Không gian sobolev và nghiệm yếu của bài toán giá trị biên dạng eliptic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ HỒNG ANH KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN DẠNG ELIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – N m 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ HỒNG ANH KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN DẠNG ELIPTIC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN Đà Nẵng – N m 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Trần Nhân Tâm Quyền Các kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 10 năm 2014 Tác giả Đỗ Thị Hồng Anh Mục lục MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài: Mục tiêu nghiên cứu: 1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: 2 Bố cục đề tài: Tổng quan đề tài: CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN BANACH VÀ KHÔNG GIAN HILBERT 1.1.1 Khơng gian tuyến tính 5 1.1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.3 Không gian Banach 1.1.4 Không gian Hilbert 1.1.5 Dạng song tuyến tính Hermitian tích vơ hướng tương đương 10 1.1.6 Tính trực giao Hệ trực chuẩn 11 1.1.7 Chuỗi Fourier hệ trực chuẩn tùy ý 12 1.1.8 Cơ sở trực chuẩn 15 1.2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 17 1.2.1 Toán tử phiếm hàm Định lý Riesz 17 1.2.2 Toán tử liên hợp 20 1.2.3 Toán tử tự liên hợp Toán tử phép chiếu trực giao 22 1.2.4 Tốn tử hồn tồn liên tục Định lý Fredholm 24 CHƯƠNG KHÔNG GIAN SOBOLEV 27 2.1 KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC VÀ HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC 27 2.1.1 Không gian định chuẩn C(Q) C k (Q) 27 2.1.2 Cơng thức tích phân phần Ostrogradsky 28 2.2 KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH 29 2.2.1 Không gian L1 (Q) L2 (Q) 29 2.2.2 Tính trù mật tập C(Q) L1 (Q) L2 (Q) Sự khả ly L1 (Q) L2 (Q) 32 2.3 ĐẠO HÀM SUY RỘNG 33 2.3.1 Định nghĩa đạo hàm suy rộng 33 2.3.2 Sự tồn đạo hàm suy rộng 37 2.3.3 Mối liên hệ đạo hàm suy rộng tỉ số sai phân hữu hạn 38 2.4 KHÔNG GIAN SOBOLEV 39 2.4.1 Không gian Hilbert H k (Q) 39 2.4.2 Một số tính chất khơng gian H k (Q) Thác triển hàm 41 2.4.3 Tính trù mật C ∞ (Q) H k (Q) Không gian ◦ H k (Q) 42 ◦ 2.5 TÍNH CHẤT CỦA HÀM THUỘC H (Q) VÀ H (Q) 43 2.5.1 Vết hàm 43 2.5.2 Cơng thức tích phân phần 48 2.5.3 Tính chất hàm thuộc H (Q) 48 ◦ 2.5.4 Chuẩn tương đương không gian H (Q) H (Q) 49 CHƯƠNG NGHIỆM YẾU TRONG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN DẠNG ELIPTIC 51 3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU TRONG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN 51 3.1.1 Các khái niệm 51 3.1.2 Sự tồn tính nghiệm yếu trường hợp đơn giản 57 3.1.3 Tính giải tốn giá trị biên trường hợp điều kiện biên 59 3.1.4 Bài toán giá trị biên thứ phương trình eliptic tổng quát 62 3.1.5 Nghiệm yếu toán giá trị biên với điều kiện biên không 66 3.2 TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM YẾU 72 3.2.1 Tính trơn nghiệm yếu trường hợp chiều 72 3.2.2 Tính trơn bên nghiệm yếu 75 3.2.3 Tính trơn nghiệm yếu tốn giá trị biên 82 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Rn Không gian thực n chiều Q Tập không rỗng, liên thông, mở bị chặn Rn ∂Q Biên Q |Q| Thể tích Q Q Bao đóng Q C(Q) Tập hàm liên tục Q C(Q) Tập hàm liên tục Q C k (Q) Tập hàm khả vi đến cấp k Q C k (Q) Tập hàm khả vi đến cấp k Q C ∞ (Q) Tập hàm khả vi vô hạn lần Q C ∞ (Q) Tập hàm khả vi vô hạn lần Q C˙ k (Q) Tập hàm thuộc C k (Q) có giá compact C˙ ∞ (Q) Tập hàm khả vi vô hạn lần Q có giá compact Dα f Đạo hàm cấp α hàm f x = (x1 , , xn ) : Điểm không gian n chiều Rn = (ω1 (x), , ωn (x)) ∂ω1 ∂ωn div ω(x) = + ··· + ∂x1 ∂xn ω(x) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài: Bộ mơn phương trình đạo hàm riêng mơn tốn học vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng khơng góp phần xây dựng lý thuyết chung cho ngành Tốn học mà cịn thúc đẩy phát triển nhiều ngành khoa học khác Trong thực tế, việc khảo sát quy trình động tự nhiên xã hội thường dẫn đến việc giải lớp tốn có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên, khơng gian hàm số liên tục với đạo hàm theo nghĩa thông thường việc tìm nghiệm số phương trình đạo hàm riêng lại phức tạp khơng tồn Để tìm nghiệm cổ điển phương trình, trước hết, người ta phải tìm nghiệm yếu phương trình theo nghĩa thiết lập số điều kiện trơn kiện để nghiệm yếu trở thành nghiệm cổ điển phương trình ban đầu Toán học đại xây dựng thành công không gian Sobolev để thay cho không gian hàm khả vi theo nghĩa cổ điển, cho phép tiếp cận với cách giải vấn đề tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng Việc nghiên cứu khơng gian Sobolev đóng vai trị vơ quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Vậy mà nay, tài liệu tiếng Việt nghiên cứu không gian Sobolev cịn q Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn mong muốn làm quen với Toán học đại, tác giả chọn nội dung đề tài nghiên cứu khơng gian Sobolev nghiệm yếu toán giá trị biên phương trình eliptic Mục tiêu nghiên cứu: - Xây dựng khái niệm đạo hàm suy rộng từ hình thành khái niệm không gian Sobolev đồng thời nêu lên tính chất khơng gian - Thiết lập điều kiện tồn nghiệm yếu tốn giá trị biên phương trình eliptic không gian Sobolev số điều kiện làm trơn nghiệm yếu để trở thành nghiệm cổ điển toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Định nghĩa tính chất đạo hàm suy rộng - Định nghĩa tính chất khơng gian Sobolev - Sự tồn tính trơn nghiệm yếu toán giá trị biên phương trình eliptic Phương pháp nghiên cứu: - Phân tích, tổng hợp tài liệu để tìm hiểu vấn đề liên quan đến đề tài - Hệ thống hóa lý thuyết thu thập - Thảo luận, trao đổi Bố cục đề tài: Nội dung luận văn xếp trình bày cách có hệ thống lý thuyết liên quan: - Chương hệ thống hóa số kiến thức giải tích hàm Trong phạm vi luận văn này, tác giả trình bày cách vắn tắt định nghĩa, tính chất có liên quan đến khơng gian Banach, khơng gian Hilbert tốn tử tuyến tính để chuẩn bị cho việc hình thành kiến thức quan trọng chương - Chương giới thiệu không gian hàm liên tục khả vi liên tục, không gian hàm khả tích Chương trình bày khái niệm đạo hàm suy rộng, sở xây dựng định nghĩa tính chất khơng gian Sobolev - Chương đề cập đến nghiệm yếu tốn giá trị biên phương trình eliptic không gian Sobolev đồng thời nêu lên định lý thiết lập tính trơn nghiệm yếu Tổng quan đề tài: Phương trình đạo hàm riêng đời vào khoảng kỉ thứ XVII trước nhu cầu học nhiều ngành khoa học khác Nó ngày có vai trị quan trọng ứng dụng rộng rãi khoa học công nghệ Vào khoảng đầu kỉ XX, người ta nhận thấy không gian hàm khả vi theo nghĩa cổ điển khơng cịn thích hợp cho việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thực tế, hàm đạo hàm chúng khơng liên tục Việc địi hỏi người ta phải mở rộng lớp hàm mà khái niệm đạo hàm chúng hiểu theo nghĩa yếu Chính điều thúc đẩy đời không gian Sobolev, không gian giới thiệu nhà Toán học Sobolev S.L vào kỉ XX khơng gian nhanh chóng trở thành công cụ đắc lực việc giải phương trình đạo hàm riêng Trước phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, tương lai, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói chung khơng gian Sobolev nói riêng ngày phát triển Mặc dù giới có nhiều nhà Tốn học nghiên cứu không gian Việt Nam, tài liệu tham khảo không nhiều tập trung sâu vào phân tích lý thuyết chủ yếu, việc áp dụng vào giải số phương trình đạo hàm riêng đề cập Luận văn dựa cơng trình nghiên cứu tiếng Anh trình bày cách hệ thống lý thuyết không gian Sobolev ứng dụng vào việc tìm nghiệm yếu tốn giá trị biên phương trình eliptic Dẫu giới nhiều nhà Toán học nghiên cứu vấn đề tìm nghiệm yếu tốn giá trị biên phương trình eliptic tổng quát song vấn đề làm trơn nghiệm yếu toàn miền Q cịn tốn khó Việc nghiên cứu không gian Sobolev áp dụng vào việc tìm nghiệm yếu tốn giá trị biên phương trình eliptic luận văn cần thiết cung cấp thêm kiến thức nhìn tổng quan phương trình đạo hàm riêng Tốn học đại 75 Định lý 3.2.1 Nếu hàm f (x) ∈ C([α, β]) nghiệm yếu tốn giá trị biên thứ nhất, hai ba phương trình (3.46) thuộc vào C ([α, β]) chúng nghiệm cổ điển toán tương ứng Chứng minh: Nghiệm yếu u(x) toán giá trị biên thứ nhất, hai ba thuộc vào H (α, β) thỏa đồng thức (3.49) với ◦ v ∈ H (α, β) Do đó, theo bổ đề (3.2.1) u(x) ∈ C ([α, β]) u(x) nghiệm phương trình (3.46) (α, β) Do đó, ta f ∈ C([α, β]) nghiệm yếu tốn giá trị biên có đạo hàm liên tục đến cấp hai [α, β] thỏa phương trình (3.46) Hơn nữa, cịn chứng tỏ hàm u(x) thỏa mãn điều kiện biên (3.47) trường hợp toán giá trị biên thứ Trong trường hợp toán giá trị biên thứ ba (thứ hai), ta có: β α β ku′ v ′ dx = − ′ α (ku′ ) vdx + k(β)u′ (β)v(β) − k(α)u′ (α)v(α) với v(x) ∈ H (α, β) Kết hợp với (3.50) cho ta: k(β)(u′ (β) + σ1 u(β) − ϕ1 )v(β) + k(α)(−u′ (α) + σ0 u(α) − ϕ0 )v(α) = với v(β) v(α) (nhắc lại với v(α) v(β) tồn hàm v(x) H (α, β) cho v(β) v(α) giá trị x = α v = β ) Do đó, hàm u(x) thỏa điều kiện biên (3.48) Vì vậy, ta chứng minh định lý (3.2.1) 3.2.2 Tính trơn bên nghiệm yếu Ở phần trước, xem xét câu hỏi tính trơn nghiệm yếu tốn giá trị biên n = Khi n 2, việc làm trơn nghiệm yếu toán giá trị biên trở nên vơ khó khăn phức tạp Để đơn giản, xét trường hợp riêng phương trình (3.46) phần trước khảo sát tính trơn nghiệm yếu tốn giá trị biên phương trình Poisson (ứng với k ≡ 1, a ≡ 0): ∆u = f (3.51) 76 Nhắc lại nghiệm yếu toán giá trị biên thứ phương trình (3.51) hàm u(x) H (Q) thỏa mãn đồng thức tích phân Q ∇u ∇v dx = − (3.52) f v dx Q ◦ với v ∈ H (Q) điều kiện biên u |∂Q = ϕ (để ý hàm f ∈ L2 (Q) ϕ vết hàm Φ thuộc H (Q), tức tồn hàm Φ ∈ H (Q) cho Φ |∂Q = ϕ) Nghiệm yếu toán giá trị biên thứ ba (hoặc thứ hai) phương trình (3.51) hàm u(x) ∈ H (Q) thỏa mãn đồng thức tích phân Q ∇u ∇v dx + ∂Q σuvdS = − f vdx + Q ϕvdS (3.53) ∂Q với v ∈ H (Q) (để ý hàm f ∈ L2 (Q) ϕ ∈ L2 (∂Q) ) Từ kết phần trước, ta suy nghiệm yếu u(x) toán giá trị biên thứ tồn thỏa bất đẳng thức u H (Q) C( f L2 (Q) + inf Φ∈H (Q) Φ|∂Q =ϕ Φ H (Q) ) với số C không phụ thuộc vào f hay ϕ Nghiệm yếu u(x) toán giá trị biên thứ ba với σ tồn thỏa bất đẳng thức u H (Q) C( f L2 (Q) + ϕ L2 (∂Q) ) (3.54) 0, σ ≡ (3.55) với số C không phụ thuộc vào f hay ϕ Trong trường hợp toán giá trị biên thứ hai (σ ≡ 0), ta giả sử thêm điều kiện: − ϕdS = để tốn giải Khi đó, f dx + Q ∂Q toán giá trị biên thứ hai có nghiệm yếu u(x) lớp hàm trực giao với hàm L2 (Q) với tích vơ hướng 77 nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức (3.55) Vì tất nghiệm yếu khác sai khác với u(x) số nên ta cần xét hàm u(x) việc khảo sát tính trơn nghiệm yếu tốn giá trị biên thứ hai Bổ đề 3.2.2 Giả sử f ∈ L2 (Q) ∩ H k (Q), k = 0, 1, 2, hàm u ∈ ◦ H (Q) thỏa mãn đồng thức tích phân (3.52) với v ∈ H (Q) Khi đó, u ∈ H k+2 (Q) với cặp miền Q′ Q′′ Q thỏa Q′ ⋐ Q′′ ⋐ Q, ta có bất đẳng thức sau: u C( f H k+2 (Q′ ) H k (Q′′ ) + u H (Q′′ ) ) (3.56) với C = C(k, Q′ , Q′′ ) số dương Chứng minh: Cho Q′ , Q′′ hai miền tùy ý Q thỏa Q′ ⋐ Q′′ ⋐ Q Gọi δ > khoảng cách hai biên ∂Q′ ∂Q′′ Xét hàm ζ(x) ∈ C ∞ (Rn ) thỏa: ζ(x) ≡ Q′′δ (và Q′ ), ζ(x) ≡ bên Q′′2δ/3 Đối với hàm v(x) đồng thức (3.52), ta lấy hàm ζ(x)v0 (x) v0 (x) hàm H (Q′′ ) mở rộng bên ◦ Q′′ (hiển nhiên, ζ(x)v0 (x) ∈ H (Q)) Vì ∇u∇v = ∇u∇(ζv0 ) = ∇u(∇ζ.v0 + ζ∇v0 ) = ∇u∇ζ.v0 + ∇(ζu)∇v0 − u∇ζ∇v0 nên đồng thức (3.52) trở thành: Q′′ ∇U ∇v0 dx = u∇ζ∇v0 dx F v0 dx + Q′′ (3.57) Q′′ hàm U (x) = ζ(x)u(x) (3.58) thuộc H (Q′′ ), triệt tiêu bên Q′′2δ/3 trùng với u(x) Q′′δ hàm F (x) = −f ζ − ∇u∇ζ (3.59) 78 thuộc L2 (Q′′ ) triệt tiêu bên Q′′2δ/3 Chú ý (3.57), thật ta lấy tích phân Q′′2δ/3 Do đó, đồng thức khơng với v0 ∈ H (Q′′ ) mà với v0 ∈ H (Q′′δ/2 ) (mở rộng tùy ý bên Q′′δ/2 phần tử L2 (Q′′ )) Lấy hàm v1 (x) thuộc H (Q′′ ) mở rộng bên Q′′ Với i = 1, 2, , n h thỏa < |h| < δ/2 tỉ số sai phân hữu hạn i v1 (x) = δ−h v1 (x1 , , xi−1 , xi − h, xi+1 , , xn ) − v1 (x) −h i thuộc H (Q′′δ/2 ) ∩ L2 (Q′′ ).Trong (3.57) đặt v0 = δ−h v1 (x) với i = 1, 2, , n h thỏa < |h| < δ/2 Công thức tích phân phần (cơng thức (2.17)) trở thành: Q′′ ∇δhi U ∇v1 dx = − Q′ ′2δ/3 i v1 dx + F δ−h Q′′ δhi (u∇ζ) ∇v1 dx (3.60) Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức (3.56) phương pháp quy nạp Trước tiên, ta chứng minh (3.56) k = Từ (3.59) suy ra: F L2 (Q′′ ) C ′ (Q′ , Q′′ ) ( f L2 (Q′′ ) + u H (Q′′ ) ) Do từ (3.60), áp dụng định lý (2.3.3), ta có bất đẳng thức Q′′ ∇δhi U ∇v1 dx C (Q′ , Q′′ ) ( f F L2 (Q′′ ) L2 (Q′′ ) +C u + u H (Q′′ ) H (Q′′ ) ) |∇v1 | |∇v1 | L2 (Q′′ ) L2 (Q′′ ) Đặt v1 = δhi U (giả sử U mở rộng bên ngồi Q), ta có: |∇δhi U | L2 (Q′′ ) C (Q′ , Q′′ ) ( f với i = 1, 2, , n, < |h| < δ/2 L2 (Q′′ ) + u H (Q′′ ) ) 79 Theo định lý (2.3.3), bất đẳng thức cuối suy U ∈ H (Q′′ ) U H (Q′′ ) C (Q′ , Q′′ ) ( f L2 (Q′′ ) + u H (Q′′ ) ) Vì U = u Q′ nên u ∈ H (Q′ ) bất đẳng thức (3.56) với k = Do u ∈ H (Q) Q′ miền Q Bây cho f ∈ H m+1 (Q) Giả sử u có tính chất sau: u ∈ H m+2 (Q) với cặp miền Q1 Q2 Q thỏa Q1 ⋐ Q2 ⋐ Q, u thỏa bất đẳng thức (3.56) với k = m: u H m+2 (Q1 ) Với α bất kỳ, |α| thức sau: Q′′ C (m, Q1 , Q2 ) ( f H m (Q2 ) + u H (Q2 ) ) (3.61) m, i = 1, 2, , n, < |h| < δ/2 ta có đồng ∇δhi (Dα U )∇vm+1 dx = − Q′ ′2δ/3 i vm+1 dx Dα F δ−h δhi (Dα (u∇ζ))∇vm+1 dx + (3.62) Q′′ với vm+1 hàm H (Q′′ ) Chú ý tính chất thiết lập m = Theo giả thiết trên, (3.58) (3.59) suy Dα U ∈ H (Q′′ ) Dα F ∈ H (Q′′ ) Do đó, theo định lý (2.3.3), (3.62) ta qua giới hạn h → Vì vậy, với α bất kỳ, |α| = m, i = 1, 2, , n, ta có đẳng thức Q′′ ∇Dα Uxi ∇vm+1 dx = − Dα F (vm+1 )xi dx + Q′ ′2δ/3 Q′′ Dα (u∇ζ)xi ∇vm+1 dx mà từ ta suy ra: Q′′ ∇Dα Uxi ∇vm+1 dx = với vm+1 Dα Fxi vm+1 dx + Q′′ Q′′ Dα (u∇ζ)xi ∇vm+1 dx (3.63) ∈ H (Q′′ ) (hàm Dα F triệt tiêu bên Q′′2δ/3 ) Đẳng thức trùng với (3.57) đẳng thức ta thay Dα Uxi U, Dα Fxi 80 F, Dα (u∇ζ)xi u∇ζ vm+1 v0 Hơn nữa, Dα Uxi ∈ H (Q′′ ) triệt tiêu bên Q′′2δ/3 trùng với Dα uxi Q′′δ , Dα Fxi ∈ L2 (Q′′ ) triệt tiêu bên Q′′2δ/3 Vì tích phân (3.63) j lấy tồn Q′′2δ/3 nên (3.63), đặt vm+1 (x) = δ−h vm+2 (x), j = 1, 2, , n; < |h| < δ/2 với vm+2 hàm tùy ý H (Q′′ ) Điều dẫn đến: Q′′ =− Q′′ có: ∇δhj (Dα Uxi )∇vm+2 dx j vm+2 dx + Dα Fxi δ−h δhj (Dα (u∇ζ)xi )∇vm+2 dx (3.64) Q′′ Áp dụng bất đẳng thức (3.61) với Q1 = Q′′2δ/3 , Q2 = Q′′ , từ (3.59) ta F C1 ( f H m+1 (Q′′ ) C2 ( f H m+1 (Q′′ ) H m+1 (Q′′ ) + u + u H m+2 (Q′ ′2δ/3 ) ) H (Q′′ ) ) Trong (3.64), đặt vm+2 = δhj (Dα Uxi ) lại tiếp tục áp dụng định lý (2.3.3) ta có u ∈ H m+3 (Q) bất đẳng thức (3.56) u(x), k = m + Từ bổ đề (3.2.2), ta có hệ sau: Hệ 3.2.1 Giả sử f ∈ L2 (Q) hàm u ∈ H (Q) thỏa đồng thức ◦ tích phân (3.52) với v ∈ H (Q) Khi đó, hàm u(x) thỏa phương trình (3.51) Q Ta tổng đạo hàm suy rộng cấp hai ux1 x1 + + uxn xn f Q Giống v(x) (3.52), ta lấy hàm tùy ý thuộc ◦ H (Q′ ), Q′ ⋐ Q, mở rộng bên ngồi Q′ cách gán cho giá trị Vì u ∈ H (Q′ ) nên từ công thức Ostrogradsky suy (∆u − f ) v dx = suy ∆u − f = Q Q Q′ ′ Nghiệm yếu u(x) toán giá trị biên thứ nhất, hai ba phương trình (3.51) thỏa mãn giả thiết bổ đề (3.2.2) bất 81 đẳng thức (3.54) (3.55) (giả sử nghiệm u(x) toán giá trị biên thứ hai trực giao với hàm L2 (Q)) Do đó, từ bổ đề (3.2.2) định lý (2.4.3), ta có kết sau: Định lý 3.2.2 Nếu f ∈ L2 (Q) ∩ H k (Q), k nghiệm yếu u(x) toán giá trị biên thứ nhất, hai ba phương trình (3.51) thuộc H k+2 (Q) thỏa phương trình (3.51) Q Với miền Q′ Q′′ Q, Q′ ⋐ Q′′ ⋐ Q ln tồn số C dương phụ thuộc vào Q′ , Q′′ k thỏa: u H k+2 (Q′ ) C( f H k (Q′′ ) + f L2 (Q) + inf Φ∈H (Q) Φ|∂Q =ϕ Φ H (Q) ) toán giá trị biên thứ u H k+2 (Q′ ) C f H k (Q′′ ) + f L2 (Q) + ϕ L2 (∂Q) toán giá trị biên thứ hai thứ ba (trong trường hợp toán giá trị biên thứ hai ta giả sử u dx = 0) Q n Nếu k [ n2 ] − u(x) ∈ C k+1−[ ] (Q) Nói riêng, f ∈ L2 (Q) ∩ C ∞ (Q) u(x) ∈ C ∞ (Q) Định lý (3.2.2) suy tính trơn bên Q nghiệm yếu toán giá trị biên phương trình (3.51) khơng phụ thuộc vào loại điều kiện biên, khơng phụ thuộc vào tính trơn biên hay hàm biên Tính trơn bên phụ thuộc vào tính trơn f (x) vế phải phương trình Ta có nhận xét sau: Nhận xét 3.2.1 Trong toán giá trị biên phương trình (3.51), tính trơn nghiệm yếu cao tính trơn hàm f số mà số cấp phương trình Nhận xét phù hợp với kết khảo sát trường hợp chiều: vế phải phương trình (3.51) liên tục nghiệm yếu có đạo hàm liên tục đến cấp hai 82 3.2.3 Tính trơn nghiệm yếu toán giá trị biên Trong phần trước, ta thiết lập tính trơn bên nghiệm yếu, nghĩa ta thiết lập nghiệm thuộc vào không gian H k (Q) C l (Q) với k, l Ở đây, ta khảo sát tính trơn nghiệm yếu toán giá trị biên tồn miền Q Một cách tự nhiên, tính trơn nghiệm tính đến biên, phụ thuộc vào tính trơn biên hàm biên Giả sử biên ∂Q ∈ C k+2 với k Trước tiên, ta xét trường hợp điều kiện biên Để đơn giản ta xét nghiệm toán giá trị biên thứ hai, việc khảo sát tính trơn nghiệm yếu toán giá trị biên thứ ba làm tương tự Nghiệm yếu toán giá trị biên thứ (hoặc thứ hai) với điều kiện biên (hàm ϕ, vế phải điều kiện biên, ◦ khơng) phương trình (3.51) hàm thuộc không gian H (Q) (hoặc H (Q)) thỏa mãn đồng thức tích phân (3.52) với v ◦ thuộc H (Q) (hoặc H (Q)) với tích vơ hướng (trong trường hợp toán giá trị biên thứ hai ta giả sử hàm f u trực giao với hàm L2 (Q)) Ta có định lý sau: Định lý 3.2.3 1- Nếu f ∈ H k (Q) ∂Q ∈ C k+2 với k nghiệm yếu u(x) toán giá trị biên thứ thứ hai với điều kiện biên phương trình Poisson (3.51) thuộc H k+2 (Q) thỏa bất đẳng thức: u H k+2 (Q) C f H k (Q) (3.65) với C số dương không phụ thuộc vào f (trong trường hợp toán giá trị biên thứ hai ta giả sử udx = 0) Q 2- Cho hàm u(x) nghiệm yếu toán giá trị biên thứ ba phương trình (3.51) với điều kiện biên Nếu f ∈ H k (Q), ∂Q ∈ 83 C k+2 σ(x) ∈ C k+1 (∂Q)(σ bất đẳng thức (3.65) 0) với k u(x) ∈ H k+2 (Q) thỏa Bây giờ, ta xem nghiệm yếu xét toán giá trị biên phương trình (3.51) thỏa điều kiện biên theo nghĩa Mệnh đề 3.2.1 Nếu u nghiệm yếu toán giá trị biên thứ u|∂Q = Chứng minh: Thật vậy, trường hợp toán giá trị biên thứ nhất, ◦ từ định nghĩa u ∈ H (Q) ta suy nghiệm có vết ∂Q mà 0: u |∂Q = Mệnh đề 3.2.2 Nếu u nghiệm yếu toán giá trị biên thứ hai nghiệm thỏa điều kiện biên theo nghĩa sau: ∇u |∂Q n = với n pháp vectơ đơn vị ∂Q hướng ∇u |∂Q vectơ mà thành phần uxi |∂Q , i = 1, , n vết ∂Q hàm uxi thuộc H (Q) Chứng minh: Thật vậy, u ∈ H (Q) nên áp dụng công thức Ostro- gradsky (3.52) cho ta đồng thức: (∇u.n) v dS = Q ∂Q (∆u − f ) v dx với v ∈ H (Q) (ở ∇u.n = ∇u |∂Q n) Vì ∆u = f Q nên ta có: (∇u.n) v dS = ∂Q suy đồng thức cần tìm theo định lý (2.4.2), tập vết v |∂Q hàm H (Q) trù mật khắp nơi L2 (∂Q) ∂u Để Trong phần tiếp theo, biểu thức ∇u |∂Q n kí hiệu ∂n ∂Q ∂u phần tử L2 (∂Q) ý u ∈ C (Q) ∩ H (Q) hàm ∂n ∂Q ∂u ∂u trùng với đạo hàm thông thường ∂n u biên ∂Q Kí hiệu ∂n ∂Q hiểu có hàm H (Q) mà vết ∂Q trùng với ∂u ∂n ∂Q 84 Do vậy, ∂Q ∈ C nghiệm yếu tốn giá trị biên thứ hai thỏa mãn điều kiện biên: ∂u = ∂n ∂Q Trong trường hợp toán giá trị biên thứ ba nghiệm yếu thỏa mãn ∂u + σu ∂Q = điều kiện biên ∂n Từ định lý (3.2.2), (3.2.3) định lý (2.4.3), (2.4.4), nói riêng, ta có kết sau Định lý 3.2.4 Cho f ∈ H [ ]+1 (Q) Nếu ∂Q ∈ C [ ]+1 nghiệm yếu n n tốn giá trị biên thứ phương trình (3.51) với điều kiện biên n nghiệm cổ điển toán Khi ∂Q ∈ C [ ]+2 nghiệm yếu tốn giá trị biên thứ hai phương trình (3.51) với điều kiện biên nghiệm cổ điển toán Bây giờ, ta xét câu hỏi tính trơn nghiệm yếu tồn miền điều kiện biên không Và ta xét toán giá trị biên thứ Mệnh đề 3.2.3 Cho f ∈ H k (Q), ∂Q ∈ C k+2 , với k 0, ϕ vết ∂Q hàm Φ ∈ H k+2 (Q) Khi đó, u nghiệm yếu toán giá trị biên thứ u ∈ H k+2 (Q) Chứng minh: Giả sử u(x) nghiệm yếu toán giá trị biên ◦ thứ nhất, tức thuộc H (Q) với v ∈ H (Q) thỏa đồng thức tích phân (3.52) điều kiện biên u |∂Q = ϕ Giả sử với k 0, f ∈ H k (Q), ∂Q ∈ C k+2 hàm biên ϕ vết ∂Q hàm Φ H k+2 (Q) (để ϕ vết ∂Q hàm H k+2 (Q) theo định lý (2.4.2) phải thuộc vào C k+2 (∂Q)) Ta u ∈ H k+2 (Q) ◦ ◦ Xét hàm z = u − Φ Rõ ràng z ∈ H (Q) với v ∈ H (Q) thỏa đồng thức tích phân Q ∇z∇v dx = − Q ∇Φ∇v dx − f v dx Q 85 thỏa Q ∇z∇v dx = − f1 v dx Q theo cơng thức Ostrogradsky, f1 = f − ∆Φ Vì hàm f1 ∈ H k (Q) nên z ∈ H k+2 (Q) theo định lý (3.2.3) Do đó, nghiệm yếu u = z + Φ ∈ H k+2 (Q) Vậy, khẳng định chứng minh Như vậy, chương này, giải vấn đề tìm nghiệm tốn giá trị biên phương trình eliptic cấp hai đồng thời khảo sát tính trơn nghiệm yếu tốn giá trị biên Đối với trường hợp chiều n = 1, việc khảo sát tính trơn nghiệm yếu toán giá trị biên tương đối đơn giản Tuy nhiên n việc khảo sát tính trơn nghiệm yếu lại trở nên khó khăn phức tạp Do đó, phần sau luận văn trình bày tính trơn nghiệm yếu trường hợp cụ thể phương trình eliptic cấp hai k ≡ a ≡ Qua đó, tác giả mối quan hệ tính trơn bên nghiệm yếu với tính trơn biên hay hàm biên mối quan hệ tính trơn bên nghiệm yếu với tính trơn hàm f (x) vế phải phương trình 86 KẾT LUẬN Việc mở rộng lớp hàm mà khái niệm đạo hàm chúng hiểu theo nghĩa mở rộng có ý nghĩa quan trọng việc giải loạt toán kỹ thuật, vật lý tượng biến đổi không gian thời gian Chính đời khái niệm đạo hàm suy rộng tạo tiền đề quan trọng cho hình thành khơng gian Sobolev, khơng gian mà tính liên tục hàm đạo hàm thay tính khả tích bình phương mơđun chúng khả tích Nhờ vậy, việc tìm nghiệm nhiều phương trình đạo hàm riêng trở nên dễ dàng Luận văn đáp ứng việc trình bày kiến thức nhất, quan trọng đề phần đầu luận văn này: • Trình bày định nghĩa tính chất đạo hàm suy rộng Trên sở đó, luận văn xây dựng lý thuyết không gian Sobolev H k (Q), không gian gồm hàm thuộc L2 (Q) có tất đạo hàm suy rộng đến cấp k • Xây dựng khái niệm nghiệm yếu tốn giá trị biên phương trình eliptic cấp hai đồng thời thiết lập điều kiện để nghiệm yếu tốn giá trị biên tồn Bên cạnh việc chứng minh tồn tính nghiệm toán giá trị biên cách sử dụng định lý Riesz, tác giả đưa cách nhìn khác để giải toán cách tổng quát cách viết lại phương trình khảo sát dạng phương trình tốn tử áp dụng lý thuyết Fredholm để giải phương trình • Thiết lập số điều kiện để làm trơn nghiệm yếu Tuy nhiên, việc khảo sát tính trơn nghiệm yếu toán giá trị biên tổng quát trường hợp n khó phức tạp Do đó, luận văn trình bày việc khảo sát tính trơn nghiệm yếu 87 tốn giá trị biên trường hợp riêng phương trình eliptic cấp hai phương trình Poisson ứng với k ≡ 1, a ≡ Từ đến kết luận: toán giá trị biên phương trình Poisson, tính trơn bên miền Q nghiệm yếu cao tính trơn hàm f (x) vế phải số mà số cấp phương trình Vì kiến thức có hạn thời gian hạn chế nên trình viết luận văn chắn khơng tránh khỏi sai sót định Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] Agmon, S., Douglis, A., Niremberg, L (1959),Estimates near boundary for solutions of eliptic differential equations satisfying general boundary conditions, Comm, Pure Applied Math [2] Browder, F.E (1959), Estimates and existence theorems for eliptic boundary value problems, Sci,USA [3] Evans, L C (1998), Partial Differential Equations, Providence, RI:American Mathematical Society Press [4] Mikhailov, V P (1978), Partial Differential Equations, Mir Publishers Moscow [5] Troianiello, G M (1987), eliptic Differential Equations and Obstacle Problems, Plenum, New York QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN ... Chuẩn tương đương không gian H (Q) H (Q) 49 CHƯƠNG NGHIỆM YẾU TRONG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN DẠNG ELIPTIC 51 3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU TRONG BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ THỊ HỒNG ANH KHÔNG GIAN SOBOLEV VÀ NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN DẠNG ELIPTIC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40... rõ không gian Sobolev nghiệm yếu toán giá trị biên phương trình eliptic, tìm hiểu phần nội dung chương 5 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN BANACH VÀ KHƠNG GIAN HILBERT 1.1.1 Khơng gian