Không gian sobolev

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHƠNG GIAN SOBLEW Sinh viên thực hiện: Trần Thị Thu Hà Lớp: 09 ST Giáo viên hướng dẫn: TS Trần Nhâm Tâm Quyền Đà Nẵng, tháng 5/2013 LỜI CẢM ƠN Để làm khóa luận này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Nhân Tâm Quyền, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình thực đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô khoa Tốn, thầy ban Quản lý Thư viện thuộc trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện để thực đề tài Qua đây, xin gửi lời biết chân thành đến thầy dành thời gian để đọc khóa luận đóng góp cho tơi kinh nghiệm quý báu Xin cảm ơn gia đình, đồng học quan tâm, bên cạnh động viên suốt q trình thực khóa luận Đà Nẵng, tháng năm 2013 Sinh viên thực Trần Thị Thu Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Nội dung khoá luận NỘI DUNG .7 Chương KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .7 1.1 KÝ HIỆU 1.1.1 Ký hiệu ma trận .7 1.1.2 Ký hiệu hình học 1.1.3 Ký hiệu hàm số .8 1.1.5 Các không gian hàm 10 1.2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 1.2.1 Không gian 𝐿𝑝 11 1.2.2 Không gian Holder 12 Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV .14 2.1 Đạo hàm yếu 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Bổ đề (Tính đạo hàm yếu) 14 2.1.3 Ví dụ 15 2.2 Không gian Sobolev .15 2.2.1 Định nghĩa không gian Sobolev 15 2.2.2 Các tính chất không gian Sobolev 17 2.3 Xấp xỉ .19 2.3.1 Xấp xỉ hàm trơn 19 2.3.2 Xấp xỉ hàm trơn 20 2.3.3 Xấp xỉ toàn cục .21 2.4 Thác triển hàm không gian .22 2.5 Vết 23 2.6 Bất đẳng thức Sobolev tổng quát 25 2.6.1 Bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg – Sobolev 25 2.6.2 Bất đẳng thức Morrey 28 2.6.3 Bất đẳng thức Sobolev tổng quát .31 2.7 Nhúng compact .32 2.8 Cộng tính .35 2.9 Không gian 𝑯−𝟏 36 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng mơn tốn học quan trọng, ứng dụng rộng rãi khoa học công nghệ, mơn tốn học vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Tuy nhiên, giải tốn phương trình đạo hàm riêng ta gặp khó khăn thực Việc chọn khơng gian hàm cho nghiệm tốn có vai trị quan trọng Một khơng gian hàm tuyến tính sử dụng rộng rãi lý thuyết phương trình đạo hàm riêng không gian Sobolev – Đây khơng gian hàm nhà tốn học Sobolev giới thiệu vào kỉ XX, nhanh chóng trở thành cơng cụ đắt lực việc giải phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà toán học khác tiếp tục mở rộng phát triển Vì thế, để bước đầu làm quen với phương trình đạo hàm riêng, gợi ý thầy Trần Nhân Tâm Quyền, em định chọn đề tài: “Không gian Soblev” để làm khóa luận tốt nghiệp khóa học Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm hiểu nắm định nghĩa, định lý, tính chất liên quan đến không gian Sobolev - không gian hàm tuyến tính quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Qua đó, giúp củng cố kiến thức học suốt năm đại học như: giải tích 1, 2, khơng gian metric, độ đo tích phân Lebesgue, giải tích hàm… Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu vấn đề không gian Sobolev Ở đây, tập trung nghiên cứu định nghĩa, định lý, tính chất chứng minh định lý, tính chất Phương pháp nghiên cứu Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh q trình nghiên cứu lý thuyết Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài tài liệu tham khảo bước đầu cho u thích với mơn tốn học ứng dụng, đồng thời cơng cụ đắt lực để giải phương trình đạo hàm riêng Nội dung khoá luận Nội dung khoá luận gồm chương Chương : Các ký hiệu kiến thức chuẩn bị gồm kiến thức học như: khơng gian 𝐿𝑃 số lý thuyết có liên quan không gian Holder Chương : Không gian Sobolev NỘI DUNG Chương KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KÝ HIỆU 1.1.1 Ký hiệu ma trận (i) Ta viết 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) để ký hiệu ma trận 𝐴 dạng 𝑚 × 𝑛 với 𝑎𝑖𝑗 phần tử thứ (𝑖, 𝑗) Ma trận đường chéo ký hiệu diag (𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑛 ) (ii) 𝑀𝑚×𝑛 khơng gian ma trận thực 𝑚 × 𝑛, 𝑆 𝑛×𝑛 = khơng gian ma trận đối xứng thực 𝑛 × 𝑛 (iii) tr 𝐴 vết ma trận 𝐴 (iv) det 𝐴 định thức ma trận 𝐴 (v) Cof 𝐴 ma trận phần phụ đại số 𝐴 (vi) 𝐴𝑇 chuyển vị ma trận 𝐴 (vii) Nếu 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) hai ma trận 𝑚 × 𝑛 𝑚 𝑛 𝐴: 𝐵 = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑚 𝑛 1/2 |𝐴| = (𝐴: 𝐴)1/2 = (∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 ) 𝑖=1 𝑗=1 (viii) Nếu 𝐴 ∈ 𝑆 𝑛×𝑛 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑅𝑛 , dạng tồn phương tương ứng 𝑛 𝑥𝐴𝑥 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖,𝑗=1 (ix) Nếu 𝐴 ∈ 𝑆 𝑛×𝑛 , ta viết 𝐴 ≥ 𝜃𝐼, 𝑥𝐴𝑥 ≥ 𝜃|𝑥|2 , ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑛 (x) Đôi ta viết 𝑦𝐴 thay cho 𝐴𝑇 𝑦 với 𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 , 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 1.1.2 Ký hiệu hình học (i) 𝑅𝑛 không gian Euclde thực 𝑛 chiều, 𝑅 = 𝑅1 (ii) 𝑒𝑖 = (0, … ,0,1,0, … ,0) tọa độ vectơ đơn vị (iii) Một điểm 𝑅𝑛 𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) Trong trường hợp cụ thể, xem 𝑥 vectơ hàng vectơ cột (iv) 𝑅+𝑛 = {𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝑅𝑛 /𝑥𝑛 > 0} nửa không gian mở phía 𝑅+ = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 > 0} (v) Một điểm 𝑅𝑛+1 thường ký hiệu (𝑥, 𝑡 ) = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 , 𝑡 ) ta thường dùng 𝑡 = 𝑥𝑛+1 biến thời gian Một điểm 𝑥 ∈ 𝑅 𝑛 viết 𝑥 = (𝑥 ′ , 𝑥𝑛 ) với 𝑥 ′ = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 ) ∈ 𝑅𝑛−1 (vi) 𝑈, 𝑉 𝑊 thường ký hiệu tập mở 𝑅𝑛 Ta viết 𝑉 ⊂⊂ 𝑈 𝑉 ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑈, 𝑉 compact ta nói 𝑉 chứa compact 𝑈 (vii) ∂U biên 𝑈, 𝑈 = 𝑈 ∪ ∂U bao đóng 𝑈 (viii) Cho 𝑥 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝑟 > ta ký hiệu 𝐵0 (𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑅𝑛 / |𝑥 − 𝑦| < 𝑟} hình cầu mở 𝑅𝑛 với tâm 𝑥 bán kính 𝑟 𝐵(𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑅𝑛 / |𝑥 − 𝑦| ≤ 𝑟} hình cầu đóng 𝑅𝑛 với tâm 𝑥 bán kính 𝑟 (ix) Nếu 𝑎 = 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 𝑏 = 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 thuộc 𝑅𝑛 𝑛 𝑎𝑏 = ∑ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 , 1/2 𝑛 |𝑎| = (∑ 𝑎𝑖2 ) 𝑖=1 𝑖=1 1.1.3 Ký hiệu hàm số (i) Nếu 𝑢 ∶ 𝑈 → 𝑅, ta viết 𝑢(𝑥) = 𝑢(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) (𝑥 ∈ 𝑈) Ta nói 𝑢 trơn 𝑢 khả vi vô hạn (ii) Nếu 𝑢, 𝑣 hai hàm, ta viết 𝑢 ≡ 𝑣 có nghĩa 𝑢 đồng 𝑣 Ta đặt 𝑢 ≔ 𝑣 để nói 𝑢 định nghĩa 𝑣 Giá hàm 𝑢 ký hiệu 𝑠𝑝𝑡𝑢 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑢 (iii) 𝑢+ = 𝑚𝑎𝑥 (𝑢, 0), 𝑢− = − 𝑚𝑖𝑛(𝑢, 0), 𝑢 = 𝑢+ − 𝑢− , |𝑢 | = 𝑢+ + 𝑢− Hàm dấu hàm 𝑛ế𝑢 𝑥 > 𝑠𝑔𝑛(𝑥) = { 𝑛ế𝑢 𝑥 = −1 𝑛ế𝑢 𝑥 < (iv) Nếu 𝒖 ∶ 𝑈 → 𝑅𝑚 , ta viết 𝒖(𝑥) = (𝑢1 (𝑥), … , 𝑢𝑚 (𝑥)) (𝑥 ∈ 𝑈 ) Hàm 𝑢𝑘 thành phần thứ 𝑘 𝒖 (𝑘 = 1, … , 𝑚) (v) Tính trung bình ∮ 𝑓𝑑𝑦 = 𝐵(𝑥,𝑟) 𝛼(𝑛)𝑟 𝑛 ∫ 𝑓𝑑𝑦 𝐵(𝑥,𝑟) trung bình 𝑓 hình cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) ∮ 𝑓𝑑𝑆 = 𝜕𝐵(𝑥,𝑟) ∫ 𝑓𝑑𝑦 𝑛𝛼(𝑛)𝑟 𝑛−1 𝐵(𝑥,𝑟) trung bình 𝑓 mặt cầu 𝜕𝐵(𝑥, 𝑟) (vi) Hàm 𝑢 ∶ 𝑈 → 𝑅 gọi liên tục Lipschitz |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)| ≤ 𝐶 |𝑥 − 𝑦|, với số 𝐶 với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 Ta viết 𝐿𝑖𝑝[𝑢] ≔ |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)| |𝑥 − 𝑦| 𝑥,𝑦∈𝑈 𝑥≠𝑦 𝑠𝑢𝑝 (vii) Tích chập hàm 𝑓, 𝑔 ký hiệu : 𝑓 ∗ 𝑔 (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) ≔ ∫ 𝑓 (𝑦)𝑔(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 𝑈 1.1.4 Ký hiệu đạo hàm Giả thiết 𝑢 ∶ 𝑈 → 𝑅, 𝑥 ∈ 𝑈 (i) 𝜕𝑢 𝑢(𝑥 + ℎ𝑒𝑖 ) − 𝑢(𝑥) (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝜕𝑥𝑖 ℎ giới hạn tồn (ii) Ta thường viết 𝑢𝑥𝑖 𝑡ℎ𝑎𝑦 𝑐ℎ𝑜 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑖 (iii) Tương tự 𝜕2𝑢 = 𝑢𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 (iv) Ký hiệu đa số : (a) Một vectơ có dạng 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ), thành phần 𝛼𝑖 số nguyên không âm, gọi đa số bậc |𝛼| = 𝛼1 + ⋯ + 𝛼𝑛 (b) Cho trước đa số 𝛼, ký hiệu 𝐷 𝛼 𝑢 (𝑥 ) ≔ 𝜕 |𝛼| 𝑢(𝑥) = 𝜕𝑥1 𝛼1 … 𝜕𝑥𝑛 𝛼𝑛 𝑢 𝜕𝑥1𝛼1 … 𝜕𝑥𝑛 𝛼𝑛 (c) Nếu 𝑘 số nguyên không âm 𝐷 𝑘 𝑢(𝑥) ≔ {𝐷 𝛼 𝑢(𝑥)⁄ |𝛼| = 𝑘 } tập tất đạo hàm riêng bậc 𝑘 Ta coi 𝐷 𝑘 𝑢(𝑥) điểm 𝑘 𝑅𝑛 (d) 1/2 𝑘 𝛼 |2 |𝐷 𝑢| = ( ∑ |𝐷 𝑢 ) |𝛼|=𝑘 (e) Các trường hợp đặc biệt : Nếu 𝑘 = 1, ta coi 𝐷𝑢 = (𝑢𝑥1 , … , 𝑢𝑥𝑛 ) vectơ gradient Nếu 𝑘 = 2, ta coi phần tử 𝐷 𝑢 ma trận 𝜕2𝑢 𝜕𝑥12 𝐷2 𝑢 = ⋮ 𝜕2𝑢 (𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥1 ⋯ ⋱ ⋯ 𝜕2𝑢 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 ⋮ 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝑛2 ) ma trận Hessian 1.1.5 Các không gian hàm (i) 𝐶 (𝑈) = {𝑢 ∶ 𝑈 → 𝑅⁄ 𝑢 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑈} 𝐶(𝑈) = {𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈)⁄ 𝑢 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑈} 𝐶 𝑘 (𝑈) = {𝑢 ∶ 𝑈 → 𝑅⁄ 𝑢 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑘 𝑙ầ𝑛 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑈} 𝐶 𝑘 (𝑈) = {𝑢 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑈)⁄ 𝐷 𝛼 𝑢 𝑙à 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑈 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 |𝛼| = 𝑘 } Nếu 𝑢 ∈ 𝐶 𝑘 (𝑈) 𝐷 𝛼 𝑢 thác triển liên tục tới 𝑈 với đa số 𝛼, |𝛼| = 𝑘 (ii) 𝐶 ∞ (𝑈) = {𝑢 ∶ 𝑈 → 𝑅⁄ 𝑢 𝑙à 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑣ô ℎạ𝑛} ∞ 𝐶 ∞( 𝑈) = ⋂ 𝐶 𝑘 (𝑈) 𝑘=0 ∞ 𝐶 ∞ (𝑈) = ⋂ 𝐶 𝑘 (𝑈) 𝑘=0 10 Bất đẳng thức (2) thỏa mãn với 𝑢 ∈ 𝐶 (𝑈) Bây giả sử 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑈), tồn dãy hàm 𝑢𝑚 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈) hội tụ đến 𝑢 𝑊 1,𝑝 (𝑈) Từ (2) ta có ‖𝑇𝑢𝑚 − 𝑇𝑢𝑙 ‖𝐿𝑝( ∂U) ≤ 𝐶 ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑙 ‖ 𝑊 1,𝑝(𝑈) , 𝑝 {𝑇𝑢𝑚 }∞ 𝑚=1 dãy Chauchy 𝐿 ( ∂U) Ta định nghĩa 𝑇𝑢 ≔ lim 𝑇𝑢𝑚 𝑚→∞ giới hạn 𝐿𝑝 ( ∂U) Cuối 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑈) ∩ 𝐶(𝑈), ta ký hiệu dãy hàm 𝑢𝑚 ∈ 𝐶 ∞ (𝑈) xây dựng phần chứng minh định lý (xấp xỉ toàn cục) hội tụ đến 𝑢 𝑈 Vậy 𝑇𝑢 = 𝑢|∂U Định lý (Các hàm vết 𝑊 1,𝑝 ) Giả thiết 𝑈 bị chặn ∂U ∈ C1 , 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑈) Khi 1,𝑝 𝑢 ∈ 𝑊0 (𝑈) ⟺ 𝑇𝑢 = ∂U 2.6 Bất đẳng thức Sobolev tổng quát 2.6.1 Bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg – Sobolev Định nghĩa Nếu ≤ 𝑝 < 𝑛, ta gọi số liên hợp Sobolev 𝑝 là: 𝑛𝑝 𝑝∗ ≔ 𝑛−𝑝 Lưu ý rằng: 1 = − , 𝑝∗ > 𝑝 ∗ 𝑝 𝑝 𝑛 Định lý (Bất đẳng thức Gagliardo – Niẻnberg – Sobolev) Giả thiết ≤ 𝑝 < 𝑛, tồn số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑝 𝑛 cho ‖𝑢‖𝐿𝑝∗ (𝑅𝑛) ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑢‖𝐿𝑝(𝑅𝑛 ) (1) với 𝑢 ∈ 𝐶𝑐1 (𝑅𝑛 ) Chứng minh: Trước tiên, giả sử 𝑝 = Khi 𝑢 có giá compact, với 𝑖 = 1, … 𝑛 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 , ta có 𝑥𝑖 𝑢(𝑥) = ∫ 𝑢𝑥𝑖 (𝑥1 , … , 𝑥𝑖−1 , 𝑦𝑖 , 𝑥𝑖+1 , … , 𝑥𝑛 )𝑑𝑦𝑖 −∞ Và 25 +∞ |𝑢(𝑥)| ≤ ∫ |𝐷𝑢(𝑥1 , … , 𝑦𝑖 , … , 𝑥𝑛 )| 𝑑𝑦𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑛) −∞ Suy 𝑛 𝑛 𝑛−1 +∞ |𝑢(𝑥)|𝑛−1 ≤ ∏ ( ∫ |𝐷𝑢(𝑥1 , … , 𝑦𝑖 , … , 𝑥𝑛 )|𝑑𝑦𝑖 ) 𝑖=1 −∞ Lấy tích phân vế bất đẳng thức theo biến 𝑥1 : +∞ 𝑛 +∞ 𝑛 𝑛−1 +∞ ∫ |𝑢|𝑛−1 𝑑𝑥1 ≤ ∫ ∏ ( ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑦𝑖 ) −∞ −∞ 𝑖=1 𝑑𝑥1 −∞ 𝑛−1 +∞ = ( ∫ |𝐷𝑢| 𝑑𝑦1 ) +∞ 𝑛 𝑛−1 +∞ ∫ ∏ ( ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑦𝑖 ) −∞ 𝑖=2 −∞ 𝑛−1 +∞ ≤ ( ∫ |𝐷𝑢| 𝑑𝑦1 ) 𝑛 𝑑 𝑥1 −∞ 𝑛−1 +∞ +∞ (∏ ∫ ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑥1 𝑑𝑦𝑖 ) , 𝑖=2 −∞ −∞ −∞ Tiếp tục lấy tích phân vế bất đẳng thức theo biến 𝑥2 : +∞ +∞ ∫ ∫ 𝑛−1 +∞ 𝑛 +∞ +∞ 𝑛 |𝑢|𝑛−1 𝑛−1 ∫ ∏ 𝐼𝑖 𝑑𝑥2 −∞ 𝑖=1 𝑖≠2 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 ≤ ( ∫ ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑥1 𝑑𝑦2 ) −∞ −∞ −∞ −∞ với +∞ 𝐼1 ≔ ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑦1 , +∞ +∞ 𝐼𝑖 ≔ ∫ ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑥1 𝑑𝑦𝑖 −∞ (𝑖 = 3, … , 𝑛) −∞ −∞ Áp dụng bất đẳng thức Hoder tổng quát +∞ +∞ +∞ +∞ 𝑛 ∫ ∫ |𝑢|𝑛−1 𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 ≤ ( ∫ ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑥1 𝑑𝑦2 ) −∞ −∞ −∞ −∞ 𝑛−1 +∞ +∞ 𝑛−1 ( ∫ ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑦1 𝑑𝑥2 ) −∞ −∞ 26 𝑛−1 +∞ +∞ +∞ 𝑛 ∏ ( ∫ ∫ ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑦𝑖 ) 𝑖=3 −∞ −∞ −∞ Ta tiếp tục lấy tích phân với biến 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ta được: +∞ 𝑛 𝑛 𝑛−1 +∞ ∫|𝑢|𝑛−1 𝑑𝑥 ≤ ∏ ( ∫ … ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑥1 … 𝑑𝑦𝑖 … 𝑑𝑥𝑛 ) 𝑖=1 𝑅𝑛 −∞ −∞ 𝑛 𝑛−1 = ( ∫ |𝐷𝑢|𝑑𝑥 ) (2) 𝑅𝑛 Đây bất đẳng thức (1) 𝑝 = Xét trường hợp < 𝑝 < 𝑛 Trong (2), đặt 𝑣 ≔ |𝑢|𝛾 , 𝛾 > Khi 𝑛−1 𝑛 𝛾𝑛 ≤ ∫ |𝐷 |𝑢|𝛾 |𝑑𝑥 = 𝛾 ∫ |𝑢 |𝛾−1 |𝐷𝑢| 𝑑𝑥 ( ∫ |𝑢|𝑛−1 𝑑𝑥) 𝑅𝑛 𝑅𝑛 𝑅𝑛 𝑝 (𝛾−1) 𝑝−1 ≤ 𝛾 ( ∫ |𝑢| 𝑝−1 𝑝 ( ∫|𝐷𝑢|𝑝 𝑑𝑥) 𝑑𝑥) 𝑅𝑛 Chọn 𝛾 cho 𝛾𝑛 𝑛−1 = (𝛾 − 1) 𝑝 𝑝−1 𝑝 (3) 𝑅𝑛 Khi đó, ta đặt 𝛾= 𝑝(𝑛 − 1) >1 𝑛−𝑝 𝛾𝑛 𝑝 𝑛𝑝 = (𝛾 − 1) = = 𝑝∗ 𝑛−1 𝑝−1 𝑛−𝑝 Do (3) trở thành 𝑝∗ ∗ ( ∫ |𝑢|𝑝 𝑑𝑥) 𝑅𝑛 𝑝 ≤ 𝐶 ( ∫|𝐷𝑢|𝑝 𝑑𝑥) 𝑅𝑛 27 Định lý (Đánh giá hàm thuộc 𝑊 1,𝑝 , ≤ 𝑝 < 𝑛) Cho 𝑈 tập mở, bị ∗ chặn 𝑅𝑛 , ∂U ∈ C1 Giả thiết ≤ 𝑝 < 𝑛 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑈) Khi 𝑢 ∈ 𝐿𝑝 với đánh giá ‖𝑢‖𝐿𝑝∗ (U) ≤ 𝐶 ‖𝑢‖ 𝑊 1,𝑝(𝑈) Hằng số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑝, 𝑛, 𝑈 Chứng minh: Vì ∂U ∈ C1 nên theo định lý thác triển hàm, tồn 𝐸𝑢 = 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑅𝑛 ) cho { 𝑢 = 𝑢 𝑈, 𝑢 có giá compact ‖𝑢‖ 𝑊 1,𝑝(𝑅𝑛 ) ≤ 𝐶 ‖𝑢‖ 𝑊 1,𝑝(𝑈) (1) Vì 𝑢 có giá compact nên tồn dãy hàm 𝑢𝑚 ∈ 𝐶𝑐∞ (𝑅𝑛 ) (𝑚 = 1,2 … ) cho 𝑢𝑚 → 𝑢 𝑊 1,𝑝 (𝑅𝑛 ) (2) Theo định lý (Bất đẳng thức Gagliardo – Niẻnberg – Sobolev), ta có ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑙 ‖𝐿𝑝∗ (𝑅𝑛 ) ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑢𝑚 − 𝐷𝑢𝑙 ‖𝐿𝑝(𝑅𝑛 ) với 𝑚, 𝑙 ≥ ∗ Do 𝑢𝑚 → 𝑢 𝐿𝑝 (𝑅𝑛 ) (3) Từ định lý (Bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg – Sobolev) suy ‖𝑢𝑚 ‖𝐿𝑝∗ (𝑅𝑛 ) ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑢𝑚 ‖𝐿𝑝(𝑅𝑛 ) Khẳng định (2) (3) cho ta ‖𝑢‖𝐿𝑝∗ (𝑅𝑛 ) ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑢‖𝐿𝑝(𝑅𝑛 ) (4) Từ (1) (4) suy điều cần chứng minh 1,𝑝 Định lý (Đánh giá hàm thuộc 𝑊0 , ≤ 𝑝 < 𝑛) Giả thiết 𝑈 tập mở, bị 1,𝑝 chặn 𝑅𝑛 Cho 𝑢 ∈ 𝑊0 với ≤ 𝑝 < 𝑛 Khi ta có đánh giá ‖𝑢‖𝐿𝑞 (𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑢‖𝐿𝑝(𝑈) Với 𝑞 ∈ [1, 𝑝∗ ] số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑝, 𝑞, 𝑛, 𝑈 Chú ý : Đánh giá gọi bất đẳng thức Poincare Bất đẳng thức trình bày cụ thể phần cộng tính 2.6.2 Bất đẳng thức Morrey Định lý Giả thiết 𝑛 < 𝑝 ≤ ∞ Khi tồn số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑝, 𝑛 cho ‖𝑢‖𝐶 0,𝛾 (𝑅𝑛 ) ≤ 𝐶 ‖𝑢‖ 𝑊 1,𝑝(𝑅𝑛 ) 28 𝑛 với 𝑢 ∈ 𝐶 (𝑅𝑛 ), 𝛾 ≔ − 𝑝 Chứng minh Đầu tiên, chọn hình cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂ 𝑅𝑛 Ta chứng minh tồn số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑛 cho ∫ |𝑢(𝑦) − 𝑢(𝑥)|𝑑𝑦 ≤ 𝐶 𝐵(𝑥,𝑟) ∫ 𝐵(𝑥,𝑟) |𝐷𝑢(𝑦)| 𝑑𝑦 |𝑦 − 𝑥|𝑛−1 (1) Để chứng minh điều này, cố định điểm 𝑤 ∈ 𝜕𝐵(0,1) Khi < 𝑠 < 𝑟, 𝑠 |𝑢(𝑥 + 𝑠𝑤) − 𝑢(𝑥)| = |∫ 𝑑 𝑢(𝑥 + 𝑡𝑤 )𝑑𝑡 | 𝑑𝑡 𝑠 = |∫ 𝐷𝑢(𝑥 + 𝑡𝑤) 𝑤𝑑𝑡 | 𝑠 ≤ ∫|𝐷𝑢(𝑥 + 𝑡𝑤)| 𝑑𝑡 Vì 𝑠 ∫ |𝑢(𝑥 + 𝑠𝑤) − 𝑢(𝑥)|𝑑𝑆 ≤ ∫ 𝜕𝐵(0,1) ∫ |𝐷𝑢(𝑥 + 𝑡𝑤)|𝑑𝑆𝑑𝑡 𝜕𝐵(0,1) 𝑠 =∫ ∫ |𝐷𝑢 (𝑥 + 𝑡𝑤)| 𝜕𝐵(0,1) 𝑡 𝑛−1 𝑑𝑆𝑑𝑡 𝑡 𝑛−1 Đặt 𝑦 = 𝑥 + 𝑡𝑤, 𝑡 = |𝑥 − 𝑦| Biến đổi tọa độ, ta có ∫ |𝑢(𝑥 + 𝑠𝑤) − 𝑢(𝑥)|𝑑𝑆 ≤ 𝜕𝐵(0,1) ∫ 𝐵(𝑥,𝑠) ≤ ∫ 𝐵(𝑥,𝑟) |𝐷𝑢 (𝑦)| 𝑑𝑦 |𝑥 − 𝑦|𝑛−1 |𝐷𝑢 (𝑦)| 𝑑𝑦 |𝑥 − 𝑦|𝑛−1 Nhân với 𝑠 𝑛−1 lấy tích phân từ đến 𝑟 với biến 𝑠 𝑟𝑛 ∫ |𝑢(𝑦) − 𝑢(𝑥)|𝑑𝑦 ≤ 𝑛 𝐵(𝑥,𝑟) ∫ 𝐵(𝑥,𝑟) |𝐷𝑢(𝑦)| 𝑑𝑦 |𝑥 − 𝑦|𝑛−1 29 Do (1) chứng minh Bây cố định điểm 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 Từ bất đẳng thức (1) cho ta: ∫ |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)|𝑑𝑦 + |𝑢(𝑥)| ≤ 𝐵(𝑥,1) ≤𝐶 ∫ |𝑢(𝑦)|𝑑𝑦 𝐵(𝑥,1) ∫ 𝐵(𝑥,1) |𝐷𝑢(𝑦)| 𝑑𝑦 + 𝐶 ‖𝑈‖𝐿𝑝(𝐵(𝑥,1)) |𝑥 − 𝑦|𝑛−1 𝑝 𝑝−1 1/𝑝 ≤ 𝐶 ( ∫|𝐷𝑢|𝑝 𝑑𝑦) 𝑑𝑦 ( ∫ 𝐵(𝑥,1) |𝑥 𝑅𝑛 − 𝑝 ) (𝑛−1) 𝑝−1 | 𝑦 + 𝐶 ‖𝑈‖𝐿𝑝(𝑅𝑛 ) ≤ 𝐶 ‖𝑈‖ 𝑊 1,𝑝(𝑅𝑛 ) 𝑝 > 𝑛 Mà 𝑝 > 𝑛 suy (𝑛 − 1) 𝑝 𝑝−1 (2) < 𝑛 Vì 𝑑𝑦 ∫ 𝐵(𝑥,1) |𝑥 − 𝑝 (𝑛−1) 𝑝−1 𝑦| < ∞ Với 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 tùy ý, bất đẳng thức (2) cho ta sup|𝑢| ≤ 𝐶 ‖𝑢‖ 𝑊 1,𝑝(𝑅𝑛 ) (3) 𝑅𝑛 Chọn điểm 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 gọi 𝑟 ≔ |𝑥 − 𝑦| Đặt 𝑊 ≔ 𝐵(𝑥, 𝑟) ∩ 𝐵(𝑦, 𝑟) Khi |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)| ≤ ∫ |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑧)| 𝑑𝑧 + ∫ |𝑢 (𝑦) − 𝑢 (𝑧)|𝑑𝑧 𝑊 (4) 𝑊 Bất đẳng thức (1) cho ta đánh giá ∫ |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑧)| 𝑑𝑧 ≤ 𝐶 𝑊 ∫ |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑧)|𝑑𝑧 𝐵(𝑥,𝑟) 𝑝 𝑝−1 1/𝑝 ≤ 𝐶 ( ∫ |𝐷𝑢|𝑝 𝑑𝑧) 𝐵(𝑥,𝑟) ≤𝐶 ( ∫ 𝑑𝑧 (𝑛−1) 𝐵(𝑥,𝑟) |𝑥 − 𝑧| 𝑝 ) 𝑝−1 𝑝 𝑝 𝑝−1 𝑛−(𝑛−1) 𝑝−1 ) ‖𝐷𝑢 ‖𝐿𝑝(𝑅𝑛 ) (𝑟 = 𝐶𝑟 1− 𝑛 𝑝 ‖𝐷𝑢 ‖ 𝑝 𝑛 𝐿 (𝑅 ) (5) Tương tự 30 ∫ |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑧)| 𝑑𝑧 ≤ 𝐶𝑟 1− 𝑛 𝑝 ‖𝐷𝑢 ‖ 𝑝 𝑛 𝐿 (𝑅 ) 𝑊 Từ (4) (5) suy |𝑢 (𝑥) − 𝑢(𝑦)| ≤ 𝐶𝑟 1− 𝑛 𝑝 ‖𝐷𝑢 ‖ 𝑝 𝑛 𝐿 (𝑅 ) 1− = 𝐶 |𝑥 − 𝑦| 𝑛 𝑝 ‖𝐷𝑢 ‖ 𝑝 𝑛 𝐿 (𝑅 ) Do |𝑢| = sup { 𝑛 0,1− 𝑝 (𝑅𝑛 ) 𝐶 𝑥≠𝑦 |𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑦)| } ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑢‖𝐿𝑝(𝑅𝑛 ) |𝑥 − 𝑦|1−𝑛/𝑝 (6) Từ (3) (6) suy bất đẳng thức cần chứng minh 2.6.3 Bất đẳng thức Sobolev tổng quát Định lý Cho 𝑈 tập mở, bị chặn 𝑅𝑛 , ∂U ∈ C1 Giả thiết 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑈) (i) Nếu 𝑘 < 𝑛 𝑢 ∈ 𝐿𝑞 (𝑈), 𝑝 𝑞 𝑘 𝑝 𝑛 = − Hơn nữa, ta có đánh giá: ‖𝑢‖𝐿𝑞(𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝑢‖ 𝑊 𝑘,𝑝(𝑈) (1) Hằng số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑘, 𝑝, 𝑛, 𝑈 (ii) Nếu 𝑘 > 𝑛 𝑝 𝑢 ∈ 𝐶 𝑛 𝑝 𝑘−[ ]−1,𝛾 (𝑈), 𝑛 𝑛 𝑛 [ ] + − , không nguyên 𝑝 𝑝 𝑝 𝛾={ 𝑛 số dương < 1, 𝑛ếu số nguyên 𝑝 ta có đánh giá ‖𝑢 ‖ 𝐶 𝑛 𝑘−[ ]−1,𝛾 𝑝 (𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝑢‖ 𝑊 𝑘,𝑝(𝑈) (2) Hằng số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑘, 𝑝, 𝑛, 𝛾, 𝑈 Chứng minh 𝑛 (i) Giả thiết 𝑘 < , 𝐷 𝛼 𝑢 ∈ 𝐿𝑝 (𝑈) với |𝛼| = 𝑘 Áp dụng bất đẳng thức 𝑝 Gagliardo – Nirenberg – Sobolev, ta ‖𝐷 𝛽 𝑢‖𝐿𝑝∗ (𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝑢‖ 𝑊 𝑘,𝑝(𝑈) ∗ với |𝛽| = 𝑘 − 1, 𝑢 ∈ 𝑊 𝑘−1,𝑝 (𝑈) ∗∗ Tương tự ta suy 𝑢 ∈ 𝑊 𝑘−2,𝑝 (𝑈), 𝑝∗∗ = 𝑝∗ 1 𝑛 𝑝 𝑛 1 𝑘 𝑞 𝑝 𝑛 − = − Tiếp tục sau 𝑘 bước ta có 𝑢 ∈ 𝑊 0,𝑞 (𝑈) = 𝐿𝑞 (𝑈) , với = − 31 Vậy khẳng định (1) chứng minh (ii) Giả thiết 𝑘 > 𝑟 𝑙 𝑝 𝑛 𝑛 𝑝 𝑛 𝑝 không nguyên Tương tự, ta suy 𝑢 ∈ 𝑊 𝑘−𝑙,𝑟 (𝑈), với = − (2) Nếu 𝑙𝑝 < 𝑛 Ta chọn số nguyên 𝑙 cho 𝑛 𝑙 < < 𝑙 + (3) 𝑝 𝑛 𝑝𝑛 𝑝 𝑛−𝑝𝑙 Khi ta chọn 𝑙 = [ ] Từ (3) (4) cho ta 𝑟 = > 𝑛 Từ 𝑢 ∈ 𝑊 𝑘−𝑙,𝑟 (𝑈) bất đẳng thức Morrey cho ta : 𝐷 𝛼 𝑢 ∈ 𝐶 0,1− 𝑛 𝑝 (𝑈) với 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑟 𝑝 𝑝 𝑝 |𝛼| = 𝑘 − 𝑙 − Quan sát ta thấy − = − + 𝑙 = [ ] + − Vì 𝑢∈𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 𝑘−[ ]−1,[ ]+1− 𝑝 𝑝 𝑝 (𝑈) Cuối cùng, giả thiết 𝑘 > 𝑛 𝑝 𝑛 𝑝 𝑛 𝑛 𝑝 𝑝 số nguyên Chọn 𝑙 = [ ] − = − Tương tự trên, ta có 𝑢 ∈ 𝑊 𝑘−𝑙,𝑟 (𝑈) với 𝑟 = 𝑝𝑛 𝑛−𝑝𝑙 = 𝑛 Áp dụng bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg – Sobolev cho ta 𝐷 𝛼 𝑢 ∈ 𝐿𝑞 (𝑈) 𝑛 (với 𝑛 ≤ 𝑝 < ∞ |𝛼| = 𝑘 − 𝑙 − = 𝑘 − [ ]) 𝑝 𝛼 Do bất đẳng thức Morrey cho ta 𝐷 𝑢 ∈ 𝐶 Vậy 𝑢 ∈ 𝐶 𝑛 𝑝 𝑘−[ ]−1,𝛾 0,1− 𝑛 𝑝 𝑛 (𝑈), 𝑛 < 𝑝 < ∞ , |𝛼| = 𝑘 − [ ] − 𝑝 (𝑈) với < 𝛾 < khẳng định (2) chứng minh 2.7 Nhúng compact Định nghĩa Cho 𝑋, 𝑌 không gian Banach, 𝑋 ⊂ 𝑌 Ta nói 𝑋 nhúng compact 𝑌 ký hiệu 𝑋 ⊂⊂ 𝑌 Nếu: (i) ∃𝐶 = const cho: ‖𝑥‖𝑌 ≤ 𝐶 ‖𝑥‖𝑋 (𝑥 ∈ 𝑋 ) (ii) Mỗi dãy bị chặn 𝑋 tiền compact 𝑌 Định lý (Định lý compact Rellich – Kondrachov) Giả thiết 𝑈 tập mở, bị chặn 𝑅𝑛 , ∂U ∈ C1 Giả sử ≤ 𝑝 < 𝑛 Khi 𝑊 1,𝑝 (𝑈) ⊂⊂ 𝐿𝑞 (𝑈) 32 với ≤ 𝑞 < 𝑝∗ Chứng minh Cố định ≤ 𝑝 < 𝑝∗ , 𝑈 tập mở, bị chặn nên theo định lý phần 2.6.1 suy 𝑊 1,𝑝 (𝑈) ⊂⊂ 𝐿𝑞 (𝑈), ‖𝑢‖𝐿𝑞 (𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝑢 ‖𝑊 1,𝑝(𝑈) 1,𝑝 ( ) Có nghĩa: {𝑢𝑚 }∞ 𝑈 tồn dãy 𝑚=1 dãy hàm bị chặn 𝑊 {𝑢𝑚𝑗 } ∞ 𝑗=1 hội tụ 𝐿𝑞 (𝑈) Trong định lý thác triển, khơng tính tổng qt, giả sử 𝑈 = 𝑅𝑛 dãy hàm 𝑛 { 𝑢𝑚 } ∞ 𝑚=1 có giá compact số tập mở, bị chặn 𝑉 ⊂ 𝑅 Ta giả thiết sup‖𝑢𝑚 ‖𝑊 1,𝑝(𝑉) < ∞ 𝑚 (1) 𝜀 𝜀 }∞ Cho 𝑢𝑚 ≔ 𝜂𝜀 ∗ 𝑢𝑚 Có thể giả thiết {𝑢𝑚 𝑚=1 dãy hàm trơn có giá compact 𝑉 Đầu tiên ta chứng minh 𝜀 𝑢𝑚 → 𝑢𝑚 𝐿𝑞 (𝑉 ) 𝜀 → (2) Để chứng minh điều này, ta lưu ý 𝑢𝑚 trơn 𝜀 ( ) 𝑢𝑚 𝑥 − 𝑢𝑚 ( 𝑥 ) = ∫ 𝜂(𝑦)(𝑢𝑚 (𝑥 − 𝜀𝑦) − 𝑢𝑚 (𝑥)) 𝑑𝑦 𝐵(0,1) = ∫ 𝜂(𝑦) ∫ 𝐵(0,1) 𝑑 (𝑢 (𝑥 − 𝜀𝑡𝑦)) 𝑑𝑡𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑚 = −𝜀 ∫ 𝜂 (𝑦) ∫ 𝐷𝑢𝑚 (𝑥 − 𝜀𝑡𝑦) 𝑦 𝑑𝑡𝑑𝑦 𝐵(0,1) Do 𝜀 ( ) ∫ |𝑢𝑚 𝑥 − 𝑢𝑚 (𝑥)| 𝑑𝑥 ≤ 𝜀 ∫ 𝜂 (𝑦) ∫ ∫ |𝐷𝑢𝑚 (𝑥 − 𝜀𝑡𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑡𝑑𝑦 𝑉 𝐵(0,1) 𝑉 ≤ 𝜀 ∫ |𝐷𝑢𝑚 (𝑧)|𝑑𝑧 𝑉 với 𝑢𝑚 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑉 ) 33 Vì vậy, 𝑉 tập bị chặn 𝜀 ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑚 ‖𝐿1(𝑉) ≤ 𝜀 ‖𝐷𝑢𝑚 ‖𝐿1(𝑉) ≤ 𝜀𝐶 ‖𝐷𝑢𝑚 ‖𝐿𝑝(𝑉) 𝜀 Từ (1) ta suy 𝑢𝑚 → 𝑢𝑚 𝐿1 (𝑉 ) 𝜀 → (3) Nhưng ≤ 𝑞 < 𝑝∗ , chuẩn 𝐿𝑝 , ta có 𝜀 𝜀 𝜀 ‖ 𝑢𝑚 ∗ − 𝑢𝑚 ‖𝐿𝑞 (𝑉) ≤ ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑚 ‖𝜃𝐿1(𝑉) ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑚 ‖1−𝜃 𝐿𝑝 (𝑉) Trong 𝑞 −𝜃+ 1−𝜃 𝑝∗ , < 𝜃 < Từ (1) bất đẳng thức Gagliardo – Nirenberg – Sobolev cho ta 𝜀 𝜀 ‖ 𝑢𝑚 − 𝑢𝑚 ‖𝐿𝑞 (𝑉) ≤ 𝐶 ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑚 ‖𝜃𝐿1(𝑉) Như vậy, từ (3) ta suy (2) 𝜀 }∞ Tiếp theo ta chứng minh: Với 𝜀 > tồn dãy {𝑢𝑚 𝑚=1 bị chặn liên tục đồng bậc (4) Nếu 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 𝜀 | 𝑢𝑚 (𝑥)| ≤ ∫ 𝜂𝜀 (𝑥 − 𝑦)|𝑢𝑚 (𝑦)|𝑑𝑦 𝐵(𝑥,𝜀) ≤ ‖𝜂𝜀 ‖𝐿∞(𝑅𝑛 ) ‖𝑢𝑚 ‖𝐿1(𝑉) ≤ 𝐶 đủ nhỏ cho 𝜀 ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑚 ‖𝐿𝑞 (𝑉) ≤ 𝛿 (𝑚 = 1,2 … ) (6) 34 𝜀 }∞ 𝑛 Ta nhận thấy {𝑢𝑚 𝑚=1 có giá compact tập bị chặn 𝑉 ⊂ 𝑅 Dùng (4) tiêu 𝜀 }∞ 𝜀 ∞ chuẩn compact ta có {𝑢𝑚 𝑗=1 ⊂ {𝑢𝑚 }𝑚=1 hội tụ 𝑉 Từ ta có 𝑗,𝑘→∞ 𝜀 𝜀 ‖ lim sup ‖𝑢𝑚 − 𝑢𝑚 𝑗 𝑘 𝐿𝑞 (𝑉) =0 (7) Từ (6) (7) cho ta lim sup ‖𝑢𝑚𝑗 − 𝑢𝑚𝑘 ‖ ≤𝛿 𝐿𝑞 (𝑉) 𝑗,𝑘→∞ Tức (5) chứng minh 1 ∞ 𝑙=1 Từ (5), với 𝛿 = 1, , , … ta tìm dãy {𝑢𝑚𝑙 } lim sup‖𝑢𝑚𝑙 − 𝑢𝑚𝑘 ‖ 𝐿𝑞 (𝑉) 𝑙,𝑘→∞ ⊂ { 𝑢𝑚 } ∞ 𝑚=1 thỏa mãn =0 Vậy định lý chứng minh 2.8 Cộng tính Ký hiệu: (𝑢)𝑈 = ∫𝑈 𝑢𝑑𝑦 ≔ trung bình 𝑢 𝑈 (𝑢)𝑥,𝑟 = ∫𝐵(𝑥,𝑟) 𝑢𝑑𝑦 ≔ trung bình 𝑢 hình cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) Định lý (Bất đẳng thức Poincare) Cho 𝑈 tập mở, bị chặn 𝑅𝑛 , ∂U ∈ C1 , ≤ 𝑝 ≤ ∞ Khi tồn số 𝐶 phụ thuộc vào 𝑛, 𝑝, 𝑈 cho ‖𝑢 − (𝑢)𝑈 ‖𝐿𝑝(𝑈) ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑢‖𝐿𝑝(𝑈) (1) với hàm 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑈) Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử (1) sai, tồn số nguyên 𝑘 = 1, …và hàm 𝑢𝑘 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝑈) thỏa mãn ‖𝑢𝑘 − (𝑢𝑘 )𝑈 ‖𝐿𝑝(𝑈) > 𝑘 ‖𝐷𝑢𝑘 ‖𝐿𝑝(𝑈) (2) Đặt 𝑣𝑘 ≔ ‖𝑢 𝑢𝑘 −(𝑢𝑘 )𝑈 𝑘 −(𝑢𝑘 )𝑈 ‖𝐿𝑝 (𝑈) (𝑘 = 1, … ) (3) Khi (𝑣𝑘 )𝑈 = 0, ‖𝑣𝑘 ‖𝐿𝑝(𝑈) = Và (2) cho ta ‖𝐷𝑣𝑘 ‖𝐿𝑝(𝑈) < 𝑘 (𝑘 − 1, … ) (4) 1,𝑝 ( ) Trong đó, dãy hàm {𝑣𝑘 }∞ 𝑈 𝑘=1 bị chặn 𝑊 35 Trong định lý compact Rellich – Kondrachov mục 2.7, tồn dãy {𝑣𝑘𝑗 } ∞ ⊂ 𝑗=1 𝑝 {𝑣𝑘 }∞ 𝑘=1 hàm 𝑣 ∈ 𝐿 (𝑈) cho 𝑣𝑘𝑗 → 𝑣 𝐿𝑝 (𝑈) (5) Từ (3) ta có (𝑣 )𝑈 = 0, ‖𝑣 ‖𝐿𝑝(𝑈) = (6) Mặt khác, với 𝑖 = 1, , 𝑛 𝜙 ∈ 𝐶𝑐∞ (𝑈) ta ∫ 𝑣𝜙𝑥𝑖 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑣𝑘𝑗 𝜙𝑥𝑖 𝑑𝑥 = − lim ∫ 𝑣𝑘𝑗,𝑥𝑖 𝜙𝑑𝑥 = 𝑘𝑗 →∞ 𝑈 Suy 𝑣 ∈ 𝑊 1,𝑝 ( 𝑈 𝑘𝑗 →∞ 𝑈 𝑈) với 𝐷𝑣 = hầu khắp nơi, 𝑣 số 𝑈 liên tục Mà từ (6), 𝑣 số (𝑣 )𝑈 = ⟹ 𝑣 ≡ Trong ‖𝑣 ‖𝐿𝑝(𝑈) = Vây phản chứng, ta chứng minh (1) Định lý (Bất đẳng thức Poincare hình cầu) Giả thiết ≤ 𝑝 ≤ ∞ Khi tồn số 𝐶, phụ thuộc vào 𝑛, 𝑝 cho ‖𝑢 − (𝑢)𝑥,𝑟 ‖𝐿𝑝(𝐵(𝑥,𝑟)) ≤ 𝐶𝑟‖𝐷𝑢‖𝐿𝑝(𝐵(𝑥,𝑟)) với hình cầu 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂ 𝑅𝑛 với hàm 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝐵 (𝑥, 𝑟)) Chứng minh Cho 𝑈 = 𝐵0 (0,1) Nếu 𝑢 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝐵0 (𝑥, 𝑟)) ta ký hiệu: 𝑣(𝑦) ≔ 𝑢(𝑥 + 𝑟𝑦) (𝑦 ∈ 𝐵(0,1)) Khi 𝑣 ∈ 𝑊 1,𝑝 (𝐵0 (0,1)) ta có ‖𝑣 − (𝑣 )0,1 ‖𝐿𝑝(𝐵(0,1)) ≤ 𝐶 ‖𝐷𝑣 ‖𝐿𝑝(𝐵(0,1)) Biến đổi suy định lý 2.9 Không gian 𝑯−𝟏 Định nghĩa Không gian đối ngẫu 𝐻01 (𝑈) ký hiệu 𝐻 −1 (𝑈), 𝑓 ∈ 𝐻 −1 (𝑈) 𝑓 phiếm hàm tuyến tính bị chặn 𝐻01 (𝑈) Định nghĩa Nếu 𝑓 ∈ 𝐻 −1 (𝑈), ‖𝑓‖𝐻 −1(𝑈) = sup{〈𝑓, 𝑢〉 ⁄ 𝑢 ∈ 𝐻01 (𝑈) , ‖𝑢‖𝐻01(𝑈) ≤ 1} Ta viết 〈 , 〉 để ký hiệu giá trị 𝑓 ∈ 𝐻 −1 (𝑈) 𝑢 ∈ 𝐻01 (𝑈) Định lý (Cấu trúc 𝐻 −1 ) (i) Giả thiết 𝑓 ∈ 𝐻 −1 (𝑈) Khi tồn hàm 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 𝑛 𝐿2 (𝑈) cho 36 𝑛 (𝑣 ∈ 𝐻01 (𝑈)) 〈𝑓, 𝑣 〉 = ∫ 𝑓 𝑣 + ∑ 𝑓 𝑖 𝑣𝑥𝑖 𝑑𝑥 𝑖=1 𝑈 (ii) Hơn nữa, 𝑛 (∫ ∑|𝑓 𝑖 | 𝑑𝑥 ) ⁄𝑓 ‖𝑓‖𝐻 −1(𝑈) = inf 𝑈 𝑖=1 {thỏa mãn (1) với 𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 𝑛 ∈ 𝐿2 (𝑈) } Chứng minh: Xem [6] trang 283 37 KẾT LUẬN Trước phát triển không ngừng khoa học công nghệ, chắn phương trình đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ tương lai, mở đường cho yêu thích nghiên cứu toán học ứng dụng Tuy giới phương trình đạo hàm riêng phát triển mạnh, nước ta cịn sách nói đề tài Vì để bước đầu làm quen với phương trình đạo hàm riêng em tìm hiểu khơng gian Sobolev Đây khơng gian hàm nhiều nhà toán học quan tâm khơng ngừng, phát triển Nhưng khóa luận em tập trung tìm hiểu định nghĩa, định lý tính chất có liên quan khơng gian Sobolev Chính thế, xem khóa luận tư liệu, hành trang cho em để sau có điều kiện tiếp tục nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Do thời gian kiến thức có hạn, nên em khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến quý thầy bạn để khóa luận em hoàn chỉnh 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Chương, Phương Trình Đạo Hàm Riêng, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [2] T.S Đậu Thế Cấp, Giải Tích Hàm, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [3] Hoàng Tụy, Giải Tích Hiện Đại (tập 1, 2), Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1978 [4] Trần Đức Vân, Lý Thuyết Phương Trình Vi Phân Đạo Hàm Riêng - Bộ sách cao học viện Toán học, 2005 [5] PGS PTS Đỗ Văn Lưu, Giải Tích Hàm, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, 1999 [6] Evans L.C, Partial Differential Equations, AMS Press, 1998 39 ... Holder bậc