1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Khảo sát phương trình sóng phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng 6

13 492 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 13
Dung lượng 2,97 MB

Nội dung

Luận văn thạc sĩ -ngành Toán Giải Tích-Chuyên đề :Khảo sát phương trình sóng phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

Trang 1

CHUONG 4

KHAO SAT PHUONG TRINH

Uti - (u". + >, ) + F(u, u,) = f(r ,t)

Trong chuang nay, chung ta vfin khao sat st! t6n tC;liva duy nha't nghi~m cua bai toaD (3.1) - (3.4) trong chuang 3, nhung thay nhom gia thi€t thu nha't (HI) - (Hs) bdi nhom gia thi€t thu hai (H~)- (H~) y€u han se du<Jcthanh l~p duoi day Trong chuang nay, chung t6i co sa dl;lngden phuong phap toaD ta don di~u d~ qua giOi hC;lnphi tuy€n IuJi-l Ut. B~ vi~c chung minh khoi l~p lC;li,chung ta sa dl;lng m(>tsf) k€t qua trong chuang 3

Xet bai toaD(3.1)- (3.4)

Ta vi€t lC;libai toaD bi€n phan (3.7) bdi (4.1) sau

~ (ul (t), v) + a(u(t), v)+\ F(u(t), ul (t»), v) +( h(t)UI (l,t)+ get) )v(l)

= (f(t), v), \;IvE VI' a.e t E (O,T).

(4.1)

Ta thanh l~p nhom gia thi€t thu hai nhu sau

(H~)

(H~)

(H~)

(H~)

(H~)

ho>O, O<a<3, O<p~l,

fEL2(O,T;Vo)'

gEHI(O,T),

hECo(JR), h(t)~~>O, Vt~O,

UOEV, ' UIEVo.

Sau day la dinh 19 v~ st! t6n tC;liva duy nha't nghi~m cua bai toaD (3.1) - (3.4) voi nhom gia thi€t thu hai

Trang 2

Binh ly 2. Cho trude T > 0 va (H~)-(H~) tholl Khi do bai loan (3.1) - (3.4) eo it

nhdt mQt nghifm ytu U E L 00(O,T; VI) sao eho

ul ELOO(O,T;Vo)' u(1,.)EHI(O,T),

ra+luELoo(O,T;La+I(Q)), r/3+lul EL/3+I(QT)' Han nila, ne'u 1~ a < 3 thi nghi~m ye'u nay la duy nhdt.

Chung minh Vi~c chung minh dinh ly 2 cling duQc chia lam nhi€u bltoc nhu chung minh dinh ly 1

Bu'oc 1 Xa'p XlGalerkin

Huoc nay dinh ly 1 dff chung minh sl! t6n tc.ti nghi~m x:1p Xl Galerkin

m

um(r,t) = L>mj(t)w/r), tE[O,Tm]c[O,T] cua bai tmln bien phan (4.1) voi nhom

j=1

gii thi€t thu hai (H~)-(H~) Cac danh gia tien nghi~m sail day cha phep ta l:1y

Tm = T, '\1m.

Ta viet lc.ti(3.9) va (3.10) tudng ung bdi (4.2) va (4.3) sail

(u~ (t), w}) + a( um(t),w})+( F( Um(t),u~(t)), WI)

+(h(t) u~ (1,t) + get) )w}(1) =(/(t), WI)' 1 ~ j ~ m.

(4.2)

m

Um(0) = UOm=I am} Wj ~ Uo m{lnh trang ~, khi m~ +00,

j=!

(4.3)

m

U~(0) =Ulm = I PmjWj ~ u! m{lnh trang ~p khi m ~ +00.

j=!

Bu'oc 2 Banh gia tieD nghi~m

Tli chu thkh 3.4 va nhom gii thi€t thu hai (H~)-(H~), ta co th~ ap d1:mglc.tidanh gia 1 trong dinh ly 1

Da v~y, ap d1;1ngdanh gia 1 chung ta cling thu duQc

voi

Trang 3

Xrn (t) = IIU~ (t) W +a( Urn (t),Urn (t)) + 2 fh(T)1 u~ (1,T) 12dT

0

+- frlurn(t)la+Jdr+2ffrlu~(T)1 +Jdrdr.

(4.5)

Tli (4.4), (4.5) va giii thi€t(H~), ta suy ra

(4.6)

Tniong hQp 1 0 < a < 1.

11F;(urn(t))W= frlurn(t)12a dr = frJ-alJ;-urn(t)1 a dr

(4.7)

~K~a Ilurn(t)II~a frJ-adr~ K~a

(

X~(t)

J

a ~ K~a

(

N~J) J

a.

Tniong hQp 2 1~ a < 3

Ap dl;lng b6 de 2.20.i, ta duQc

a

[

N(J)

J

2 1IF;(urn(t))II~K(a)llurn(t)II~~K(a) L .

Co

(4.8)

IIF2 (u~(t))W = IIu~(t)W~ Xrn(t) ~N~l).

Truong hQp2 0 < fJ < 1.

u(;lt P =- > , q =- t 1 - + - = , ta co

J J J

(

J

J

J

~ [(1-jJ)r+jJrlu~(t)12] dr ~ Ii0 +jJXrn(t)~Ii +jJNjl).

Tom l(;li, ta co duQc

Trang 4

IIFrFl(Um)II~2(QT)= JII~(um(r))112 dr.

0

I

IIj;F;(u~(t))l1~2(QT)= III F;(u~(t»112 dr.

0

(4.10)

(4.11 ) Bu'oc 3 Qua giOih~n

Tu (4.4) - (4.11) ta co th€ trich tu day {urn}mQtday con vlin ky hi~u la {urn}'

sao cho

Urn~u trong LOO(O,T;VI) yeu *, u~ ~UI trong LOO(O,T;Vo)yeu *,

00 ,.('

urn(1,.)~u(1,.) trong L (O,T) yeu*,

I ,.('

urn(1,.)~u(1,.) trong H (O,T)yeu,

ra+1Urn~ ra+1u trong L00 (0, T;La+1(Q)) ye'u *,

-r/3+1u~ ~ r/3+1Ul trong L/3+1(QT) ye'u,

j;F; (urn)~ XI trong L2 (QT) yell,

j;F2(u~)~ X2 trong L2(QT)yeU.

Chu yding, tu (4.18), (4.19) ta co

f;(um) ~ J; trong L\O,T;Vo) yell,

F;(u~)~ J; trong L2(0,T;Yo) yell.

Ly lu~n tu'dngtl! nhu'trong dinh ly 1, voi chu y r~ng ham F;(u)= Iu la-Iu,

0 < a < 3, lien t1:1Ctren JR, ta co

Ta viet l~i (3.80) nhu'sau

- I(u~,(t),Wj)q/(t)dt + Ia(urn(t),wj)<p(t)dt + I(F;(urn(t)),wj)<p(t)dt

+ I(F; (u~(t)), Wj) <p(t)dt + I( h(t)u~(1,t)+ get) ) Wj(1)<p(t)dt

T

= f(f(t), Wj)<p(t)dt,v j, V<pED(O,T).

0

(4.12) (4.13) (4.14) (4.15) (4.16) (4.17) (4.18) (4.19)

(4.20) (4.21)

(4.22)

(4.23)

Trang 5

Qua gidi hc.lllkhi m ++00 trong (4.23) bdi (4.12)- (4.15), (4.21) va (4.22), ta du'<;fc

f[ ~ (a'(t), Wi) +a( Get),Wi) +( F, (a(t») + J;, Wi) ]<p(t) dt

T

+f(h(t)ul (l,t)+ get))w/l) qy(t)dt

°

T

= f(J(t)'Wj)qy(t)dt, V}, VqyED(O,T).°

(4.24)

Tit (4.24) ta suy ra

:t (uI(t),v)+a(u(t),v)+(F;(U(t))+ Fr'v)

+( h(t)ul (l,t)+ get))v(l) = (J(t), v), VvE VI,

B~ chung minh u la nghi~m ye'u cua bai toan (3.1)- (3.4) ta con phai chung

(4.25)

minh u(O)= UO'ul (0) = UI va F2(ut) = Fr.

a) Chung minh u(O)= Uotu'dng tl! nhu' trong dinh ly 1.

b) Chung minh ul(0)=u, Ta coham

n-~(u~(t),wi) EL2(0,T), Vi, '11m.

Tit (4.2), ta suy ra

t ~ ~(u~(t), w}) = (J(t), Wi) -a( urn(t), Wi)- (F( Urn(t),U~(t)),W})

-( h(t)u~(l,t)+ get) )w/l) EL2(0,T), V},'11m.

(4.26)

(4.27)

Tit (4.26) va (4.27) ta suy ra ham: t~(u~(t),wi) EHI(O,T), Vi, '11m,va do do thuQc v€ CO([0, T]) Tu'dng tl! ta co t ~ (Ul (t), Wi) E CO([0, T]), Vi.

Do phep nhung HI(O,T) c.Co([O,TD la compact va cac ham t ~(u~(t), Wi)'

t ~ (Ul(t), Wi) lien t1,1C,nen ta co

l(u~(O)-ul (0), Wi)1 ~ l(u~(O)-U~(t), wi )1+ I(u~(t)-Ul (t), Wi)1 (4.28)

+I( ul (t)- ul (0), wi )1 + 0 khi m + +00, t + 0+

Tit (4.28), ta co suy ra u~ (0) + ul (0) trong VI ye'u.

Ke't h<;fp (4.3) ta du'<;fc Ul (0) = ul.

Trang 6

) Ch/ . h - %z

c (tng mIll F;(Ut) - J;.

Trudc htt ta chung minh b6 d~ sail

B6 d~ 4.1 GiGsa U ia nghi~m ytu cua hai loan

Uu-(Urr+*Ur) = f(r,t), 0 < r < 1,0 < t <T,

I

lim J; ur(t)

I

< +00,-ur(1,t) = iI(t),

r >O+

u(r,O)=uo' u/(r,O)=ul'

uELOO(0,T;V1), ul ELOO(O,T;Vo)' u(1,.)EH1(0,T),

UoEVI' UI E Va' HE Lz(O,T).

Khi do ta co

t

!II ul (t) W +!II ur(t) W + fiI(T)UI (1,T)dT0

t

~!II U1 W +~ IIUOr W + f(J(T),UI (T))dT, a.e.t E (O,T).

0

Han mia, ntu Uo= UI= 0, thi ta du:r;tc

t

!llul(t)W +!llur(t)W + fiI(T)UI(l,T)dT

0

t

= f(J(T),UI(T»)dT, a.e.tE(O,T).

0

'" (4.29)

(4.30)

(4.31)

Chung minh b6 d~ 4.1 CO'd!nh tl' tz, 0< tl < tz < T va xet ham v(r,t) duQc xac

d!nh giO'ngnhutrong [4] sail

B~t

v(r,t) = [(em(t)Ut(t»)*Pk(t)*Pk(t)]em(t), tE[O,T],

trong do

(i) em(t) la ham lien tlJCtung khuc tren [0,T] duQcd!nh nghia nhu sail

em(t) =

0, neu 0 ~ t ~ tl + l m hoi;ic tz _l m ~ t ~ T,

1 '"'

t+ 2< t < t 2

, neu 1 -m - - z ,m

(

1

)

m t-tl , m neu tl+-~t~ m tl+-, m -m

( t-tz +l ), neu tz -~ ~ t ~ tz _l.

(4.32)

(4.33)

Trang 7

1 2

-[ 1 1]

(iii) (*) la tich ch~p theo bien thai gian t, nghia la

(4.34)

00

-00

L!y tich vo huang cua ham v(r,t) trong (4.32) vai phuong tdnh thu nh!t cua

(4.29), saud6 l!y phantheot tit 0 de'nT , ta duQc

trong d6

0 0

Ymk=- fdt Jg(rur)vdr,

0 0

Zmk= - fdt fr ](r,t)v(r,t)dr.

0 0

(4.37)

Ta Iffn luQt chung minh r~ng

T

limXmk =- fem(t)e~(t)lIul(t)1I2 dt,

k->oo

0

(4.38)

lim Ymk= - fem(t)e~ (t)11ur(t) 112dt + fe~(t)iI(t)ul (l,t)dt ,

k->oo

(4.39)

T

~~Zmk =- fe~(t)(J(t),u/(t))dt.

0

(4.40)

Trang 8

i) Chung minh (4.38) Sa d\:mgtinh cha't cua cac ham em(t) va Pk(t), ta co

Xmk = frdr fern(t)Utt(t)dt f[ (em (s)urCs»)* Pk(S) J pk(t - s)ds

(4.41)

= frdr f[ (em (S)Ut(S»)* Pk (s) Jds f(em (t)Utt(t)) pk(t- s)dt

+00

= f((em(S)Utt(S»)* Pk(S),(em(S)Ut(S»)* Pk (s); ds

-00

T

= f((em (t) Utt (t») * Pk (t), (em (t) Ut (t») * Pk (t); dt

0

= II ~[( em(t)Ut(t») * Pk(t) J,( em (t)Ut(t»)* Pk(t»

)dt

T

- f((e~ (t)Ut(t») * Pk(t),( em(t)Ut(t»)* Pk(t)) dt

()

1 T a

=2"0f atII(em(t)urCt))*Pk(t) 112dt

T

=- f((e~(t)Ut(t»)*Pk(t),(em(t)UrCt))*Pk(t))dt.

()

Cho k ~ +00, tu (4.41) ta thu du'Qc (4.38).

ii) Chung minh (4.39) Ta co

T I

y"'k =- fdt f;(rurCt»)[(em(t)u/(t))*Pk(t)*Pk(t)]em(t)dr

0 0

(4.42)

T I

= - fdtf; [(r ur (t)em (t)) * Pk(t) J [( em (t) ul (t»)* Pk(t) ]dr

0 0

T

=f[(H(t)Bm(t» * Pk(t) ][( em(t)ul (l,t))* Pk(t) ]dt

0

T

+ f((ur(t)em(t))*Pk(t),(em(t)u:(t))*Pk(t))dt.

0

Cho k ~ +00, tu (4.42) ta thu du'Qc

l~Ymk =1 fe;(t)~ II urCt) 112dt + fe;(t)H(t)u/(l,t)dt

= - fem(t)e~(t)11 ur(t) W dt + fe;(t)H(t)ul (l,t)dt.

Trang 9

iii) Chung minh (4.40) Ta co

T

Zmk =- f((em(t)](t)) *Pk(t),(em(t)u!(t))* Pk(t))dt

0

(4.43)

Cho k ~ +00, til (4.43) ta thu duQc (4.40).

D€ qua gioi h<;lnkhi m ~ +00 trong (4.38) - (4.40) ta din b6 d€ sail

B6 d~ 4.2. V6'i ham em(t) dlif,fCcho (J (4.33), ta co

(i)

lim fe;, (t)G(t) dt =fG(t)dt, v6'i mQi GELz(O,T),

m-HOO

(4.44)

(ii)

T

lim fem(t)e~(t)G(t)dt=!G(tl)-!G(tZ), v6'i mQi GEL1(0,T).

Chung minh (i) Ta co

fe;,(t)G(t)dt- fG(t)dt ~ f(1-e;,(t)) IG(t)ldt

,;11 G 11"(0.') 0(1- em(I))' (I + em(I))' dtr ,; 211 G II"(O,T) [:!(I-em (t))' dtr

[

J

~

~ 211G II"(OT) ~ <~ [l-m(t-t, ~ Jr dt+::~[I+m(H, +~ Jr dt

1

(

J

~ 211GII, -+- = ,IIGII, ~O, khl m~+oo.

L «J.T) m 3m 3 ;m L (D.T)

Chung minh (ii) Xem [7].

Qua gioi h<;lnkhi m ~ +00 trong (4.38) - (4.40) b~ng cach ap dl;lng b6 d€ 4.2,

k€t hQp voi (4.36), ta duQc

I,

tllu!(tz)IIZ +tllur(tz)[Iz + fH(t)u!(l,t)dt

I,

(4.46) I,

=tllu/(t[)W +tllur(t[)W +f(J(t),u!(t))dt," a.e.tptz E(O,T),tl <t2.

Til (4.46) chung ta thay t2 =t , sail do qua gioi h<;lnkhi t,~ O+va sa dl;lng tinh ch:1t naa lien tl;lcduoi y€u cua ham IIvW ta thu duQc (4.30)

Trang 10

Truong hQp Uo=UI = 0, chung ta thac tri~n u,], if bdi 0 khi t < O Khi d6 d~ng

thuc (4.46) dung h§u he'"tt2 < T.

Layt2 = tE(O,T), tl < 0 khi d6 tu (4.46) ta duQc

!llul(t2)112 +!llur(t2)W + fif(T)ul(I,T)dt= f(](T),UI(T);dT.

Cho 'I~ 0_, tu (4.47) ta thu duQcd~ng (4.31)

V~y b6 d~ 4.1 dfi duQcchung minh

Trd l~i chung minh F2(ul)= j;.

Ap dt,mgb6 d~ 4.1 voi fl(t) =hou(1,t)+h(t)ul(1,t)+g(t),va ] = f -~(u)- Jr,

ta duQc

-IIUl(t)112+-a( u(t), u(t)) + fh(T)1ul(1,T) 12dT +-11 ra+lu(t) lI~a:~,-,

0

2::!llul W +!a(uo,uo)+~lIra+luo II~u++~(Q)+ f(f(T), UI(T))dT

- fg(T)UI (1, T)dT - f

( Xl- ,ul (T) )

dTo

Lay tich phan hai ve'"(3.36) theo t tu 0 de'"n t, ta duQc

-[llu~(t)112 +a(Um(t), um(t))J+-llra+lum(t)II~':+~(Q)2 a+I

=~ II U1m W + a ~ 111ra+luom II~:+~(Q) + 2 a( uom' uom) + f\f(T)'U~(T) )dT

- fg(T)U~(1,T)dT- f\F;(u~(T)),U~(T))dTo

Tudng tv nhu danh gia trong (3.39), ta suy ra

II

a+l a+l

Il a+l

-f I Ia+ld

r UOm-r Uo LU+I(Q)- r UOm-Un r

0

2Ka+l

:::; L-II UOm- Uo 11~+I~ 0 khi m~ 00.

3-a

Tu (4.50) ta suy ra

II

a+l

Il a+l

II

a+l

Il a+l

kh' ~

(4.47)

(4.48)

(4.49)

(4.50)

(4.51)

Trang 11

Liy liminf hai ve cua (4.49), ket h<Jpvoi (4.3), (4.12)m~oo - (4.16),va (4.51),

ta du'<Jc

-II2 ul (t)W +-a(2 u(t),u(t)) + ()fhef) Iul (1, T) 12dT +-11 a + 1 ra+lu(t) II~:+~n( )

~!llul W +!a(u(puo)+~lIra+luo II~a:~r +f(f(T), UI(T) )dT

0

(4.52)

- fg(T)UI (1, T)dT -li~}~f f(F; (U~(T) ),u~(T))dT.

So sanh (4.48) va (4.52), ta thu du'<Jc

liTj~f.J( F, (U~(T)),U~(T))dT ,; j(J; ,a' (T))dT.

M~t khac, tli (4.13) va (4.21) ta suy ra

(4.53)

li~}~f f( F; (V(T) ),u~(T))dT = f( F; (V(T) ),Ul (T))dT, '\Iv E L2(0,T;Vo)' (4.54)

]i~Jc?f j(F,(U~(T)),V(T))dT ~ j(J"V(T»)dT, VveL2(O,T;V,).

Tli (4.53) - (4.55), ta thu du'<Jc

(4.55)

I

li~}~f f(F; (u~ (T))- F; (V(T)), U~(T) -vCr) )dT

()

(4.56)

,; j(j'; - F, (V(T), u' (T)- V(T))dT, 'tv E L'(O, T; Yo)' a.e t E (O,T).

Tli (4.56) va do Hnhdon di~u tang cua ham F;(x)= IX IP-l x, 0 < fJ ~ 1, ta suy ra

j( 1- f; (V(T)), u' (T) - V(T)}dT '" 0, \Iv E L'(O, T; V,,), a.e t E (0, T). (4.57)

Trong (4.57), cho t = tk ~ T khi k ~ +00, ta du'<Jc

i(7r - F, (V(I»), u' (T) - v(l) )dl? 0, 'Iv E L'(O,T;Yo)' (4.58) Trong (4.58) ta chQn v = Ul +,{ w, voi ,{ > 0 va WE L2(0,T; Va), ta thu du'<Jc

f(7r - F, (u' (I) + 1 w(t)), w(l) )dt os;0, \lw E L'(O,T; Vo)' \11> O. (4.59)

Bay gio ta xet day {,{k}, ,{k > 0, ,{k ~ 0+ khi k ~ +00 Khi d6 ,{k < M, '\Ik.

Ta se chung minh rF;(Ul+~W)w kha tich tren QT' Th~t v~y

Trang 12

Ap d\lng b6 d€ 2.16, ta co

IE;(Ul (t)+Ak W(t») /2=I Ul(t)+Ak W(t) 12fJ ::;Ilul (t)I+ Mlw(t)112fJ

::;M(P)(lul (t)12fJ+ M2fJ IW(t)12fJ),

(4.60)

trong 0

!

'"

0< fl::;-,

1,neu fJ 2

M(P)= 2fJ-1 e'u 1 <P<1.

2 ,n 2 TiY(4.60), va ap d\lng (4.9), ta thu duQc

liE;(Ul (t)+Ak w(t»)W::; M(P)( liE;(Ul (t»)W + M2fJllE;(w(t»)W)

:>M(/i) [Ii +Jillu'(1)11'+ M'PCi+Jillw(t)II' )]

=M(P) [11 (1+M2fJ)+p( Ilul(t)W + M2fJllw(t)W)].

TIT

ffrE;(ul(t)+Ak w(t) )w(t)drdt ::; ~(E;(UI(t)+Ak w(t) ),w(t»)ldt

T

::; filE; (Ul (t)+Ak w(t) )llllw(t)lldt

0

::;1 filE;20 (Ul(t)+Ak w(t»)W dt+t 0fllw(t)W dt

< T (1- P)(1+ M2fJ )M (P) + pM (P) IIul 112,

+ l+P M(P)M2fJ IIwW2

V~y rE; (Ul + AkW )w khii tich tren QT'

Do tinh lien t\lC cua ham E;(x) =IxlfJ-1x, O<P::;l, nen rE;(ul +Akw)w hQi t\l

h~u kha:p ndi tren QT v€ ham rE;(ul)w khi k ~ +00.

Ap d\lng dinh ly hQi t\l bi ch~n, ta thu duQc

f(E;(UI(t)+Ak w(t»),w(t»)dt ~ f(E;(UI(t»),w(t»)dt, khi k~+OO.

(4.61)

Ap d\lng ke't qua (4.61), trong (4.59) cho A ~ O+,ta thu duQc

f(J; - 1', (u' (I)), w(t) )dt =>0, \fw E L'(O, T; Yo)' (4.62)

Trang 13

Trong (4.58) ta l(;li chQn v=ul -AW, voi A>O va WELz(O,T;Vo)' sail d6 cho

A ~ 0+, ta cling thu du<jc

J( J; - F, (u' (t)), wet) )dt;, 0, \1w E L'(O,T; Yo)'

Tli (4.62) va (4.63) ta kC'tlu~n F;(UI)= J;.

(4.63)

V~y c) dff du<jc chung minh

Bl.ioc 4 Chung minh stf.duy nha't nghi~m

Gia sil' 1sa < 3, va ul' Uz la hai nghi<%myC'u cua bai toan (3.1) -(3.4) nhutrong

dinh ly 2 Khi d6 W =UI - Uz la nghi<%myC'ucua bai toan

Wit-(Wrr+~Wr) = f(r,t), 0 < r < 1,0 < t <T,

I

lim.Jrwr(t)

1

<+00, -wr(l,t) = H(t),

r-70+

w(r,O) = wi (r,O) = 0,

fer, t) = F( uz(t), u~(t)) - F( UI(t),u: (t)),

H(t)=how(l,t)+h(t)w (l,t),

(4.64)

va thoa di€u ki<%n

wELOO(O,T;V[), wi ELOO(O,T;Vo), w(l,.)EL"'(O,T)nHI(O,T),

ra+lw E L 00(0, T;La+1 (0.»), rP+lwl E LP+I(QT).

Ap dl;lng b6 de 4.1 ta thu du<jc (3.89)

BC'n day ta sil'dl;lng l(;likC'tqua trong chung minh sl! duy nha't nghi<%mcua dinh

ly 1, ta thu du<jc UI= uz.

V~y dinh ly 2 dffdu<jcchung minh

Ch6 thich 4.1 Trang chang minh Sl! duy nhd't nghi~m cua dinh ly 2, chung ta

khong the'lam nhl1trang dinh ly 1, nghza la lay v = wi, ma phdi sa dfrlngden b6

d~ 4.1 biJivi chungta khongco diiu ki~nWi ELOO(0, T; VI) .

Dinh ly 2 dii miJ rQngcho dqi ll1(/ngphi tuytn F;(u) = Iu la-Iu, 0 < a < 3 vai

so' mil tang 1 dClnvi so veJimQt trl1ang h(/p trang [3], [7] vai dqi ll1(/ngphi tuyen

Iu IP-2 U, 1< P < 3

Ngày đăng: 10/04/2013, 16:08

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w