Không gian sobolev và nghiệm suy rộng của bài toán hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ THU HIỀN LUẬT TÁC ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT NHÓM VÀ SỐ HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số : 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Phản biện 1: TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học, họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 10 tháng 01 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: • Trung tâm thơng tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng • Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong lý thuyết nhóm, có hai kiểu luật tác động: Kiểu thứ nhất: Tác động nhóm lên tập hợp: Cho G nhóm X tập hợp Một tác động G lên X đồng cấu nhóm từ nhóm G vào nhóm đối xứng (X) X Kiểu thứ hai: Tác động nhóm lên nhóm: Cho hai nhóm G H Một tác động H lên G đồng cấu nhóm từ nhóm H vào nhóm tự đẳng cấu Aut(G) Hai kiểu luật tác động có nhiều ứng dụng thú vị bất ngờ lý thuyết nhóm lý thuyết số Cụ thể lý thuyết nhóm hữu hạn, kiểu tác động thứ đưa chứng minh hoàn toàn khác với chứng minh cổ điển, với nội dung ngắn gọn, dễ hiểu hấp dẫn Chẳng hạn, số kết lý thuyết p-nhóm Kiểu tác động thứ có ứng dụng lý thuyết số qua định lý Fermat, Wilson Lucas Bên cạnh đó, kiểu tác động thứ hai đóng góp nhiều tốn phân loại nhóm Cụ thể sử dụng tích nửa trực tiếp qua tác động nhóm lên nhóm để xây dựng nhóm cho việc phân loại; chẳng hạn, nhóm Dihedral Quaternion suy rộng Với lý trình bày trên, chọn đề tài: “Luật tác động ứng dụng lý thuyết nhóm số học” làm đề tài luận văn thạc sĩ Đề tài tập trung tìm hiểu hai kiểu tác động nhóm trình bày ứng dụng chúng lý thuyết nhóm số học, vấn đề có ý nghĩa sâu sắc hấp dẫn lĩnh vực đại số lý thuyết số Mục tiêu nghiên cứu đề tài Nghiên cứu luật tác động nhóm lên tập hợp luật tác động nhóm lên nhóm, đồng thời đưa ứng dụng thú vị lý thuyết nhóm số học Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết nhóm số học • Phạm vi nghiên cứu: hai kiểu tác động nhóm ứng dụng chúng lý thuyết nhóm số học Phương pháp nghiên cứu • Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu Lý thuyết nhóm số học liên quan đến tác động nhóm lên tập hợp tác động nhóm lên nhóm • Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng tác động nhóm Ý nghĩa khoa học thực tiễn • Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Lý thuyết nhóm số học sử dụng đến hai kiểu tác động nhóm, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Luật tác động nhóm ứng dụng lý thuyết nhóm lý thuyết số • Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Bố cục đề tài Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương: • Chương Giới thiệu khái niệm kết hai kiểu tác động nhóm ví dụ minh họa • Chương Trình bày ứng dụng hai kiểu tác động nhóm vào lý thuyết nhóm số học CHƯƠNG HAI KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM Chương giới thiệu khái niệm kết hai kiểu tác động nhóm ví dụ minh họa Những khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [1], [2], [3], [4], [6] [7] 1.1 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM LÊN MỘT TẬP HỢP Mục khảo sát định nghĩa tính chất sở tác động nhóm lên tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp Một song ánh từ X lên X gọi hoán vị X Định nghĩa 1.1.2 Cho G nhóm X tập khác rỗng Một tác động G lên X hoán vị ϕg : X → X , cho ứng với g ∈ G, thỏa mãn hai điều kiện sau: i ϕe phép đồng nhất, với e phần tử đơn vị G ii Với g1 , g2 ∈ G ta có ϕg1 ◦ ϕg2 = ϕg1 ·g2 Để thuận tiện, ta ký hiệu ϕg (x) = g · x, ∀g ∈ G, x ∈ X Khi điều kiện định nghĩa trở thành: i e · x = x, với x ∈ X , e phần tử đơn vị G ii (g1 g2 ) · x = g1 · (g2 · x) với g1 , g2 ∈ G, x ∈ X Ví dụ 1.1.3 Cho G = R∗ nhóm nhân số thực khác X = R = {(a, b, c)|a, b, c ∈ R} Khi đó, G tác động lên X qua phép nhân vô hướng: g · (a, b, c) = (ga, gb, gc), với số thực g khác Định nghĩa 1.1.4 Cho X tập hợp, ký hiệu gồm tất song ánh từ X vào X Tập (X) tập (X) với phép hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm đối xứng tập hợp X hay nhóm phép X Đặc biệt, tập X = {1, 2, , n} nhóm đối xứng X ký hiệu Sn gọi nhóm đối xứng bậc n Ví dụ 1.1.5 Cho Sn nhóm đối xứng bậc n tập X = {1, 2, , n} Khi đó, Sn có tác động tự nhiên lên X xác định với hoán vị σ ∈ Sn sau: ϕσ :X → X x → ϕσ (x) = σ(x) Để thấy rõ chất tác động nhóm lên tập hợp, ta xem tác động đồng cấu nhóm từ nhóm G lên nhóm đối xứng (X) Trước hết, ta có tính chất sau: Định lý 1.1.6 Cho nhóm G tác động lên tập X Khi a Nếu x ∈ X , g ∈ G y = g · x x = g −1 · y b Nếu x, x ∈ X , g ∈ G x = x g · x = g · x Định lý 1.1.7 Cho G nhóm X tập hợp Khi đó, tác động G lên X xác định đồng cấu nhóm từ G vào nhóm đối xứng (X) X Ví dụ 1.1.8 Cho Sn nhóm đối xứng bậc n tập X = {1, 2, , n} Khi đó, (X) = Sn Tác động Sn lên X ví dụ 1.1.5 xác định đồng cấu nhóm ϕ :Sn → Sn σ → ϕσ = σ phép đồng Theo định lý 1.1.7, tác động nhóm G lên tập X xác định đồng cấu từ G vào nhóm đối xứng (X) X Vậy điều ngược lại có khơng? Định lý sau làm rõ vấn đề Định lý 1.1.9 Cho G nhóm, X tập khác rỗng Khi đó, đồng cấu nhóm ϕ : G → (X) xác định tác động G tập X Như vậy, với tác động nhóm G lên tập X xác định đồng cấu ϕ : G → nhóm G vào nhóm (X) Và ngược lại, với đồng cấu từ (X) ta xác định tác động nhóm G lên tập X Định nghĩa 1.1.10 Một tác động nhóm G lên tập X gọi trung thành (hoặc hiệu quả) đồng cấu ϕ : G → (X), với ϕ(g) = ϕg đơn cấu Định nghĩa 1.1.11 Cho nhóm G tác động lên tập X Khi đó, với x ∈ X Ox = {g · x : g ∈ G} ⊂ X gọi quỹ đạo x qua tác động G, Gx = {g ∈ G : g · x = x} ⊂ G gọi nhóm ổn định phần tử x qua tác động G Số phần tử Ox , ký hiệu |Ox | gọi độ dài quỹ đạo Ox Phần tử x ∈ X gọi điểm ổn định qua tác động nhóm G Ox = {x} (hoặc Gx = G ) Ví dụ 1.1.12 Cho GL2 (R) ma trận vng số thực cấp 2, khả nghịch R2 Xét tác động ϕg : R2 → R2 x y → a b x c d y = ax + by cx + dy , a b ∈ GL2 (R) Khi c d Quỹ đạo ma trận là: O0 = {0} với ma trận g = Nhóm ổn định là: GL2 (R)0 = GL2 (R) Quỹ đạo ma trận đơn vị e là: Oe = R2 − {0} Nhóm ổn định ma trận đơn vị e là: GL2 (R)e = b d |d = Tác động GL2 (R) lên R2 trung thành Định nghĩa 1.1.13 Nếu nhóm G tác động lên tập X có quỹ đạo ta nói G tác động bắc cầu X Định lý 1.1.14 Cho nhóm G tác động lên tập X Khi a Các quỹ đạo khác rời b Với x ∈ X , Gx nhóm G Gg·x = gGx g −1 c g · x = g · x g g nằm lớp kề trái Gx Đặc biệt, độ dài quỹ đạo x cho |Ox | = [G : Gx ] Công thức (c) thể mối quan hệ độ dài quỹ đạo số nhóm ổn định nhóm G Công thức gọi công thức quỹ đạo - nhóm ổn định Hệ 1.1.15.[5] Cho G tác động lên tập X , với G nhóm hữu hạn Khi độ dài quỹ đạo ước số cấp G Hệ 1.1.16.[5] Cho G tác động lên tập X , với G X nhóm hữu hạn Khi X hợp rời rạc quỹ đạo O1 , O2 , , Om : X = O1 ∪ O2 ∪ ∪ Om , (Oi ∩ Oj = ∅, i = j) Nếu xi phần tử Oi với i = 1, m, ta có m |X| = m |Oxi | = i=1 [G : Gxi ] i=1 Định lý 1.1.17 Cho G nhóm hữu hạn tác động lên tập hữu hạn X có r quỹ đạo Khi r số điểm ổn định trung bình qua tác động phần tử nhóm G, r= |G| |Fg (X)| , g∈G với Fg (X) = {x ∈ X : gx = x} tập phần tử X ổn định qua tác động g Hệ 1.1.18.(C Jordan) Nếu nhóm hữu hạn khơng tầm thường tác động lên tập hữu hạn có số phần tử lớn tác động có quỹ đạo với g ∈ G tác động khơng có điểm ổn định Bổ đề 1.1.19 Cho nhóm G tác động lên tập X Trên X ta xác định quan hệ hai sau: ∀x, y ∈ X , x ∼ y ∃g ∈ G, y = g · x Khi đó, quan hệ ” ∼ ” quan hệ tương đương X Định nghĩa 1.1.20 Hai tác động nhóm G lên tập X Y gọi tương đương có song ánh f : X → Y , cho f (gx) = gf (x), ∀g ∈ G, x ∈ X 10 Khi đó, G tác động lên phép nhân nhóm G Ví dụ 1.2.7 Cho G nhóm Với g ∈ G, xét ánh xạ ϕg :G → G x → ϕg = gxg −1 Khi đó, G tác động liên hợp lên Ví dụ 1.2.8 Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G G/H = {xH : x ∈ G} nhóm thương H G Với g ∈ G, xét ánh xạ ϕg :G/H → G/H xH → ϕg (xH) = g · (xH) = gxH Đây tác động G lên tập lớp kề trái H Ví dụ 1.2.9 Cho G nhóm tập H gồm tất nhóm G Với g ∈ G, xét ánh xạ ϕg :H → H A → ϕg (A) = gAg −1 Khi đó, G tác động liên hợp lên tập H 1.3 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM LÊN MỘT NHÓM Mục xét đến tập hợp bị tác động nhóm, ta thu số kết sau Định nghĩa 1.3.1 Cho G nhóm Một đẳng cấu nhóm từ G vào gọi tự đẳng cấu G Định lý 1.3.2 Tập hợp gồm tất tự đẳng cấu nhóm G 11 với phép hợp thành hai ánh xạ nhóm Nhóm gọi nhóm tự đẳng cấu G, ký hiệu Aut(G) Định nghĩa 1.3.3 Nhóm G gọi nhóm cyclic tồn phần tử a ∈ G cho với b ∈ G tồn số nguyên i b = Phần tử a có tính chất gọi phần tử sinh G Ký hiệu G = a Nhóm cyclic cấp n thường ký hiệu Cn Định nghĩa 1.3.4 Cho G H hai nhóm Ta nói nhóm H tác động lên nhóm G tồn đồng cấu nhóm ϕ từ H vào Aut(G) Khi đó, đồng cấu ϕ gọi tác động nhóm H G Nhận xét 1.3.5 a Tác động ϕ H không thiết đẳng cấu Đặc biệt, ϕ tác động tầm thường, nghĩa ϕ(h) = idG , với h ∈ H Qua tác động tầm thường, nhóm tác động lên G b Xét tác động H G xác định ϕ : H → Aut(G) Với h ∈ H , ϕ(h) tự đẳng cấu G Ta ký hiệu ảnh phần tử g ∈ G hg Khi đó, tác động H lên G cho ánh xạ ϕ(h) : g → hg xác định với h ∈ H thỏa mãn công thức sau: ϕ(h) tự đồng cấu G (h1 · h2 ) · g = (h1 g)(h2 g) 1H · g = g , ∀g ∈ G Định nghĩa 1.3.6 Xét đa giác n cạnh Pn với n > Gọi a phép quay mặt phẳng xung quanh tâm Pn góc có hướng 12 2π , b phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm n Pn đỉnh Khi đó, an = 1, b2 = tất phép đối xứng Pn 1, a, a2 , , an−1 , b, ba, ba2 , , ban−1 thỏa mãn (bai )2 = 1, bai = an−i , i n − Các phép đối xứng lập thành nhóm với phép tốn hợp thành, ký hiệu Dn gọi nhóm dihedral Bổ đề 1.3.7 [4] Cho G H hai nhóm Tập hợp G × H = {(g, h)|g ∈ G, h ∈ H} với phép toán (g, h)(g , h ) = (gg , hh ) tạo thành nhóm Định nghĩa 1.3.8 Nhóm G × H xác định bổ đề 1.3.7 gọi tích trực tiếp hai nhóm G H Bổ đề 1.3.9 [4] Cho G, H hai nhóm ϕ tác động H lên Aut(G) Khi tập hợp {(g, h)|g ∈ G, h ∈ H} với phép toán xác định (g, h)(g , h ) = (gϕ(h)(g ), hh ) tạo thành nhóm, ký hiệu H G Định nghĩa 1.3.10 Nhóm G H xác định bổ đề 1.3.9 gọi tích nửa trực tiếp hai nhóm G H xác định đồng cấu ϕ Nhận xét 1.3.11 a Nếu ϕ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp G H tích trực tiếp G × H b Nếu G H hai nhóm giao hốn ϕ đồng cấu tầm thường 13 G H nhóm giao hốn c Nếu G H hai nhóm hữu hạn |G H| = |G| × |H| Định lý 1.3.12 Cho L nhóm có hai nhóm chuẩn tắc G H cho G ∩ H = {1L }, GH = L Khi đồng cấu ϕ: H → Aut(G) cho ϕ(h)(g) = hgh−1 , với g ∈ G, h ∈ H đồng cấu tầm thường Định lý 1.3.13 Cho ϕ: H → Aut(G) ϕ1 : H → Aut(G) ∼ G H hai đồng cấu Nếu ϕ ϕ1 liên hợp G H = 1.4 CÁC VÍ DỤ VỀ TÁC ĐỘNG NHĨM KIỂU THỨ HAI Mục trình bày số ví dụ minh họa tác động nhóm kiểu thứ hai liên quan đến nhóm chuẩn tắc Ví dụ 1.4.1 Cho G H hai nhóm chuẩn tắc nhóm L cho H ⊂ NL (G) Phép liên hợp phần tử h H cảm sinh tự đẳng cấu ϕ(h) H Khi ϕ tác động H lên G Ví dụ 1.4.2 Cho H nhóm Aut(G) Khi phép nhúng H vào Aut(G) xác định tác động H lên G Ví dụ 1.4.3 Xét G∼ = C4 = a|a4 = = {1, a, a2 , a3 } H∼ = C2 = b|b2 = = {1, b} Ta có Aut(C4 ) = {1, α} với α xác định α(x) = x3 , ∀x ∈ G Do có hai đồng cấu từ H lên nhóm tự đẳng cấu Aut(G) ϕ: H → Aut(G) với → 1, b → α ϕ1 : H → Aut(G) với b → ϕ1 (b) = Khi đó, với ϕ1 đồng cấu tầm thường, G tích trực tiếp G × H ∼ = C4 × C2 1H 14 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA HAI KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM VÀO LÝ THUYẾT NHÓM VÀ SỐ HỌC Các khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [1], [2], [4], [5] [6] 2.1 ỨNG DỤNG KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM THỨ NHẤT TRONG LÝ THUYẾT NHĨM HỮU HẠN Mục trình bày số ứng dụng tác động nhóm vào lý thuyết nhóm hữu hạn Định lý 2.1.1.[4] (Định Lý Lagrange) Giả sử G nhóm hữu hạn H nhóm G Khi |G| bội |H| Định nghĩa 2.1.2 Cho p số nguyên tố Một nhóm hữu hạn gọi p−nhóm cấp lũy thừa p Cho G p−nhóm Khi nhóm G p−nhóm, số lũy thừa p Định nghĩa 2.1.3 Giả sử a, b số nguyên Ta nói a đồng dư b môđun m m|(a − b), với m ∈ N∗ Khi a đồng dư b môđun m, ta viết a ≡ b (mod p) Nếu a không đồng dư b môđun m, ta viết a ≡ b (mod p) 15 Định lý 2.1.4.(Phép đồng dư điểm ổn định) Cho G p−nhóm tác động lên tập hữu hạn X (khác rỗng) Ký hiệu X G = {x ∈ X : gx = x, ∀g ∈ G} tập tất phần tử ổn định qua tác động G lên X Khi |X| ≡ X G (mod p) Hệ 2.1.5 Cho G p−nhóm hữu hạn tác động lên tập hữu hạn X Khi a Nếu cấp X không chia hết cho p, có điểm ổn định X b Nếu cấp X chia hết cho p Z G = pn , với n ∈ N∗ Tiếp theo, chứng minh hai kết sử dụng tác động nhóm cho trường hợp: p−nhóm hữu hạn có tâm khơng tầm thường định lý Cauchy Định lý 2.1.6 Cho G p−nhóm khơng tầm thường Khi |Z(G)| chia hết cho p Đặc biệt G có tâm khơng tầm thường Hệ 2.1.7 Cho G p−nhóm, G = {1} H nhóm chuẩn tắc G Nếu H = {1} H ∩ Z(G) = {1} Định lý 2.1.8.(Định lý Cauchy) Cho G nhóm hữu hạn p số nguyên tố Khi đó, |G| chia hết cho p G chứa phần tử có cấp p Trong định lý 1.1.7, biết tác động nhóm đồng cấu từ G vào nhóm đối xứng Bây giờ, ta dùng ý tưởng để chứng minh số định lý Định lý 2.1.9 Bất kỳ nhóm khơng giao hoán cấp đẳng cấu với S3 Định lý 2.1.10 Cho G nhóm hữu hạn H 16 p−nhóm cho p| [G : H] Khi p| [NG (H) : H] , với NG (H) = {g ∈ G|gHg −1 = H} nhóm chuẩn tắc G Đặc biệt, NG (H) = H Hệ 2.1.11 Cho G p−nhóm hữu hạn H nhóm G, [G : H] = p Khi H nhóm chuẩn tắc G Hệ 2.1.12 Cho G p−nhóm hữu hạn p số nguyên tố với pn | |G|, n ≥ Khi G có dãy nhóm {e} = H0 ⊂ H1 ⊂ · · · ⊂ Hn ⊂ G, với |Hi | = pi Định nghĩa 2.1.13 Một nhóm G = gọi nhóm đơn G khơng có nhóm chuẩn tắc khác Định lý 2.1.14 Cho G nhóm hữu hạn H nhóm đơn Khi G = g∈G gHg −1 Hệ 2.1.15.[5] Cho H nhóm đơn nhóm hữu hạn G Khi H có lớp liên hợp G khác H nhóm liên hợp Định lý 2.1.16 Cho G nhóm hữu hạn có cấp lớn 1, p số nguyên tố bé chia hết cấp G Khi đó, nhóm H G có số p nhóm chuẩn tắc G Hệ 2.1.17.[5] Cho G nhóm hữu hạn Khi a Nếu H nhóm G, [G : H] = 2, H nhóm chuẩn tắc G 17 b Nếu G p−nhóm H nhóm G, [G : H] = 2, H nhóm chuẩn tắc G c Nếu |G| = pq , p, q hai số nguyên tố khác nhau, p < q , nhóm G có cấp q nhóm chuẩn tắc Định lý 2.1.18 Mỗi nhóm hữu hạn sinh có hữu hạn nhóm có số n, với số nguyên n ≥ Định nghĩa 2.1.19 Cho G nhóm hữu hạn, p số nguyên tố Một nhóm G gọi p−nhóm Sylow cấp pn lũy thừa cao p chia hết cấp G Một p−nhóm Sylow viết tắt Sp −nhóm Định lý 2.1.20 Cho G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết cấp G Khi G chứa nhóm cấp pk với k mà pk | |G| Định lý 2.1.21 Cho G nhóm hữu hạn với p số nguyên tố chia hết cấp G Khi G chứa Sp −nhóm Định lý 2.1.22 (Định lý Sylow) Cho G nhóm hữu hạn, p số nguyên tố |G| = pn m với (m, p) = Khi a Tồn p−nhóm G chứa Sp −nhóm G b Hai Sp −nhóm liên hợp G c Nếu s số Sp −nhóm G s ước số |G| s ≡ (mod p) 18 2.2 ỨNG DỤNG KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM THỨ NHẤT TRONG SỐ HỌC Trong phần này, áp dụng phép đồng dư điểm cố định định lý 2.1.4 kết (2.3) để chứng minh ba định lý cổ điển là: định lý Fermat, định lý Wilson định lý Lucas Định lý 2.2.1.(Định lý Fermat) Cho p số nguyên tố, n số nguyên n ≡ (mod p) Khi np−1 ≡ (mod p) Định lý 2.2.2.(Định lý Wilson) Cho p số nguyên tố Khi (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Định lý 2.2.3.(Định lý Lucas) Cho p số nguyên tố n > m hai số nguyên không âm, n m biểu diễn sau n = a0 + a1 p + a2 p2 + + ak pk , m = b0 + b1 p + b2 p2 + + bk pk , với ≤ , bi ≤ p − Khi Cnm ≡ Cab00 Cab11 Cabkk (mod p) 2.3 ỨNG DỤNG KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM THỨ HAI CHO NHÓM QUATERNION SUY RỘNG Mục bao gồm số kết tác động nhóm lên loại nhóm quan trọng, nhóm Quaternion suy rộng 19 Định nghĩa 2.3.1 Ta gọi nhóm Quaternion Q, n > nhóm sinh hai phần tử i cấp 2n−1 j cấp 4, với quan hệ xác định n−2 i2 = j , jij −1 = i−1 Nhóm Q nhóm khơng giao hốn, cấp 2n , có biểu diễn: n−1 Q = i, j/i2 n−2 = e, i2 = j , jij −1 = i−1 Khi n = 3, ta có nhóm Quaternion cấp Q8 = i, j/i4 = e, i2 = j , jij −1 = i−1 Q8 viết dạng Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, với quan hệ sau: i2 = j = k = −1, ij = −ji = k Định lý 2.3.2 Cho nhóm H = Z/(4) Z/(4), với (a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d) Khi phần tử (2, 2) ∈ H có cấp 2, nằm tâm H ∼ Q8 nhóm thương H/ (2, 2) = Định nghĩa 2.3.3 Cho n ≥ 3, tập hợp Q2n = (Z/(2n−1 ) Z/(4))/ (2n−2 , 2) , với tích nửa trực tiếp có luật nhóm (a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d) Khi nhóm Q2n gọi nhóm quaternion suy rộng Từ định nghĩa ta thấy: Q2n khơng phải tích nửa trực tiếp 20 Z/(2n−1 ) Z/(4) mà thương số nhóm mơđun với nhóm (2n−2 , 2) Vì 2n−2 mod 2n−1 mod có cấp nhóm cộng Z/(2n−1 ) Z/(4), dễ dàng (2n−2 , 2) nằm tâm tích nửa trực tiếp có cấp 2, nhóm (2n−2 , 2) nhóm chuẩn tắc Z/(2n−1 ) Z/(4) |Q2n | = (2n−1 · 4)/2 = 2n Định lý cho thấy xác định nhóm Q2n theo phần tử sinh Định lý 2.3.4 Trong nhóm Q2n , cho x = (1, 0) y = (0, 1) Khi Q2n = x, y , với a x có cấp 2n−1 , y có cấp b x2 n−2 = y2 c Mọi phần tử Q2n viết dạng xa xa y, với a ∈ Z d Với g ∈ Q2n cho g ∈ x , g xg −1 = x−1 Định lý tiếp sau mơ tả tính chất đặc biệt Q2n , tất nhóm có đặc điểm tương tự Q2n ảnh đồng cấu Q2n n−1 Định lý 2.3.5 Khi n ≥ 3, cho G = x, y với x2 n−1 yxy −1 = x−1 , x2 = 1, y = 1, = y Khi đó, có đồng cấu từ Q2n → G cho x → x y → y, tồn cấu Nếu |G| = 2n đồng cấu đẳng cấu Định lý tiếp sau cho số tính chất nhóm D2n−1 kết tương tự với nhóm Q2n Định lý 2.3.6 Cho n ≥ Khi D2n−1 có tính chất sau đây: 21 a Nhóm r có số phần tử D2n−1 nằm r có cấp } D2n−1 /Z(D2n−1 ) ∼ = D2n−2 ∼ c Nhóm giao hốn tử D2n−1 r , D2n−1 / r2 = b Tâm nhóm D2n−1 {1, r2 n−2 Z/(2) × Z/(2) d D2n−1 có 2n−2 + lớp liên hợp, với đại diện cho bảng sau: Đại diện r r2 ··· Cấp 2 ··· n−2 −1 r2 n−2 r2 s rs 2n−2 2n−2 Bảng 2.1: Các lớp liên hợp đại diện D2n−1 Định lý 2.3.7 Cho n ≥ Khi Q2n có tính chất sau đây: a Nhóm x có số phần tử Q2n nằm ngồi x có cấp n−2 b Tâm nhóm Q2n {1, x2 } = {1, y2 } Q2n /Z(Q2n ) ∼ = D2n−2 c Nhóm giao hốn tử Q2n x2 , Q2n / x2 ∼ = Z/(2)× Z/(2) d Q2n có 2n−2 + lớp liên hợp, với đại diện cho bảng sau: Đại diện Cấp 1 x x2 ··· ··· n−2 −1 x2 x2 n−2 y n−2 xy 2n−2 Bảng 2.2: Các lớp liên hợp đại diện Q2n n−2 Hệ 2.3.8 Phần tử nhóm Q2n có cấp x2 Hệ 2.3.9 Cho N nhóm khơng giao hốn, N nhóm 22 chuẩn tắc nhóm Q2n Khi [Q2n : N ] = [Q2n : N ] = Hệ 2.3.10 Khi n ≥ 4, Aut(Q2n ) 2−nhóm Chứng minh Nếu Aut(Q2n ) khơng phải 2-nhóm, có phần tử f có cấp số lẻ lớn Cho G = x Tất phần tử Q2n nằm ngồi tập G có cấp (theo định lý 2.3.7 a), G nhóm cyclic có cấp 2n−1 > (vì n ≥ 4), f phải biến phần tử sinh G thành phần tử sinh khác G Do f (G) = G, f hạn chế đẳng cấu G Vì G ∼ = Z/(2n−1 ), Aut(G) ∼ = (Z/(2n−1 ))× , (Z/(2n−1 ))× 2-nhóm (ϕ(2n−1 ) = 2n−2 ), f phải G f có cấp số lẻ Vì f (G) = G, f (Q2n − G) = Q2n − G Tuy Q2n − G khơng phải nhóm mà tập hợp f hoán vị tập Cấp Q2n − G 2n − 2n−1 = 2n−1 , lũy thừa 2, f có cấp lẻ hốn vị tập này, phải điểm cố định: f (q) = q , với q ∈ Q2n − G Khi f nhóm G, q = x, q , nhóm Q2n G có số Q2n Tiếp theo vai trò thú vị nhóm quaternion suy rộng với p−nhóm cyclic Định lý 2.3.11.[6] Cho G p−nhóm hữu hạn Khi đó, điều kiện sau tương đương: a G có nhóm cấp p b Tất nhóm giao hốn G nhóm cyclic c G nhóm cyclic G nhóm quaternion suy rộng Hệ 2.3.12.[6] Mọi nhóm nhóm Q2n nhóm cyclic 23 nhóm quaternion suy rộng Hệ 2.3.13.[6] Cho p số nguyên tố lẻ Khi a Một p−nhóm hữu hạn nhóm cyclic có nhóm cấp p b Một 2−nhóm hữu hạn nhóm cyclic có nhóm cấp nhóm cấp Hệ 2.3.14.[6] Nếu D vành thương, nhóm Sylow nhóm hữu hạn D× nhóm cyclic nhóm quaternion suy rộng Hệ 2.3.15 Cho F trường hữu hạn có đặc số khác Khi 2-nhóm nhóm SL2 (F ) nhóm quaternion suy rộng 24 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Đã trình bày khái niệm kết hai kiểu tác động nhóm ví dụ chúng Ứng dụng kiểu tác động nhóm thứ để chứng minh định lý quan trọng lý thuyết p−nhóm số học Ứng dụng kiểu tác động nhóm thứ hai tích nửa trực tiếp để xây dựng nhóm khảo sát nhóm quaternion suy rộng Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hi vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu lý thuyết nhóm số học Do hạn chế lực, thời gian nên luận văn chưa sâu nghiên cứu số lĩnh vực liên quan hình học vi phân (cấu trúc nhóm Lie, đa tạp, ), hướng phát triển Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy bạn bè để luận văn hồn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hồn thiện luận văn ... 2.3.14.[6] Nếu D vành thương, nhóm Sylow nhóm hữu hạn D× nhóm cyclic nhóm quaternion suy rộng Hệ 2.3.15 Cho F trường hữu hạn có đặc số khác Khi 2-nhóm nhóm SL2 (F ) nhóm quaternion suy rộng 24 KẾT... DỤNG KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM THỨ HAI CHO NHÓM QUATERNION SUY RỘNG Mục bao gồm số kết tác động nhóm lên loại nhóm quan trọng, nhóm Quaternion suy rộng 19 Định nghĩa 2.3.1 Ta gọi nhóm Quaternion Q,... quaternion suy rộng với p−nhóm cyclic Định lý 2.3.11.[6] Cho G p−nhóm hữu hạn Khi đó, điều kiện sau tương đương: a G có nhóm cấp p b Tất nhóm giao hốn G nhóm cyclic c G nhóm cyclic G nhóm quaternion suy