Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)

Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH MINH THƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH MINH THƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU HAI CẤP Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh mục hình vẽ ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Bài tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 1.3 Tính chất tập nghiệm hữu hiệu toán 10 Chương Bài toán tối ưu hai cấp 12 2.1 Nội dung toán 12 2.2 Đưa toán tối ưu cấp 16 2.3 Tính chất tốn tối ưu hai cấp 18 2.4 Bài tốn tối ưu hai cấp tuyến tính 22 2.5 Một số hướng ứng dụng 25 Chương Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu 27 3.1 Nội dung vấn đề 27 3.2 Quan hệ với tối ưu đa mục tiêu 29 3.3 Quan hệ với tối ưu tập nghiệm hữu hiệu 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Danh mục hình vẽ Bảng 2.1 So sánh nghiệm hai Ví dụ 2.3 2.2 Hình 2.1 Minh họa Ví dụ 2.1 Hình 2.2 Khơng gian ngiệm cấp (Ví dụ 2.1) Hình 2.3 Nghiệm tối ưu cấp (Ví dụ 2.2) Hình 2.4 Khơng gian ngiệm cấp (Ví dụ 2.3) Hình 2.5 Nghiệm tối ưu cấp (Ví dụ 2.3) Hình 2.6 Minh họa tập S, S(x), P (x) M Ví dụ 2.4 Mở đầu Luận văn đề cập tới toán tối ưu hai cấp (viết tắt BPP) có dạng: {F (x, y) | x ∈ X, G(x, y) ≤ 0, y ∈ arg {f (x, y) | y ∈ Y, g(x, y) ≤ 0}}, X ⊆ Rn , Y ⊆ Rm , F, G, f, g : Rm+n → R Đây tốn qui hoạch tốn học theo hai nhóm biến x ∈ Rn , y ∈ Rm ràng buộc toán này, y nghiệm toán tối ưu thứ hai (với y véctơ biến x véctơ tham số) Như hiểu đơn giản tối ưu hai cấp toán tối ưu mà ràng buộc lại toán tối ưu khác Bài toán tối ưu hai cấp xuất sách báo, tạp chí có liên quan tới hệ thống có phân cấp, thực tế tối ưu hai cấp nảy sinh từ nhiều ứng dụng đa dạng hoạt động vận tải, kinh tế, sinh thái học, kỹ thuật, Bài toán tối ưu hai cấp nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, ý nghĩa khoa học khả ứng dụng toán Tối ưu hai cấp phân thành: toán hai cấp mục tiêu (được nghiên cứu ứng dụng nhiều hơn) toán hai cấp nhiều mục tiêu (khó ứng dụng có thuật tốn hiệu quả) Khi hàm mục tiêu hàm ràng buộc tốn hàm tuyến tính, ta có tốn tối ưu hai cấp tuyến tính Tối ưu hai cấp tốn NP - khó thuộc lớp tốn tối ưu tồn cục, nói chung phức tạp khó giải Nói riêng bao hàm tốn tối ưu tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) trường hợp cụ thể Nhiều phương pháp xử lý đề xuất, nhiên hiệu không cao chủ yếu tốn hai cấp tuyến tính với hay nhiều mục tiêu Đề tài luận văn "Một số tính chất tốn tối ưu hai cấp" có mục đích tìm hiểu trình bày nội dung, nguồn gốc toán tối ưu hai cấp, dạng toán tối ưu hai cấp tính chất cần biết tốn, đặc biệt lưu ý trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính, nhằm giúp việc học tập, nghiên cứu toán tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng Cuối cùng, luận văn giới thiệu số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại số kiến thức tập lồi đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) tốn tối ưu đa mục tiêu tính chất đặc trưng đỉnh cạnh hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu Chương "Bài toán tối ưu hai cấp" giới thiệu khái quát nội dung, xuất xứ toán tối ưu hai cấp, tính chất cần biết tốn, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng tốn tối ưu hai cấp tuyến tính mục tiêu Cuối chương, đề cập tới số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế Chương "Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu" xét mối liên hệ toán tối ưu hai cấp tuyến tính tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu Có thể mơ tả tốn dạng tốn kia, ngược lại, Từ suy hệ tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu NP - khó Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TS Trần Vũ Thiệu Qua tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Ngun Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2016 Học viên Trịnh Minh Thường Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi tập đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu nêu lại tính chất đặc trưng đỉnh cạnh hữu hiệu toán Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [7] [9] 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi Rn khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi λa + (1 − λ)b ∈ C ∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], tức C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc • Ta ý tới số tập lồi đặc biệt sau: a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α}, a ∈ Rn , a = α ∈ Rn c) Các nửa khơng gian đóng H + = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}, H − = {x ∈ Rn : aT x ≤ α} • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau: a) Giao họ tập lồi tập lồi: C, D lồi C ∩ D lồi b) Nếu C, D ⊂ Rn tập lồi C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi c) Nếu C ∈ Rm , D ∈ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập lồi) Định nghĩa 1.2 Cho E tập hợp Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E Định nghĩa 1.3 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M , ký hiệu dim M , thứ nguyên (số chiều) không gian song song với b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ nguyên hay số chiều bao afin aff C Định nghĩa 1.4 Tập lồi K ⊆ Rn gọi nón lồi K có thêm tính chất λx ∈ K với x ∈ K λ > Định nghĩa 1.5 Một tập lồi F tập lồi C gọi diện C x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, < λ < [x, y] ⊂ F , tức đoạn thẳng thuộc C có điểm thuộc F đoạn thẳng phải nằm F Một diện có số chiều gọi điểm cực biên C Nói cách khác, điểm thuộc C mà khơng thể điểm đoạn thẳng với hai đầu mút khác thuộc C Một diện có số chiều gọi cạnh C: cạnh hữu hạn diện đoạn thẳng, cạnh vơ hạn diện nửa hay đường thẳng Một diện C, khác ∅ khác C, gọi diện thực C Ví dụ: diện thực hình lập phương R3 đỉnh, 12 cạnh mặt Định nghĩa 1.6 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện, ký hiệu D Nói cách khác, D tập nghiệm hệ hữu hạn phương trình (hoặc) bất phương trình tuyến tính Một tập lồi đa diện bị chặn khơng bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình tròn, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi R2 Tập lồi đa diện mà đồng thời nón, gọi nón lồi đa diện Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh tập đa diện Định nghĩa 1.7 Đoạn thẳng [x1 , x2 ], x1 = x2 , gọi cạnh hữu hạn D x1 , x2 đỉnh D rank {ai : , x1 = , x2 = bi } = n − Định nghĩa 1.8 Tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D, x0 ∈ D, d ∈ Rn , gọi cạnh vô hạn D rank {ai : , x = bi , ∀x ∈ Γ} = n − Để hiểu rõ tập lồi đa diện ta cần biết số khái niệm sau Trong toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm }, tức D tập nghiệm không âm hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính Tập không chứa đường thẳng (do x ≥ 0) nên D có đỉnh Từ định nghĩa nêu cho thấy: a) Điểm x0 ∈ D đỉnh D hệ véctơ {ak : ak , x0 = bk } ∪ {ek : x0k = 0} có hạng n b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) D nghiệm sở hệ Ay ≤ 0, eT y = 1, y ≥ 0, eT = (1, , 1) 22 Như vậy, thấy tốn tối ưu hai cấp có tính chất đáng ý sau ∗ Nói chung, tối ưu hai cấp tốn tối ưu khơng lồi, khơng liên thơng thuộc loại tốn NP - khó ∗ Bài tốn hai cấp khơng có nghiệm tối ưu hay nghiệm Pareto có nhiều mục tiêu ∗ Bài toán cấp cấp đổi chỗ cho nhau, nghĩa thứ tự theo định đưa quan trọng 2.4 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính Bài tốn tối ưu tuyến tính hai cấp có dạng: F (x, y) = c1 x + d1 y x,y (BLPP) với điều kiện    A1 x + B1 y ≤ b1 , x ∈ X,       min f (x, y) = c2 x + d2 y,  y  y nghiệm     A x + B y ≤ b , ∀y ∈ Y  2 X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm , x, c1 , c2 ∈ Rn , y, d1 , d2 ∈ Rm , A1 , B1 , A2 , B2 b1 , b2 ma trận véctơ có kích thước thích hợp Ta nêu số định nghĩa: ∗ Miền ràng buộc toán (BLPP): S = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y, A1 x + B1 y ≤ b1 , A2 x + B2 y ≤ b2 } ∗ Tập chấp nhận toán cấp với x ∈ X cố định: S(x) = {y ∈ Y : B2 y ≤ b2 − A2 x} ∗ Tập nghiệm tối ưu toán cấp dưới: P (x) = {y ∈ Y : y ∈ arg {f (x, y) : y ∈ S(x)}} 23 ∗ Tập chấp nhận (còn gọi miền cảm sinh) toán (BLPP): M = {(x, y) ∈ S : y ∈ P (x)} Khi S P (x) khác rỗng, tốn (BLPP) viết lại thành tốn tối ưu cấp thơng thường: {F (x, y) : (x, y) ∈ S, y ∈ P (x)} = {F (x, y) : (x, y) ∈ M } Các khái niệm minh họa qua ví dụ số sau Ví dụ 2.4 Xét tốn tối ưu hai cấp tuyến tính F (x, y) = x − 4y x≥0 với điều kiện {f (y) = y : − x − y ≤ −3, −2x + y ≤ 0, 2x + y ≤ 12, −3x + 2y ≤ −4} y≥0 Với toán tập S, S(x), P (x) miền cảm sinh M vẽ Hình 2.6 24 Với tốn hai cấp tuyến tính, Bard J F [4] chứng minh Định lí 2.1 Tập chấp nhận M toán (BLPP) tập nghiệm ràng buộc đẳng thức tuyến tính khúc tạo nên giao S với số siêu phẳng tựa S Định lí 2.2 Nghiệm tối ưu (x∗ , y ∗ ) toán (BLPP) đạt đỉnh tập S Các định lý sử dụng thuật toán liệt kê đỉnh Candler Townsley Ngoài ra, cách tiếp cận dựa phương pháp đơn hình nhiều phương pháp phạt khác đề xuất • Sau cách tiếp cận sử dụng điều kiện Karush - Kuhn - Tucker Cách tiếp cận thay toán tối ưu cấp điều kiện KKT: Cố định x = xˆ, điều kiện KKT cho điểm cực tiểu địa phương y ∗ toán {f (ˆ x, y) : g(ˆ x, y) ≥ 0} y ∇y f (ˆ x, y ∗ ) − µT ∇y g(ˆ x, y ∗ ) = 0, µT g(ˆ x, y ∗ ) = 0, µ ≥ Bài tốn cấp {f (x, y) = c2 x + d2 y : A2 x + B2 y ≤ b2 , y ≥ 0} = y∈Y {f (x, y) = c2 x + d2 y : b2 − A2 x − B2 y ≥ 0, y ≥ 0} y∈Y thay điều kiện KKT (các biến đối ngẫu u, v véctơ hàng): d2 + uB2 − v = 0, u(b2 − A2 x − B2 y) + vy = 0, u, v ≥ Khi viết lại toán (BLPP) thành (theo biến x, y, u, v) {F (x, y) = c1 x + d1 y} x∈X 25 với điều kiện A1 x + B1 y ≤ b1 , uB2 − v = −d2 , u(b2 − A2 x − B2 y) + vy = 0, A2 x + B2 y ≤ b2 , x ≥ 0, y ≥ 0, u ≥ 0, v ≥ 2.5 Một số hướng ứng dụng Mô hình tốn tối ưu hai cấp thường áp dụng vào hệ thống có cấu trúc phân cấp, định cấp có ảnh hưởng tới định cấp mà không cần can thiệp trực tiếp vào hoạt động cấp hàm mục tiêu phận phụ thuộc phần vào biến bị điều khiển phận khác, hoạt động cấp cao hay cấp thấp Tối ưu hai cấp áp dụng công tác lập kế hoạch phát triển kinh tế, xã hội cho vùng lãnh thổ hay quốc gia: cấp nhà nước nắm quyền điều khiển biến sách biểu thuế, tỉ giá, côta nhập khẩu, nhằm mục tiêu tạo nhiều việc làm, cực tiểu nguồn lực sử dụng, Cấp công ty với mục tiêu tối đa hóa thu nhập ròng với ràng buộc kinh tế quản lý cấp Cũng áp dụng tối ưu hai cấp phân bổ nguồn lực (Resource Allocation) hãng hay cơng ty có phân cấp quản lý Cấp giữ vai trò trung tâm cung cấp nguồn lực (vốn, vật tư, lao động) nhằm đạt cực đại lợi nhuận tồn cơng ty Cấp nhà máy sản xuất sản phẩm địa điểm khác nhau, định tỉ lệ, sản lượng sản xuất riêng nhằm tối đa hóa hiệu suất đơn vị Cuối cùng, tối ưu hai cấp áp dụng thiết kế mạng hệ thống vận tải thị trường lượng (Energy Markets) • Cuối chương, chúng tơi giới thiệu mơ hình đơn giản tốn tối ưu hai cấp thị trường điện 26 Giả sử có n nhà máy tham gia vào thị trường sản xuất điện năng, có nhà máy (đánh số 1) có sản lượng lớn giữ vai trò chủ đạo (chủ cái), nhà máy lại đánh số 2, 3, , n Gọi xi sản lượng điện cần sản xuất nhà máy thứ i, i = 1, 2, , n fi (xi ) chi phí sản xuất nhà máy i Giá bán điện p phụ thuộc vào tổng lượng điện nhà máy sản xuất Nhà máy công bố mức sản lượng trước nhà máy khác phản ứng lại số lượng Mỗi nhà máy mong muốn tối đa hóa lợi nhuận thu (số tiền bán điện sau trừ chi phí sản xuất) Khi đó, tốn tối ưu hai cấp đặt n max x1 xi x1 p − f1 (x1 ) i=1 với điều kiện n xi ∈ arg max xi xi p xi − fi (xi ) , i = 2, , n i=1 Tóm lại, chương giới thiệu khái quát số kiến thức toán tối ưu hai cấp, lớp toán qui hoạch toán học thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước Phân tích nội dung, xuất xứ tốn tính chất cần biết tốn, nhằm giúp việc học tập, nghiên cứu toán tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng Đáng ý nghiên cứu nhiều tốn tối ưu hai cấp tuyến tính hay nhiều mục tiêu Tuy nhiên, khả ứng dụng tối ưu hai cấp bị hạn chế, thiếu thuật toán giải hiệu 27 Chương Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu Chương đề cập tới mô hình tốn tối ưu hai cấp tuyến tính, với toán tối ưu (một cấp) đa mục tiêu có liên quan xét mối liên hệ tốn tối ưu hai cấp tuyến tính với tốn tối ưu tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [7] [9] 3.1 Nội dung vấn đề Chương xét mối quan hệ hai toán qui hoạch toán học đặc biệt A Bài toán thứ cần xét toán tối ưu hai cấp tuyến tính: max cT11 x + cT12 y , (3.1) x y nghiệm tối ưu toán max cT21 x + cT22 y : A1 x + A2 y ≤ b , với x, c11 , c21 ∈ Rn , y, c12 , c22 ∈ Rp , b ∈ Rm , A1 ∈ Rm×n , A2 ∈ Rm×p , (3.2) T ký hiệu chuyển vị véctơ hay ma trận Bài toán dạng (3.1) - (3.2) nảy sinh có hai chủ thể quyền định hai mức phân cấp khác nhau: cấp cấp dưới, hai cấp có chung ràng buộc, với hai lợi ích (mục tiêu) khác xung đột Q trình đề định thực theo thứ bậc Cấp quản lý biến x, lựa chọn định trước, hạn chế khơng gian định cấp dưới, phân 28 quyền quản lý biến y Bài tốn thứ hai cần xét có liên quan tới tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu V max {Cz : z ∈ P }, (3.3) z ∈ RN , C ∈ Rk×n , P ⊆ RN tập lồi đa diện Ta nhắc lại điểm z¯ ∈ RN nghiệm hữu hiệu (3.3) z¯ ∈ P không tồn z ∈ P cho Cz ≥ C z¯ Cx = C z¯ Ký hiệu E(P ) tập nghiệm hữu hiệu toán (3.3) B Bài toán thứ hai cần xét toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu: max {dT x : x ∈ E(P )}, (3.4) d ∈ RN Bài tốn (3.4) mơ hình tốn học tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) E(P ) toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (3.3) Tối ưu tuyến tính tập điểm hữu hiệu có số ứng dụng tối ưu đa mục tiêu chủ đề nghiên cứu quan trọng tối ưu toàn cục Đã có nhiều nỗ lực để thiết lập mối liên hệ toán tối ưu hai cấp tuyến tính (3.1) - (3.2) tốn tối ưu tuyến tính hai mục tiêu (3.3) với   T T c11 c12  C= T T c21 c22 P = {(x, y) : A1 x + A2 y ≤ b} tập lồi đa diện (n + p) chiều Cùng với qua tâm mặt lý thuyết, mối liên hệ hữu ích mặt tính tốn, có thuật tốn hiệu cho tối ưu hai mục tiêu Tuy nhiên, người ta nói chung khơng có mối liên hệ toán tối ưu hai cấp (3.1) - (3.2) với toán tối ưu hai mục tiêu (3.3) mô tả Hơn nữa, với hai véctơ cho trước c12 c22 không tỉ lệ với nhau, xây dựng tốn (3.1) - (3.2) cho nghiệm tối ưu (3.1) - (3.2) không nghiệm hữu hiệu toán hai mục tiêu (3.3) xây dựng Tiếp theo, Mục 3.2 giới thiệu kết nghiên cứu cho biết xây dựng tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu cho tập nghiệm chấp nhận 29 (3.1) - (3.2) trùng với tập nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu xây dựng Bài tốn tối ưu da mục tiêu có r + tiêu chuẩn mục tiêu, r = rank A1 Như toán (3.1) - (3.2) diễn đạt tốn (3.4) Từ dẫn tới hệ đáng ý tốn tối ưu tuyến tính tập hữu hiệu NP - khó Cuối cùng, Mục 3.2 đề cập tới cách diễn đạt theo chiều hướng ngược lại: Với tốn (3.4), xây dựng tốn tối ưu hai cấp tuyến tính (3.1) - (3.2) cho giá trị tối ưu hai toán trùng tồn phép tương ứng đơn giản nghiệm tối ưu hai toán 3.2 Quan hệ với tối ưu đa mục tiêu Trở lại toán (3.1) - (3.2) Cặp (¯ x, y¯), x¯ ∈ Rn y¯ ∈ Rp , nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) A1 x¯ + A2 y¯ ≤ b y¯ nghiệm tối ưu toán: max {cT21 x¯ + cT22 y : A2 y ≤ b − A1 x¯}, (3.5) x¯ cố định Vì cT21 x¯ số hàm mục tiêu (3.5), nên loại bỏ số hạng đơn giản thay c21 véctơ Cặp (¯ x, y¯) nghiệm tối ưu (3.1) - (3.2) (¯ x, y¯)) nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) cT11 x¯ + cT12 y¯ ≥ cT11 x + cT12 y, với nghiệm chấp nhận (x, y) (3.1) - (3.2) Với toán (3.1) - (3.2) cho, ta xác định toán tối ưu đa mục tiêu (3.3) sau Đặt N = n + p A = [A1 , A2 ] ma trận cấp m × n đặt P = {z = (x, y) ∈ RN | Az ≤ b}, (3.6) P tập lồi đa diện RN Giả sử r = rank A1 Không giảm tổng quát, ta giả thiết A1 phân tách thành   A¯1 A1 =   , Aˆ1 30 A¯1 ma trận r × n r = rank A¯1 Giả sử k = r + ma trận mục tiêu C cấp k × N xác định  A¯1  O     T ¯ T C = −e A1 02  ,   T T c22 01 (3.7) O ma trận khơng cấp r × p, 01 02 véctơ không n p chiều e ∈ Rr với phần tử Mệnh đề 3.1 Cặp (¯ x, y¯) nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2)   x¯ z¯ =   y¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) xác định (3.6) (3.7) Chứng minh Giả sử (¯ x, y¯) nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) z¯ không nghiệm hữu hiệu (3.3) Khi tồn z ∈ P cho Cz ≥ C z¯ Cz = C z¯ Giả sử z phân tách thành z T = [xT , y T ], x ∈ Rn y ∈ Rp Do A¯1 x ≥ A¯1 x¯ −eT A¯1 x ≥ −eT A¯1 x¯ nên ta nhận A¯1 x = A¯1 x¯ A1 x = A1 x¯ Thêm vào đó, từ A1 x + A2 y ≤ b suy y nghiệm chấp nhận (3.5) Hơn Cz = C z¯ kéo theo cT22 y > cT22 y¯ Bất đẳng thức mâu thuẫn với y¯ nghiệm tối ưu (3.5) (¯ x, y¯) nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) Ngược lại, giả sử z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) (¯ x, y¯) không nghiệm chấp nhận (3.1) - (3.2) Tập ràng buộc (3.5) không rỗng, chẳng hạn y¯ nghiệm chấp nhận Tồn y˜ ∈ Rp cho y˜ chấp nhận (3.5) cT22 y˜ > cT22 y¯ Đăt véctơ z˜ xác định   x¯ z˜ =   y˜ Rõ ràng z˜ ∈ P, C z˜ ≥ C z¯ C z˜ = C z¯ Điều mâu thuẫn với z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) 31 Bổ đề 3.1 Cặp (¯ x, y¯) nghiệm tối ưu (3.1) - (3.2)   x¯ z¯ =   y¯ nghiệm tối ưu (3.4) xác định (3.6) (3.7)   c11 d =   c12 Mệnh đề 3.2 Bài tốn (3.4) NP - khó Chứng minh Bài toán tối ưu hai cấp (3.1) - (3.2) NP - khó Như vừa thấy trên, (3.1) - (3.2) qui dẫn tốn (3.4) qua phép biến đổi đa thức Từ trực tiếp suy mệnh đề cần chứng minh 3.3 Quan hệ với tối ưu tập nghiệm hữu hiệu Xét toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu (3.3), C ma trận cấp k × N, P = {z = (x, y) ∈ RN | Az ≤ ¯b}, A ma trận cấp m ¯ × N, z ∈ RN ¯b ∈ Rm¯ Mỗi z ∈ P đặt tương ứng với toán qui hoạch tuyến tính theo biến w: max {eT C(w − z) | Cw ≥ Cz, w ∈ P }, (3.8) e véctơ k chiều với phần tử Có thể z ∈ E(P ) giá trị tối ưu (3.8) Hơn nữa, nghiệm tối ưu (3.8) nghiệm hữu hiệu, tức thuộc E(P ), z có nghiệm hữu hiệu hay khơng Xét tốn tối ưu hai cấp tuyến tính (cấp chọn z, cấp chọn w): max dT w z (3.9) w nghiệm tối ưu toán max {−eT Cz + eT Cw | Az ≤ ¯b, Aw ≤ ¯b, Cz − Cw ≤ 0}, (3.10) 32 d ∈ RN Nếu đặt n = p = N, m = 2m ¯ + k, x = z, y = w, c11 = 0, c12 = d, c21 = −eT C, c22 = eT C,       ¯b O A             A1 = O , A2 =  A  b = ¯b  ,       −C C O ma trận khơng cấp m ¯ × N véctơ khơng k chiều, tốn tối ưu hai cấp tuyến tính (3.9) - (3.10) viết lại thành dạng (3.1) - (3.2) Với toán đa mục tiêu (3.3) toán hai cấp (3.9) - (3.10) vừa mơ tả ta có Mệnh đề 3.3 Với z¯ ∈ RN , mệnh đề sau tương đương: (a) z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) (b) Cặp (¯ z , z¯) nghiệm chấp nhận (3.9) - (3.10) (c) Tồn z ∈ RN cho cặp (z, z¯) nghiệm chấp nhận (3.9) (3.10) Chứng minh (a) ⇒ (b): Do z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) nên giá trị tối ưu toán (3.8) xác định z = z¯ w = z¯ nghiệm tối ưu Do cấp chọn z = z¯ (3.9) - (3.10) w = z¯ nghiệm tối ưu tốn cấp (3.10) Do cặp (¯ z , z¯) nghiệm chấp nhận toán (3.9) - (3.10) (b) ⇒ (c): Hiển nhiên với z = z¯ (c) ⇒ (a): Do cặp (z, z¯) chấp nhận (3.9) - (3.10) nên w = z¯ nghiệm tối ưu (3.10), cấp chọn z Cũng vậy, w = z¯ nghiệm tối ưu toán (3.8) xác định z Từ z¯ nghiệm hữu hiệu (3.3) Bổ đề 3.2 Bài tốn (3.3) có nghiệm hữu hiệu toán (3.9) - (3.10) có nghiệm chấp nhận Bài tốn (3.4) có giá trị tối ưu hữu hạn tốn (3.9) - (3.10) có giá trị tối ưu hữu hạn hai giá trị tối ưu Với z¯ ∈ RN , mệnh đề sau tương đương: 33 (a) z¯ nghiệm tối ưu (3.4) (b) Cặp (¯ z , z¯) nghiệm tối ưu (3.9) - (3.10) (c) Tồn z ∈ RN cho cặp (z, z¯) nghiệm tối ưu (3.9) - (3.10) Tóm lại, chương trình bày mối liên hệ tốn tối ưu hai cấp tuyến tính tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu Có thể mơ tả tốn dạng tốn kia, ngược lại, Từ suy hệ đáng ý tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu NP - khó 34 Kết luận Luận văn giới thiệu toán tối ưu hai cấp, tính chất cần biết toán, đặc biệt lưu ý trường hợp riêng quan trọng tốn tối ưu hai cấp tuyến tính số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế, nhằm giúp việc học tập, nghiên cứu toán tối ưu hai cấp thuận lợi dễ dàng Luận văn trình bày chủ đề cụ thể sau Một số kiến thức tập lồi đa diện, khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) toán tối ưu đa mục tiêu tính chất đặc trưng tập nghiệm hữu hiệu tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu Nội dung, xuất xứ toán tối ưu hai cấp, tính chất cần biết toán, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính mục tiêu số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực tế Mối liên hệ toán tối ưu hai cấp tuyến tính tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu Có thể mơ tả tốn dạng toán kia, ngược lại, ý tốn tối ưu tuyến tính tập nghiệm hữu hiệu NP khó Hy vọng tương lai tác giả có dịp tìm hiểu thêm nghiên cứu tổng quan sâu sắc toán tối ưu hai cấp, đặc biệt kỹ thuật xử lý toán ứng dụng cụ thể toán 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Ansari E., Zhiani Rezai H (2011), "Solving Multi-objective Linear Bilevel Multi-Follower Programming Problem", Int J Industrial Mathematics, Vol 3, (No 4), p 303 - 316 [3] Bard J F (1991), "Some properties of the bilevel programming problem", Journal of Optimization Theory and Applications, 68, p 371 - 378 [4] Bard J F (1998), Practical Bilevel Optimization: Applications and Algorithms, Kluwer Academic Press [5] Bracken J and McGill J (1973), "Mathematical Programs with Optimi-zation Problems in the Constraints", Operations Research, (21), p 37 - 44 [6] Candler W and Norton R (1977), Multilevel Programming, Tech Rep 20, World Bank Development Research Center,Washington D.C [7] Colson B., Marcotte P and Savard G (2005), "Bilevel Programming: A Servey A Quarterly Journal of Operations Research", Springer –Verlag, (3), p 87 – 107 36 [8] Fricke C., An Introduction to Bilevel Programming, Department of Mathematics and Statistics, University of Melbourne http://www.neevia.com [9] Pieume C O et al (2011), "Solving Bilevel Linear Multiojective Programming Problem", American Journal of Operations Research, 1, p 214 - 219 [10] Stackelberg H (1952), The Theory of the Market Economy, Oxford University Press [11] Făulăop J (1993), "On the equivalence between a linear bilevel programming problem and linear optimization over the efficient set", Technical report, Laboratory of Operations Research and Decision Systems, Computer and Automation Institute, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, working paper 93-1 ... tốn hai cấp tuyến tính với hay nhiều mục tiêu Đề tài luận văn "Một số tính chất tốn tối ưu hai cấp" có mục đích tìm hiểu trình bày nội dung, nguồn gốc toán tối ưu hai cấp, dạng tốn tối ưu hai cấp. .. Chương Tối ưu hai cấp tuyến tính tối ưu đa mục tiêu Chương đề cập tới mơ hình tốn tối ưu hai cấp tuyến tính, với tốn tối ưu (một cấp) đa mục tiêu có liên quan xét mối liên hệ toán tối ưu hai cấp. .. nguồn gốc toán tối ưu hai cấp, tính chất tốn, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng toán tối ưu hai cấp tuyến tính mục tiêu Cuối chương, đề cập tới số hướng ứng dụng tối ưu hai cấp thực