Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

NGUYỄN HUY HÙNG

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 2

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN – 2011



MỤC LỤC Trang

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP 5

1.1 CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ 5

1.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU 7

1.3 BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC 17

Chương 2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC 23

2.1 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 23

2.2 SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A D IOFFE 40

2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE 45

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

Lý thuyết các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và nhiều ngành kỹ thuật Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2 Các điều kiện tối ưu cấp 2

cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán Với bài toán tối ưu mà

dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và Hessian

R.W Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài toán với ràng buộc trong không gian Euclide n-chiều Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz

địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong R n Phương pháp chứng minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3]

đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cùng được thiết lập Trong [6] R.W Chaney đã dẫn các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức

và bất đẳng thức Lipschitz địa phương Ở đây các điều kiện đủ cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài toán xuất phát có ràng buộc hàm thành bài toán không ràng buộc với hàm mục tiêu

“quy gọn”)

Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn

ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz địa phương Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy gọn kiểu Ioffe Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập, trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập

đóng trong R n Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này

Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9]

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia

đình, bạn bè đồng nghiệp và các học viên lớp Cao học Toán K17 đã luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

NGUYỄN HUY HÙNG

đóng trong R n Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke Trường hợp bài toán với các hàm bán trơn

và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này Các kết quả được trình bày trong chương này là của R.W.Chaney [7]

1.1 CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Gradient suy rộng

Cho W là một tập mở trong R n Giả sử f là một hàm giá trị thực xác định trên W Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên W nếu với mỗi điểm x thuộc W tồn tại một lân cận V x và một số K x sao cho:

tại x, ký hiệu là f (x), là bao lồi của tập của tất cả các điểm giới hạn của dãy hội tụ f x( k), trong đó  

1

k k

x là một dãy trong E hội tụ đến

x f

t v

)()(

suplim),(

0 0

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số k Khi đó,

(a) Hàm f o (x;.) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên R và n

v k v

(d) f 0(x;d)maxv.d:vf(x),với mọi x thuộc W và d thuộc R n

Nói cách khác, f 0(x;.) là hàm tựa của tập lồi f (x)

(e) Cho x thuộc W, hàm f0(x;.) lồi trên R n

(f) Hàm đa trị x f x( ) là nửa liên tục trên W; Do đó, nếu  x k và

 v k hội tụ tương ứng với xW và v R và nếu n v  k f (x) với mỗi

k, thì vf (x)

(g) Định lý giá trị trung bình của Lebourg

Giả sử x và yW Giả sử đoạn thẳng L nối x và y nằm trong W Khi đó tồn tại z  L và v  f (z) sao cho z  , x z  và y

1.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU

Giả sử S là một tập hợp con đóng của không gian n–chiều R và W là n

một tập mở trong R Giả sử điểm n x  S* W và f là một hàm

Lipschitz địa phương giá trị thực trên W Ta xét bài toán

(P) : min ( )

x S W

f x

 

Nhắc lại [5], tập S là chính quy tiếp tuyến tại x* nếu nón tiếp

liênK S x( , *) và nón tiếp tuyến Clarke T S x( , *) trùng nhau Nón tiếp tuyến Clarke T S x( , *) của S tại x* bao gồm tất cả các y  R sao cho n

với mọi dãy  t k 0 và  x k hội tụ tới x* với mỗi x k  S, thì tồn tại dãy

 y k hội tụ đến y sao cho x k t y k k S với mọi k Nón tiếp liên K(S, x*) của S tại x* bao gồm tất cả các y  R n nên tồn tại các dãy  t k các số

dương và  x k hội tụ tới x* với mỗi x  S và k  x k x* / t khội tụ đến

y

Hai nón K(S, x*) và T(S, x*) là đều đóng nhưng chỉ T(S, x*) lồi Hơn nữa, T (S, x*)  K(S, x*)

Ta đưa vào một số ký hiệu Nếu x và y  R n và nếu   thì x là 0

chuẩn Euclide của x , x y là tích vô hướng thông thường của x và y,

B(x,) là tập hợpzR n, zx  Nếu C là một tập đóng lồi trong R n

và nếu x  C, ta ký hiệu N(C, x) các nón pháp tuyến của C tại x Nếu C chỉ là một tập đóng, thì nón pháp tuyến của C tại x được cho bởi N(C, x)

tương ứng với một nón lồi đóng C(d*) mà d*C(x*) Ta cũng giả sử rằng:

(a) ta có w d 0 khi d là vectơ đơn vị bất kỳ trong C(d*) với d* nào đó thuộc K(S, x*)  L(f, x*) và w là gradient suy rộng thuộc d g x( *)

(b) tồn tại m* 0 sao cho

2

limsupw k.(x k x*)/ |x k x* | m*

với mọi dãy  x k và  w và các vectơ đơn vị d, d* thỏa mãn: k

(i)  x k hội tụ tới x* theo phương d,

(ii) d*  K(S, x*)  L(f, x*) và d*  C(x*),

(iii) w k g (x*) với mỗi k,

(iv)  w hội tụ đến w trong – N(C(d*) + x*, x*) k

Khi đó, tồn tại   sao cho 0

Đặt e k = (z k – x*) /|z k – x*|, ta có thể giả sử  e k hội tụ đến một vectơ đơn

vị d* trong K(S, x*) Theo Định lý giá trị trung bình Lebourg [5], ta có

Với mỗi k, ta xác định ánh xạ tuyến tính T k từ R n vào R bằng cách đặt n

T k (x) = x + (xd*) (ek – d*) Với I là ánh xạ đồng nhất, ta có

|| T k – I || ≤ |e k – d*|

Ta có thể giả sử |e k – d*| < 0.5 với mọi k Vì vậy do Bổ đề nhiễu mà T k là

khả nghịch với mọi k và dãy  1

k

T là bị chặn Đặt A k = T k (C(d*)) với mọi k Khi đó, A k là một nón lồi đóng chứa e k

Ta có z k thuộc B(x*, δk)  (A k+ x* ) Vì vậy, h đạt được giá trị cực tiểu trên B(x*, δ k ) (A k + {x*}) tại điểm x k nào đó khác x* Do đó, theo [3], tồn tại v k  h(x k ) sao cho –v k là vectơ pháp tuyến của tập lồi

B(x*, δ k )(A k +{x*}) tại x k

Với mỗi k, đặt t k = | x k – x* |> 0 và d k = (x k – x*) / t k Theo [14], tồn tại

c k ≥ 0 và vectơ pháp tuyến u k của tập A k + {x*} tại x k sao cho

v k + c k d k + u k = 0 với mọi k Do đó, tồn tại w k trong g(x k ) sao cho v k =

w k – m* (x k – x*) với mọi k và như vậy

w k – m* (x k – x*) + c k d k + u k = 0, k ≥ 1 (1.1) Bởi vì x k thuộc A k + {x*}, ta có d k thuộc A k Từ đó suy ra

x k ± t k d k x k thuộc A k + {x*}, và do đó u k d k = 0 Từ (1.1), ta nhận được

w k d k + c k = m* t k , k ≥ 1 (1.2)

Ta có thể giả sử {d k } hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong R Ta có thể n

giả sử {w k } hội tụ đến w  d g(x*), và vì vậy (1.2) kéo theo {c k} hội tụ

đến một số không âm c Do đó, theo (1.1), {u k } hội tụ đến vectơ u

Bây giờ ta muốn chỉ ra rằng d  C(d*) Với mỗi k, tồn tại d* k trong

C(d*) sao cho d k = T k (d k *) Bởi vì | d k | = 1 với mọi k và T k –1 bị chặn đều,

ta suy ra {d* k } bị chặn và vì vậy ta có thể giả sử nó hội tụ đến d ~ trong

vì {T k (e)} hội tụ đến e, ta suy ra e.u ≤ 0, và do đó u không thuộc

N(C(d*) + x*, x*) Bởi vì các điều kiện (i) – (iv) thỏa mãn, ta phải có

limsup w k d k /t k > m* Nhưng, từ (1.2), ta có w k d k ≤ m*.t k với mọi k Vì

Nhận xét 1.2

Để áp dụng Định lý 1.1, cần lựa chọn nón C(d*) Các lựa chọn khác nhau có thể làm và ta sẽ mô tả một vài cách chọn

Trước hết ta chú ý rằng ta có thể chọn C(d*) = R n với mỗi

d* K(S, x*) L(f, x*) Cách lựa chọn này là tự nhiên cho trường hợp

không có ràng buộc (tức là, khi S là một lân cận của x*)

là chính quy tiếp tuyến tại x* Giả sử rằng:

(a) w.d ≥ 0 khi d là vectơ đơn vị trong K(S, x*) và w  ∂ d g(x*);

(b) tồn tại m* ≥ 0 sao cho limsupw k (x k – x*) / | x k – x*| 2 > m* với mọi dãy {x k } và {w k } mà trong đó {x k } hội tụ tới x* theo phương

d  K(S, x*), w k  ∂ g(x k ) với mỗi k, và {w k } hội tụ đến một điểm trong

–N(S, x*)

Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho

f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│ 2 với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S

Chứng minh

Nón K(S, x*) = T (S, x*) là lồi và vì vậy ta có thể chọn C(d*) = K(S, x*)

Nhắc lại [5], hàm Lipschitz địa phương f giá trị thực trên W là chính quy dưới vi phân tại x trong W nếu đạo hàm theo phương f '(x; d) tồn tại với mọi d trong R n và f 0 (x;d) = f '(x; d) với mọi d Hàm f được gọi là bán trơn tại x trong W nếu {v k d} luôn hội tụ khi {x k } và {v k } là các dãy sao cho {x k } hội tụ tới x theo phương đơn vị d và v k  ∂f(x k ) với mỗi

k Mifflin đã chỉ ra rằng, nếu f là bán trơn tại x, thì với mỗi vectơ đơn vị

d, đạo hàm theo phương f’(x; d) tồn tại và bằng limv k d, trong đó {v k } là dãy được như trong định nghĩa vừa nêu

Bây giờ giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x* Khi

đó

L(f, x*) = {d  R n : f 0 (x, d) ≤ 0}

theo [8]; vì thế, nón L(f, x*) lồi Do đó, nếu S là chính quy tiếp tuyến tại

x*, nón K(S,x*) ∩ L(f,x*) lồi Điều này dẫn đến hệ quả sau đây

Hệ quả 1.1.2

Giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x* Giả sử tất

cả các giả thiết của Hệ quả 1.1.1 đúng, trong (a) và (b) ta thay thế K(s, x*) bởi K(s, x*) ∩ L(f, x*) và trong (b ) ta thay thế – N(S, x*) bởi –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0)

Khi đó tồn tại δ > 0 sao cho

f(x) ≥ f(x*) + (m*/2) | x – x* | 2 , với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S

(Hơn nữa, nếu g cũng bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, thì ta

có thể thay thế giả thiết (a) bằng giả thiết:

tập  g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f , x*), 0) khác rỗng.)

Chứng minh

Ta chọn C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*) với mỗi d* Với cách lựa chọn

đó, ta dùng Định lý 1.1 Chỉ cần xem xét phát biểu cuối cùng Như vậy,

giả sử v*  ∂g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0) Ta phải chứng minh

Cho S là tập của tất cả các điểm trong R2 mà tồn tại tọa độ cực

(r, ) với –0.75π ≤  ≤ 0.75π và 0 ≤ r ≤ 22cos Như vậy, S là tập hợp bị chặn Với x* = (0, 0), ta có

T(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ | v |}

K(S, x*) = {(u, v)  R 2 : u ≥ – |v |}

Do đó, S không là chính quy tiếp tuyến tại x*

Với d* = (v*, u*)  K(S, x*), ta chọn C(d*) = {(u, v)  R 2 : u ≥ v} khi

u* ≥ v*, và C(d*) = {(u, v)  R 2 : u + v ≥ 0} khi u* < v* Với cách lựa chọn đó, mỗi nón pháp tuyến N(C(d*) + x*, x*) chỉ gồm một tia

Ví dụ 1.2

Ta chỉ ra rằng Định lý 1.1 là sai nếu (b) (i) được thay thế bằng

"{x k } hội tụ tới x* theo phương d với x k  S với mỗi k"

Cho S = {(x, y)  R2: –1 ≤ x ≤ 1 và x4 – x2 ≤ y ≤ 1}

Cho f(x, y) = 3x2 + (2y+1)2 và lấy g = f Lấy x* = (0, 0) Ta thấy

rằng

K(S, x*) = {(c, d)  R 2 : d ≥ 0}

Ta chọn C(d*) là K(S, x*) Vì f lớp C1, ta có ∂f(x, y) = {(6x, 8y + 4)} Nếu d ≥ 0 thì (c, d) (0, 4) = 4d ≥ 0, và vì vậy (a) của Định lý 1.1 đúng

Bây giờ ta giả sử {(x k , y k )} và {w k } thỏa mãn (i) – (iv) của (b) và giả sử mỗi (x k , y k ) thuộc S Khi đó, với z k = (x k , y k) và chú ý

1.3 BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC

ở đây mỗi hàm g i là Lipschitz địa phương trên W

Điều kiện cần để x* là cực tiểu địa phương của bài toán này đã xét trong [14] Theo [14], nếu bài toán P là yên tĩnh (calm) tại x* thì tồn tại các nhân tử a1, , a q sao cho

Định lý 1.2

Giả sử các hàm f, g1, , g m là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x* và các hàm g m +1 , , g q thuộc lớp C1 ở gần x* Gọi I là tập tất cả các chỉ số i mà 1 ≤ i ≤ m và g i (x*) = 0 Giả sử 0 không thuộc bao lồi của hợp các tập ∂g i (x*) với i  I và các tập ∂ g i (x*) – ∂ g i (x*) với

i = m+1, , q Giả sử

T (S1, x*) ∩ intT(S2, x*)  hoặc int T(S0 1, x*) ∩ T (S2, x*)  0

Giả sử S2 là chính quy tiếp tuyến tại x*

Giả sử tồn tại hệ số a1, ., a q thỏa mãn (1.4) – (1.6) và đặt

L = f + a 1 g 1 + + a q g q Cuối cùng, giả sử tồn tại m* ≥ 0 sao cho:

limsup w k (x k – x*) / | x k – x* | 2 > m*, với mọi dãy {x k } và {w k } thỏa mãn:

(v) {x k } hội tụ tới x* theo phương d trong T(S, x*) mà g' i (x*; d) = 0 với mọi i  I sao cho a i > 0;

(vi) w k  ∂ L(x k ) với mỗi k;

(vii) {w k } hội tụ đến một điểm trong – N(L(f, x*) ∩ T (S, x*), 0)

Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho

f(x) ≥ f(x*) = (m* / 2) | x – x* | 2 với mọi x  B(x*, δ) ∩ S

Chứng minh

Ta chứng minh Định lý này từ Định lý 1.1 Trước hết chú ý rằng

f(x*) = L(x*) và L ≤ f trên S ∩ W Từ [8] suy ra L là bán trơn và chính

quy dưới vi phân tại x* Ta có tập L(f, x*) là một nón lồi đóng Từ [13,

Hệ quả 2 đến Định lý 5] ta suy ra S1 là chính quy tiếp tuyến tại x* và do

đó từ [13, Hệ quả 4 của Định lý 2] ta suy ra S là chính quy tiếp tuyến tại

x* Do đó, nón đóng K(S, x*) ∩ L(f, x*) lồi; với mỗi d*  K(S, x*) ∩ L(f, x*), ta đặt C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*)

Để chứng minh rằng (a) đúng trong Định lý 1.1, ta lấy

d  K(S, x*)  L(f, x*) và w  ∂ d L(x*) Từ [13, Hệ quả 2 của Định lý 2],

ta suy ra rằng (1.6) kéo theo sự tồn tại của v*  L(x*) sao cho –v*  N(S2, x*) Vì L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, ta có

w d = L '(x *; d) = L 0 (x*; d) ≥ v * d ≥ 0 (1.7)

Ta chỉ còn phải kiểm tra (b) của Định lý 1.1 đúng Vì vậy, ta giả

sử {x k } và {w k } thỏa mãn (i) – (iv) của Định lý 1.1 với g lấy là L Khi đó

(vi) và (vii) của Định lý này rõ ràng đúng Như trong (1.7), ta có

w.d = L '(x *; d) ≥ 0

và vì vậy

f '(x*; d) + a 1 g 1 (x*; d) + + a q g’ q (x*; d) ≥ 0 (1.8)

Vì d  L(f, x*), ta có f '(x*, d) ≤ 0 Vì d  K(S, x*), ta có g 1 ' (x*, d) = 0

với i > m và g i ' (x*; d) ≤ 0 với i  I Do đó, từ (1.8) suy ra g i '(x*; d) = 0

với i  I mà a i > 0 Ta suy ra {x k } và d thỏa mãn (v) Vì vậy, từ (v) –

(vii), ta nhận được

Nhận xét 1.5

Có thể xây dựng các dạng khác của Định lý 1.1 bằng cách sử dụng một số hàm bổ trợ khác Ta sẽ thảo luận ở đây một ví dụ Ta tiếp tục làm

bài toán với S = S1 ∩ S2 , với S1 cho bởi (1.3)

Ta giả sử r và m* là các số dương Lấy x* S ∩ W như trước Ta xác định hàm M trên W bằng cách lấy M(x) là số lớn nhất trong các số

g1(x), , g m (x), và

f(x) – f(x*) – (m* / 2) | x – x* | 2 + r | g m + 1 (x) | + + r | g q (x) |

Chú ý rằng M(x*) = 0, vì x* S Ta sử dụng hàm M là do nhận xét rằng: Nếu x* làm cực tiểu M trên B(x*, δ) ∩ S 2 thì ta có

d*  K(S, x*) ∩ L(f, x*), có tương ứng một nón lồi đóng C(d*) mà d* C(d*) Ta cũng giả thiết rằng:

(a) Ta có w d ≥ 0 với mọi vectơ đơn vị d  C(d*) với d* nào đó trong

K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w là gradient suy rộng bất kỳ trong ∂ d g(x*);

(b) Ta có limsup w k (x k – x*) / |x k – x*|2 > 0 với bất kỳ các dãy {x k } và {w k } và d*, d là các vectơ đơn vị thỏa mãn

(i) {x k } hội tụ tới x* theo phương d,

(ii) d*  K(S, x*) ∩ L(f, x*) và d  C(d*),

(iii) w k  ∂ g(x k ) với mỗi k,

(iv) {w k } hội tụ đến một điểm w  –N(C(d*) + x*, x*)

Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho

f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│

với mọi x  B(x*, δ) ∩ S

Chứng minh

Giả sử kết luận là sai và ta chọn dãy { δ k} gồm các số dương giảm

về 0 với δ1 < 1 Với k cho trước, tồn tại z k  B(x*, δ k ) ∩ S sao cho

f(z k ) – f( x*) <(m* / 2) │z k – x* │2

Đặt h = g và chú ý rằng z k ≠ x* với mỗi k Ta có

h(z k ) = g(z k ) ≤ M (z k ) ≤ 0 = M (x*) = h(x*) với mỗi k

Phần còn lại của chứng minh có thể được làm như chứng minh Định lý 1.1 với một vài thay đổi nhỏ □

Chương 2

ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC

Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu với hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức là các hàm Lipschitz địa phương Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9] Các kết quả được trình bày trong chương này là của Chaney [6]

2.1 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2

Giả sử W là một tập mở trong không gian Euclide thực n–chiều

n

R g0,g1,g2, g q là các hàm giá trị thực trên R , Lipschitz địa n

phương trên W Giả sử

q m

Điều kiện đủ đầu tiên cho bài toán (P1) được cho dưới ngôn ngữ các

Ta đưa vào một số ký hiệu Nếu x và y thuộc R ta ký hiệu xy là tích vô n

hướng thông thường của x và y, và B(x,)zR n: xz 

Định nghĩa 2.1

Cho  x k là một dãy trong W hội tụ đến x  W và giả sử x k  x với mọi k Cho d là một vectơ khác không trong R Khi đó n  x k được gọi là hội tụ tới x theo hướng d nếu {(x k x)/|x k x|} hội tụ đến

 là tập tất cả các v trong R sao cho tồn tại các dãy n  x k trong

W và  v k trong R n sao cho

(a)  x k hội tụ tới x theo hướng d;

(b)  v k hội tụ đến v;

(c) v thuộc k f (x) với mỗi k

(Chú ý rằng, ta có d f(x)f(x) Có thể xem như d f (x) là tập các gradient suy rộng tại x mà "phát sinh" từ phương d

Giả sử các hàm g0,g1,g2, g q Lipschitz địa phương trên W và tập S có dạng (2.1) Ta định nghĩa

1

1{ W : ( ) 0}

m

i i

Giả sử x* thuộc tập SW , hàm M như trong (2.3) Giả sử:

(a) Ta có v d  0 khi mà d là một vectơ khác không trong R n và

(ii)  v k hội tụ về 0 với vk  M x k với mỗi k;

(iii) Tồn tại v o trong  d f 0 (x*) sao cho v0.d 0

Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho

2 0

Giả sử kết luận là sai Chọn một dãy   k các số dương giảm đến

không Khi đó, với k cho trước, tồn tại z trong ( *, ) k B x   sao cho S

2 0

 d k hội tụ đến vectơ đơn vị d

Từ Định lý của Clarke về điều kiện cần cấp 1 [3] ta suy ra tồn tại