Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)

Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN TẤN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHỨA TỐN TỬ LAPLACE PHÂN THỨ Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THÌN THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Nghiệm yếu toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ" cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Thìn Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi sử dụng số kết quả, nhận xét tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Nguyễn Văn Tấn Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn i Lời cảm ơn Để hồn thành đề tài luận văn kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Ngun tạo điều kiện cho tơi có mơi trường học tập tốt suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Nguyễn Văn Thìn giúp đỡ tơi suốt trình nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành đề tài luận văn tốt nghiệp Đồng thời, tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy Khoa Tốn, bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập hoàn thiện luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Nguyễn Văn Tấn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Lời mở đầu 1 Không gian Sobolev thứ 1.1 Biến đổi Fourier không gian hàm tăng chậm 1.2 Không gian Sobolev thứ 1.2.1 Tính chất phép nhúng 1.2.2 Không gian Sobolev H s (Ω) 10 1.3 Toán tử Laplace phân thứ 10 1.3.1 Hằng số C(n, s): Một vài tính chất 13 1.3.2 Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier 17 Nghiệm yếu toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ 2.1 20 Nghiệm Mountain pass cho toán biên Dirichlet chứa toán Laplace phân thứ 2.2 20 Sự tồn nhiều nghiệm cho toán Laplace phân thứ với độ tăng tới hạn 42 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 iii Lời mở đầu Trong thời gian gần đây, nhà toán học dành quan tâm vào nghiên cứu toán tử khơng địa phương loại elliptic (bao gồm tốn tử Laplacian phân thứ) nghiên cứu toán học túy toán ứng dụng giới thực Các lớp toán tử phát sinh tự nhiên nhiều bối cảnh khác như: Tối ưu hóa, tốn tài chính, mặt cực tiểu, định luận bảo tồn, học lượng tử, khoa học vật liệu, sóng nước, phản ứng hóa học chất lỏng, động lực học dân số, động lực học chất lỏng địa vật lý Toán tử Laplacian phân thứ (fractional Laplacian) cung cấp mơ hình đơn giản để mơ tả q trình Lévy lý thuyết xác suất Tốn tử Laplace phân thứ dạng mở rộng toán tử Laplace, định nghĩa thơng qua tích phân kỳ dị sau: Với s ∈ (0, 1) u ∈ L2 (R)n , n > 2s hàm tốn tử Laplace phân thứ (−∆)s u định nghĩa (−∆)s u(x) = C(n, s) Rn \B(x,ε) u(x) − u(y) dy, |x − y|n+2s − cos ζ1 dζ, ζ = (ζ1 , ζ ), ζ ∈ Rn−1 n+2s |ζ| C(n, s) = 1/ Rn Khi u hàm trơn vơ hạn với giá compact, ta có lim(∆)s u = −∆u Hơn s→1 nữa, ta có −(−∆)s u(x) = C(n, s) lim ε→0 Rn \B(x,ε) u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) dy, x ∈ Rn n+2s |y| Ngồi định nghĩa trên, tốn tử Laplace phân thứ (−∆)s định nghĩa thơng qua phép biến đổi Fourier [6], s-mở rộng điều hòa giới thiệu Caffarelli-Silvestre [3] Như khái niệm toán tử Laplace phân thứ khái niệm toán học giàu cách tiếp cận Do đó, tốn nghiên cứu toán tử Laplace phân thứ nhận quan tâm lớn nhà toán học giới thời gian gần Mục đích luận văn nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên Dirichlet cho toán tử Laplace phân thứ có dạng    (−∆)s u = f (x, u) Ω   u = Rn \Ω, Ω miền bị chặn với biên Lipschitz Hàm phi tuyến có độ tăng ∗ 2n đại lượng tới hạn Sobolev chứa số hạng |u|2s −2 u 2∗s = n − 2s số mũ tới hạn Sobolev Trong trường hợp tốn chứa số mũ tới hạn, ∗ khó khăn gặp phải phép nhúng X0 → L2s (Ω) liên tục, không compact Chương Không gian Sobolev thứ 1.1 Biến đổi Fourier không gian hàm tăng chậm Xét không gian Schwartz S hàm C ∞ (Rn ) tăng chậm có tơpơ xác định {pj }j∈N : |Dα ϕ(x)|, pj (ϕ) := sup (1 + |x|)j x∈Rn |α|≤j ϕ ∈ S(Rn ) Nghĩa là, S chứa hàm ϕ thỏa mãn sup xα Dβ ϕ(x) < +∞, với α, β ∈ Nn0 x∈Rn Tôpô lồi địa phương tự nhiên S có tính chất: dãy {ϕ}i∈N hội tụ đến S lim xα Dβ ϕj (x) = với α, β ∈ Nn0 j→+∞ Ta định nghĩa Fϕ(x) := (2π)n/2 e−iξ·x ϕ(ξ)dξ, Rn biến đổi Fourier hàm ϕ ∈ S biến đổi Fourier ngược xác định F−1 ϕ(x) := (2π)n/2 eix·ξ· ϕ(ξ)dξ, Rn (1.1) hai ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(Rn ) vào Hơn nữa, F−1 Fϕ = FF−1 ϕ = ϕ, phép đẳng cấu phép đồng phôi S(Rn ) lên S(Rn ) Đặt S tôpô đối ngẫu S Nếu T ∈ S , FT, ϕ := T, Fϕ , ∀ϕ ∈ S, , tích đối ngẫu thơng thường S S Ta có u ∈ L2 (Rn ) Fu ∈ L2 (Rn ) (1.2) u L2 (Rn ) = Fu L2 (Rn ) , ∀u ∈ L2 (Rn ) (1.3) Công thức (1.3) gọi công thức Paranchval-Plancherel 1.2 Không gian Sobolev thứ Giả sử Ω tập không trơn, mở không gian Euclid Rn p ∈ [1, +∞) Cho s > định nghĩa không gian Sobolev thứ W s,p (Ω) sau Nếu s ≥ số nguyên dương, W s,p (Ω) không gian Sobolev cổ điển với chuẩn u W s,p (Ω) Dα u := Lp (Ω) , ∀u ∈ W s,p (Ω), 0≤|α|≤s sau ta hiểu Lp (Ω) chuẩn thông thường Lp (Ω), Dα α-đạo hàm riêng Phần tập trung vào không gian Sobolev thứ với s∈ / N Nếu s ∈ (0, 1) cố định, không gian Sobolev W s,p (Ω) định nghĩa: W s,p (Ω) := u ∈ Lp (Ω) : |u(x) − u(y)| n/p+s |x − y| ∈ Lp (Ω × Ω) Nó trang bị chuẩn u W s,p (Ω) := |u(x) − u(y)|p |u(x)| dx + n+sp dxdy Ω Ω×Ω |x − y| p 1/p , (1.4) |u(x) − u(y)|p n+sp dxdy Ω×Ω |x − y| [u]W s,p (Ω) := 1/p (1.5) nửa chuẩn Gagliardo u Nếu s > s ∈ / N, ta có s = m + σ , m ∈ N σ ∈ (0, 1) Chúng ta có định nghĩa W s,p (Ω) sau: W s,p (Ω) := {u ∈ W m,p (Ω) : Dα u ∈ W σ,p (Ω) với α cho |α| = m} Và trang bị chuẩn  u W s,p (Ω) :=  u 1/p p W m,p (Ω) p  W σ,p (Ω) Dα u + , ∀u ∈ W s,p (Ω) |α|=m Do đó, khơng gian W s,p (Ω) xác định không gian Banach với s > C0∞ (Rn ) W s,p (Rn ) = W s,p (Rn ); nghĩa là, không gian C0∞ (Rn ) trù mật W s,p (Rn ) Nếu Ω ⊂ Rn khơng gian C0∞ (Ω) không trù mật W s,p (Ω) Do đó, W0s,p (Ω) bao đóng C0∞ (Ω) chuẩn W s,p (Ω) ; tức W0s,p (Ω) := C0∞ (Ω) W s,p (Ω) ; Ta xây dựng W s,p (Ω) s < Thật vậy, với s < p ∈ (0, +∞), ta định nghĩa W s,p (Ω) := (W0−s,q (Ω)) ; nghĩa là, W s,p (Ω) không gian đối ngẫu W0−s,q (Ω), 1/p + 1/q = 1.2.1 Tính chất phép nhúng Một số kết phép nhúng phát biểu sau: Mệnh đề 1.2.1 Giả sử p ∈ [1, +∞) tập mở Ω Rn Khi đó, khẳng định sau đúng: (a) Nếu < s ≤ s < 1, phép nhúng W s ,p (Ω) → W s,p (Ω) liên tục Do đó, tồn số C1 (n, s, p) ≥ cho u W s,p (Ω) ≤ C1 (n, s, p) u W s ,p (Ω) , ∀u ∈ W s ,p (Ω) (b) Nếu < s < Ω lớp C 0,1 biên ∂Ω bị chặn, phép nhúng W 1,p (Ω) → W s,p (Ω) liên tục Do đó, tồn số C2 (n, s, p) ≥ cho u W s,p (Ω) ≤ C2 (n, s, p) u W 1,p (Ω) , ∀u ∈ W 1,p (Ω) (c) Nếu s ≥ s > Ω lớp C 0,1 , phép nhúng W s ,p (Ω) → W s,p (Ω) liên tục Định nghĩa 1.2.2 Với s ∈ (0, 1) p ∈ [1, +∞), tập mở Ω ⊂ Rn miền mở rộng cho W s,p tồn số dương C := C(n, p, s, Ω) cho với hàm u ∈ W s,p (Ω), tồn Eu ∈ W s,p (Rn ) cho Eu (x) = u(x), Eu W s,p (Rn ) ≤C u W s,p (Ω) , ∀x ∈ Ω Lưu ý tập mở lớp C 0,1 với biên bị chặn miền mở rộng cho W s,p (Rn ) Định lý 1.2.3 Cho s ∈ (0, 1) p ∈ [1, +∞) cho sp < n Khi đó, tồn số dương C := C(n, p, s) cho u p ∗ Lps (Rn ) |u(x) − u(y)|p dxdy, ∀u ∈ W s,p (Rn ), n+ps |x − y| ≤ Rn ×Rn 2∗ 2∗ σ n(M + A) sγ S(n, s) γ < n 2s Kết hợp với (2.128) suy (2.125) Do đó, Bước chứng minh νi0 = Bước Chứng minh (2.112) Chứng minh Xét i0 tùy ý Bước 1, suy νi = với ∗ i ∈ J Do đó, từ (2.113) (2.114) kéo theo uj → u L2 (Ω) j → +∞ Vậy, từ (2.100), ta có Jγ (uj ) → j → +∞ (2.129) ({uj }j∈N dãy (P S)c Jγ ) Định lý hội tụ, có lim j→+∞ uj ∗ |u(x)|2 dx + =γ Ω f (x, u(x))u(x)dx (2.130) Ω u X0s (Ω) theo ((2.100), (2.129), Định lý hội tụ Hơn nữa, uj có ∗ |u(x)|2 u, ϕ = γ −2 u(x)ϕ(x)dx + Ω f (x, u(x))ϕ(x)dx, (2.131) Ω với ϕ ∈ X0s (Ω) Do đó, kết hợp (2.130) (2.131) với ϕ = u suy (2.112), Bước chứng minh Do đó, Bổ đề 2.2.4 hồn tồn chứng minh Ký hiệu {λj }j∈N dãy giá trị riêng toán sau    (−∆)s u = λu Ω n R \Ω   u = 53 (2.132) với < λ1 < λ2 ≤ ≤ λj ≤ λj+1 ≤ (2.133) λj → +∞ j → +∞, với ej hàm riêng tương ứng với λj Hơn nữa, chọn {ej }j∈N chuẩn hóa cho dãy sở trực chuẩn L2 (Ω) sở trực giao X0s (Ω) Nghiên cứu phổ toán tử Laplace (−∆)s Với j ∈ N, Đặt Pj+1 = {X0s (Ω) : u, ei = với i = 1, , j}( với P1 = X0s (Ω)), định nghĩa, Hj = span{e1 , , ej } khơng gian tuyến tính tạo hàm riêng j (−∆)s Dễ thấy Pj+1 = H˙ j⊥ với tích vơ hướng X0s (Ω) định nghĩa (2.97) Do đó, X0s (Ω) khơng gian Hilbert (2.11)), có X0s (Ω) = Hj ⊕ Pj+1 với j ∈ N Hơn nữa, {ej }j∈N sở trực giao X0s (Ω), dễ thấy với j ∈ N Pj+1 = spanei : i ≥ j + Trước nghiên cứu chứng minh tính chất hình học Jγ cần điều kiện mạnh phép nhúng Sobolev cổ điển Trong số phép nhúng lựa chọn Bổ đề 2.2.5 Cho r ∈ [2, 2∗ ) δ > Khi đó, tồn j ∈ N cho u 54 r r ≤δ u r với u ∈ Pj+1 Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn δ > cho j ∈ N tồn uj ∈ Pj+1 thỏa mãn uj r r > δ uj r Xét vj = uj / uj r , ta có vj ∈ Pj+1 , vj =1 r (2.134) vj < 1/δ với j ∈ N Như vậy, dãy {vj }j∈N bị chặn X0s (Ω) suy tồn v ∈ X0s (Ω) cho vj v X0s (Ω) vj → v LR (Ω) (2.135) j → +∞ Do đó, từ(2.134) (2.135) ta suy v r = (2.136) Hơn nữa, {ej }j∈N sở trực giao X0s (Ω), có ∞ v= v, ej ej j=1 Bây giờ, cho k ∈ N ta có vj , ek = với j ≥ k , vj ∈ Pj+1 Từ suy v, ek = với k ∈ N, nghĩa v ≡ Mặt khác, điều mâu thuẫn với (2.136) Do đó, Bổ đề 2.2.5 chứng minh Sau đây, ta chứng minh Đinh lý 2.2.1 Để chứng minh Định lý 2.2.1, chứng minh hàm lượng Jγ thỏa mãn (I2 ) (I3 ) Định lý 2.2.2 Chúng ta xét V = Hj X = Pj+1 , với j ∈ N Bổ đề 2.2.6 Cho f thỏa mãn 2.92 Khi đó, tồn γ˜ > 0, j ∈ N và, ρ, α > cho Jγ (u) ≥ α, với u ∈ Pj+1 với u = ρ < γ < γ˜ 55 Chứng minh Lấy γ > Theo (2.92) có số c > cho Jγ (u) ≥ u 2 − b1 u θ θ − b2 |Ω| − γc u 2∗ , (2.137) với u ∈ X0s (Ω) Cho δ > đủ lớn Theo (2.137) Bổ đề 2.2.5 suy tồn j ∈ N cho Jγ (u) ≥ u − b1 δ u θ−2 − b2 |Ω| − γc u 2∗ , (2.138) với u ∈ Pj+1 Bây giờ, xét u = ρ = ρ(δ), với ρ cho b1 δρθ−2 = 1/4, ∗ Jγ (u) ≥ ρ2 − b2 |Ω| − γcρ2 với u ∈ Pj+1 , theo (2.138) Dễ thấy ρ(δ) → +∞ δ → 0, θ > Do đó, chọn δ đủ nhỏ cho ρ2 /4 − b2 |Ω| ≥ ρ2 /8, ∗ Jγ (u) ≥ ρ2 − γcρ2 , với u ∈ Pj+1 với u = ρ ∗ Cuối cùng, cho γ˜ > cho 18 ρ2 − γ˜ cρ2 = α > Khi đó, ta có Jγ (u) ≥ Jγ˜ (u) ≥ α với u ∈ Pj+1 với u = ρ γ ∈ (0, γ˜ ), Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.7 Cho f thỏa mãn (2.93) Và l ∈ N Khi đó, tồn khơng gian W X0s (Ω) số Ml > 0, độc lập γ , cho dimW = l max J0 (u) < Ml u∈W Chứng minh Xét trường hợp toán tử Laplacian cổ điển Chúng ta sử dụng tính chất hàm riêng (−∆)s 56 Theo Bổ đề 2.2.6 ta thấy j ∈ N γ˜ > cho Jγ thỏa mãn (I2 ) X = Pk+1 , với < γ < γ˜ Theo Bổ đề 2.2.7, với k ∈ N có khơng gian W ⊂ X0s (Ω) với dim W = k + j cho Jγ thỏa mãn (I3 ) với M = Mj+k > với γ > 0, Jγ < J0 Cuối cùng, từ Bổ đề 2.2.4, xét γ đủ nhỏ để Jγ thỏa mãn (I4 ) với < γ < γ˜ Do đó, áp dụng Định lý 2.2.2 suy Jγ có k cặp điểm tới hạn không tầm thường với γ > đủ bé Do đó, Định lý 2.2.1 chứng minh Kết tiếp theo, tính kể bội nghiệm cho (2.85) giả sử F nguyên hàm thỏa mãn tăng tới hạn chung (2.92) Tuy nhiên, ta cần điều kiện mạnh (2.93) Nghĩa là, cho j, k ∈ N với j ≤ k , ta xét phiên khác (2.92) (2.93) tồn hàm đo a : Ω → R cho lim sup t→0 F (x, t) = a(x) Ω, |t|2 (2.139) a(x) ≤ γj Ω a(x) < γj tập dương đo Ω; tồn B > cho |t|2 F (x, t) ≥ γk − B với t ∈ R a.e x ∈ Ω, (2.140) γj ≤ γk giá trị riêng (−∆)s Áp dụng Định lý Mountain Pass [1], ta thu kết sau: Định lý 2.2.8 Cho s ∈ (0, 1), n > 2s, Ω tập mở bị chặn Rn với biên liên tục Cho j, k ∈ N, với j ≤ k f hàm thỏa mãn (2.87), (2.88), (2.90), (2.91), (2.139) (2.140) Khi đó, tồn γk,j ∈ (0, +∞] cho (2.85) có cặp k − j + nghiệm không tầm thường với γ ∈ (0, γk,j ) 57 Chứng minh Định lý 2.2.8 Áp dụng Định lý 2.2.2 với hàm Jγ Xét λj ≤ λk ((2.139) (2.140), có hai trường hợp Khi j = ta đặt V = {0}, X = X0s (Ω): điều phù hợp với P1 = X0s (Ω) Nếu j > xét X = Pj V = Hj−1 Hơn nữa, W = H không gian X0s (Ω) (I3 ) Bây giờ, để chứng minh điều kiện (I2 ) (I3 ) Định lý 2.2.2 xét hai đặc điểm khác giá trị riêng (−∆)s Với j ∈ N có λj = u , u 22 λj = max u u u∈Pj \{0} (2.141) từ [19] dễ thấy u∈Hj \{0} (2.142) 2 Hơn nữa, có bổ đề sau: Bổ đề 2.2.9 Cho a : Ω → R hàm đo (2.139) Khi đó, tồn tạiβ > cho với u ∈ Pj u a(x)|u(x)|2 dx ≥ β u 22 − Ω Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử với i ∈ N tồn ui ∈ Pj cho ui a(x)|ui (x)|2 dx < − Ω ui 22 i (2.143) Cho vi = ui / ui Hiển nhiên, vi ∈ Pj vi 58 =1 (2.144) với i ∈ N Từ (2.139), (2.141), (2.143) (2.144) có λj ≤ vi a(x)|vi (x)|2 dx + < Ω i ≤λj |vi (x)| dx + i Ω ≤λj + i (2.145) với i ∈ N Từ đây, có {vi }i∈N dãy bị chặn X0s (Ω) Do đó, tồn v ∈ X0s (Ω) vậy, vi hội tụ yếu đến v X0s (Ω), hội tụ mạnh L2 (Ω) j → +∞ |vi | ≤ h ∈ L2 (Ω) Ω Do đó, từ (2.144) có v = 1, v hầu khắp nơi khác với Ω, tức v ≡ Ω (2.146) i → +∞ (2.145) áp dụng Định lý hội tụ (2.143), suy (λj − a(x))|v(x)|2 dx = (2.147) Ω Khi đó, (2.139), (2.146) (2.147) ta có a(x) = λj Ω, mâu thuẫn với giả định (2.139) Do đó, Bổ đề 2.2.9 chứng minh Bây chứng minh Jγ thỏa mãn (I2 ) (I3 ) Định lý 2.2.2 Bổ đề 2.2.10 Cho f thỏa mãn (2.87), (2.90) (2.139) Khi đó, với γ > tồn ρ, α > cho Jγ (u) ≥ α với u ∈ Pj với u = ρ 59 Chứng minh Cố định γ > Theo (2.87), (2.90) (2.139), suy với ε > tồn Cε > cho |F (x, t)| ≤ Cε 2∗ a(x) + ε |t| + |t| , 2∗ (2.148) với t ∈ R x ∈ Ω Bây giờ, giả sử β > Bổ đề 2.2.9 ε > cho β − ε λj > Do đó, theo (2.139) Bổ đề 2.2.9, có u a(x)|u(x)|2 dx − Ω 1+ε = 1+ε ε = 1+ε ε ≥ 1+ε ε ≥ 1+ε ε ≥ 1+ε u a(x)|u(x)|2 dx − Ω u − a(x)|u(x)|2 dx − ε 1+ε Ω u 2+ (β u 22 − ε a(x)|u(x)|2 dx) 1+ε Ω u u 2 a(x)|u(x)|2 dx + Ω (β − ε λj )|u(x)|2 dx + Ω u 2, với u ∈ Pj Từ (2.148) chúng tơi có γ ∗ u − ∗ u 22∗ − F (x, u(x))dx 2 Ω 1 ≥ u − a(x)|u(x)|2 dx − ∗ (γ + Cε ) u 2 Ω ε ε ∗ ≥ u − ∗ (γ + Cε ) u 22∗ − u 22 , 2(1 + ε ) 2 Jγ (u) = 2∗ 2∗ − ε u 2 với u ∈ Pj Do đó, ε > đủ nhỏ, suy tồn số K, C > cho ∗ Jγ (u) ≥ Kρ2 − Cρ2 với u ∈ Pj với u = ρ Lấy ρ > đủ nhỏ, (2.149) kéo theo Jγ (u) ≥ α 60 (2.149) với α > 2∗ > Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.11 Cho f thỏa mãn (2.140) Khi đó, với γ > tồn số M > 0, không phụ thuộc vào γ , cho max Jγ (u) < M u∈Hk Chứng minh Cố định γ > Từ (2.140) (2.142), với u ∈ Hk \{0} ta có λk γ u 22 − ∗ u 2 γ ∗ ≤B|Ω| − ∗ u 22∗ Jγ (u) ≤ u 2 − 2∗ 2∗ + B|Ω| đủ nhỏ cho Jγ thỏa mãn (I2 )-(I4 ) Định lý ⊥ 2.2.2 với γ ∈ (0, γ ∗ ) Lại có Pj = Hj−1 , ta có codim Pj = j − Do đó, theo Định lý 2.2.2 ta suy Jγ có k − j + cặp điểm tới hạn không tầm thường với γ ∈ (0, γ ∗ ) Vậy, Định lý 2.2.8 hoàn toàn chứng minh Nhận xét 2.2.12 Chúng muốn j = 1, chúng tơi thay (2.59) (2.57) Định lý 2.2.8 Thật vậy, lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.2, cách sử dụng Bổ đề 2.2.10 (với P1 = X0s (Ω)) thay Bổ đề 2.2.6 Một câu hỏi tự nhiên điều xảy f không đối xứng? Bằng cách sử dụng Định lý Mountain Pass thu hai nghiệm khác nhau: 61 Định lý 2.2.13 Cho s ∈ (0, 1), n > 2s, Ω tập mở bị chặn Rn với biên liên tục Giả sử f thỏa mãn f (x, 0) = 0, (2.87), (2.90), (2.91), (2.139) (2.140) với j = k = Khi đó, tồn γ1 > cho (2.85) có nghiệm không tầm thường không âm nghiệm không âm, không tầm thường với γ ∈ (0, γ1 ) Để chứng minh Định lý 2.2.13, áp dụng Định lý Mountain Pass: Định lý 2.2.14 Cho E không gian Banach thực Giả sử I ∈ C (E, R) hàm thỏa mãn điều kiện sau: (I1 ) I(0) = 0; (I2 ) tồn số ρ > cho I|∂Bρ ≥ 0; (I3 ) tồn v1 ∈ ∂B1 M > cho sup I(tv1 ) ≤ M ; t≥0 (I4 ) xét M > từ (I3 ), I(u) thỏa mãn điều kiện (P S)c với ≤ c ≤ M Khi đó, I có điểm tới hạn không tầm thường Chứng minh Định lý 2.2.13 Bài tốn (2.85) có nghiệm khơng địa phương khơng tầm thường Chúng ta nghiên cứu toán sau  ∗   (−∆)s u = γu2 −1 + f˜(x, u) Ω     u≥0 Ω      u = Rn \Ω, (2.150) f˜(x, t) =    f (x, t) t >   0 t ≤ 62 (2.151) Thật vậy, nghiệm không tầm thường (2.150) nghiệm không địa phương không tầm thường (2.85) Hàm lượng (2.150) đưa Jγ (u) = u 2 − γ 2∗ ∗ F˜ (x, u(x))dx, (u(x))2 dx − Ω (2.152) Ω t F˜ (x, t) = f˜(x, τ )dτ Chúng ta có hàm chặt f˜ thỏa mãn (2.87), (2.90), (2.91) (2.139), (2.140) với f˜ với t ≥ không với t < Thật vậy, để áp dụng Định lý 2.2.14, lưu ý Jγ thỏa mãn (I2 ) theo Bổ đề 2.2.10 với P1 = X0s (Ω) Để chứng minh (I3 ) Định lý 2.2.14 chứng minh sau Cho e1 hàm riêng (−∆)s ứng với λ1 Vì e1 dương, theo suy F˜ (x, te1 (x)) = F (x, te1 (x)) với t > x ∈ Ω Vì vậy, áp dụng (2.140) với t > J˜γ (te1 ) = te1 t2 ≤ e1 γ 2∗ te F˜ (x, te1 (x))dx 2∗ − 2∗ Ω t − λ1 e1 22 + B|Ω| 2 − =B|Ω|, theo tính chất e1 Suy J˜γ thỏa mãn (I3 ) với γ > Để chứng minh (I4 ) Định lý 2.2.14 lập luận chứng minh Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.4 ((2.87), (2.90) (2.91)) Cuối cùng, tất điều kiện Định lý 2.2.14 thỏa mãn J˜γ , với γ ∈ (0, γ ∗ ), J˜γ có điểm tới hạn khơng tầm thường 63 nghiệm không địa phương không tầm thường (2.85) Tương tự, chứng minh tồn nghiệm âm không tầm thường (2.85) Định lý 2.2.13 hoàn toàn chứng minh 64 Kết luận Trong luận văn thu kết sau - Chương 1, hệ thống lại số kiến thức sở không gian Sobolev thứ - Chương 2, nghiên cứu tồn vơ hạn nghiệm yếu Bài tốn biên Dirichlet cho toán tử Laplace phân thứ , tồn nhiều nghiệm Bài toán biên Dirichlet với số mũ tới hạn Sobolev thứ 65 Tài liệu tham khảo [1] H Brezis, L Nirenberg (1983), Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm Pure Appl Math 36(4), 437-477 [2] C Bucur, E Valdinoci (2016), Nonlocal Diffusion and Applications, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana 20, Springer [3] L Caffarelli, L Silvestre (2007), An Extension Problem Related to the Fractional Laplacian, Communications in Partial Differential Equations.32, 1245-1260 [4] X Cabre, J Tan (2010), Positive solutions of nonlinear problems involving the square root of the Laplacian, Advances in Mathematics 224, 2052-2093 [5] A Fiscella, G M Bisci R Servadei (2018), Multiplicity results for fractional Laplace problems with critical growth, Manuscripta mathematica 155(3-4), 369-388 [6] B M Giovanni, V D Radulescu and R Servadei (2016), Variational Methods for Nonlocal Fractional Equations, Encyclopedia Math Appl 162, Cambridge University Press, Cambridge [7] G M Bisci, D Repovs R Servadei (2016), Nontrivial solutions of superlinear nonlocal problems, Forum Math 28, 1095-1110 [8] B M Giovanni, D Repovs R Servadei (2016), Nontrivial solutions of superlinear nonlocal problems, Forum Math 28, 1095-1110 66 [9] E D Nezza, G Palatucci E Valdinoci (2012), Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces, Bull Sci Math 136, 521-573 [10] R Servadei, E Valdinoci (2013), Variational methods for non-local operators of elliptic type, Discrete Contin Dyn Syst 33, 2105-2137 [11] R Servadei, E Valdinoci (2015), The Brezis-Nirenberg result for the fractional Laplacian, Trans Amer Math Soc 367, 67-102 [12] M Xiang, B Zhang, M Ferrara (2015), Existence of solutions for Kirchhoff type problem involving the non-local fractional p-Laplacian, J Math Anal Appl 424(2), 1021-1041 [13] A Fiscella, R Servadei, E Valdinoci (2015), Density properties for fractional Sobolev spaces Ann Acad Sci Fenn Math 40, 235–253 [14] R Servadei, E Valdinoci (2012),Mountain Pass solutions for non-local elliptic operators J Math Anal Appl 389, 887–898 [15] S B Liu (2010), On superlinear problems without Am- brosetti–Rabinowitz condition, Nonlinear Anal 73 , no 3, 788–795 67 ... 1.3.2 Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier 17 Nghiệm yếu toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ 2.1 20 Nghiệm Mountain pass cho toán biên Dirichlet chứa toán Laplace phân thứ. .. Chương Nghiệm yếu toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ 2.1 Nghiệm Mountain pass cho toán biên Dirichlet chứa toán Laplace phân thứ Gần đây, phương trình vi tích phân chứa tốn tử không... tốn nghiên cứu toán tử Laplace phân thứ nhận quan tâm lớn nhà toán học giới thời gian gần Mục đích luận văn nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên Dirichlet cho toán tử Laplace phân thứ có dạng 