Tính duy nhất và ổn định của bài toán calderón luận văn ths toán học60 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THẾ DŨNG TÍNH DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TỐN CALDERĨN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THẾ DŨNG TÍNH DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TỐN CALDERĨN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nội – 2015 L˝IC MèN Lun vôn ữổc thỹc hiằn v ho n th nh t⁄i Khoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ⁄i håc QuŁc gia H Ni dữợi sỹ hữợng dÔn tn tnh, chu Ăo ca TS ng Anh TuĐn NhƠn dp n y tổi xin ữổc gòi tợi thy lới bit ỡn sƠu sc nhĐt Tổi cụng xin gòi lới bit ỡn sƠu sc tợi ThS Chò Vôn Tiằp, ngữới  giúp ù, gòi cho tæi nhœng t i li»u tham kh£o Tæi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn tợi TS Nguyn Anh Tú, ngữới  cõ nhng ỵ kin, giúp ù tổi vã ni dung cụng nhữ viằc ồc bÊn thÊo v cho tổi nhng ỵ kin chnh sòa quỵ bĂu ” tæi câ th” ho n th nh tŁt Lu“n Vôn n y Tổi xin ữổc gòi lới cÊm ỡn tỵi c¡c thƒy cỉ Bº mỉn Gi£i t‰ch, Khoa To¡n - Cì - Tin håc, tr÷íng HKHTN - HQGHN vã sỹ ng viản khch lằ, giúp ù cụng nhữ nhœng trao Œi bŒ ‰ch suŁt qu¡ tr…nh håc v cổng tĂc Tổi xin ữổc gòi lới cÊm ỡn tợi cĂc th nh viản lợp K53A1T khõa 2008-2012 trữớng HKHTN - HQGHN vã viằc giúp ù tổi viằc sò dửng latex Tổi xin chƠn th nh cÊm ìn Ban gi¡m hi»u, PhỈng Sau ⁄i håc, Ban chı nhi»m Khoa To¡n - Cì - Tin håc, PhỈng o to, Phặng CTCT - SV, trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, HQGHN  to iãu kiằn thun lổi v gióp ï tỉi qu¡ tr…nh håc t“p cơng nh÷ nhiản cứu Cui cũng, tổi xin ữổc gòi lới cÊm ỡn tợi ngữới thƠn, bn b nhng ngữới  giúp ï, ºng vi¶n tỉi qu¡ tr…nh thüc hi»n Lu“n V«n n y H Nºi, ng y 23 th¡ng 01 nôm 2015 Hồc viản Trn Th Dụng Mửc lửc LIC MÌN DANH MƯC C C KÞ HI U 0.1 Giỵi thi»u b i to¡n Ki‚n thøc chu'n bà p k 1.1 C¡c khæng gian L ; C 1.2 Khæng gian Sobolev T‰nh nhĐt 2.1 Phữỡng trnh Schrodinger 2.2 Nghi»m CGO 2.2.1 ìợc lữổng vợi q = 2.2.2 ìợc lữổng vợi q 6= 2.2.3 X¥y düng nghi»m CGO 2.3 Chøng minh t‰nh nh§t T‰nh Œn ành 3.1 Ph÷ìng tr…nh Schrodinger 3.2 K‚t qu£ ch‰nh v• t‰nh Œn ành T‰nh nhĐt trản @ ;" 4.1 ìợc lữổng Carleman 4.2 Tnh nhĐt trản @ T ILI UTHAMKH O ;" DANH MƯC C C KÞ HI U N: T“p hỉp sŁ tỹ nhiản Z+: Tp hổp s nguyản khổng Ơm j j; j@ j : T÷ìng øng l th” t‰ch cıa S n v di»n t‰ch cıa @ : n : M°t cƒu ìn R : B(a; r) : H…nh cƒu mð t¥m a b¡n k‰nh r: A B: Hi»u Łi xøng cıa hai t“p hæp A v B; A B = (AnB) [ (BnA): n P a b : Vỵi a = (a1; a2; ; an) C v b = (b1; b2; ; bn) C th… a b = akbk: n n n jaj: Vỵi a = (a1; a2; ; an) C th… jaj = n n div (u) : Cho u :R ! C ÷ỉc x¡c ành bði u(x) = (u1(x); u2(x); ; un(x)) n â ta ành ngh¾a div (u) = Cho u; v :R ! C v = ( 1; 2; ; n) Z+: @ku: ÷ỉc x¡c ành bði @ku = @u: o h m riảng cĐp j j = 1+ + + n cıa ru : ÷ỉc ành ngh¾a ru = (@1u; @2u; ; @nu): jruj : ÷ỉc ành ngh¾a jruj = Dju: ÷ỉc ành ngh¾a bði Dju = i @ju: Du: ữổc nh nghắa bi Du = (D1u; D2u; ; Dnu): jDuj: ữổc nh nghắa bi jDuj = D u: ữổc nh nghắa bi D u = D1 D2 P ru rv : ÷ỉc ành ngh¾a ru rv = Dnn u: n k=1 @ku @kv: h m sŁ u: k=1 u: H m li¶n hỉp phøc cıa h m u: M— U 0.1 Giợi thiằu b i toĂn Cho mt vt th dÔn i»n, gåi E(x) l i»n tr÷íng t⁄i tr‰ x cıa v“t th”, u(x) l i»n th‚ t⁄i tr‰ x ca vt th, I(x) l cữớng dặng iằn t⁄i tr‰ x cıa v“t th” Khi â ba ⁄i l÷ỉng n y câ c¡c mŁi quan h» nh÷ sau: Mi liản hằ gia iằn trữớng v iằn th‚ E = ành lu“t Ohm cho ta R(x)I(x) = E(x) â R(x) l t⁄i tr‰ x: Ta cõ th vit phữỡng trnh trản dữợi dng â (x) = Gi£ sß v“t th” khỉng câ nguỗn hay tử, õ dặng qua biản ca hnh cƒu mð B b§t ký b‹ng 0: tøc l Z IdS = 0; @B â l vectì ph¡p tuy‚n ìn ngo i cıa @B: Gi£ sß r‹ng I khÊ vi, õ theo nh lỵ Gauss - Green (xem [5]), flng thøc tr¶n s‡ trð th nh Z r Idx = B vỵi måi h…nh cƒu mð B: Tł â, ta câ r I = 0: V… v“y = r I = r E =ru: Ph÷ìng tr…nh (0.2) ÷ỉc gåi l ph÷ìng tr…nh v“t dÔn Vợi giÊ thit trản miãn vt th khổng cõ nguỗn hoc tử, cho mt iằn th f trản biản @ s‡ c£m sinh mºt i»n th‚ u B i toĂn biản Dirichlet cõ : th nh nghắa Ănh x⁄ Dirichlet - Neumann (DN) nh x⁄ f; f H nh÷ sau â u l ng Cỉng thøc (0.4) khỉng phư thuºc v o vi»c chån h m v H ( ) cho vj@ ( f; f)@ l n« x⁄ tuy‚n t‰nh bà ch°n tł H B i to¡n ng÷ỉc Calderân i x¡c ành h m bi‚t thỉng tin v• ¡nh x⁄ l n‚u nhữ ta o ữổc dặng trản biản f; s c¡c øng dưng cıa b i to¡n ng÷ỉc Calderân l lỵ, õ s ữổc hiu l TrĂi Đt, hay b ng÷íi Xoay quanh b i to¡n ng÷ỉc n y ngữới ta thữớng nghiản cứu mt s dng sau: ; tøc T÷ìng tü ta nh“n ÷ỉc °t !k = e (4.17) (4.18) (4.19) 61 lĐy giợi hn k ! ca bĐt flng thức trản v sò dửng kt quÊ chứng minh phn trữợc ta nhn Mt khĂc Z ( )j@ !kj dS @ Cho k ! bĐt flng thức trản v @ Z ( Z )j@ (e h vk)j2dS !!1@ ( )j@ (e K‚t hổp (4.16) (4.19) v Dữợi Ơy ch ÷ỵc l÷ỉng Carleman cho ta mºt ph÷ìng ph¡p mỵi cho viằc xƠy dỹng nghiằm CGO Trữợc ht ta ữa mt kt quÊ tữỡng tỹ cho sỹ tỗn ti nghiằm ca phữỡng trnh khổng thun nhĐt nhữ nh lỵ 2.10 nh lỵ dữợi Ơy chu'n jj jjH1( ) ữổc hi”u l jjujjH1( ) = (jjujjL2( ) + jhruj L nh lỵ 4.6 Cho q L ( ), S t⁄i C > 0, h0 > cho < h h0 th… ph÷ìng tr…nh câ nghi»m r H ( ) thäa m¢n ’ Chøng minh °t P’ = e 4.4, vỵi h h0 ta câ jjujjH1( ) 62 1 °t D = P C ( ) th… D l khæng gian cıa H ( ) ’ L:D! C P’v 7! (v; f) v C0 ( ): Vợi bĐt ký phn tò n o ca D, tỗn ti nhĐt biu din dữợi dng P v vợi v C0 ( ) n¶n phi‚m h m L ữổc nh nghắa Sò dửng (4.22) ta nhn ữổc jL(Pv)j = j(v; f)L2( )j jjvjjH1( )jjfjjL2( ) V“y L l phi‚m h m tuy‚n t‰nh bà ch°n tr¶n D Theo nh lỵ Hahn - Banach, tỗn ti phim h m tuy‚n t‰nh bà ch°n ^ thäa m¢n LjD = L v Theo nh lỵ biu din Riesz, tỗn ti r~ H0 ( ) cho ^ L(!) = (!; r~); Do â tł ành ngh¾a cıa ⁄o h m y‚u ta nh“n ÷ỉc (v; P’r~) = (P’v; r~) = L(P’v) = L(P’v) = (v; f); Tł â, suy P’r~ = f: °t r = h r;~ â e jjrjjH1( ) = hjjr~jjH1( ) 4.2 Vỵi Tnh nhĐt trản @ n R ta k hi»u ;" ChjjfjjL2( ): @ ;" = fx @ :(x) < "g; 63 @ +;" = fx @ :(x) > "g: Trữợc tiản ta chứng minh kt quÊ vã tnh nhĐt ca Ănh x nh lỵ 4.7 Cho q1; q2 L ( ) cho b i to¡n Dirichlet ch¿nh N‚u 2S n q nh÷ sau + q1 v + q2 °t v q1 f j@ = ;" q2 f j@ ; f ;" th… q1 = q2 Chøng minh Gi£ sß f ; ; g l bº ba vectì trỹc giao õ ; S Theo nh lỵ 2.11, tỗn ti nghiằm CGO ca phữỡng trnh n1 : °t ’(x) = x, (x) = x ( + qj)uj = câ d⁄ng u1 = Ta câ jj q (u1 jj @ rj â tr…nh L j Ta câ q2 (u1j@ ) = @ u~2j@ : Do u1 H ( ) n¶n u1j@ Z (q1 2H q2)u1u2dx = (( q1 +( q1 (@ ); suy u~2 64 °t u := u1 Chứng minh tữỡng tỹ nhữ nh lỵ 2.2, ta câ e Z ix (q1 Theo b§t flng thøc Cauchy - Schwarz, ta câ @ [e +;" h Z je +;" Ta i ¡nh gi¡ c¡c th nh phƒn ð v phÊi ca (4.28) p dửng nh lỵ 4.5 cho nghiằm u ứng vợi phữỡng trnh Schrodinger cho q2 v sò dửng @ uj@ ;" = 0, vợi ỵ trản @ +;" th" ta nhn ữổc Ta cõ Khi õ vợi h th t (4.29) ta nhn ữổc Z je (@ u)][e @ +;" " C2h( 2 4C2M(1 + C h ) jj 65 Vỵi C4 = 2maxfj@ Z @ +;" Theo nh lỵ 1.20 v t‰nh bà ch°n cıa r2 H ( ) tỗn ti c5; C5 > cho T (4.28) - (4.32) ta nh“n ÷ỉc â C6 = q Cho h ! k‚t hỉp vỵi (4.27) v Do (4.34) óng vỵi måi n R trüc giao vỵi : Do ¡nh x⁄ DN óng tr¶n @ ;"( ) vợi hng s c nh " > nản cụng óng tr¶n @ h‹ng sŁ " ı b† Do â (4.34) q(x) = Tł (4.34) suy q^( ) = 0; mºt t“p mð Do q câ gi¡ compact nản theo nh lỵ Paley - Wiener ta cõ q^( ) l n h m gi£i t‰ch tr¶n R Tł â, ta câ q = v õ q1 = q2: chứng minh nh lỵ 4.7 ko theo nh lỵ 4.1 ta cn tợi b ã sau 66 B ã 4.8 ([6]) Vợi giÊ thit nhữ nh lỵ 4.1 th Chứng minh nh lỵ 4.7 ko theo nh lỵ 4.1 Chứng minh Sò dửng B ã 2.6 v Theo nh lỵ 4.7 th q1 = q2: p °t q = Khi â p p hổp vợi phữỡng trnh Schrodinger vợi h m q t chnh nản ta nhn ữổc v â = : ;p p = p Kt Lun Lun vôn  trnh b y mt s kt quÊ liản quan tợi b i to¡n ng÷ỉc Calderân, cư th”: (i) Ch÷ìng 2: Chøng minh B ã 2.3 vã mi liản hằ gia nghiằm ca b i to¡n (0.3) v ix b i to¡n (2.1), nh lỵ 2.11 vã sỹ tỗn ti nghiằm cõ dng u(x) = e (a(x) + r(x)) cıa b i to¡n (2.1) v sß dưng bi‚n Œi Fourier ” chøng minh tnh nhĐt cho phữỡng trnh Schrodinger ( nh lỵ 2.2) tł â suy t‰nh nh§t cıa b i toĂn ngữổc Calderõn (ii) Chữỡng 3: nh lỵ 3.2, chứng minh ữợc lữổng n nh cõ dng jj !(jj 2jjL1( ) jj?); â ! : [0; 1) ! [0; 1) l h m mæ un liản tửc thọa mÂn: !(t) Cj ln tj (iii) Chữỡng 4: Chứng minh ữợc lữổng Carleman nh lỵ 4.3 v sß dưng nghi»m CGO cıa b i to¡n (2.1) nh lỵ 2.11 chứng minh tnh nhĐt ca Ănh x q nh lỵ 4.7, t õ suy ữổc tnh nhĐt ca Ănh x : âng gâp ch‰nh cıa lu“n v«n: ix (i) Chøng minh sỹ tỗn ti nghiằm CGO cõ dng u(x) = e (a(x) +r(x)) cıa ph÷ìng tr…nh ( + q)u = vợi r H ( ) chữỡng (ii) Chøng minh chi ti‚t cho mºt sŁ ành lỵ nhữ: nh lỵ 2.10, nh lỵ 4.5, 67 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Anh [1] G Alessandrini, Stable determination of conductivity by boundary measurements, Appl Anal 27 (1988), no 1-3, 153-172 [2] K Astala and L Paivarinta, Calderon’s inverse conductivity problem in the plane, Ann of Math 163 (2006), no 1, 265 - 299 [3] A L Bukhgeim and G Uhlmann, Recovering a potential from partial Cauchy data, Comm Partial Differential Equations 27 (2002), no 3-3, 653-668 [4] H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations , Springer 2011 [5] L C Evans, Partial differential equations, Graduate studies in mathematics volume 19, American Mathematical Society 1997 [6] J Feldman and G Uhlmann, Inverse problems, preview version at the webpage http://www.math.ubc.ca/ feldman/ibook/ [7] H Heck, Stability Estimates for the inverse conductivity problem for less regular conductivitis, Comm Partial Differential Equations 34 (2009), 107-118 [8] H Heck and J.-N Wang, Stability estimates for the inverse boundary value problem by partial cauchy data, Inverse Problems 22 (2006), 1787 -1796 [9] N V Krylov, Lectures on elliptic and parabolic equations in Sobolev spaces, AMS vol 96, 2008 [10] N Mandache, Exponential instability in an inverse problem for the Schrodinger equation, Inverse Problems 17 (2001), no 5, 1435-1444 68 69 p [11] N G Meyers, An L estimate for the gradient of solutions of second order elliptic divergence equations, Annali della Scuola normale superiore di pisa classe di scienze (1963), no 3, 189-206 [12] A I Nachman, Reconstructions from boundary measurements, Ann of Math (2) 128 (1988), no 3, 531-576 [13] L Paivarinta, A Panchenko, and G Uhlmann,Complex geometrical optics so- lutions for Lipschitz conductivities, Rev Mat Iberoamericana 19 (2003), no 1, 57-72 [14] M Salo, Calderân problem, lecture notes, Spring 2008 [15] J Sylvester and G Uhlmann, A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem, Ann of Math (2) 125 (1987), no 1, 153-169 ... - TRẦN THẾ DŨNG TÍNH DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TỐN CALDERĨN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nội 2015 LIC MèN Lun vôn... trữớng hổp s < ta cõ nh nghắa vợi khổng gian Hs( ) nhữ sau: s s nh nghắa 1.13 Khổng gian H ( ) l khổng gian i ngÔu cıa khỉng gian H0 ( ): s n T÷ìng tü vợi khổng gian H (R ) ta cõ nh lỵ sau nh... sai sŁ cho ph†p â li»u câ th” gióp chóng ta bit ữổc gn úng thổng tin vã vt dÔn hay khổng? H (@ )!H CƠu họi trản ữổc phĂt biu dữợi ngổn ng toĂn hồc: Nu jj 12 (@ ) jj b† li»u câ th” suy ÷ỉc jj 2jjL1(