khảo sát phương trình sóng phi tuyến

trình bày về khảo sát phương trình sóng phi tuyến

19 Chương 1 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN ),,,,( txxxtt uuutxfuu =− 1.1. Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và giá trò ban đầu sau đây ,0, ,),,,,( Ttxuuutxfuu txxxtt <<Ω∈=− (1.1.1) ),(),1(),1( (t),),0(),0( 1100 tgtuhtugtuhtu xx =+=− ,0 Tt << (1.1.2) ),( ~ )0,( (x), ~ )0,( 10 xuxuuxu t == ,Ω∈x (1.1.3) với 10 ,hh là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thuộc lớp ).),0[]1,0([ 31 IRC ×∞× Chương nầy gồm hai phần. Để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần một từ mục 1.1 đến mục 1.5 và phần hai bắt đầu từ mục 1.6 trở đi. Trong phần một, chúng tôi sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) – (1.1.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Các kết quả của chương nầy tổng quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2]. Ta cũng lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được cho [13, 14, 21, 22]. Phần 2 sẽ đề cập đến bài toán khai triển tiệm cận theo một tham số bé ε mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương nầy. 1.2. Các ký hiệu và giả thiết Ta thành lập các giả thiết sau 20 )( 1 H ,0 ,0 10 ≥> hh )( 2 H ),( ~ ),( ~ 1 1 2 0 Ω∈Ω∈ HuHu )( 3 H ),),0[( 31 IRCf ×∞×Ω∈ )( 4 H ).( , 3 10 + ∈ IRCgg Xét hàm số phụ . )()1()()]1([ ),( 1010 10011 hhhh tgxhtghxh tx ++ +++− = ϕ (1.2.1) Đặt ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤+= −= .0),,1(),1( ),,0(),0( 11 00 TttvhtvvB tvhtvvB x x (1.2.2) Khi đó, với phép đổi biến ,0 , ,),(),(),( Ttxtxtxutxw ≤≤Ω∈−= ϕ (1.2.3) thì w thỏa mãn phương trình ,0 , ),,,,,( ~ Ttxwwwtxfww txxxtt <<Ω∈=− (1.2.4) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤= = ,0,0 ,0 1 0 TtwB wB (1.2.5) và điều kiện đầu ,),( ~ )0,(),( ~ )0,( 10 Ω∈== xxwxwxwxw t (1.2.6) trong đó ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−= −+++= ),0,()( ~ )( ~ ,)0,()( ~ )( ~ ),,(),,,,(),,,,( ~ 1100 xxuxwxxuxw txwwwtxfwwwtxf t ttttxxtx ϕϕ ϕϕϕϕ (1.2.7) thỏa . ~ , ~ ,)),0[( ~ 1 1 2 0 31 HwHwIRCf ∈∈×∞×Ω∈ (1.2.8) 21 Như vậy từ bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất (1.1.1)-(1.1.3) với phép biến đổi (1.2.3) sẽ tương đương với bài toán biên hỗn hợp thuần nhất (1.2.4)-(1.2.6). Do đó, không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng )( 5 H .0 10 == gg Trên 1 H ta sử dụng một chuẩn tương đương sau: .)()0( 2 1 1 0 2 /2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∫ dxxvvv H (1.2.9) Trong chương này, ta sử dụng dạng song tuyến tính trên 1 H như sau: ., ),1()1()0()0()()(),( 1 10 1 0 // Hvuvuhvuhdxxvxuvua ∈∀++= ∫ (1.2.10) Khi đó ta có các bổ đề sau Bổ đề 1.1. Phép nhúng 1 H ↪ ( ) Ω 0 C là compact và () . ,2 1 10 Hvvv HC ∈∀≤ Ω Bổ đề 1.1 là một kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [3, 4]. Bổ đề 1.2. Với giả thiết ),( 1 H dạng song tuyến tính đối xứng xác đònh bởi (1.2.10) liên tục, cưỡng bức trên , 11 HH × nghóa là: (i) ,, ,),( 1 1 11 HvuvuCvua HH ∈∀≤ (ii) . ,),( 1 2 0 1 HuuCuua H ∈∀≥ với {} { } .2,,1max ,,1min 10100 hhChC == Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Schwartz và bổ đề 1.1 ta có ( i ) đúng. Chứng minh ( ii ) thì dễ dàng nên ta bỏ qua. Bổ đề 1.3. Tồn tại một cơ sở Hilbert trực chuẩn }{ j w của 2 L gồm các hàm riêng w j ứng với trò riêng j λ sao cho 22 , 0 21 LL ≤≤≤≤< j λλλ ,lim +∞= +∞→ j j λ (1.2.11) ,,),( 〉〈= vwvwa jjj λ với mọi L ,2,1 , 1 =∈ jHv (1.2.12) Hơn nữa dãy {} jj w λ cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của 1 H tương ứng với tích vô hướng ).,( ⋅⋅a Mặt khác, chúng ta cũng có hàm j w thỏa mãn bài toán giá trò biên sau: , jjj ww λ =Δ− trong ,Ω (1.2.13) ).( ,0)1()1()0()0( 1 / 0 / Ω∈=+=− ∞ Cwwhwwhw jjjjj (1.2.14) Bổ đề 1.3 được chứng minh bằng cách áp dụng bổ đề 0.3, chương 0, với , 1 HV = 2 LH = và ),( ⋅⋅a cho bởi (1.2.10). Với 0 ,0 >> TM ta đặt ,),,,,(sup),,( 00 wvutxffTMKK == (1.2.15) ( ) ),,,,,(sup),,( ///// 11 wvutxffffffTMKK wvutx ++++== (1.2.16) sup trong (1.2.15), (1.2.16) được lấy trên miền ,0 ,10 Ttx ≤≤≤≤ .2,, Mwvu ≤ (1.2.17) Với mỗi 0>M và ,0>T ta đặt }.,, ),,,0(),;,0(:);,0({),( );,0();,0();,0( 212 212 MvMvMv LTLvHTLvHTLvTMW LTL tt HTL t HTL ttt ≤≤≤ ∈∈∈= ∞∞∞ ∞∞∞ (1.2.18) 1. 3. Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến Trong phần này, với sự chọn lựa M và T thích hợp, ta xây dựng một dãy }{ m u trong ),( TMW bằng qui nạp. Dãy }{ m u sẽ được chứng minh hội tụ về nghiệm của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với .0 10 == gg Chọn số hạng ban đầu ).,( 0 TMWu ∈ Giả sử rằng ).,( 1 TMWu m ∈ − (1.3.1) 23 Ta liên kết bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với 0 10 == gg với bài toán biến phân tuyến tính sau: Tìm ),( TMWu m ∈ thỏa ,,),(, 〉〈=+〉〈 vFvuavu mmm && với mọi , 1 Hv ∈ (1.3.2) , ~ )0(, ~ )0( 10 uuuu mm == & (1.3.3) trong đó )).,(),,(),,(,,(),( 111 txutxutxutxftxF mmmm −−− ∇= & (1.3.4) Sự tồn tại của m u cho bởi đònh lý dưới đây. Đònh lý 1.1. Giả sử )(),()( 531 HHH − đúng. Khi đó tồn tại các hằng số 0>M và 0>T sao cho đối với mọi ),( 0 TMWu ∈ cho trước, tồn tại một dãy qui nạp tuyến tính ),(}{ TMWu m ⊂ xác đònh bởi (1.3.2)-(1.3.4). Chứng minh. Chứng minh bao gồm nhiều bước. Bước 1: Xấp xỉ Galerkin . Gọi { } j w là cơ sở trực chuẩn của 1 H như trong bổ đề 1.3 ( ) jjj ww λ = . Dùng phương pháp Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ )( )( tu k m của (1.3.2)-(1.3.4) theo dạng ,)()( 1 )()( ∑ = = k j j k mj k m wtctu (1.3.5) trong đó )( )( tc k mj thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: ,1 ,),()),((),( )()( kjwtFwtuawtu jmj k mj k m ≤≤〉〈=+〉〈 && (1.3.6) , ~ )0( , ~ )0( 1 )( 0 )( k k mk k m uuuu == & (1.3.7) với () , trong ~ ~ 2 0 1 0 Huwu k j j k jk →= ∑ = α (1.3.8) 24 () . trong ~ ~ 1 1 1 1 Huwu k j j k jk →= ∑ = β (1.3.9) Từ giả thiết (1.3.1), tồn tại ( ) 0> k m T sao cho bài toán (1.3.6), (1.3.7) có duy nhất nghiệm )( )( tu k m trên ].,0[ )(k m T Chú thích 1.1. Nghiệm của hệ (1.3.6) – (1.3.9) được tính như sau. Trước hết hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3.6) – (1.3.9) tương đương với hệ sau: ,1,),( 1 )()( 2 )()( kjwtF w tctc jm j k mjj k mj ≤≤〉〈=+ λ && (1.3.10) () () ( ) ( ) .)0(c ,)0( k j k mj k j k mj c βα == & (1.3.11) Từ đó, nghiệm của hệ (1.3.10) – (1.3.11) được biểu diễn theo công thức: () () () .1,),( ))(sin( 1 )sin( )cos()( 0 2 kjdwF t w t ttc t jm j j j j j k jj k j k mj ≤≤〉〈 − + += ∫ ττ λ τλ λ λ βλα (1.3.12) Các đánh giá sau đây trong bước 2 cho phép ta lấy ( ) ,TT k m = với mọi k và với mọi m . Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm . Trong (1.3.6) thay j w bởi )( )( tu k m & ta có .)(),())(),(( 2 1 )( 2 1 )()()( 2 )( 〉〈=+ tutFtutua dt d tu dt d k mm k m k m k m && Sau đó tích phân theo t ta được ,)(),(2)0()( 0 )()()( ∫ 〉〈+= t k mm k m k m duFptp τττ & (1.3.13) trong đó )).(),(()()( )()( 2 )()( tutuatutp k m k m k m k m += & 25 Trong (1.3.6) thay j w bởi , 1 j j wΔ− λ khi đó ,),()),((),( )()( 〉Δ〈=Δ+〉Δ〈 jmj k mj k m wtFwtuawtu && hay ).),((),()),(( )()( jmj k mj k m wtFawtuwtua =〉ΔΔ〈+ && (1.3.14) Thay j w bởi )( )( tu k m & trong đẳng thức (1.3.14), kết hợp với (1.2.14), lấy tích phân theo ,t ta được ,))(),(()0()( 0 )()()( ∫ += t k mm k m k m duFaqtq τττ & (1.3.15) với .)())(),(()( 2 )()()()( tututuatq k m k m k m k m Δ+= && Đạo hàm (1.3.6) theo ,t sau đó thay j w bởi )( )( tu k m && ta có .)(),())(),(( 2 1 )( 2 1 )()()( 2 )( 〉 ∂ ∂ 〈=+ tutF t tutua dt d tu dt d k mm k m k m k m &&&&&& Tích phân hai vế theo t ,)(),(2)0()( 0 )()()( ∫ 〉 ∂ ∂ 〈+= t k mm k m k m duF t rtr τττ && (1.3.16) với )).(),(()()( )()( 2 )()( tutuatutr k m k m k m k m &&&& += Từ (1.3.13), (1.3.15) và (1.3.16), dẫn đến .)(),(2 ))(),((2)(),(2)0( )())()()( 0 )( 0 )( 0 )()( )()()()( ∫ ∫∫ 〉 ∂ ∂ 〈+ +〉〈+= ++= t k mm t k mm t k mm k m k m k m k m k m duF t duFaduFs trtqtpts τττ ττττττ && && (1.3.17) Các tích phân ở vế phải (1.3.17) lần lượt được đánh giá dưới đây. + Tích phân thứ nhất 26 Từ (1.2.15) và (1.3.1) ta có .)(2 )( )(2)(),(2 0 )( 0 0 )( 0 )( ∫ ∫∫ ≤ ≤〉〈 t k m t k mm t k mm dpK duFduF ττ ττττττ && (1.3.18) + Tích phân thứ hai Do bồ đề 1.2 ta có .)( )(2))(),((2 0 )( H 1 0 )( 1 1 ∫∫ ≤ t H k mm t k mm duFCduFa ττττττ && (1.3.19) Từ (1.2.15), (1.2.16) và (1.3.1) ta tìm được ,),0( 2 0 2 KtF m ≤ (1.3.20) () () ∫ ∫ −−− −−∇− ∇+Δ+∇+≤ ∇+Δ+∇+= ∂ ∂ 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 / 1 / 1 // 2 14 dxuuuK dxufufuffF x mmm mumumuxm & & & ( ) () .214 14 22 1 2 1 2 1 2 1 12 MK uuK H m H m +≤ ++≤ −− & (1.3.21) Suy ra từ (1.3.20), (1.3.21) rằng () .214),0( 2 0 22 1 2 2 2 1 KMKtFF x F mm H m ++≤+ ∂ ∂ = (1.3.22) Từ (1.3.15), (1.3.19), (1.3.22) ta có ( ) .)(212 2 ))(),((2 0 )( 0 2 1 0 1 0 )( ∫∫ ++≤ t k m t k mm dqKMK C C duFa τττττ & (1.3.23) + Tích phân thứ ba Ta có .)()(2)(),(2 0 )( 0 )( ∫∫ ∂ ∂ ≤〉 ∂ ∂ 〈 t k mm t k mm duF t duF t ττττττ &&&& (1.3.24) 27 Từ (1.2.16) và (1.3.1) ta thu được () () () . 314 14 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 / 1 / 1 // 2 MK uuuK dxufufuffF t mmm mumumutm +≤ +∇++≤ +∇++= ∂ ∂ −−− −−∇− ∫ &&&& &&&& & (1.3.25) Do đó từ (1.3.24), (1.3.25) ta suy ra .)(314)(),(2 0 )(2 1 0 )( ∫∫ +≤〉 ∂ ∂ 〈 t k m t k mm drMKduF t τττττ && (1.3.26) Từ (1.3.17), (1.3.18), (1.3.23), (1.3.26) ta thu được ,)()0( )(2)0()( 0 )()( 0 )()()( ∫ ∫ ++≤ +≤ t k m k m t k m k m k m dsKTKs dsKsts ττ ττ (1.3.27) trong đó ( ) .312212),,( 2 10 2 1 0 1 0 MKKMK C C KfTMKK +++++== (1.3.28) Tiếp theo ta đánh giá số hạng ).0( )( k m s Ta có ). ~ , ~ ( ~~ ) ~ , ~ (2)0()0( 00 2 0 2 111 2 )()( kkkkkk k m k m uuauuuuaus +Δ+++= && (1.3.29) Trong (1.3.6), thay j w bởi ),( )( tu k m && sau đó lấy ,0=t ta được .)0(), ~ , ~ , ~ ,0,()0(, ~ )0( )( 100 )( 0 2 )( 〉∇〈=〉Δ〈− k m k mk k m uuuuxfuuu &&&&&& Từ đây suy ra .) ~ , ~ , ~ ,0,( ~ )0( 1000 )( uuuxfuu k k m ∇+Δ≤ && (1.3.30) Ta suy từ (1.3.8), (1.3.9), (1.3.29), (1.3.30) rằng tồn tại một số 0>M độc lập với k và m sao cho ,4)0( 2)( Ms k m ≤ với mọi k và .m (1.3.31) 28 Ta lưu ý, với giả thiết ),( 3 H suy ra từ (1.2.15), (1.2.16) rằng .1,0 ,0),,(lim 0 == + → ifTMTK i T (1.3.32) Kết hợp (1.3.28) và (1.3.32), tìm được T > 0 sao cho () ,),,(exp),,( 4 2 2 MfTMTKfTMTK M ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + (1.3.33) và .1),,( 1 1)21(2 1 0 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= fTMTK C k T (1.3.34) Cuối cùng ta suy ra từ (1.3.27), (1.3.31), (1.3.33) rằng .0 ,)()exp()( )( 0 )(2)( k m t k m k m Tt dsKTKMts ≤≤+−≤ ∫ ττ (1.3.35) p dụng bổ đề Gronwall ta có ,)exp()exp()( 22)( MtKTKMts k m ≤−≤ .0 )( TTt k m ≤≤≤ (1.3.36) Từ đây ta có , )( TT k m = với mọi m và k và ta suy ra từ đây rằng ).,( )( TMWu k m ∈ (1.3.37) Bước 3: Qua giới hạn Từ (1.3.37), tồn tại một dãy con }{ )( j k m u của }{ )( k m u và tồn tại m u sao cho yếu*, );,0( trong 2 )( HTLuu m k m j ∞ → (1.3.38) yếu*, );,0( trong 1 )( HTLuu m k m j ∞ → && (1.3.39) yếu*, );,0( trong 2 )( LTLuu m k m j ∞ → &&&& (1.3.40) ).,( TMWu m ∈ (1.3.41) Từ (1.3.38) - (1.3.41) qua giới hạn trong (1.3.6), (1.3.7) ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng m u thỏa mãn (1.3.2), (1.3.3) trong ),0( TL ∞ yếu *. Đònh lý 1.1 chứng minh hoàn tất.■ [...]...29 Chú thích 1.2 Trong [9] chúng tôi thu được một đánh giá tương tự như (1.3.36) nhờ một nghiệm cực đại đòa phương của một bất phương trình tích phân Voltera phi tuyến liên kết với một nhân không giảm [20] Tuy nhiên trong luận án này chúng tôi chỉ cần đưa về đánh giá (1.3.35), từ đó nhận được (1.3.36) nhờ bổ đề Gronwall Cách làm này theo... > 0, T > 0 sao cho với mọi w0 ∈ W ( M , T ), tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính {wm } ⊂ W ( M , T ) xác đònh bởi (1.5.2)- (1.5.7).■ Đònh lý 1.4 Giả sử các giả thiết ( H 1 ) − ( H 4 ) được thỏa mãn Khi đó tồn tại các hằng số M > 0, T > 0 sao cho bài toán (1.2.4) – (1.2.7) có duy nhất nghiệm yếu w ∈ W ( M , T ) Hơn nữa dãy quy nạp tuyến tính {wm } ⊂ W ( M , T ) xác đònh bởi (1.5.2) – (1.5.7) hội tụ mạnh... điều kiện f ∈ C 1 nhưng với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất thay bởi điều kiện biên Dirichlet thuần nhất u (0, t ) = u (1, t ) = 0 35 1.6 Về bài toán khai triển tiệm cận Trong phần này chúng tôi khảo sát khai triển tiệm cận theo tham số bé ε cho nghiệm cho bài toán giá trò biên và ban đầu sau đây: ⎧u tt − u xx = Fε ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), 0 < t < T , ⎪ ⎪u (0, t ) − h0 u (0, t )... Các kết quả của phần này đã tổng quát hoá các kết quả trong [6, 9, 11, 12] và đã được công bố trong [D2] Ta đưa thêm giả thiết sau 36 ′ ( H 3 ) f , g ∈ C 1 ( Ω × [0, ∞) × IR 3 ) Trong phần một ta đã khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài ′ toán ( P0 ) ứng với ε = 0 Bằng cách tương tự, với giả thiết ( H 3 ), bài toán ( Pε ) ~ ~ cũng được chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm yếu khi thay f bởi... trong đó C là hằng số chỉ phụ thuộc vào h0 , h1 , K 0 ( M , T , g ), K 1 ( M , T , f ) Vậy đònh lý 1.5 đã được chứng minh 1.8 Khai triển tiệm cận theo tham số bé ε đến cấp N+1 Trong phần này, chúng tôi khảo sát khai triển tiệm cận nghiệm yếu uε đến cấp N + 1 theo ε với ε đủ nhỏ Ta đònh nghóa một số ký hiệu sau: Với mỗi đa chỉ số α = (α 1 , , α N ) ∈ Z +N và x = ( x1 , , x N ) ∈ IR N , ta đặt α = α 1 +... điều kiện biên thuần nhất Đònh lý 1.2 Giả sử ( H 1 ) − ( H 3 ), ( H 5 ) đúng Khi đó tồn tại M > 0, T > 0 sao cho bài toán (1.1.1)-(1.1.3) có duy nhất một nghiệm yếu u ∈ W ( M , T ) Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính {u m } xác đònh bởi (1.3.1)-(1.3.4) hội tụ mạnh về nghiệm yếu u trong không gian & W1 (T ) = {u ∈ L∞ (0, T ; H 1 ) : u ∈ L∞ (0, T ; L2 )} (1.4.1) Hơn nữa ta cũng có đánh giá sai số um − u L∞... xỉ Galerkin {wm ) } trong chứng minh đònh lý 1.1 của phần 1, cho bài toán ( 1.6.3) – (1.6.5) thỏa ( wmk ) ∈ W ( M , T ), (1.6.6) trong đó M , T là các hằng số độc lập với m, k và ε Thật vậy, trong quá trình chứng minh, ta chọn các hằng số dương M và T như trong (1.2.15), (1.2.16), (1.3.28), (1.3.29), (1.3.31), (1.3.33), (1.3.34), trong đó ~ ~ ~ f ( x,0, u0 , ∇u0 , u1 ) và 37 ~ ~ ~ ~ ~ K i ( M , T ,... bài toán thuần nhất (1.2.4) ~ ~ – (1.2.7), trong đó các dữ kiện g 0 , g1 , u 0 , u1 , f trong bài toán (1.1.1) – (1.1.3) sẽ ~ ~ ~ lần lượt thay bởi 0, 0, w0 , w1 , f Chúng ta cũng làm các bước xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.1.1) – (1.1.3) theo sơ đồ sau u m ( x, t ) = wm ( x, t ) + ϕ ( x, t ), x ∈ Ω, 0 ≤ t ≤ T , với (1.5.1) 33 ϕ ( x, t ) = [h1 x − (1 + h1 )]g 0 (t ) + (h0 x + 1) g1 (t ) h0 + h1... L∞ ( 0 ,T ; L2 ) = η m ≤ δ /(1 − σ ) = CT ε N +1 (1.8.40) , với mọi m ≥ 1, trong đó, ~ C 0 ) KT /(1 − σ ) CT = 2( 1 + 1 (1.8.41) Mặt khác, theo đònh lý 1.2, áp dụng cho bài toán (1.8.11), dãy quy nạp tuyến tính đònh nghóa bởi (1.8.29) hội tụ mạnh trong W1 (T ) về nghiệm v của bài toán (1.8.11) Vì vậy, qua giới hạn (1.8.34) khi m → ∞, ta thu được v L∞ ( 0 ,T ; H 1 ) & + v L∞ ( 0 ,T ; L2 ) ≤ CT ε N +1 . 19 Chương 1 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN ),,,,( txxxtt uuutxfuu =− 1.1. Giới thiệu . HTL t HTL ttt ≤≤≤ ∈∈∈= ∞∞∞ ∞∞∞ (1.2.18) 1. 3. Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến Trong phần này, với sự chọn lựa M và T thích