Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)

Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH MINH THƯỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU HAI CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

Danh mục các hình vẽ ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện 4

1.2 Bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu 7

1.3 Tính chất tập nghiệm hữu hiệu của bài toán 10

Chương 2 Bài toán tối ưu hai cấp 12 2.1 Nội dung bài toán 12

2.2 Đưa về bài toán tối ưu một cấp 16

2.3 Tính chất bài toán tối ưu hai cấp 18

2.4 Bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính 22

2.5 Một số hướng ứng dụng 25

Chương 3 Tối ưu hai cấp tuyến tính và tối ưu đa mục tiêu 27 3.1 Nội dung vấn đề 27

3.2 Quan hệ với tối ưu đa mục tiêu 29

3.3 Quan hệ với tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu 31

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

Danh mục các hình vẽ

Bảng 2.1 So sánh nghiệm của hai Ví dụ 2.3 và 2.2

Hình 2.1 Minh họa Ví dụ 2.1

Hình 2.2 Không gian ngiệm của cấp trên (Ví dụ 2.1)

Hình 2.3 Nghiệm tối ưu của cấp trên (Ví dụ 2.2)

Hình 2.4 Không gian ngiệm của cấp trên (Ví dụ 2.3)

Hình 2.5 Nghiệm tối ưu của cấp trên (Ví dụ 2.3)

Hình 2.6 Minh họa các tập S, S(x), P (x) và M trong Ví dụ 2.4

Mở đầu

Luận văn đề cập tới bài toán tối ưu hai cấp (viết tắt là BPP) có dạng:

min {F (x, y) | x ∈ X, G(x, y) ≤ 0, y ∈ arg min {f (x, y) | y ∈ Y, g(x, y) ≤ 0}},trong đó X ⊆ Rn

, Y ⊆ Rm, F, G, f, g : Rm+n → R Đây là một bài toán qui hoạchtoán học theo hai nhóm biến x ∈ Rn

, y ∈ Rm và trong ràng buộc của bài toán này,

y là nghiệm của bài toán tối ưu thứ hai (với y là véctơ biến và x là véctơ tham số).Như vậy có thể hiểu đơn giản tối ưu hai cấp là bài toán tối ưu mà trong ràng buộccủa nó lại là một bài toán tối ưu khác Bài toán tối ưu hai cấp xuất hiện trên sáchbáo, tạp chí có liên quan tới các hệ thống có sự phân cấp, trong thực tế tối ưu hai cấpnảy sinh từ nhiều ứng dụng đa dạng trong hoạt động vận tải, kinh tế, sinh thái học,

kỹ thuật, Bài toán tối ưu hai cấp hiện đang được nhiều tác giả quan tâm nghiêncứu, do ý nghĩa khoa học và khả năng ứng dụng của bài toán

Tối ưu hai cấp được phân ra thành: các bài toán hai cấp một mục tiêu (đượcnghiên cứu và ứng dụng nhiều hơn) và bài toán hai cấp nhiều mục tiêu (khó ứngdụng hơn do ít có thuật toán hiệu quả) Khi các hàm mục tiêu và các hàm ràng buộctrong bài toán là các hàm tuyến tính, thì ta có bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính.Tối ưu hai cấp là một bài toán NP - khó và thuộc lớp các bài toán tối ưu toàn cục,nói chung rất phức tạp và khó giải Nói riêng nó bao hàm bài toán tối ưu trên tậpnghiệm hữu hiệu (tập điểm Pareto) như một trường hợp cụ thể Nhiều phương pháp

xử lý đã được đề xuất, tuy nhiên hiệu quả không cao và chủ yếu đối với các bài toánhai cấp tuyến tính với một hay nhiều mục tiêu

Đề tài luận văn

"Một số tính chất của bài toán tối ưu hai cấp"

có mục đích tìm hiểu và trình bày nội dung, nguồn gốc của bài toán tối ưu hai cấp,các dạng bài toán tối ưu hai cấp và các tính chất cần biết của bài toán, đặc biệt lưu ýtrường hợp riêng quan trọng là bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính, nhằm giúp việc họctập, nghiên cứu bài toán tối ưu hai cấp được thuận lợi và dễ dàng hơn Cuối cùng,luận văn giới thiệu một số hướng ứng dụng của tối ưu hai cấp trong thực tế.

Nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại một số kiến thức về tập lồi đa diện,

khái niệm nghiệm hữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) của bài toán tối ưu đa mục tiêu vàtính chất đặc trưng đối với đỉnh và cạnh hữu hiệu của bài toán tối ưu tuyến tính đamục tiêu

Chương 2 "Bài toán tối ưu hai cấp" giới thiệu khái quát nội dung, xuất xứ của

bài toán tối ưu hai cấp, các tính chất cần biết của bài toán, đặc biệt lưu ý tới trườnghợp riêng quan trọng là bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính một mục tiêu Cuối chương,

đề cập tới một số hướng ứng dụng của tối ưu hai cấp trong thực tế

Chương 3 "Tối ưu hai cấp tuyến tính và tối ưu đa mục tiêu" xét mối liên hệ giữa

bài toán tối ưu hai cấp tuyến tính và bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữuhiệu Có thể mô tả bài toán này dưới dạng bài toán kia, và ngược lại, Từ đó suy ra hệquả là bài toán tối ưu tuyến tính trên tập nghiệm hữu hiệu là NP - khó

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyêndưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của GS.TS Trần Vũ Thiệu Qua đây tác giảxin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã dành nhiều thời gian

và tâm huyết để hướng dẫn và tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian làm luậnvăn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Toán - Tin,Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học, Viện Công nghệthông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và tạomọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, Khoa Toán - Tintrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả

trong suốt thời gian học tập tại trường.

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên,giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu vàlàm luận văn

Thái Nguyên, tháng 06 năm 2016

Học viên

Trịnh Minh Thường

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhắc lại một số kiến thức về tập lồi và tập đa diện, khái niệm nghiệmhữu hiệu (điểm tối ưu Pareto) của bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu và nêu lạicác tính chất đặc trưng của đỉnh và cạnh hữu hiệu của bài toán Nội dung của chươngđược tham khảo từ các tài liệu [1], [7] và [9]

1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện

Trước hết ta nhắc lại khái niệm tập lồi trong Rn và các khái niệm có liên quan

Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi nếu λa + (1 − λ)b ∈ C

∀a, b ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], tức là C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó

•Ta chú ý tới một số tập lồi đặc biệt sau:

a) Tập afin là tập chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ thuộc nó.

a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là một tập lồi: C, D lồi thì C ∩ D lồi.b) Nếu C, D ⊂ Rn là tập lồi thì C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D} là các tập lồi.c) Nếu C ∈ Rm

, D ∈ Rn thì tích C × D = {(x, y): x ∈ C, y ∈ D} là một tậplồi trong Rm+n (Có thể mở rộng cho nhiều tập lồi)

Định nghĩa 1.2 Cho E là một tập hợp bất kỳ trong Rn

a) Giao của tất cả các tập afin chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu là aff E b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, ký hiệu là conv E.

Định nghĩa 1.3 a) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập afin M, ký hiệu dim M,

là thứ nguyên (số chiều) của không gian con song song với nó

b) Thứ nguyên (hay số chiều) của một tập lồi C, ký hiệu dim C, là thứ nguyên

hay số chiều của bao afin aff C của nó

Định nghĩa 1.4 Tập lồi K ⊆ Rn được gọi là một nón lồi nếu K có thêm tính chất

λx ∈ K với mọi x ∈ K và mọi λ > 0

Định nghĩa 1.5 Một tập con lồi F của tập lồi C được gọi là một diện của C nếu

x, y ∈ C mà (1 − λ)x + λy ∈ F, 0 < λ < 1 thì [x, y] ⊂ F , tức nếu một đoạn thẳngbất kỳ thuộc C có một điểm trong thuộc F thì cả đoạn thẳng ấy phải nằm trong F

Một diện có số chiều 0 gọi là một điểm cực biên của C Nói một cách khác, đó

là một điểm thuộc C mà nó không thể là một điểm trong của một đoạn thẳng bất kỳnào với hai đầu mút khác nhau thuộc C

Một diện có số chiều 1 gọi là một cạnh của C: cạnh là hữu hạn nếu diện đó là một đoạn thẳng, cạnh là vô hạn nếu diện đó là một nửa hay cả đường thẳng.

Một diện của C, khác ∅ và khác C, gọi là một diện thực sự của C Ví dụ: các

diện thực sự của một hình lập phương trong R3là 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt của nó

Định nghĩa 1.6 Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng

gọi là một tập lồi đa diện, ký hiệu là D Nói cách khác, D là tập nghiệm của một hệ

hữu hạn các phương trình và (hoặc) bất phương trình tuyến tính.

Một tập lồi đa diện có thể bị chặn hoặc không bị chặn (không giới nội) Một tập

lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông

thường trong mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vuông, hình tròn, ) là những ví

dụ cụ thể về đa diện lồi trong R2

Tập lồi đa diện mà đồng thời là một nón, còn được gọi là một nón lồi đa diện Mỗi điểm cực biên của tập lồi đa diện được gọi là một đỉnh của tập đa diện đó.

Định nghĩa 1.7 Đoạn thẳng [x1, x2], x1 6= x2, được gọi là một cạnh hữu hạn của

Dnếu x1, x2 là các đỉnh của D và rank {ai: i, x1 i, x2 = bi} = n − 1

Định nghĩa 1.8 Tia Γ = {x0+ λd : λ ≥ 0} ⊆ D, trong đó x0 ∈ D, d ∈ Rn, được

gọi là một cạnh vô hạn của D nếu

rank {ai: i, x = bi, ∀x ∈ Γ} = n − 1

Để hiểu rõ hơn về tập lồi đa diện ta cũng cần biết một số khái niệm sau đây

Trong các bài toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng

D = {x ∈ Rn: Ax ≤ b, x ≥ 0}với A ∈ Rm×n

, b ∈ Rm},

tức D là tập nghiệm không âm của một hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính.Tập này không chứa đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên D có đỉnh Từ các địnhnghĩa nêu trên cho thấy:

a) Điểm x0 ∈ Dlà một đỉnh của D khi và chỉ khi hệ véctơ

{ak: k, x0 = bk} ∪ {ek: x0k = 0}

có hạng bằng n

b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) của D là các nghiệm cơ sở của hệ

Ay ≤ 0, eTy = 1, y ≥ 0, trong đó eT = (1, , 1)

c) Giả sử tia Γ = {x0+ λd : λ ≥ 0}, trong đó x0là một đỉnh và d là một hướng cựcbiên của D Khi đó Γ là một cạnh vô hạn của D khi và chỉ khi

rank ({ak: k, x = bk, ∀x ∈ Γ} ∪ {ek: xk = 0, ∀x ∈ Γ}) = n − 1.Bây giờ cho tập lồi đa diện D 6= ∅ xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính

i, x ≥ bi, i = 1, 2, , m

i, x = bi}là tập chỉ số những ràng buộc mà

xthỏa mãn chặt Đặt I0 = {i : i, x = bi, ∀x ∈ D} Tính chất đặc trưng của cácdiện (nói riêng, các đỉnh và cạnh) của D được cho trong định lý sau

Định lí 1.1 (Diện của tập lồi đa diện) Một tập con lồi khác rỗng F ⊂ D là một diện

thực sự của D khi và chỉ khi

F = {x : i, x = bi, i ∈ I, i, x ≥ bi, i 6∈ I}

với I là tập chỉ số sao cho I0 ⊂ I ⊂ {1, , m} (I gọi là tập chỉ số xác định diện

F ) Hơn nữa, ta códim F = n−rank {ai: i ∈ I} vàdim P = n−rank {ai: i ∈ I0}.

i, x ≥ bi, i = 1, , m:

a) Điểm x0 ∈ D là một đỉnh của D khi và chỉ khirank {ai: i ∈ I(x0)} = n, nghĩa

là x0thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính của D;

b) Nếu một đoạn thẳng (nửa đường thẳng hay cả đường thẳng) Γ ⊂ D là một cạnh của D thì Γ được xác định bởi một tập chỉ số I sao chorank {ai: i ∈ I} = n − 1.

1.2 Bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có dạng:

V min h(x) = [h1(x), , hp(x)]với x ∈ U, (MOPP)

với h: Rn → Rp là véctơ hàm mục tiêu, U ⊆ Rn là tập ràng buộc của bài toán.

Để giải (MOPP), ta cần phải so sánh các véctơ hàm mục tiêu [h1(x), , hp(x)]đối với các x ∈ U khác nhau Vì thế, ta cần xác định một quan hệ thứ tự trên h(U),dùng để so sánh Vì với p ≥ 2, trong Rpkhông có thứ tự toàn phần như trong R1 nên

ta chỉ có thể xác định một thứ tự bộ phận trên h(U) Giả sử K là một nón tùy ý saocho K ⊂ Rp, một quan hệ nhị nguyên (hai ngôi) theo nón K, ký hiệu ≤K, được xácđịnh bởi

a ≤K bkhi và chỉ khi (b − a) ∈ K

Quan hệ thứ tự bộ phận tạo ra bởi các nón lồi, đóng và nhọn hay được sử dụngnhất Do không thể tìm được một nghiệm mà là tối ưu đồng thời cho mọi hàm mụctiêu, nên ta dùng một khái niệm yếu hơn, đó là khái niệm điểm không bị vượt trội

Định nghĩa 1.9 Điểm y0 ∈ h(U ) gọi là điểm không bị vượt trội (non-dominated

point) theo nón K nếu không tồn tại điểm y ∈ h(U), y 6= y0sao cho y ≤K y0 Nếu

y∗ ∈ h(U )là điểm không bị vượt trội theo nón K thì x∗ ∈ Usao cho y∗ = h(x∗)gọi

là điểm tối ưu Pareto (Pareto-optimal point) theo nón K.

Định nghĩa sau đây về các điểm hữu hiệu hay được sử dụng trên thực tế

Định nghĩa 1.10 Điểm x∗ ∈ U gọi là điểm tối ưu Pareto hay nghiệm hữu hiệu

(efficiant solution) của bài toán (MOPP) nếu không tồn tại x ∈ U sao cho

[h1(x), , hp(x)] ≤ [h1(x∗), , hp(x∗)]và[h1(x), , hp(x)] 6= [h1(x∗), , hp(x∗)]

Nếu x∗ là một điểm tối ưu Pareto thì h(x∗) gọi là một điểm không bị vượt trội

(theo nón K ≡ Rp

+\ {0p})

Khi đó các nghiệm hữu hiệu, hay nghiệm tối ưu Pareto, là những nghiệm mà

không thể cải tiến theo một mục tiêu nào đó mà lại không làm thiệt hại ít nhất mộtmục tiêu khác Ta nhận xét là Định nghĩa 1.10 là một trường hợp đặc biệt của Địnhnghĩa 1.9 với nón được sử dụng là Rp

+\ {0p}

Giải một bài toán tối ưu đa mục tiêu có nghĩa là tìm một phần hay toàn bộ tậpnghiệm hữu hiệu và đệ trình nó cho người ra quyết định xem xét, đánh giá và lựachọn Khi đó, nghiệm do người ra quyết định lựa chọn (chẳng hạn theo một tiêuchuẩn nào đó) được xem là nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu đa mục tiêu đã cho.

•Khi h(x) là một ánh xạ tuyến tính và U là một tập lồi đa diện thì ta có bài toán

tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, ký hiệu là (MOLP) Có thể phát biểu như sau:

với C là ma trận cấp p × n và D ⊆ Rn là một tập lồi đa diện được xác định bởi hệ

i, x ≥ bi, i = 1, 2, , m

với ai ∈ Rn và bi ∈ R (i = 1, , m) cho trước

Sau đây là một số khái niệm về nghiệm của bài toán (MOLP)

Định nghĩa 1.11 Ta nói x0 ∈ D là một nghiệm hữu hiệu của (MOLP) nếu không

tồn tại x ∈ D với Cx0 ≥ Cx và Cx0 6= Cx Nếu mọi điểm thuộc diện F ⊆ D là

nghiệm hữu hiệu thì ta nói F là một diện nghiệm hữu hiệu hay đơn giản, diện hữu

hiệu Nếu diện hữu hiệu F là một đỉnh (hay cạnh) của D thì để đơn giản, ta nói F là

một đỉnh hữu hiệu (hay cạnh hữu hiệu) của (MOLP).

Định nghĩa 1.12 Ta nói x0 ∈ D là một nghiệm hữu hiệu yếu của (MOLP) nếu

không có x ∈ D với Cx0 > Cx Ta còn nói x0 ∈ Dlà một nghiệm hữu hiệu lý tưởng

nếu Cx0 ≤ Cxvới mọi x ∈ D

Hình 1.1 minh họa tập nghiệm hữu hiệu trong R2 khi C = I2(ma trận đơn vị).

Rõ ràng một nghiệm hữu hiệu cũng là nghiệm hữu hiệu yếu, nhưng điều ngượclại không chắc đúng

1.3 Tính chất tập nghiệm hữu hiệu của bài toán

Ta nêu lại bài toán (MOLP):

V min{Cx : x ∈ D}với C ∈ Rp×n và

D = {x ∈ Rn: i, x ≥ bi, i = 1, 2, , m},trong đó ai ∈ Rn, bi∈ R(i = 1, , m) cho trước Giả thiết D 6= ∅

Mục này quan tâm chủ yếu tới các nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP) Kýhiệu E(D) là tập các nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP)

Ta chú ý tới một số tính chất sau đây của tập nghiệm hữu hiệu của (MOLP)

Mệnh đề 1.1 Điểm x0 ∈ D là một nghiệm hữu hiệu của (MOLP) khi và chỉ khi tồn

tại véctơ dương λ ∈ Rp(λ > 0) sao cho x0 là nghiệm cực tiểu của hàm tuyến tính

f (x) = λTCx trên D.

Mệnh đề 1.2 Nếu tập D bị chặn thì (MOLP) chắc chắn có nghiệm hữu hiệu Mệnh đề 1.3 Tập nghiệm hữu hiệu của (MOLP) là liên thông đường gấp khúc, theo

nghĩa với bất kỳ hai nghiệm hữu hiệu x, y ∈ D, tồn tại hữu hạn nghiệm hữu hiệu

x1, , xk sao cho x1 = x, xk = y và mọi đoạn [xi, xi+1], i = 1, , k − 1, là hữu

hiệu.

Với mỗi x0 ∈ D, đặt tương ứng bài toán qui hoạch tuyến tính theo biến x:

max {eTC(x0− y) | Cx0 ≥ Cx, x ∈ D}, (LP0)trong đó e là véctơ p chiều với mọi phần tử bằng 1 (p - số mục tiêu trong (MOLP)).Kết quả sau chỉ ra lược đồ hay được dùng để kiểm tra một điểm chấp nhận được

x0là nghiệm hữu hiệu (dr tối ưu Pareto) của bài toán (MOLP1)

Mệnh đề 1.4 x0 ∈ E(D) khi và chỉ khi giá trị tối ưu của (LP0) bằng 0 Hơn nữa,

mỗi nghiệm tối ưu của(LP0) là một nghiệm hữu hiệu, tức là thuộc E(D), bất kể x0

có là nghiệm hữu hiệu của (MOLP) hay không.

Kết luận, chương này đã đề cập tới bài toán tối ưu đa mục tiêu và trường hợpriêng là bài toán tối ưu tuyến tính đa mục tiêu, nhắc lại một số khái niệm có liênquan đến bài toán như: tập lồi đa diện và các đỉnh, cạnh, diện của tập lồi đa diện,khái niệm điểm tối ưu Pareto hay nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu và giớithiệu tóm tắt tính chất đặc trưng của các đỉnh và cạnh hữu hiệu của bài toán tối ưutuyến tính đa mục tiêu

Chương 2

Bài toán tối ưu hai cấp

Chương này trình bày nội dung, nguồn gốc của bài toán tối ưu hai cấp, các tínhchất của bài toán, đặc biệt lưu ý tới trường hợp riêng quan trọng là bài toán tối ưu haicấp tuyến tính một mục tiêu Cuối chương, đề cập tới một số hướng ứng dụng củatối ưu hai cấp trong thực tế Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tàiliệu [2] - [8] và [10]

2.1 Nội dung bài toán

Bài toán tối ưu hai cấp (Bilevel Programming Problem, viết tắt là BPP) nảy sinh

từ nhiều ứng dụng khác nhau trong vận tải, kinh tế, sinh học, kỹ thuật, Tối ưu haicấp xuất hiện trên sách báo, tạp chí thường có liên quan đến các hệ thống phân cấp.Tối ưu hai cấp bao gồm hai bài toán tối ưu, trong đó một phần dữ liệu của bài toánthứ nhất được xác định ẩn thông qua nghiệm của bài toán thứ hai Người ra quyếtđịnh ở mỗi cấp cố gắng tối ưu hóa (cực tiểu hay cực đại) hàm mục tiêu riêng của cấpmình mà không để ý tới mục tiêu của cấp kia, nhưng quyết định của mỗi cấp lại ảnhhưởng tới giá trị mục tiêu của cả hai cấp và tới không gian quyết định nói chung

•Ví dụ thực tế: Bài toán thu lệ phí giao thông

Để làm ví dụ, ta xét tình huống thực tế sau đây trong lĩnh vực giao thông đườngbộ: Mạng giao thông đường bộ của một vùng nào đó (miền Bắc chẳng hạn), gồmnhiều đường quốc lộ và đường liên tỉnh, liên kết với nhau và nối liền nhiều tỉnh,thành phố Cơ quan quản lý (cấp trên) dự tính thu lệ phí một số tuyến đường trong

hệ thống và mục tiêu mong muốn là tối đa hóa số tiền thu được Với mỗi mức thu

phí đề ra, người tham gia giao thông (cấp dưới) sẽ đáp lại và tìm hành trình đi lại saocho làm cực tiểu tổng chi phí bỏ ra, có tính toán, cân nhắc các yếu tố có liên quannhư thời gian, khoảng cách, hao phí xăng xe, lệ phí và lựa chọn hành trình đi tối

ưu, khi tham gia giao thông trong hệ thống Nếu cấp trên đặt lệ phí quá cao, ngườitham gia giao thông sẽ từ chối chọn các tuyến đường có chi phí đắt và hệ quả là cơquan quản lý thu được ít kinh phí hơn Vậy bài toán đặt ra cho cơ quan quản lý (cấptrên) là đặt mức lệ phí trên những tuyến đường nào và mức thu bao nhiêu là có lợinhất (thu về được nhiều tiền nhất)

•Mô hình toán học

Sau đây là phát biểu toán học của một số dạng bài toán tối ưu hai cấp

Bài toán tối ưu hai cấp một mục tiêu:

tiêu của bài toán ngoài (bài toán cấp trên) và bài toán trong (bài toán cấp dưới),

G, g : Rn × Rm → R là các hàm ràng buộc của các bài toán tương ứng Ta thấy

(BPP) là một bài toán qui hoạch toán học có chưa bài toán tối ưu ở các ràng buộccủa nó

•Trường hợp riêng: Khi X, Y là các tập đa diện và F, f, G, g là các hàm tuyến

tính afin, (BPP) gọi là bài toán tối ưu tuyến tính hai cấp (viết tắt là BLPP) hay trò

chơi Stackelberg tuyến tính)

•Tối ưu hai cấp đa mục tiêu Khi F và f là các véctơ hàm, tức là

F : Rn× Rm → Rp và f : Rn

× Rm → Rq,

ta có bài toán tối ưu đa mục tiêu hai cấp (viết tắt là BMOPP).

Các bài toán tối ưu hai cấp, trong đó mỗi cấp chỉ có một hàm mục tiêu (bài toán

(BPP)) đã được nhiều người nghiên cứu Với các bài toán mà mục tiêu và các ràngbuộc là hàm tuyến tính (bài toán (BLPP)), đã có một số kết quả lý thuyết, ứng dụng

và phương pháp giải cụ thể Tuy nhiên, các bài toán tối ưu hai cấp, trong đó mỗi cấp

có nhiều hàm mục tiêu (bài toán (BMOPP)) ít được đề cập tới trong các tài liệu Sựthiếu vắng các nghiên cứu như thế có lẽ là do có những khó khăn nhất định trong tìmkiếm và xác định các nghiệm tối ưu

Trong bài toán hai cấp, mỗi cấp được quyền điều khiển (chọn giá trị) một số biếnquyết định của cấp mình Mỗi cấp đề ra quyết định nhằm tối ưu hóa mục tiêu riêngcủa cấp mình, tuy nhiên giá trị hàm mục tiêu đó thường phụ thuộc một phần các biến

do cấp kia điều khiển

Sự tương tác giữa hai cấp phản ánh tình huống xây dựng quyết định theo kiểuphi tập trung hóa, nghĩa là cấp cao hơn (cấp trên, lãnh đạo hay chủ cái) chỉ có thểgây ảnh hưởng chứ không ra lệnh hay ép buộc cấp dưới (người dưới quyền hay ngườicùng chơi) lựa chọn

Khả năng ứng dụng của tối ưu hai cấp bị hạn chế bởi nhiều khó khăn về tính toán

do bài toán hai cấp thường là bài toán không lồi và không liên thông, thuộc lớp bàitoán NP-khó và do thiếu các thuật toán giải hiệu quả

•Nguồn gốc bài toán tối ưu hai cấp

Tối ưu hai cấp bắt nguồn từ qui hoạch toán học và lý thuyết trò chơi

A Phát biểu đầu tiên về bài toán tối ưu hai cấp xuất hiện trong bài báo của

Bracken J và McGill J [5], mặc dù tên gọi tối ưu hai cấp và nhiều cấp chính thứcđược sử dụng lần đầu trong báo cáo của Candler W và Norton R [6] Tuy nhiên, mãisau thập kỷ 80 thế kỷ 20, các bài toán tối ưu hai cấp và nhiều cấp mới bắt đầu nhậnđược sự chú ý và thực sự phát triển

B Được thúc đẩy bởi lý thuyết trò chơi Stackelberg [10], một số tác giả đã đẩy

mạnh nghiên cứu tối ưu hai cấp và qua đó đã thúc đẩy sự phát triển của tối ưu haicấp trong cộng đồng qui hoạch toán học Một số khái niệm trong tối ưu hai cấp haynhiều cấp bắt nguồn từ các thuật ngữ dùng trong lý thuyết trò chơi như chủ cái, ngườicùng chơi, chiến lược, xung đột, cạnh tranh, cân bằng,

Mỗi trò chơi thường bao gồm nhiều người chơi, mỗi người chơi có một số cách

chơi hay chiến lược chơi và sẽ phải nộp (hay nhận) số tiền trả tương ứng với cách chơi đó Đơn giản nhất là trò chơi hai người với tổng 0 hay còn gọi là trò chơi đối

kháng Trong trò chơi này, số tiền thắng của người này bằng số tiền thua của ngườikia và lập nên một ma trận trả tiền Mỗi người chơi đều biết thông tin về cách chơicủa người kia và số tiền trả tương ứng Cả hai ra quyết định (công bố chiến lược chơi)cùng một lúc Hai người chơi độc lập và không hợp tác với nhau

Các trò chơi dân gian như trò chơi tung đồng xu, trò chơi gieo xúc sắc và trò chơi

"Giấy - Búa - Kéo" (hay trò chơi "One - Two - Three") thuộc loại trò chơi đối kháng,hai đấu thủ

Tiếp theo là trò chơi song ma trận với hai người chơi, trong đó số tiền thắng củangười này khác số tiền thua của người kia, mỗi người chơi trả tiền theo một ma trậnriêng Hai người chơi ra quyết định theo thứ tự qui định (người trước, kẻ sau) Mụcđích của mỗi người chơi là tìm chiến lược chơi đem lại lợí ích cao nhất (hay chi phíthấp nhất) cho người chơi đó

Trạng thái của trò chơi mà không người chơi nào được lợi hơn nếu người đó đơnphương thay đổi chiến lược chơi của mình, trong khi đối phương giữ nguyên chiến

lược chơi của họ, được gọi là nghiệm cân bằng Nash (Nash equili-brium).

Phát triển tiếp là trò chơi Stackelberg với qui tắc chơi hơi khác Người chơi giữ

quyền ra quyết định trước gọi là chủ cái (leader) Những người chơi sau đáp trả lại quyết định (chiến lược) của chủ cái gọi là người chơi thứ cấp (followers) Hành động

của người chơi này tác động đến hàm mục tiêu (lợi ích hay chi phí) và sự lựa chọnquyết định của người kia, và ngược lại

Theo quan điểm qui hoạch toán học, trò chơi Stackelberg là một bài toán tối ưuhai cấp, theo nghĩa có một bài toán mức trên (chủ cái hành động trước, cố gắng tối

ưu hóa mục tiêu của mình) và một bài toán mức dưới (những người chơi thứ cấp hànhđộng sau chủ cái, tìm cực tiểu chi phí hay cực đại lợi ích riêng của họ) Trong thực

tế, thường chủ cái có thể là một hãng lớn nổi trội trong một thị trường cạnh tranh nào

đó và những người chơi còn lại là những hãng kinh doanh nhỏ hơn trong thị trường

2.2 Đưa về bài toán tối ưu một cấp

Xét bài toán tối ưu hai cấp (BPP) Tập ràng buộc của bài toán cấp dưới phụ thuộc

Tập này nói chung không lồi, đôi khi không liên thông, thậm chí có thể rỗng

Ví dụ 2.1 Xét một ví dụ đơn giản về bài toán tối ưu hai cấp: Tìm x, y ∈ R đạt

min

x,y F (x, y) = x − 2yvới điều kiện