w đường tròn (C) cho w q nhận giá trị nhỏ Ta chứng minh w giao điểm đường thẳng cq đường tròn (C) Thật vậy, giả sử s = w điểm đường tròn (C), ta chứng w q < sq Xét hai trường hợp điểm q Hình 4.3 Trường hợp - Điểm q nằm bên thuộc (C): Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác cqs, ta có cq < cs + qs Vì cq = cw + w q cw = cs w q < qs Trường hợp - Điểm q nằm thuộc (C): Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác cqs ta có cw = cs < cq + qs Vì cw = cq + qw nên w q < qs Như hai trường hợp ta có w q < qs hay w q nhận giá trị nhỏ w giao điểm cq đường tròn (C) Điều zE = w q = (cq − r)2 Áp dụng cách chứng minh tương tự ta nhận phát biểu ii) max zE = max w q = (cq + r)2 Gọi hình chiếu điểm a, b, p a , b , p , a , b , c ∈ (C) Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 4.2.4 Những điểm thuộc tập P mà có hình chiếu nằm ngồi đường trịn (C) nằm mặt phẳng (abp) Ngược lại, điểm có hình chiếu nằm bên đường trịn (C) nằm mặt phẳng (abp) s s q w c (C) w a) q c (C) b) Hình 4.3 w giao điểm đường thẳng cq đường tròn (C) 105 t p (P) (E) b a p (C1) (C) r q t c a b Hình 4.4 Mối quan hệ (E) (C) Chứng minh Gọi t(tx , ty , tz ) điểm P mà có hình chiếu t (tx , ty ) nằm ngồi đường trịn C (Hình 4.4) Khi ta có t c2 > r2 , tức α tx − qx − 2 β + ty − qy − 2 < αqx + βqy + α2 β + + γ 4 (4.27) Biến đổi Bất đẳng thức (4.27) ta nhận (tx − qx )2 + (ty − qy )2 < αtx + βty + γ (4.28) Bất đẳng thức (4.28) điểm t nằm mặt phẳng (abp) Trường hợp lại chứng minh tương tự Mệnh đề 4.2.5 4.2.6 giúp ta xác định nhanh điểm nằm hay mặt phẳng nhờ phép so sánh tọa độ Mệnh đề 4.2.5 Nếu điểm t(tx , ty , tz ) ∈ P thỏa mãn điều kiện sau i) tx < xE , ii) tx > max xE , iii) ty < yE , iv) ty > max yE , v) tz > max zE nằm mặt phẳng (abp) Chứng minh Trước tiên ta chứng minh tx < xE hình chiếu t (tx , ty ) t nằm đường tròn (C) Thật vậy, rõ ràng tx < xE = cx − r cx − tx > r Mặt khác, t c2 = (cx − tx )2 + (cy − ty )2 > r2 + (cy − ty )2 > r2 106 Suy ra, t nằm ngồi đường trịn (C) Như vậy, theo Mệnh đề 4.2.4 ta kết luận t nằm phía mặt phẳng (abp) Các trường hợp ii) - iv) chứng minh tương tự i) Để chứng minh v) ta giả sử t(tx , ty , tz ) ∈ P thỏa mãn tz = (tx − qx )2 + (ty − qy )2 > max zE = (cq + r)2 Bởi hình chiếu t (tx , ty ) t(tx , ty , tz ) thuộc (C1 ) với (C1 ) đường trịn có tâm q(qx , qy ) bán kính r1 > cq + r hay r1 − r > cq Bất đẳng thức (C1 ) chứa (C) Do điểm t ∈ (C1 ) t nằm (C), kết hợp với Mệnh đề 4.2.4 ta có điểm t nằm phía (abp) Mệnh đề 4.2.6 Nếu điểm t(tx , ty , tz ) ∈ P thỏa mãn tz < zE cq < r t nằm mặt phẳng (abp) Chứng minh Giả sử t(tx , ty , tz ) ∈ P thỏa mãn tz = (tx − qx )2 + (ty − qy )2 < zE = (cq − r)2 Bởi hình chiếu t (tx , ty ) ∈ (C2 ) với (C2 ) đường tròn có tâm q(qx , qy ) bán kính r2 < |cq − r| Vì cq < r nên r2 < r − cq cq < r − r2 Bất đẳng thức (C2 ) chứa (C) Do điểm t ∈ (C2 ) t nằm (C), kết hợp với Mệnh đề 4.2.4 ta suy điểm t nằm phía (abp) Nhờ Mệnh đề 4.2.5 4.2.6 ta cải tiến Thủ tục LF(e, P ) thành Thủ tục LFRes(e, P ) Thủ tục 4.3 LFRes(e, P ) Đầu vào: Cho P = {pi = (xi , yi , zi ) : xi , yi , zi ∈ R, zi = (xi − qx )2 + (yi − qy )2 , i = 1, , n}, n ≥ 3, e := [a, b] cạnh convL (P ) Đầu ra: Một mặt F convL (P ) qua e 1: l := 2: if (pl ∈ {a, b, pl }) then đặt pl := pl+1 → − → − − → 3: Xét (abpl ) với pl = (plx , ply , plz ), tính nl = (nlx , nly , nlz ) = ab × apl d = plx nx + ply ny + plz nz d n n 4: if nlz < then tính giá trị α = − nllx , β = − nlly , γ = , cq = 21 α2 + β z z nlz r = γ + αqx + βqy + cq 5: for all v ∈ P \ {a, b, pl } tính zE = (cq − r)2 6: if (cq < r) and (vz < zE ) then set l := l + goto 2; α α 7: else tính max zE = (cq + r)2 , xE = qx + − r, max xE = qx + + r, 2 β β yE = qy + − r, max yE = qy + + r 2 8: if ((min xE ≤ vx ≤ max xE ) and (min yE ≤ vy ≤ max yE ) and (vz < max zE )) and (nlx vx + nly vy + nlz vz < d)) then set l := l + goto 2; 9: return F = (abpl ) Thuật toán 4.4 tìm tất mặt convL (P ) cải tiến từ thuật tốn gói q Thuật tốn thay thủ tục tìm mặt bao lồi thuật tốn gói q 107 thủ tục LFRes(e, P ) tìm mặt bao lồi Vì Thuật tốn 4.4 có độ phức tạp tính tốn giống thuật tốn gói q O(n2 ) trường hợp xấu Thuật tốn 4.4 Thuật tốn tìm bao lồi convL (P ) Đầu vào: Cho P = {pi = (xi , yi , zi ) ∈ R3 , i = 1, , n}, n ≥ Đầu ra: Tập Q tất mặt convL (P ) 1: Tìm cạnh e0 convL (P ) 2: Xét hàng đợi Q := ∅ tập EL (P ) := ∅ 3: Gọi LFRes(e, P ) để nhận mặt Fe qua e0 Đẩy cạnh Fe trừ e0 vào EL (P ) Đẩy Fe vào tập Q 4: while (Q = ∅) 5: Lấy Fe từ phía Q 6: T := tập cạnh Fe 7: for each e ∈ T ∩ EL (P ) 8: Gọi LFRes(e, P ) để nhận mặt Fe có chung cạnh e với Fe Đưa vào EL (P ) tất cạnh e = e0 Fe chưa xuất EL (P ) xoá cạnh xuất EL (P ) Đẩy Fe vào Q 4.2.3 Một số kết tính tốn Trong nội dung chúng tơi thử nghiệm số cho thuật tốn [7] thuật tốn vừa trình bày mục trước để so sánh tốc độ chúng Các thuật toán thực thi chương trình C chạy PC Core i5 1.6 GHz 3M với GB RAM Dưới Bảng 4.5 minh họa thời gian chạy (đơn vị tính giây) thuật tốn tính bao lồi giới thiệu P T An D T Giang [7] Thuật toán 4.2 sử dụng kỹ thuật hạn chế Cột cuối liệt kê tỉ lệ tăng tốc thuật toán chúng tơi so với thuật tốn [7] Dữ liệu đầu vào thuật toán tập điểm tạo bề mặt paraboloid (tất điểm đỉnh bao lồi bao lồi dưới) có dạng P = {pi = (xi , yi , zi ) : xi , yi , zi ∈ R, zi = x2i + yi2 , i = 1, , n} ⊂ R3 , tập {(xi , yi ), xi , yi ∈ R, i = 1, , n} chọn ngẫu nhiên từ phân bố hình vng cỡ 200 × 200 Hình 4.5 biểu diễn đồ thị so sánh thời gian chạy liệu thuật tốn tìm bao lồi giới thiệu [7] Thuật toán 4.4 Từ Bảng 4.5 Hình 4.5 ta thấy rõ ràng Thuật tốn 4.4 áp dụng cải tiến tăng tốc nhanh so với thuật toán giới thiệu [7] Cụ thể thời gian chạy thuật tốn chúng tơi nhanh gấp 1,58 đến 2,24 lần 108 Bảng 4.5 Thời gian chạy tính bao lồi (đơn vị: giây) Đầu vào 1.000 2.000 5.000 7.000 11.000 17.000 20.000 22.000 30.000 35.000 Thuật toán [7] 0,136 0,454 2,684 7,014 14,321 41,307 63,197 70,866 153,240 200,496 Thuật toán 4.4 0,061 0,248 1,500 3,129 8,484 24,666 37,332 40,235 96,738 125,490 Tỉ số thăng tốc 2,23 1,83 1,79 2,24 1,69 1,67 1,69 1,76 1,58 1,60 250 200 150 100 50 Thuật toán trong [7] Thuật tốn 4.4 Hình 4.5 Đồ thị so sánh thời gian chạy tính bao lồi thuật tốn [7] Thuật toán 4.4 Kết luận Chương Trong chương đề xuất phương pháp giải tốn tìm vị trí tối ưu ta tìm điểm x tập D lồi đóng cho trước cho khoảng cách Euclide xa từ x tới điểm tập hữu hạn C ngắn Phương pháp áp dụng thuật toán vi phân để giải toán tối ưu không trơn không ràng buộc Chúng đề xuất bước tiền xử lý quan trọng tìm đỉnh bao lồi C trước giải tốn xác định vị trí tối ưu Một số kết tính tốn thực nghiệm chúng tơi việc thực bước tiền xử lý có ý nghĩa Một đề xuất khác để tăng tốc cho thuật tốn tìm bao lồi cho lớp tốn ứng dụng tìm tam giác phân Deulaunay biểu đồ Voronoi giới thiệu Chương Với kết tính tốn chúng tơi thuật toán cải tiến nhanh khoảng 1,8 lần so với thuật toán khác đề xuất [7] năm 2015 109 Kết luận Luận án trình bày số vấn đề liên quan đến tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm tập hữu hạn hình trịn đạt kết sau • Đề xuất số kỹ thuật để tăng tốc cho thuật tốn Quickhull khơng gian R2 Các tính tốn thuật tốn áp dụng kỹ thuật tăng tốc hiệu quả, tăng khoảng lần so với phiên có • Giới thiệu kỹ thuật giới hạn không gian tìm kiếm để cải tiến thủ tục tìm mặt bao lồi qua mặt cho trước áp dụng cho thuật tốn gói q tìm bao lồi tập hữu hạn điểm Rd với d ≥ Một số thử nghiệm tính tốn thuật toán áp dụng kỹ thuật giảm khoảng 40% so với thuật tốn gói q ban đầu khoảng 35% so với phiên cải tiến thuật tốn năm 2013 • Đề xuất thuật tốn QuickhullDisk tìm bao lồi tập hữu hạn hình trịn mặt phẳng dựa vào ý tưởng thuật toán QuickhullDisk tính bao lồi cho điểm Các chứng minh đắn thuật tốn tính độ phức tạp tính tốn trường hợp xấu nhất, trung bình theo nghĩa smoothed analysis trình bày cách chi tiết Các tính tốn chúng tơi thuật toán QuickhullDisk chạy nhanh gấp khoảng 3,8 lần so với thuật tốn tăng dần • Trình bày phương pháp giải tốn tìm vị trí tối ưu: tìm điểm x tập D lồi đóng cho trước cho khoảng cách Euclide xa từ x tới điểm tập hữu hạn C ngắn Phương pháp áp dụng thuật toán vi phân (subgradient algorithm) để giải tốn tối ưu khơng trơn Chúng tơi đề xuất bước tiền xử lý quan trọng tìm đỉnh bao lồi C trước giải tốn xác định vị trí tối ưu Một số kết tính tốn thực nghiệm chúng tơi rằng, việc tính bao lồi trước thực tốn hiệu • Một đề xuất khác để tăng tốc cho thuật tốn tìm bao lồi cho lớp tốn ứng dụng tìm tam giác phân Deulaunay biểu đồ Voronoi đề xuất 110 Các kết tính tốn thuật toán cải tiến nhanh khoảng 1,8 lần so với thuật toán khác đề xuất [7] năm 2015 Trong thời gian tiếp tục tìm hiểu mở rộng tốn tìm bao lồi cho tập hình cầu, tập đoạn thẳng, tập đa giác lồi, tập đa diện lồi,tập hình ellipse v.v Hơn nữa, chúng tơi muốn tiếp tục tìm hiểu ứng dụng tốn tìm bao lồi tốn hình học khác tìm đường ngắn bề mặt đa diện lồi khơng có vật cản có vật cản, tính biểu đồ voronoi tập hình trịn, tìm đường ngắn với độ rộng cho trước tránh vật cản hình trịn hay đa giác lồi, v.v 111 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án N D Hoang and N K Linh (2015), “Quicker than quickhull”, Vietnam Journal of Mathematics 43, pp 57–70 N K Linh and L D Muu (2015), “A convex hull algorithm for solving a location problem”, RAIRO-Operations Research 49, pp 589–600 N K Linh, C Song, J Ryu, P T An, N D Hoang, D.-S Kim (2019), “QuickhullDisk: A Faster Convex Hull Algorithm for Disks”, Submitted to Applied Mathematics and Computation N D Hoang and N K Linh (2019), “The expected number of extreme discs”, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics 35, pp 88-93 112 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Trần Bình Nguyên (2011), Hệ thống nhận diện biển số xe, http://www.ieev.org/2011/01/tong-quan-ve-he-thong-nhan -dien-bang-so html#comment-post-message Tiếng Anh [3] S G Akl and G T Toussaint (1978), “Efficient convex hull algorithms for pattern recognition applications”, International Conference on Pattern Recognition, Kyoto, Japan, pp 483–487 [4] S G Akl and G T Toussaint (1978), A fast convex hull algorithm, Information Processing Letters 7, pp 219–222 [5] P T An (2010), Method of orienting curves for determining the convex hull of a finite set of points in the plane, Optimization 59(2), pp 175–179 [6] P T An and T V Hoai (2012), “Incremental convex hull as an orientation to solving the shortest path problem”, International Journal of Information and Electronics Engineering 2(5), pp 652–655 [7] P T An and D T Giang (2015), “A direct method for determining the lower convex hull of a finite point set in 3D”, Advances in Intelligent Systems and Computing, Springer, Proceedings of 3rd International Conference on Computer Science, Applied Mathematics and Applications (ICCSAMA, May 11-13, Metz, France) 358, pp 15–26 113 [8] P T An and L H Trang (2013), “An efficient convex hull algorithm for finite point sets in 3D based on the method of orienting curves”, Optimization 62, pp 975–988 [9] F Aurenhammer, R Klein, and D Lee (2013), “Voronoi diagrams and delaunay riangulations”, World Scientific Publishing Co Pte Ltd [10] C B Barber, D P Dobkin, and H Huhdanpaa (1996),“The quickhull algorithm for convex hulls", University of Minnesota [11] J L Bentley, H T Kung, M Schkolnick, and C D Thompson (1978), “On the average number of maxima in a set of vectors and application”, Journal of the Association for Computing Machinery 25(4), pp 536–543 [12] P Bhaniramka, R Wenger and R Crawfis (2004), “Isosurface construction in any dimension using convex hulls”, IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 10(2), pp 130–141 [13] B Bhattacharya (1982), “Worst-case analysis of a convex hull algorithm, Department of Computer Science, Simon Fraser University”, Unpublished manuscript [14] P Bolstad (2002), “GIS Fundamentals: A First Text on Geographic Information Systems”, White Bear Lake, Minnesota: Eider Press [15] S Boyd and L Vandenberghe (2004), Convex optimization, Cambridge University Press [16] D R Chand and S S Kapur (1970), “An algorithm for convex polytopes”, Journal of the ACM 1, pp 78–86 [17] T M Chan (1996), Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions, Discrete & Computational Geometry, pp 361–368 [18] W Chen, K Wada, K Kawaguchi, and D Z Chen (1998), “Finding the convex hull of discs in parallel”, International Journal of Computational Geometry & Applications 3, pp 305–319 [19] V Damerow and C Sohler (2004), “Extreme points under random noise”, Eropean Symposium on Algorithms 3221, pp 264–274 [20] M M David (2002), Computation geometry, Department of Computer Science [21] N Dinh and H X Phu (1992), “Solving a class of regular optimal control problems with state constraints by the method of orienting curves”, Optimization 25, pp 231–247 114 [22] N Dinh and H X Phu (1992), “Solving a class of optimal control problems which are linear in the control variable by the method of orienting curves”, Acta Mathematica Vietnamica 17, pp 115–134 [23] R L Graham (1972), “An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set”, Information Processing Letters , pp 132–133 [24] R L Graham and F Yao (1981), Finding the convex hull of a simple polygon, Department of Computer Science, Stanford University [25] B Grunbaum and G.C Shepphard (1969), “Convex polytope”, Bulletin of the London Mathematical Society 1, pp 257–300 [26] P Hansen, D Peeters, D Richard, and J F Thisse (1985), “The minisum and minimax location problems revisited”, Operations Research 33, pp 1251–1265 [27] R A Jarvis (1973), “On the identification of the convex hull of a finite set of points in the plane”, Information Processing Letters 2, pp 18–21 [28] Y -B Jia and H Lin (2003), “On the Convex Hulls of Parametric Plane Curves”, Department of Computer Science [29] S G Jonathan (1990), “A proof for a Quickhull algorithm”, Electrical Engineering and Computer Science Technical Reports, Syracuse University [30] M Kallay (1984), “The complexity of incremental convex hull algorithms in Rd ”, Information Processing Letters 19 (4), pp 197-198 [31] D -S Kim, K Yu, Y Cho, D Kim, and C Yap (2004), “Shortest paths for disc obstaches”, Lecture Notes in Computer Science 3045, pp 62–70 [32] P McMullen and G C Shephard (1971), Convex polytopes and the upper bound conjecture, Cambridge University Press, Cambridge [33] M Megiddo (1989), “On the ball spanned by balls”, Discrete & Computational Geometry [34] Y Nesterov (2004), Introductory lectures on convex optimization: a basic course, Kluwer Academic Publishers [35] D Olivier and G Mordecai (1995), “Incremental algorithm for finding the convex hulls of discs and the lower envelopes of parabolas", Information Processing Letters 56, pp 157–164 115 [36] F Plastria (1992), “The generalized big square small square method for planar single facility locatio”, European Journal of Operations Research 62, pp 163– 174 [37] H X Phu (1987), Zur Lăosung einer regulăaren Aufgabenklasse der optimalen Steuerung im Großen mittels Orientierungskurven”, Optimization 18, pp 6581 [38] H X Phu (1987), Zur Lăosung eines Zermeloschen Navigations problems”, Optimization 18, pp 225–236 [39] H X Phu (1987), Ein konstruktives Lăosungsverfahren fă ur das problem des Inpolygons kleinsten Umfangs von J Steiner”, Optimization 18, pp 349–359 [40] H X Phu (1991), “Method of orienting curves for solving optimal control problems with state constraints”, Numerical Functional Analysis and Optimization 12, pp 173–211 [41] H X Phu and N Dinh (1995), “Some remarks on the method of orienting curves”, Numerical Functional Analysis and Optimization 16, pp 755–763 [42] H X Phu, H.G Bock, and J Schlăoder (1997), The method of orienting curves and its application for manipulator trajectory planning”, Numerical Functional Analysis and Optimization 18, pp 213–225 [43] F P Preparata and M.I Shamos (1985), Computational Geometry, 2nd Printing Springer-Verlag, New York [44] F P Preparata and S J Hong (1977), “Convex hull of finite set of points in two and three dimensions”, Communications of the ACM 2, pp 87–93 [45] S Ramaswami (1993), “Convex hulls: complexity and applications (a survey)”, Technical report, Department of Computer & Information Science, University of Pennsylvania [46] D Rappaport (1989), “Computing the furthest site Voronoi diagram for a set of discs”, Technical report no 89–250, Dept of Computing and Information Science, Queen’s University [47] D Rappaport (1992), “A convex hull algorithm for discs, and application”, Computational Geometry: Theory and Applications 1, pp 171–187 [48] R T Rockafellar (1970), Convex analysis, Princeton University Press [49] J O’ Rourke (1998), Computational geometry in C, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge 116 [50] A P Ruszczynski (2006), Nonlinear optimization, Princeton University Press [51] M Shamos (1975), Computational geometry, Ph.D Dissertation, Yale University [52] N M Sirakov and P A Mlsna (2004), “Search space partitioning using convex hull and concavity features for fast medical image retrieval”, Proc of the IEEE International Symposium on Biomedical Imaging, Arlington, USA, pp 796–799 [53] D A Spielman and S -H Teng (2004), “Smoothed analysis of algorithms: Why the simplex algorithm usually takes polynomial time”, Journal of the ACM 51 (3), pp 385–463 [54] H Tuy (1996), A general d.c approach to location problems, State of the Art in Global Optimization: Computational Methods and Applications, eds C.A Floudas and P M Pardalos, Kluwer, pp 413–432 [55] H K Xu (2003), “An iterative approach to quadratic optimization”, Journal of Optimization Theory and Applications 116, pp 659-678 [56] B Yuan and C L Tan (2007), “Convex hull based skew estimation”, Pattern Recognition 40 (2), pp 456–475 [57] X Zhang, Z Tang, J Yu, and M Guo (2010), “A fast convex hull algorithm for binary image”, Informatica 34, pp 369–376 117