Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)

Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)Một số tính chất hữu ích của đường cong Hyperbol (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh sách hình vẽ iv Mở đầu Chương ĐƯỜNG CONG HYPERBOL 1.1 Định nghĩa khái niệm 4 1.2 1.3 1.4 1.5 Phương trình chuẩn hyperbol Đường tiệm cận hyperbol Hyperbol với tâm điểm cho trước Quan hệ với đường cônic khác 13 18 1.6 1.7 Tính chất phản xạ hyperbol Một số tập ứng dụng 21 23 Chương ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HYPERBOL 33 2.1 Giới thiệu khái quát 33 2.2 2.3 Hyperbol hàng hải Hyperbol kiến trúc, xây dựng 2.3.1 Kiến trúc 2.3.2 Năng lượng hạt nhân 34 38 38 39 2.4 Hyperbol Vật lý thiên văn 2.4.1 Khoa học không gian 2.4.2 Hyperbol với hệ mặt trời Hyperbol đời sống 40 40 42 43 Gương hyperbol Hệ thống định vị từ xa 43 44 2.5 2.5.1 2.5.2 ii 2.6 2.5.3 Mô hình hóa hyperbol 2.5.4 Nghệ thuật nhiếp ảnh Một số tập áp dụng 45 46 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 iii Danh sách hình vẽ 1.1 Hyperbol 1.2 Vẽ Hyperbol 1.3 Hyperbol với tiêu điểm Ox 1.4 Hyperbol với tiêu điểm Oy 1.5 Đường tiệm cận hyperbol 1.6 Hyperbol với tiêu điểm Ox 1.7 Hyperbol với tiêu điểm Oy 1.8 Ví dụ 1.2a) 11 1.9 Ví dụ 1.2b.) 11 1.10 Ví dụ 1.2c) 12 1.11 Tâm hyperbol điểm (h, k ) hai trường hợp: trục thực nằm ngang trục thực nằm dọc 13 1.12 Tâm hyperbol điểm (h, k ) = (2, 2) 14 1.13 Các đường tiệm cận hyperbol tâm (h, k ) 14 15 1.15 Ví dụ 1.4.4 17 1.16 Đồ thị hyperbol Ví dụ 1.4.6 17 1.17 Tâm sai e lớn 18 1.18 Tâm sai e nhỏ 18 1.19 Thiết diện cônic 19 1.20 Tiêu điểm đường chuẩn đường cônic 20 1.21 Tính chất phản quang 22 1.14 Tìm phương trình chuẩn nhờ đường tiệm cận iv 1.22 Góc tới góc phản xạ 22 1.23 Hình tập 1.7.6 29 1.24 Hình tập 1.7.7 30 2.1 Sao chổi quanh mặt trời 34 2.2 Cung thiên văn St Louis 34 2.3 Xác định vị trí tàu 35 2.4 Hyperbol với d1 − d2 = 50 35 2.5 Xác định vị trí tàu nhờ ba trạm phát tín hiệu 36 2.6 Xác định vị trí vụ nổ nhánh hyperbol 37 2.7 Hyperbolic paraboloid 38 2.8 Phần hyperbol vòm 38 2.9 Tháp làm mát hạt nhân 40 2.10 Phần hyperbol vỏ tháp 40 2.11 Gương không gian 41 2.12 Sơ đồ gương 41 2.13 Quỹ đạo chổi 43 2.14 Gương hyperbol 43 2.15 Hệ thống định vị từ xa 45 2.16 Thiết diện hyperbol 45 2.17 Tiếng ồn máy bay 48 2.18 Bài tập2.6.3 48 2.19 Hạt chuyển động bị lệch hướng 50 2.20 Xác định vị trí vụ nổ 50 2.21 Hai tòa nhà hình hyperbol 51 Mở đầu Các đường cônic, nói riêng đường hyperbol, quen thuộc khoa học, trường phổ thông, đời sống Chúng mô hình cho nhiều trình vật lý diễn tự nhiên: quĩ đạo thiên thể hay quĩ đạo hạt điện tích (như electron) đường cônic, nói riêng số chổi chuyển động quanh mặt trời theo quĩ đạo nhánh hyperbol Trong thực tế, ta thường thấy số công trình kiến trúc (nhà thờ, trung tâm văn hóa, cung thiên văn, tháp cao làm mát nhà máy điện nguyên tử ) hay số đồ vật có hình dạng đường cong hyperbol, kỹ thuật có thấu kính, gương bánh cưa hình hyperbol, Như vậy, đường cong hyperbol có tính chất đáng ý, sử dụng nhiều toán học, vật lý, thiên văn, địa lý, kiến trúc, xây dựng kỹ thuật Đề tài luận văn "Một số tính chất hữu ích đường cong hyperbol " có mục đích tìm hiểu trình bày tính chất đường cong hyperbol số ứng dụng đường hyperbol khoa học, kỹ thuật đời sống thường ngày Luận văn chủ yếu tìm hiểu định nghĩa, khái niệm tính chất hyperbol, đặc biệt tính chất phản xạ (ánh sáng), cách biểu diễn đại số, dạng phương trình hyperbol, , ứng dụng khoa học, kỹ thuật đời sống, đặc biệt toán xác định vị trí tàu thuyền biển, vật bay không, xác định nơi xẩy tiếng nổ, , với số tập áp dụng đơn giản Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo lấy từ nguồn Internet, không trùng lặp với tài liệu tiếng Việt có trước Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương "Đường cong hyperbol " trình bày định nghĩa khái niệm đường cong hyperbol, cách vẽ hyperbol, thiết lập phương trình dạng chuẩn hyperbol, đường tiệm cận hyperbol, cách vẽ đồ thị hyperbol, quan hệ hyperbol với đường cônic khác tính chất phản xạ hyperbol Cuối chương, nêu số tập ứng dụng đường cong hyperbol Chương "Áp dụng tính chất hyperbol " trình bày số ứng dụng thường gặp đường cong hyperbol kỹ thuật (sóng vô tuyến, thấu kính, gương, bánh răng), kiến trúc xây dựng công trình (lâu đài, nhà thờ, cung điện, tháp làm mát nhà máy điện hạt nhân ), quĩ đạo hyperbol (vệ tinh, chổi) ngành thiên văn, địa lý, xác định vị trí tàu thuyền (trên biển, không), nơi xẩy tiếng nổ Cuối chương số tập ứng dụng Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt với lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu với nhiều ví dụ hình vẽ minh họa phong phú, cụ thể Sau thời gian cố gắng nỗ lực làm việc nghiêm túc hướng dẫn thầy, GS TS Trần Vũ Thiệu, đến luận văn hoàn thành Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa ToánTin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Yên Bái, nơi công tác giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi thời gian tinh thần để hoàn thành nhiệm vụ học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới đại gia đình, bạn bè anh chị em đồng nghiệp, người động viên khích lệ giúp hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Tuyết Mai Chương ĐƯỜNG CONG HYPERBOL Chương trình bày định nghĩa, khái niệm đường cong hyperbol, cách vẽ hyperbol, phương trình chuẩn hyperbol, đường tiệm cận hyperbol tính chất phản xạ hyperbol Xét mối liên hệ đường hyperbol với đường cônic khác (elip, parabol) Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ [1- 3] [5] 1.1 Định nghĩa khái niệm Có nhiều định nghĩa hyperbol Sau định nghĩa thông dụng Định nghĩa 1.1.1 Một hyperbol (hyperbola) tập hợp tất điểm P mặt phẳng cho giá trị tuyệt đối hiệu hai khoảng cách từ P tới hai điểm cố định mặt phẳng số dương Hai điểm cố định, ký hiệu F F , gọi hai tiêu điểm (focus) Các giao điểm V V đường thẳng qua hai tiêu điểm hai nhánh hyperbol gọi đỉnh (vertices) Đoạn thẳng V V gọi trục thực (transverse axis) Trung điểm trục thực gọi tâm (center) hyperbol (xem Hình 1.1) Để vẽ hyperbol ta dùng thước kẻ, bút chì, đinh ghim sợi dây (xem Hình 1.2) Cắm hai đinh ghim bìa cứng Những 40 Hình 2.9: Tháp làm mát hạt nhân Hình 2.10: Phần hyperbol vỏ tháp Lời giải • Điểm thuộc hyperbol (vỏ tháp) đỉnh tháp có tọa độ (x, 150) Thay y = 150 vào phương trình vỏ tháp, ta nhận √ x2 1502 x2 − = ⇒ = ⇒ x = 20000 ⇒ x = 100 ≈ 141, 421 10000 1002 1502 Vậy bán kính đỉnh tháp 141,421(m) • Điểm thuộc hyperbol (vỏ tháp) đáy tháp có tọa độ (x, −350) Thay y = −350 vào phương trình vỏ tháp, ta nhận x2 x2 3502 − = ⇒ = 6, 444 ⇒ x2 = 64444, 444 ⇒ x ≈ 253, 859 (m) 2 10000 100 150 Vậy bán kính đáy tháp 253,859 (m) • Bán kính nhỏ tháp a = 100(m) 2.4 2.4.1 Hyperbol Vật lý thiên văn Khoa học không gian Để theo dõi tàu thám hiểm không gian quan sát hành tinh hệ mặt trời, quan nghiên cứu vũ trụ NASA sử dụng gương phản xạ parabol lớn với đường kính hai phần ba chiều dài 41 sân bóng đá Không cần phải nói, ta biết nhiều toán thiết kế đặt sức nặng gương phản xạ Một toán trọng lượng gương giải cách sử dụng gương phản xạ hyperbol có tiêu điểm với gương parabol để phản xạ sóng điện từ tới tiêu điểm lại hyperbol mà có lắp đặt thiết bị thu tín hiệu (xem Hình 2.11 - 2.12) Hình 2.11: Gương không gian Hình 2.12: Sơ đồ gương Ví dụ 2.4.1 Với ăng-ten thu tín hiệu hình vẽ, tiêu điểm chung F đặt vị trí cao 120 m bên đỉnh parabol tiêu điểm F hyperbol cao 20 m phía đỉnh Đỉnh hyperbol phản xạ cao 110 m phía đỉnh parabol Đưa vào hệ trục tọa độ cách dùng trục parabol làm trục Oy (chiều dương phía trên) kẻ trục Ox qua tâm hyperbol (chiều dương bên phải) Tìm phương trình gương hyperbol phản xạ? Viết y theo x Lời giải Khoảng cách hai tiêu điểm F F hyperbol 2c = 120 − 20 = 100 m Do c = 50 tâm hyperbol độ cao 20 + 50 = 70 m phía đỉnh parabol Do đỉnh hyperbol phản xạ cao 110 m phía đỉnh parabol, nên đỉnh cách tâm a = 110 − 70 = 40 (m) 42 Từ hệ thức c2 = a2 + b2 suy b2 = 502 − 402 = 2500 − 1600 = 900 b = 30(m) Trục thực gương hyperbol trục Oy , nên phương trình gương x2 y2 − = 1600 900 1600(x2 + 900) 16(x2 + 900) Giải y theo x ta nhận y = = 900 4√ 16(x2 + 900) y=± = ± x2 + 900 √ x2 + 900 Do gương hyperbol nằm gốc tọa độ nên y = 2.4.2 Hyperbol với hệ mặt trời Một ứng dụng thú vị đường cônic liên quan đến quỹ đạo chổi hệ mặt trời Trong số 610 chổi biết trước năm 1970, 245 có quỹ đạo elip, 295 có quỹ đạo parabol 70 có quỹ đạo hyperbol Tâm mặt trời tiêu điểm quỹ đạo quỹ đạo có đỉnh điểm mà chổi gần mặt trời nhất., vẽ Hình 2.13 Chắc chắn có nhiều chổi có quỹ đạo parabol hay hyperbol tới Chúng ta nhìn thấy chổi có lần Những chổi có quỹ đạo elip, chẳng hạn chổi Halley, tồn hệ mặt trời Nếu p khoảng cách đỉnh tiêu điểm (đơn vị mét) v vận tốc chổi đỉnh (đơn vị m/giây) loại quỹ đạo xác định sau: 2GM , p 2GM Parabol: v = , p Elip: v < 43 2GM p Trong mối hệ thức này, M = 1, 9891030 kg (khối lượng mặt trời) Hyperbol: v > G ≈ 6,67 10 11 m3 /(kg s)2 (hằng số hấp dẫn vũ trụ) Hình 2.13: Quỹ đạo chổi 2.5 2.5.1 Hình 2.14: Gương hyperbol Hyperbol đời sống Gương hyperbol Hyperbol thường sử dụng làm mô hình cho nhiều tình xảy lĩnh vực quang học âm thanh, sóng ánh sáng sóng âm va đập vào bề mặt hyperbol theo góc (hướng tới tiêu điểm) phản xạ lại theo hướng khác (về phía tiêu điểm kia) Ta viết phương trình cho trường hợp gương có hình dạng hyperbol, miễn ta có đủ thông tin để xác định giá trị a b phương trình đưa cho hyperbol (xem Hình 2.14) Ví dụ 2.5.1 Gương hyperbol sử dụng số kính viễn vọng Các gương có tính chất tia sáng hướng tới tiêu điểm gương phản xạ tới tiêu điểm Dựa vào Hình 2.14 viết phương trình mô bề mặt gương hyperbol 44 Lời giải Đỉnh hyperbol điểm chẵn trục Ox tâm hyperbol gốc tọa độ Do hoành độ điểm chắn trục Ox a = 15 Ta xác định b cách thay x = 20 y = 20 vào phương trình hyperbol nằm ngang giải theo b sau 202 202 x2 y − =1⇒ 2− =1 a2 b 15 b 2 2 ⇒ 20 b − 15 20 = 152 b2 ⇒ 202 b2 − 152 b2 = 152 202 ⇒ b2 (202 − 152 ) = 152 202 152 202 3600 ⇒b = = 20 − 152 Ta giới hạn hyperbol nhánh phải hay x ≥ 15 Vậy bề mặt gương mô tả phương trình 7y x2 − = với x ≥ 15 225 3600 2.5.2 Hệ thống định vị từ xa Một hệ thống định vị từ xa giúp hoa tiêu điều khiển khinh khí cầu cách trì hiệu số không đổi khoảng cách từ khinh khí cầu tới hai điểm cố định mặt đất: trạm chủ trạm vệ tinh Ví dụ 2.5.2 Hãy viết phương trình hyperbol vẽ Hình 2.15 Lời giải Đỉnh hyperbol với tâm gốc tọa độ điểm chắn trục Ox Từ hình vẽ cho thấy hoành độ điểm chắn a = 120 Ta xác định b cách thay tọa độ điểm cho trước đồ thị x = 140, y = 60 vào phương trình hyperbol nằm ngang giải theo b ta x2 y 1402 602 − =1⇒ − =1 a2 b2 1202 b 2 2 ⇒ 140 b − 120 60 = 1202 b2 ⇒ 1402 b2 − 1202 b2 = 1202 602 45 Hình 2.15: Hệ thống định vị từ xa Hình 2.16: Thiết diện hyperbol ⇒ b2 (1402 − 1202 ) = 1202 602 129600 1202 602 = ⇒b = 1402 − 1202 13 Ta giới hạn hyperbol nhánh phải hay x ≥ 120 Vậy hyperbol cho Hình 2.15 mô tả phương trình x2 13y − = với x ≥ 120 12400 129600 2.5.3 Mô hình hóa hyperbol Ví dụ 2.5.3 Biểu đồ Hình 2.16 mô tả thiết diện hyperbol tượng đặt trước Phòng thí nghiệm Gia tốc Quốc gia Fermi Batavia, Illinois a) Viết phương trình mô tả hai đường cong biên tượng b) Ở độ cao 16 feet (đơn vị đo chiều dài Anh 0,3048 m) chiều rộng tượng bao nhiêu? (Mỗi đơn vị mặt phẳng tọa độ tương ứng với feet) Lời giải a) Từ biểu đồ ta thấy trục thực trục ngang 46 a = Do phương trình hyperbol có dạng: x2 y − = 12 b Vì hyperbol qua điểm (2, 13) nên thay x = 2, y = 13 vào phương trình giải theo b ta 22 132 − = ⇒ b ≈ 7, 12 b Vậy phương trình hyperbol x2 y2 − = 12 (7, 5)2 b) Ở độ cao 16 feet kể từ mặt đất tương ứng với điểm có tung độ y = mặt phẳng tọa độ Để tìm chiều rộng tượng, ta thay giá trị vào phương trình giải tìm x, ta nhận x ≈ 1, 46 Vậy độ cao 16 feet chiều rộng tượng xấp xỉ 5,84 feet 2.5.4 Nghệ thuật nhiếp ảnh Ví dụ 2.5.4 Một gương hyperbol dùng để chụp ảnh toàn cảnh Máy ảnh hướng phía đỉnh gương đặt vị trí cho ống kính trùng với tiêu điểm gương Phương trình thiết diện gương y x2 − = 1, 16 đó, x y đo theo inch (đơn vị đo chiều dài Anh: inch ≈ 2,52 cm) Khoảng cách từ ống kính tới gương inch? Lời giải Từ phương trình thiết diện gương ta thấy a2 = 16, b2 = Từ a = 4, b = Ta tìm c theo công thức c2 = a2 + b2 = 16 + = 25, c = Do a = 4, c = nên đỉnh gương (0, −4) (0, 4), tiêu điểm (0, −5) (0, 5) Máy ảnh gương, ống kính điểm (0, −5), đỉnh gương điểm (0, 4) khoảng cách hai điểm − (−5) = Kết ống kính máy ảnh cách gương hyperbol inch 47 2.6 Một số tập áp dụng Trong mục nêu thêm số tập áp dụng Hyperbol để thấy rõ ứng dụng nhiều lĩnh vực quan trọng đời sống thực tế Bài tập 2.6.1 Xác định khoảng cách từ tàu biển tới hai trạm truyền tin: Một tàu hành trình song song với bờ biển thẳng cách bờ 60 km Hai trạm truyền tin, S1 S2 , nằm bờ biển, cách xa 200 km (như Hình 2.3) Bằng cách tính tín hiệu vô tuyến từ hai trạm, hoa tiêu tàu xác định tàu hai trạm gần S2 S1 80 km Tìm khoảng cách từ tàu tới trạm Đáp số làm tròn đến ba chữ số thập phân Lời giải (Tương tự Ví dụ 2.2.1) Nếu d1 d2 khoảng cách từ tàu tới S1 S2 hiệu d1 − d2 = 80 tàu phải nằm hyperbol với tiêu điểm S1 S2 , đồng thời hiệu hai khoảng cách cố định 80, vẽ minh họa Hình 2.4 Để đưa phương trình hyperbol, ta biểu diễn hiệu cố định 2a Như vậy, với hyperbol Hình 2.4 ta có c = 100, a = 80 = 40, b2 = 1002 − 402 = 8400 Phương trình hyperbol y2 x2 − = 1600 8400 Thay y = 60 vào phương trình giải theo x (Hình 2.4), ta x2 = 2285, 714 Do x = 47, 809 (Nghiệm âm bị loại, tàu gần S2 S1 ) Ta dễ dàng tính được: Khoảng cách từ tàu tới S1 : d1 ≈ 159, 523 km Khoảng cách từ tàu tới S2 : d2 ≈ 9, 523 km 48 Bài tập 2.6.2 Khi máy bay bay nhanh tốc độ âm sóng âm tạo hình nón âm phía sau máy bay Nếu máy bay bay song song với mặt đất nón âm cắt mặt đất theo hình hyperbol với máy bay tâm (Hình 2.17) Tiếng ầm vang nghe thấy dọc theo hyperbol Nếu ta nghe thấy tiếng ầm vang có nghĩa ta vùng hyperbol có phương trình: y2 x2 − = 1, 100 x y đo theo dặm Anh Khoảng cách theo chiều ngang ngắn từ máy bay tới nơi nghe thấy tiếng máy bay bao nhiêu? Hình 2.17: Tiếng ồn máy bay Hình 2.18: Bài tập2.6.3 Lời giải Từ phương trình cho hyperbol ta thấy a = √ 100 = 10 Theo tính chất hyperbol, khoảng cách từ tâm tới đỉnh hyperbol a = 10 Theo đề bài, máy bay tâm hyperbol nên khoảng cách ngắn theo chiều ngang từ máy bay tới nơi nghe tiếng a = 10 dặm Bài tập 2.6.3 Viết phương trình mô tả bề mặt gương hyperbol vẽ Hình 2.18 Lời giải Từ hình vẽ ta thấy khoảng cách từ tâm tới đỉnh hyperbol 25, tức a = 25 điểm có tọa độ (x, y ) = (26, 10) nằm hyperbol Thay giá trị vào phương trình chuẩn hyperbol ta xác định 49 hệ số b2 ≈ 1225, Vậy phương trình cần tìm gương hyperbol y2 x2 − = 625 1225.5 Bài tập 2.6.4 Hai tháp vô tuyến cách 200 km đặt dọc bờ biển với A nằm phía Tây B Các tín hiệu vô tuyến gửi đồng thời từ tháp tới tàu tín hiệu B nhận sớm 500 micro giây trước tín hiệu A a) Giả sử tín hiệu vô tuyến truyền với vận tốc 300 mét/micro giây, xác định phương trình hyperbol mà tàu nằm b) Nếu tàu nằm phía Bắc tháp B tàu cách bờ biển bao xa? Lời giải a) Theo đề tầu nhận tín hiệu từ B sớm từ A 500 micro giây, âm di chuyển với tốc độ 300 mét/micro giây nên hiệu số khoảng cách từ tàu tới A B 500 × 300m = 150000 m Hiệu khoảng cách 2a = 150, nên a = 75 Con tàu nằm nhánh hyperbol, với hai tháp vô tuyến A B hai tiêu điểm, A B cách 200 km, nghĩa 2c = 200 Từ c = 100 Theo tính chất hyperbol, b2 = c2 − a2 , từ b2 = 1002 − 752 = 4375 phương trình chuẩn hyperbol y2 x2 − = 5625 4375 b) Con tàu nằm phía Bắc tháp B , nghĩa có hoành độ x = c = 100 Thay x = 100 vào phương trình ta có y ≈ 56, 333 m Bài tập 2.6.5 Các thí nghiệm tán xạ, hạt chuyển động bị lệch hướng nhiều lực khác nhau, dẫn đến khái niệm hạt nhân nguyên tử Năm 1911 nhà vật lý học Ernest Rutherford (1871-1937) phát hạt alpha hướng tới hạt nhân nguyên tử 50 vàng, chúng bị lệch hướng theo đường hyperbol, minh họa Hình 2.19 Nếu hạt tiến gần tới hạt nhân đơn vị dọc theo x hyperbol với đường tiệm cận y = phương trình đường gì? Hình 2.19: Hạt chuyển động bị lệch hướng Hình 2.20: Xác định vị trí vụ nổ Lời giải Theo công thức (1.7), với hyperbol nằm ngang phương b trình hai đường tiệm cận y = ± x, theo đề bài, phương a x b a trình đường tiệm cận y = nên ta có = , từ b = Từ hình a 2 vẽ cho thấy a = Suy b = 1, phương trình đường hạt x2 y2 − = 1, x ≥ 2, 25 Bài tập 2.6.6 Hai micro cách dặm Anh ghi lại vụ nổ (Hình 2.20) Micro A nhận âm giây trước micro B Vậy vụ nổ xảy đâu? (Giả sử âm lan truyền với tốc độ 1100 feet/giây) Lời giải Theo đề bài, hai micro cách dặm (= 5280 feet) Ta 5280 đặt micro A trục hoành cách gốc tọa độ = 2640 (feet) bên phải đặt micro B trục hoành cách gốc tọa độ 2640 (feet) bên trái Hình 2.20 minh họa hai micro cách dặm 51 Ta biết micro B nhận âm sau giây so với micro A Vì âm di chuyển với tốc độ 1100 feet/giây nên hiệu số khoảng cách từ nơi xảy vụ nổ tới B tới A × 1100 = 2200 feet, nghĩa 2a = 2200 Từ a = 1100 (feet) Tập tất điểm xảy vụ nổ thỏa mãn điều kiện hyperbol, với hai micro A B tiêu điểm Như thấy c = 2640 (feet) Theo hệ thức hyperbol: b2 = c2 − a2 = 5759600 Ta kết luận vụ nổ xảy nhánh phải hyperbol y2 x2 − = 1, x ≥ 1100 1210000 5759600 Bài tập 2.6.7 Một kiến trúc sư thiết kế hai tòa nhà có hình dạng vị y2 x2 trí giống phần hai nhánh hyperbol có phương trình − = 400 625 250000, x y đo theo đơn vị mét Hỏi điểm gần nhất, hai tòa nhà cách bao xa? Hình 2.21: Hai tòa nhà hình hyperbol Lời giải Từ phương trình chuẩn hyperbol cho thấy a2 = 400, a = 20 Khoảng cách gần hai tòa nhà khoảng cách hai đỉnh hyperbol 2a = 40m Tóm lại, chương trình bày số ứng dụng thường gặp đường cong hyperbol kỹ thuật (bánh hình hyperbol, sóng vô tuyến, thấu kính, gương, kính thiên văn), kiến trúc xây dựng công 52 trình (lâu đài, nhà thờ, cung điện, tháp cao làm mát nhà máy điện hạt nhân), quĩ đạo hyperbol (vệ tinh, chổi) ngành thiên văn, địa lý, xác định vị trí tàu thuyền (trên biển, không), xác định nơi xẩy tiếng nổ Cuối chương nêu tập áp dụng với lời giải cho sẵn 53 Kết luận Luận văn tìm hiểu giới thiệu có chọn lọc tính chất hữu ích đường cong hyperbol số ứng dụng thường gặp thực tế Đây chủ đề không đáng quan tâm tìm hiểu, học tập nghiên cứu Luận văn trình bày nội dung sau Các định nghĩa, khái niệm tính chất hyperbol, đặc biệt tính chất phản xạ, cách vẽ hyperbol, phương trình chuẩn hyperbol, đường tiệm cận hyperbol, cách vẽ đồ thị phương trình hyperbol mối quan hệ đường hyperbol với đường cônic khác (elip, parabol) Các ứng dụng hyperbol hàng hải, kiến trúc xây dựng, vật lý thiên văn đời sống, đặc biệt xác định vị trí tàu thuyền biển, vật bay không, xác định nơi xảy tiếng nổ Một số tập áp dụng đơn giản với lời giải cho sẵn, giúp hiểu thêm tính chất đường cong hyperbol khả ứng dụng thực tiễn 54 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (1996), Đề thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp- môn Toán, NXB Giáo dục [2] Phan Huy Khải (2008), Hình học giải tích, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Lộc (2010), Các đường cônic, tuyển chọn thi vô địch toán địa phương, quốc gia, quốc tế, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] Trần Phương (1995), Phương pháp giải đề thi tuyển sinh môn toán, NXB Đà nẵng Tiếng Anh [5] Mathematics III - Frameworks Student Edition, Unit 5: Conic Sections, 2nd Edition - June, (2010), Georgia Department of Education [6] Application, Link: www.mcdougallittell.com ... Đề tài luận văn "Một số tính chất hữu ích đường cong hyperbol " có mục ích tìm hiểu trình bày tính chất đường cong hyperbol số ứng dụng đường hyperbol khoa học, kỹ thuật đời sống thường ngày... hyperbol với đường cônic khác tính chất phản xạ hyperbol Cuối chương, nêu số tập ứng dụng đường cong hyperbol Chương "Áp dụng tính chất hyperbol " trình bày số ứng dụng thường gặp đường cong hyperbol. .. định sau (xem Bảng 1.1) 1.6 Tính chất phản xạ hyperbol Trong mục này, trình bày tính chất quan trọng hữu ích đường cong hyperbol Đó tính chất phản xạ (ánh sáng) gương hyperbol, ứng dụng nhiều thực