nghiệm yếu pt eliptic

nghiem yeu cua phuong trinh elliptic cap hai pdf 7 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CÁC KÍ HIỆU VÀ GIỚI THIỆU KHÔNG GIAN SOBOLEV 1 1 Các kí hiệu 1 1 1 Kí hiệu đối với ma trận (1) Ta viết 퐴 = (푎 ) để. Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Trần Nhân Tâm Quyền, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các quý thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong ban quản lý thư viện thuộc trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện đề tài này. Qua đây, tôi cũng xin gởi lời biết ơn chân thành đến các thầy cô đã dành thời gian để đọc khóa luận này và đóng góp cho tôi những kinh nghiệm quý báu. Xin cảm ơn gia đình, các đồng môn đã quan tâm, bên cạnh động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này.

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ GIỚI THIỆU KHƠNG GIAN SOBOLEV 1.1 Các kí hiệu 1.1.1 Kí hiệu ma trận (1) Ta viết ) để kí hiệu ma trận = ( i, cột j Ma trận đường chéo ( 2) × × với ,…, phần tử hàng ) = không gian ma trận đối = vết ma trận , tức tổng phần tử đường chéo (3) tr (4) det = định thức ma trận = chuyển vị ma trận (6) Nếu = ( Đặc biệt : ) : | |=( : ) (7) Nếu ∈ × = ( ) hai ma trận : = , × , : tổng tất bình phương phần tử = ∑ (8) Đôi ta viết ∑ =( , ( ,…, thay cho ) gọi chuẩn ma trận ) ∈ ℝ , dạng tồn phương tương ứng = với 1.1.2 Kí hiệu hình học (1) ℝ khơng gian Euclide thực (2) × × xứng thực ( 5) kí hiệu diag( = khơng gian ma trận thực × dạng , ∈ chiều, ℝ = ℝ × = (0, … ,0,1,0, … 0) vectơ tọa độ đơn vị thứ ∈ℝ (3) Một điểm ℝ =( , ) Trong trường hợp cụ thể coi ,…, vectơ hàng vectơ cột (4) ℝ = { = ( , … , (5) ℝ ={ , )∈ℝ ⁄ > 0} nửa không gian mở phía ∈ ℝ ⁄ > 0} thường kí hiệu tập mở ℝ Ta viết ⊂⊂ (6) (7) (8) (9) ⊂ ⊂ , = biên , = chứa compact compact ta nói × (0, ] bao đóng ∪ ( , ) = { ∈ ℝ ⁄| − | < } hình cầu mở ℝ với tâm bán kính > ( , ) = { ∈ ℝ ⁄| − | ≤ } hình cầu đóng ℝ với tâm kính bán > 1.1.3 Kí hiệu hàm số (1) Nếu : Ta nói (2) Nếu → ℝ, ta viết ( ) = ( , … , trơn Hàm (1) → ℝ , ta viết ( )= thành phần thứ → ℝ ( ∈ ) ( ) = lim → (2) Ta thường viết (3) Tương tự đồng Ta đặt định nghĩa Giá hàm 1.1.4 Kí hiệu đạo hàm Giả thiết: ( ∈ ) nghĩa ≡ hai hàm, ta viết để nói (3) Nếu : khả vi vơ hạn ) ( ) (4) Kí hiệu đa số: ( ) ( = 1, … , ) ( ) , giới hạn tồn thay cho = ( ), … , , , vv… = kí hiệu ( ∈ ) ≔ a) Một vectơ có dạng =( ), thành phần ,…, số nguyên không âm, gọi đa số bậc | |= + ⋯+ b) Cho trước đa số , kí hiệu | | ( )≔ c) Nếu … số nguyên không âm ( ) ( )≔{ = … ( ) ⁄| | = } tập tất đạo hàm riêng bậc Ta coi ℝ d) | | = ∑| | | | e) Các trường hợp đặc biệt : Nếu = Nếu = 1, ta coi vectơ gradient ,…, xếp ma trận = 2, ta coi phần tử ⋯ ⎛ =⎜ ⋮ ⋱ ⎞ ⎟ ⋮ ⋯ ⎝ ⎠ ma trận Hessian × (5) Thỉnh thoảng ta dùng số gắn với kí hiệu lấy đạo hàm Chẳng hạn : = (6) ∆ = ∑ ,…, , = ( 1.1.5 Các không gian hàm (1) ( )={ : ( )={ ∈ Do : (2) = ,…, | |≤ ( )={ : , , … để ký hiệu biến = ( , ) ( ∈ℝ , ∈ ℝ ), ) tốn tử Laplace → ℝ⁄ liên tục} ( ) = { ∈ ( )⁄ liên tục đều} ( )={ : ( ) điểm → ℝ⁄ liên tục khả vi ∈ ( )⁄ ( ) lần} liên tục với | | ≤ } thác triển liên tục tới → ℝ⁄ khả vi vô hạn} = ⋂ ( ) với đa số , ( )=⋂ ( ), (3) ( )={ ∈ ‖ ‖ (6) (7) , , ( ), = ‖| , ( ), sup| | = ( ) ( )={ : ( ) → ℝ⁄ ∈ |‖ ( ), ‖ ( ) với ‖ ( ) 1.1.6 Hàm véctơ (1) Nếu →ℝ , | > : =⎛ ⋮ (3) Nếu 1.2 ⎝ , | = ∑| (2) Đặc biệt : ( ) , … , ( = 0,1, … ,1 ≤ ( = … ,0 ≤ =( (1 ≤ | | = ( ) ( ) → ℝ⁄ đo Lebesgue, ‖ ‖ : ‖ ‖ ‖ ⊂⊂ } → ℝ⁄ đo Lebesgue, ‖ ‖ : ( )= ( )⁄ ( ) triệt tiêu (nhận giá trị 0) biên ∈ ( )= (5) ‖ ( ),…, với giá compact ( ), …, ký hiệu hàm ( ), Các hàm (4) ( ) | ,…, | ⋱ ⋯ ⋮ ⎞ div = = , ta có ⎠ < ∞ , ( ) ⊂⊂ } |‖ < ∞) 0, ∃ ∈ ( ), ∃( ) ⊂ ‖ − = | | ( ) , = ( ) ký hiệu ( ) cho ‖ − ‖ , ( ) ( ) cho ‖ | | | , ( ) →0 11 < ℎ → ∞ | , ( ): (1.2) Theo khái niệm vết hàm = ∂U với | | ≤ Ký hiệu: Chú ý: ( ) Khi ∈ Cho , ( )= ∈ 1.2.2 Các định lý ( )⟺ ế ( ) ⁄ Định lý 1.1 (Định lý compact Rellich-Kondrachov) Giả thiết với ∗ tập mở, bị chặn ℝ , , ≔ ( ) ⊂⊂ = ( ) với ≤ ≔ trung bình tập mở bị chặn, liên thông ℝ với phụ thuộc vào , tồn số với hàm ∈ , ( ) ‖ −( ) ‖ ∗ ≤ , cho ( ) ≤ , (1.3) Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Poincare) Cho ( ) Giả sử ≤ : số liên hợp Sobolev Kí hiệu : ( ) ≔ ∫ − ≤ ‖ ‖ ,1≤ ≤ ∞ Khi (1.4) ( ) Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Soboblev tổng quát) Cho ( ) Nếu ∈ tập mở bị chặn, ℝ , với biên ( ), cho Chúng ta có đánh giá với ∈ , ( ) < ‖ ‖ số phụ thuộc vào , , ( ) Nếu Giả thiết = − ( ) ≤ ‖ ‖ 12 , ( ) , (1.5) , ∈ = > ( ), cho + − , số nguyên số dương nhỏ 1, số nguyên Chúng ta có đánh giá với ‖ ‖ , ≤ ‖ ‖ ( ) , ( ) số phụ thuộc vào , , , , (1.6) Định lý 1.4 (Tỷ sai phân đạo hàm yếu) Với: ( ) = ( ( ) Giả sử ≤ ) ( ) , ( = … ) ≤ ∞ ‖ ∈ ‖ , ( ) Giả thiết < < ∞, dist( , với tất < |ℎ| < Nhận xét 1.1 ‖ ∈ ‖ ( ), … , ( ) Với ≤ ‖ ( ) tất < |ℎ| < với vài số ( )≔ ( , ‖ ( ) ( ) ⊂⊂ (1.7) ) ( ), tồn số ( ) ≤ ) Khi đó: , ∈ ( ), với ‖ ‖ Kết luận Định lý 1.4 cịn khơng xảy nửa cầu mở = 0, ∩ { (0,1) ∩ { > 0}, > 0}, có cận ∫ 1, … , − Chứng minh tương tự với điều cho cho ( ) ≤ (1.8) ⊂⊂ Ví dụ, ≤∫ với = ( ) 1.2.3 Không gian Định nghĩa 1.4 Không gian đối ngẫu ( ) kí hiệu phiếm hàm tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.5 Nếu ∈ ( ), ‖ ‖ ( ) ( ) = sup 〈 , 〉⁄ ∈ 13 ( ) , ‖ u‖ ( ): ( ) ∈ ≤1 Ta viết 〈 , 〉 để kí hiệu giá trị Định lý 1.5 (Cấu trúc ( ) Giả thiết ( ) Hơn nữa, ‖ ‖ ( ) ∈ ) ( ) ∈ ( ) Khi tồn hàm 〈 , 〉= = inf ( ) ∈ + , ,…, ∈ ( ) thỏa mãn (1.9) với ∫ ∑ Chú ý: Từ (1.9) viết = −∑ ( ) cho ( ) (1.9) , ,…, ∈ CHƯƠNG 2: NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI Trong chương nghiên cứu tính giải phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic cấp hai với điều kiện biên Chúng ta khai thác hai kĩ thuật khác là: phương pháp lượng không gian Sobolev phương pháp nguyên lý cực đại 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 (Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai) Chúng ta nghiên cứu tốn với điều kiện biên : = = , tập mở, bị chặn ℝ : ⟶ ℝ, hàm cho, =− , =− với hàm hệ số cho , , ⟶ ℝ, (2.1) = ( )là ẩn hàm Ở toán tử vi phân đạo hàm riêng có dạng ( ) ( ) + ( ) + ( ) , (2.2) + ( ) + ( ) , (2.3) , ( , = 1, … , ) 14 Ta nói phương trình vi phân đạo hàm riêng cho (2.2), có dạng khơng divergence hỏi =0 = có dạng divergence cho (2.3) Đòi (2.1) gọi điều kiện biên Dirichlet ê Nhận xét 2.1 - Nếu hệ số ứng với đạo hàm bậc cao ( , = 1, … , ) hàm ( ), tốn tử cho dạng divergence viết lại dạng khơng divergence ngược lại Do vậy, ta có phương trình dạng divergence (2.2) trở thành với - −∑ ≔ =− ( ) , ( ) + + ( ) (2.2′) ( = 1, … , ) , (2.2′) hiển nhiên có dạng khơng divergence Về sau ta thấy lợi ích việc xét hai dạng tách biệt Dạng divergence dạng tự nhiên phương pháp lượng dựa việc tích phân phần Cịn dạng khơng divergence thích hợp kĩ thuật nguyên lý cực đại - Từ sau ta ln giả thuyết có điều kiện đối xứng = Định nghĩa 2.2 ( , = 1, … , ) Ta nói tốn tử vi phân đạo hàm riêng số > cho với hầu hết ∈ với , ∈ℝ ( )  Tính elliptic có nghĩa là, với elliptic (đều) tồn ≥ | | ∈ , ma trận đối xứng cấp (2.4) × : ( )= ( ) xác định dương, với giá trị riêng nhỏ lớn  Nếu ≡ , ≡ 0, ≡ 0, tốn tử −∆, vậy, ta thấy rằng, nghiệm phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai tổng quát tương tự, theo nhiều khía cạnh, với nghiệm hàm điều hòa 15 =0 Ý nghĩ vật lý: Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai tổng qt hóa phương trình Laplace Poisson Từ khởi nguồn phương trình Laplace ứng dụng,  thường biểu thị mật độ đại lượng hay nồng độ hóa học, trạng thái cân miền  Số hạng bậc hai : hệ số ( tính elliptic suy nơi có nồng độ thấp  biểu thị khuếch tán , ) mô tả không đẳng hướng, không đồng chất môi trường.Nói riêng,  =∑ ≔− mật độ thơng lượng khuếch tán, điều kiện ≤ 0; tức , dịng dịch chuyển từ nơi có nồng độ cao tới =∑ Số hạng bậc : biểu diễn dịch chuyển miêu tả hình thành (mang tính địa Số hạng bậc khơng phương) hóa chất (do phản ứng) Để phân tích cẩn thận ý nghĩa địi hỏi phải nghiên cứu trình khuếch tán 2.2 Nghiệm yếu Người ta nghi để nghiệm phương trình đạo hàm riêng cấp k hàm phải khả vi liên tục k lần miền xét thỏa mãn phương trình điểm miền đó, nghiệm hiểu theo cách gọi nghiệm cổ điển Tuy nhiên, thực tế, nghiệm cổ điển khơng phải lúc tồn Từ người ta cố gắng “tìm” (đề xuất) khái niệm nghiệm yếu hay gọi nghiệm suy rộng 2.2.1 Cơ sở dẫn tới khái niệm nghiệm yếu Trước hết xét tốn biên (2.1) có dạng divergence (2.2) Chúng ta định nghĩa xây dựng nghiệm yếu thích hợp (2.1), sau nghiên cứu tính trơn tính chất khác Ta giả thiết sau: , , ∈ ( ), , = 1, … , 16 (2.5) ta nhận bất đẳng thức | |≤ | ≤ | | + , | Kết hợp đánh giá với (2.58) (2.59) dẫn đến Đánh giá B : | |≥ | − | (2.60) Bây nhớ lại (2.50), (2.51) (2.54) ta ước lượng (| | + | | |≤ Lúc nhờ Định lý 1.4, (i) cho ta | | ( ≤ ≤ | ≤ | + | |)| | + | | |≤ = , ta nhận | |≤ + suy + + + = 1, … , ≤ + với |ℎ| ≠ đủ nhỏ Theo Định lý 1.4, (ii) ta suy lượng ∈ 32 ≤ | + +| Cuối kết hợp (2.52), (2.60) (2.62) ta có với (2.61) ) Vì (2.61) bất đẳng thức Cauchy với Chọn + ( ), | | +| ∈ (2.62) | ( ), với ước ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ ( ) ( ) +‖ ‖ ( ) ) +‖ ‖ ( ) , Bây điều chỉnh lại đánh giá (2.63) nhờ ý rằng: ⊂ , lí luận tương tự cho ta với số phù hợp ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ ( ) ( phụ thuộc vào tính chất =1 ê ≤ ≤ ⊂⊂ ⊂ (2.64) , …Chọn hàm cắt có ⊂ , đồng thức (2.49) thực tính tốn đơn giản, = Thay , , (2.63) ta nhận | Vậy ‖ ‖ ( ) | ≤ ≤ ‖ ‖ + ( ) +‖ ‖ Từ bất đẳng thức (2.64) cho ta (2.48).□ ( ) *Mục đích là, lặp lại suy luận để suy nghiệm yếu toán nằm không gian Sobolev bậc cao (nếu hệ số đủ trơn vế phải thuộc vào khơng gian đủ tốt) Định lý 2.8 (Tính quy cao miền) Giả thiết số nguyên không âm, , Giả sử ∈ ( ) , ∈ ∈ số Chứng minh ( ) (2.65) (2.66) ( ) nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng elliptic = Khi với tập ( , = 1, … , ) ⊂⊂ ∈ ta có ước lượng ‖ ‖ ( ) phụ thuộc vào ( ), ≤ , , 33 ‖ ‖ (2.67) ( ) +‖ ‖ ( ) hệ số , (2.68) Ta thiết lập (2.67) (2.68) phương pháp quy nạp theo , trường hợp = định lý (2.7) Nội dung chứng minh xem [7, tr 85-86].□ Định lý 2.9 (Tính khả vi vô hạn miền) , Giả thiết: Giả sử ∈ ( ) , ∈ ( , = 1, … , ) ( ) ∈ ( ) nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng elliptic = Khi ( ) ∈ Một lần nữa, khơng u cầu điều kiện dáng điệu gần biên Do đó, nói riêng, khẳng định tất điểm kì dị biên không “lan truyền” vào miền Chứng minh Theo Định lý 2.8, ta có ( ) với số nguyên ∈ = 1,2 … Do đó, Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Sobolev tổng quát) cho ta = 1,2 …□ ∈ ( ) với 2.3.3 Tính quy biên Bây mở rộng ước lượng Mục 2.3.1 để nghiên cứu tính trơn nghiệm yếu đến biên Định lý 2.10 (Tính - quy biên) Giả thiết ∈ Giả sử ∈ ( ), , ∈ ∈ ( ) ( , = 1, … , ) ( ) ( ) nghiệm yếu toán biên elliptic với giả thiết = = , thuộc lớp 34 (2.69) (2.70) (2.71) (2.72) Khi có đánh giá với số ( ), ∈ ‖ ‖ ( ) phụ thuộc vào ‖ ‖ ≤ ( ) +‖ ‖ hệ số ( ) , (2.73) Nhận xét 2.7 ( ) Nếu ( ) nghiệm yếu (2.71) ước lượng (2.73) trở nên ∈ đơn giản ‖ ‖ Điều suy từ Định lý 2.6 ( ) ≤ ‖ ‖ ( ) ( ) Khác với Định lý 2.7, giả thiết = dọc theo vết) (theo nghĩa Chứng minh Trước hết nghiên cứu trường hợp đặc biệt, Đặt = Như Do 0, nửa hình cầu: (0,1) ∩ ℝ = ∩ ℝ Khi chọn hàm cắt trơn ≡1 0≤ ≡ ê ≤ 0, , ≡0 ê ℝ \ (0,1), triệt tiêu gần phần cong ( ); suy = , = − Bây cho ℎ > 0, đủ nhỏ, chọn Chúng ta ý − [ , ] = ( , ) với nghiệm yếu (2.1) nên ta có với thỏa mãn , ∈ {1, … , − 1}, lấy ≔− 35 ( (2.74) ) ∈ (2.75) (2.76) ≔− ℎ =− ( ( )[ ( + ℎ ) − ( )]) ( ( − ℎ )[ ( ) − ( − ℎ )] − ℎ ∈ Bây cong = theo nghĩa vết = ∈ , nên ta có ( )[ ( + ℎ ) − ( )]) ( ) ≡ gần phần vào đồng thức (2.75) viết biểu thức nhận Chúng ta dạng = , với ≔ (2.77) (2.78) , ≔ Bây đánh giá số hạng (2.79) hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.7 Sau số tính tốn ta nhận ≥ ≤ ∫ với số với − − | ∫ + | (2.80) +| | , (2.81) thích hợp Lúc kết hợp (2.77), (2.80) (2.81) ≤ + +| | = 1, … , − Do vậy, nhớ lại Nhận xét sau Định lý 1.4 ta suy ∈ ước lượng , ( ) ( = 1, … , − 1), ( ) 36 ≤ ‖ ‖ ( ) +‖ ‖ ( ) (2.82) Bây phải làm tăng đánh giá (2.82) theo chuẩn Để làm điều này, ta nhớ lại nhận xét sau Định lý 2.7 = hầu khắp nơi Từ định nghĩa , ta viết lại đẳng thức dạng không divergence với − , + = , , ( = 1, … , ) Như có −∑ ≔ + =− + , + Bây theo điều kiện tính elliptic đều, ∑ , ∈ , ∈ ℝ Ta lấy (2.83) − ≥ | | với ( ) = (0, … ,0,1), để có kết luận = ( )≥ (2.84) >0 (2.85) ∈ Nhưng đó, từ (2.69), (2.84) (2.85) suy với ≤ ⎛ , ⎝ | + | |⎞ +| ⎠ (2.86) Sử dụng ước lượng bất đẳng thức (2.82), ta khẳng định ( ), với số thích hợp ‖ ‖ ≤ ( ) Bây bỏ qua giả thiết ‖ ‖ ( ) +‖ ‖ nửa hình cầu dạng đặc biệt , ta giả sử (có thể đổi hệ tọa độ cần thiết) với số Chọn Φ , )={ ∈ ( > hàm : ℝ = Φ( ) , , )⁄ , ) Đặt ≔ = ∩{ 0, 37 > ( ,…, ∈ , ( ) ≔ (0, ) ∩ { )} → ℝ Ta đổi biến viết > đủ nhỏ cho nửa hình cầu ∩ ( (2.87) ( ) (2.74) Trong trường hợp tổng quát, ta chọn điểm ∩ ( ∈ (2.88) > 0} nằm > 0} Cuối định nghĩa ( )≔ ( ) Có thể kiểm tra trực tiếp ( ∈ ( ∈ =0 theo nghĩa vết (2.89) ) ∩{ ê ) (2.90) = 0} (2.91) nghiệm yếu phương trình đạo hàm Tiếp theo chứng tỏ riêng ′ với ′ ′ ( )≔ với , ( )≔ và = ′ ( )≔ ∈ Nếu ′ ∈ , ta có [ , =− ′ , ( ) ′ ′ ( ) Φℓ ( ) Φ , = 1, … , (2.93) + ( ) Φ , (2.92) ( ) ′ + , (2.94) ( ) ( , = 1, … , ), (2.95) ( = 1, … , ), (2.96) ( ) ≔ (2.97) ( ′) ′[ , ] kí hiệu dạng song tuyến tính liên kết với tốn tử ′, ]= Lúc ta định nghĩa , ′ ′ ′ + ′ ( ) ≔ ′ Φ( ) Khi từ (2.98) tính 38 ′ ′+ (2.98) [ , ]= , , + ′ + ′ Bây theo (2.98), với , = 1, … , , tìm = ( , ) = , Φ Φℓ , Tương tự, với = 1, … , , có ′ = Thay tính tốn vào (2.99) biến đổi (vì | , = , = [ , ]=( , ) Điều cho ta (2.92) + = ( ′, ′) ( ) = + , ∈ ℝ , ta để ý ( ) = = , = ( ) =∑ ; tức là, = , nên ta có = đẳng thức (2.100) suy với số , > với , ′ Thực vậy, ∈ ( ) Φ Φℓ , , = | = 1) ta nhận Bây kiểm tra toán tử ′ elliptic ′ (2.99) Để ý từ (2.95) ta thấy, hệ số Φ ≥ | | , (2.100) , ( = 1, … , ) Nhưng đó, , | | ≤ | | với ( ) ∈ ≥ | | , ∈ℝ 39 số Bất , Φ (2.101) 10 Theo (2.92) (2.101), ta áp dụng kết từ bước 1-5 chứng minh để khẳng định ′ ∈ ‖ ′‖ Suy ≔ với Do ‖ ‖ ( ′) ≤ ‖ ′‖ ≤ ‖ ‖ ( ) ( ) compact, nên ta phủ ( ′), với ước lượng + ‖ ′‖ +‖ ‖ (2.102) ( ) số hữu hạn tập ,…, Chúng ta kết hợp đánh giá thu được, với đánh giá miền, nhận ( ), với bất đẳng thức (2.73).□ ∈ Định lý 2.11 (Tính quy cao biên) Giả thiết số nguyên không âm, , Giả sử ∈ ( ), , ∈ (2.103) ( ) ∈ (2.104) ( ) nghiệm yếu toán biên = =0 , thuộc lớp Khi phụ thuộc vào ‖ ‖ , ( ) (2.105) (2.106) ( ), ∈ có đánh giá số ( , = 1, … , ) ≤ ‖ ‖ (2.107) ( ) hệ số +‖ ‖ ( ) , (2.108) Nhận xét 2.8 Nếu nghiệm (2.105), ước lượng (2.108) đơn giản hóa thành ‖ ‖ Chứng minh : Xem [7, tr 93-94].□ ( ) ≤ ‖ ‖ Định lý 2.12 (Tính khả vi vơ hạn đến biên) 40 ( ) Giả thiết , ∈ Giả sử ( ), , ∈ ( , = 1, … , ) ( ) ∈ ( ) nghiệm yếu toán biên = =0 Khi thuộc lớp Định lý 1.3 suy ∈ ∈ ( ) với , ( ) ∈ Chứng minh Theo Định lý 2.11, ta có ( ) với số nguyên = 1,2 …□ = 1,2 … Do vậy, từ Những tính tốn chủ yếu dựa việc áp dụng nhiề lần phương pháp « lượng » đạo hàm riêng ngày cao Tích phân phần công cụ giúp khẳng định nghiệm yếu (chỉ phụ thuộc 2.4 Nguyên lý cực đại ( )) trơn Mục dành cho việc phát triển nguyên lý cực đại cho phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai Phương pháp nguyên lý cực đại dựa quan sát rằng, hàm đạt cực đại tập mở điểm ∈ , ( ) = 0, ( ) ≤ 0, bất đẳng thức sau có nghĩa là: ma trận đối xứng dương = thuộc lớp (2.109) xác định không Những suy diễn dựa (2.109) điểm, chúng khác hoàn toàn với phương pháp lượng dựa việc tích phân, đa thiết lập mục 2.1-2.3 Đặc biệt cần địi hỏi nghiệm việc xét , phải thuộc lớp , điểm có nghĩa (Trong lý thuyết tính qui mục 2.3 biết rằng, nghiệm yếu trơn, hệ số,…đủ qui) Chúng ta thấy, thích hợp xét tốn tử elliptic divergence 41 có dạng khơng hệ số , =− + , + , (2.110) = , ( , = 1, … , ) , liên tục thỏa mãn điều kiện tính elliptic Khơng tính tổng qt, ta giả thiết điều kiện đối xứng 2.4.1 Nguyên lý cực đại yếu Trước hết đồng kiện với hàm phải đạt cực đại (hoặc cực tiểu) biên Ta giả sử Định lý 2.13 (Nguyên lý cực đại yếu) Giả thiết ( ) Nếu ∈ ( ) ∩ ( ) ≡ ≤0 max ( ) Nếu , (2.111) , (2.112) = max ≥0 Nhận xét 2.9 ⊂ ℝ mở bị chặn = Một hàm thỏa mãn (2.111) gọi nghiệm Như khẳng định nghiệm đạt giá trị cực đại biên đúng, Tương tự, (2.112) gọi nghiệm nhận giá trị cực tiểu biên Chứng minh Trước hết giả sử có bất đẳng thức ngặt tồn điểm ∈ Bây điểm cực đại 0, ( = 1, … , ) Đặt − = ( − = Vì điểm , , (2.116) ( = ,…., + ( − ), ta có = ) , , (3.117) Do vậy, ≤ 0, ( ) ≤ 0, > =− (2.117) ( , = 1, … , ) = theo (3.116), = , , = , ), ( = 1, … , ) + , (2.118) ≥ Theo (2.115) (2.118), từ suy (2.112) (2.113) khơng thể xảy Trong trường hợp tổng quát, (2.111) ta đặt ( )≔ ( )+ > chọn sau ( ∈ ), > Nhớ lại (như chứng minh Định lý 2.10 rằng, điều kiện tính elliptic suy 1, … , , ∈ ) Vì = ≤ ≤ + đủ lớn Lúc này, theo bước miễn chọn cho Do – → ta nhận max nghiệm max = max , = max Điều chứng minh ( ) nghiệm trên, nên ta có khẳng định ( ) Tiếp theo điều chỉnh nguyên lý cực đại yếu để có nguyên lý cực đại yếu trường hợp hệ số số hạng bậc không: c không âm Nhớ lại max( , 0), = min( , 0).□ Định lý 2.14: (Nguyên lý cực đại yếu với ∈ Giả sử ( ) Nếu ( ) ∩ ( ) ≤ ( ) Cũng vậy, max ≥ , Trong trường hợp đặc biệt, ≤ max ≥ − max (2.119) (2.120) = , max| | ≤ max| | Chứng minh Cho ≥ ) ≥ Nhận xét 2.10 nghiệm tập Toán tử ≔ = − ≔{ ∈ ≤− (2.121) ∕ ( ) > 0} Khi ≤0 khơng có số hạng bậc khơng nên theo Định lý 2.13, max = max = max Điều cho ta (2.119) trường hợp ta có (2.119) ≠ ∅ Trái lại ≤ , Khẳng định ( ) suy cách áp dụng ( ) – , ý (− ) = □ 2.4.2 Nguyên lý cực đại mạnh Trong mục làm mạnh khẳng định cách chứng minh nghiệm dươi miền liên thông, trừ đạt giá trị cực đại điểm hàm Khẳng định nguyên lý cực đại mạnh, 44 phụ thuộc vào phân tích tinh tế đạo hàm theo vectơ pháp tuyến đơn vị điểm cực đại biên Bổ đề 2.1 (Bổ đề Hopf) ( )∩ ∈ Giả sử có điểm ∈ cho ( ( ) Khi ( ) Nếu ( ⊂ ≡ Hơn ≤ , ) > ( ) với ∈ thỏa mãn điều kiện hình cầu Cuối giả thiết hình cầu mở ( ) ∈ với (2.122) ; tức tồn ) > 0, vectơ pháp tuyến đơn vị ngồi ≥ , kết luận tương tự miễn ( Nhận xét 2.11 Tầm quan trọng ( ) bất đẳng thức ngặt: tức Chú ý rằng, điều kiện hình cầu tự động thỏa mãn ( ) ≥ ) ≥ hiển nhiên thuộc lớp Chứng minh: Xem [7, tr99-100].□ Bổ đề Hopf công cụ sở chứng minh tiếp theo: Định lý 2.15 (Nguyên lý cực đại mạnh) Giả sử mở bị chặn ∈ ( ) ∩ ( ) ( ) Nếu đạt cực đại ≡ Ta giả sử ≤ điểm thuộc phần trong, số ( ) Tương tự, đạt cực tiêur liên thông, ≥ điểm thuộc phần trong, số Chứng minh Đặt ≔ max ≔{ ∈ ⁄ ( )= 45 } Khi ≢ , ta xét Chọn điểm lớn với tâm với ∈ ∈ ≔{ ∈ ⁄ ( )< ( , ), gọi hình cầu mà phần nằm Khi tồn điểm thỏa mãn điều kiện hình cầu Rõ ràng đề Hopf, ( ), suy cực đại ( , )< thỏa mãn } ( ; từ Bổ ) > Nhưng điều mâu thuẫn : ∈ , nên ta có ( ∈ , đạt ) = 0.□ Khi hệ số đạo hàm bậc không không âm ( ≥ 0), có nguyên lý cực đại : Định lý 2.16 (Nguyên lý cực đại mạnh với Giả sử ( ) Nếu ∈ ( ) ∩ ( ) đạt cực đại không âm ≥ 0) ≥ Ta giả sử ≤ điểm thuộc phần trong, số ( ) Tương tự, liên thông đạt cực tiểu không dương ≥ điểm thuộc phần trong, số Chứng minh Chứng minh Định lý tương tự chứng minh Định lý 3.15 trên, khác chỗ sử dụng khẳng định ( ) bổ đề Hopf □ 46 ... nghiệm yếu toán liên hợp ∗ = =0 với ∗ + ∗[ ( ) , , ]=( , ) Định lý 2.4 (Định lý tồn nghiệm yếu thứ hai) ( ) Có khẳng định sau ( ) ( ) Với ∈ ( ) ó nghiệm yếu toán giá trị biên = = Tồn nghiệm yếu. .. gian ∗ − = ∗ nghiệm nghiệm (2.32) Tuy nhiên dễ dàng kiểm tra rằng, (2.31) thỏa mãn nghiệm yếu (2.31) (2.32) xảy nghiệm yếu (2.22) Cuối nhớ rằng,(2.30) có nghiệm với (ℎ, ) = (2.33) nghiệm (2.32)... điển Tuy nhiên, thực tế, nghiệm cổ điển lúc tồn Từ người ta cố gắng “tìm” (đề xuất) khái niệm nghiệm yếu hay gọi nghiệm suy rộng 2.2.1 Cơ sở dẫn tới khái niệm nghiệm yếu Trước hết xét tốn biên