Nghiệm yếu cho bài toán parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MAI THỊ ÁNH MINH NGHIỆM YẾU CHO BÀI TOÁN PARABOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG MAI THỊ ÁNH MINH NGHIỆM YẾU CHO BÀI TOÁN PARABOLIC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p Mã s : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng d n khoa học: TS TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Trần Nhân Tâm Quyền Các kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 10 năm 2014 Tác giả Mai Thị Ánh Minh Mục lục MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu 1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Bố cục đề tài: Tổng quan tài liệu nghiên cứu: 2 CHƯƠNG KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC VÀ HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC 1.1.1 Không gian định chuẩn C(Q) C k (Q) 1.1.2 Cơng thức tích phân phần Ostrogradsky 1.2 KHƠNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH 1.2.1 Không gian L1 (Q) L2 (Q) 5 1.2.2 Tính trù mật tập C(Q) L1 (Q) L2 (Q) Sự khả ly L1 (Q) L2 (Q) 1.3 ĐẠO HÀM SUY RỘNG 1.3.1 Định nghĩa đạo hàm suy rộng 1.3.2 Sự tồn đạo hàm suy rộng 13 1.4 KHÔNG GIAN SOBOLEV 13 1.4.1 Không gian Hilbert H k (Q) 13 1.4.2 Một số tính chất khơng gian H k (Q) Thác triển hàm 15 ◦ 1.4.3 Tính trù mật C (Q) H (Q) Không gian H k (Q) 16 ∞ k ◦ 1.5 TÍNH CHẤT CỦA HÀM THUỘC H (Q) VÀ H (Q) 17 1.5.1 Vết hàm 17 1.5.2 Cơng thức tích phân phần 21 1.5.3 Tính chất hàm thuộc H (Q) 22 ◦ 1.5.4 Chuẩn tương đương không gian H (Q) H (Q) 22 1.6 KHÔNG GIAN C r,0 C 2s,s KHÔNG GIAN H r,0 VÀ H 2s,s 24 1.6.1 Không gian Banach C r,0 (QT ) C 2s,s (QT ) 24 1.6.2 Không gian Hilbert H r,0 (QT ) H 2s,s (QT ) 24 CHƯƠNG NGHIỆM YẾU CHO BÀI TOÁN PARABOLIC 30 2.1 TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT 30 2.1.1 Tính chất nghiệm phương trình nhiệt 30 2.1.2 Bài tốn Cauchy phương trình nhiệt 39 2.2 BÀI TOÁN HỖN HỢP 53 2.2.1 Tính nghiệm 53 2.2.2 Sự tồn nghiệm yếu 59 2.2.3 Tính trơn nghiệm yếu toán hỗn hợp Sự tồn nghiệm cổ điển 64 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Rn Không gian Euclide n chiều Q Tập không rỗng, liên thông, mở bị chặn Rn Q Bao đóng Q C(Q) Tập hàm liên tục miền Q C k (Q) Tập hàm khả vi đến cấp k Q C˙ k (Q) Tập hàm thuộc C k (Q) có giá compact C ∞ (Q) Tập hàm khả vi vô hạn lần Q C ∞ (Q) Tập hàm khả vi vô hạn lần Q C˙ ∞ (Q) Tập hàm khả vi vô hạn lần Q có giá compact f xi Đạo hàm riêng cấp f theo biến xi , i = 1, 2, ∇f (x) Gradient hàm số f ∈ C (Q) hay ∇f =(fx1 , , fxn ) (x, t) Điểm không gian (n + 1) chiều Rn+1 , (x, t) = (x1 , , xn , t) ∂v ∂v , , ), với v = v(x, t) =( ∂x1 ∂xn ∂ 2v ∂ 2v = div∇v = + · · · + , với v = v(x, t) ∂x1 ∂xn ∇v ∆v MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài: Bộ mơn phương trình đạo hàm riêng mơn tốn học vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng Ngành tốn học tham gia xây dựng lý thuyết chung cho ngành toán học khoa học khác Nó góp phần nâng cao tính đầy đủ hiệu nhiều ngành tối ưu, điều khiển tối ưu, trò chơi vi phân, tính tốn khoa học Các quy luật vật lý thường mơ tả phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên, việc tìm nghiệm cổ điển phương trình đạo hàm riêng thường khó khơng tồn Do đó, người ta đưa khái niệm để tìm nghiệm cổ điển phương trình đạo hàm riêng cách tìm nghiệm yếu phương trình khơng gian Sobolev Xuất phát từ nhu cầu thực tế với mong muốn thân muốn tìm hiểu khái niệm này, tác giả chọn đề tài nghiên cứu việc khảo sát tìm nghiệm yếu tốn parabolic khơng gian Sobolev Mục tiêu nghiên cứu : Giới thiệu không gian hàm liên tục, hàm khả vi liên tục khơng gian hàm khả tích, nêu định nghĩa đạo hàm suy rộng tồn Từ đó, giới thiệu lý thuyết khơng gian Sobolev, khơng gian hàm có nhiều ứng dụng tốn học tính tốn Trình bày hệ thống lý thuyết nghiệm yếu khơng gian Sobolev tốn parabolic Nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn hỗn hợp tính trơn nghiệm yếu tốn Từ đó, nêu lên điều kiện kiện toán để nghiệm yếu nghiệm cổ điển Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Không gian Sobolev - Nghiệm yếu toán parabolic Phương pháp nghiên cứu: - Thu thập tài liệu, đọc hiểu để trình bày cách có hệ thống lý thuyết -Tham gia nhiều buổi thảo luận với thầy hướng dẫn để hiểu rõ nội dung đề tài nghiên cứu Bố cục đề tài: Nội dung nghiên cứu đề tài chia thành chương: Chương giới thiệu không gian hàm liên tục, hàm khả vi liên tục không gian hàm khả tích Nêu định nghĩa đạo hàm suy rộng tồn Từ đó, giới thiệu lý thuyết không gian Sobolev, không gian thường gặp hầu hết ngành khoa học Những kiến thức chương tảng để tiếp cận nội dung chương Chương nội dung trọng tâm đề tài Trong đó, luận văn đề cập đến lý thuyết nghiệm yếu khơng gian Sobolev cho tốn parabolic Tổng quan tài liệu nghiên cứu: Luận văn tham khảo số tài liệu khoa học tiếng Việt tiếng Anh phương trình đạo hàm riêng Hiện ngồi nước có cơng trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng ứng dụng Tuy nhiên cơng trình khoa học phương trình đạo hàm riêng tiếng Việt chưa nhiều, tốn parabolic Vì việc trình bày phương trình đạo hàm riêng cách bản, rõ ràng hệ thống cần thiết Hi vọng với luận văn giúp người học tốn có thêm tài liệu tham khảo phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt tốn parabolic CHƯƠNG KHƠNG GIAN SOBOLEV 1.1 KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC VÀ HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC 1.1.1 Không gian định chuẩn C(Q) C k (Q) Cho Q miền bị chặn không gian Rn Xét tập C(Q) gồm hàm liên tục Q Ta để ý tập khơng gian tuyến tính Có thể kiểm tra trực tiếp hàm max |f (x)| xác định C(Q) thỏa mãn x∈Q tất tiên đề để trở thành chuẩn: max |cf (x)| = |c| max |f (x)|; x∈Q x∈Q ta có |f1 (x) + f2 (x)| |f1 (x)| + |f2 (x)|, ∀x ∈ Q max |f1 (x) + f2 (x)| max |f1 (x)| + max |f2 (x)|; x∈Q x∈Q x∈Q max |f (x)| x∈Q max |f (x)| = ⇔ f (x) ≡ x∈Q Vì vậy, C(Q), ta đưa chuẩn f C(Q) = max |f (x)| (1.1) x∈Q Sự hội tụ theo chuẩn (1.1) trùng với hội tụ Q Không gian C(Q) với chuẩn (1.1) khơng gian Banach, theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy hàm C(Q) với chuẩn (1.1) hội tụ hàm thuộc C(Q) Vì theo định lý Weirstrass, hàm liên tục Q giới hạn dãy đa thức mà hội tụ Q nên tập tất đa thức trù mật khắp nơi C(Q) Nhưng ngược lại, đa thức tùy ý biểu diễn giới hạn dãy đa thức với hệ số hữu tỉ mà hội tụ Q Do đó, tập đếm tất đa thức với hệ số hữu tỉ trù mật khắp nơi C(Q) Điều có nghĩa khơng gian C(Q) không gian khả ly ◦ Trong C(Q), ta xét tập C (Q) chứa tất hàm mà triệt tiêu ◦ biên ∂Q Q Rõ ràng, C (Q) khơng gian tuyến tính C(Q) Khơng gian đóng (với chuẩn (1.1)) giới hạn dãy ◦ ◦ ◦ hàm C (Q) hội tụ Q hàm thuộc C (Q), đó, C (Q) khơng gian không gian C(Q) Tiếp theo, C(Q), ta xét tập C k (Q), k = 1, 2, gồm hàm mà tất đạo hàm đến cấp k chúng liên tục Q Tập C k (Q) khơng gian tuyến tính Hơn nữa, C k (Q) ta đưa chuẩn f C k (Q) = |α| k max |Dα f (x)| (1.2) x∈Q Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ không gian Q hàm đạo hàm đến cấp k chúng Ta có, C k (Q) khơng gian Banach với chuẩn (1.2) 1.1.2 Cơng thức tích phân phần Ostrogradsky Giả sử miền Q (biên ∂Q ∈ C ) xác định hàm vectơ A(x) = (A1 (x), , An (x)) mà thành phần Ai (x) ∈ C(Q) ∩ C (Q), i = ∂An 1, , n Nếu hàm divA(x) ≡ ∂A ∂x1 + · · · + ∂xn liên tục Q chí khả tích tồn miền Q ta có cơng thức sau (cơng thức Ostrogradsky): divA(x) dx = Q A(x) n(x) dS ∂Q với n pháp vectơ đơn vị biên ∂Q hướng Q (1.3) 66 Do đó, h có đạo hàm suy rộng Dxα h = hα , |α| điều có nghĩa h ∈ H r (D) r thuộc vào L2 (D), Nếu f |ΓT = với hàm η(x) ∈ C (D) i = 1, 2, , n ta có fxi (x, t) η(x) g(t) dx dt hxi ηdx = D QT =− QT f (x, t) ηxi (x) g(t) dx dt = − hηxi dx D Mặt khác, h ∈ H (D) nên với η tùy ý thuộc C (D) ta có hxi η dx = D ∂D hηni dS − hηxi dx, D với ni (x) thành phần vectơ pháp tuyến ∂D điểm x hướng bên ngồi Do đó, với η(x) ∈ C (∂D), ta có hηni dS = 0, i = 1, , n ∂D mà từ hệ thức ta suy h|∂D = Nếu r ∂f ∂n Γ T = với hàm η ∈ C (D) ta có ∆h(x)η(x) dx = D ∆f (x, t)η(x) g(t) dx dt QT =− QT ∇f (x, t).∇η(x) g(t) dx dt = − Mặt khác, h ∈ H (D) nên ∆h.η dx = D ∂D ∂h η dS − ∂n D D ∇h.∇η dx ∇h.∇η dx với η ∈ C (D) Do đó, với η ∈ C (∂D), ∂h η dS = ∂n ∂D 67 Điều có nghĩa ∂h ∂n ∂D = Hệ 2.2.2 Cho hàm g(t) ∈ L2 (0, T ) cho hàm f (x, t) thuộc vào Khi đó, hàm h(x) thuộc khơng gian không gian HN2r,r (QT ) với r HN2r (D) với α = (α1 , , αn ), |α| 2r cơng thức (2.79) Bổ đề 2.2.3 Cho ∂D ∈ C Nếu với q 0, hàm f (x, t) ∈ HN2q,q (QT ) p 2(q−p),q−p (QT ) với p, p = 0, , q, ∂∂tfp ∈ HN Chứng minh Kết luận bổ đề trường hợp q = q = hiển nhiên Khi q 2, phát biểu bổ đề suy từ khẳng ∂Gt định sau : G ∈ H 1,2 (QT ) ∂G ∂n ΓT = ∂n ΓT = Thật vậy, ∂G ∂n ΓT = với η ∈ C (QT ), η|D0 = η|DT = nên ta có QT ∆Gt η dx dt = − ∆Gηt dx dt = QT QT ∇G∇ηt dx dt = − QT ∇Gt ∇ηdx dt Mặt khác, ∆Gt η dx dt = ΓT QT Do ∂Gt η dS dt − ∂n ∇Gt ∇η dx dt QT ∂Gt η dS dt = ∂n ΓT với η ∈ C (ΓT ), η|∂D0 = η|∂DT = Do Bổ đề 2.2.4 Cho ∂D ∈ C hàm f (x, t) ∈ ∂Gt ∂n ΓT = HN2q,q (QT ) với q Khi đó, với p, p = 0, , q, ta có ∞ k=1 |λk | 2(q−p) dp fk dtp C f L2 (0,T ) H 2q,q (QT ) , C số dương không phụ thuộc vào f (2.80) 68 Chứng minh Với p, q, ta có p dp fk (t) dtp = D ∂ p f (x,t) ∂tp vk (x)dx Do T dp fk (t) dt |λk | dtp   T p p ∂ f (x, t) d fk (t)  dt vk (x) dx = |λk |2(q−p)  ∂tp dtp D   T p p  ∂ f (x, t) d fk (t) dt ∆q−p vk (x) dx = λq−p k ∂tp ∂tp 2(q−p) D Theo bổ đề (2.2.3), hàm ∂ p f (x,t) ∂tp 2(q−p),q−p thuộc HN theo hệ bổ đề (2.2.2), hàm T ∂ p f (x,t) dp fk (t) ∂tp dtp Do T |λk |2(q−p) d fk (t) dtp = λq−p k p  dt = λq−p k D ∆q−p p (QT ), điều có nghĩa p ∆q−p  T ∂ f (x, t) d fk (t) vk (x) dx dt ∂tp dtp 2(q−p) dt thuộc vào HN p (D)  p ∂ f d fk  dt vk dx ∂tp dtp QT T = λq−p k ∆q−p y D =  λq−p k D  T  p ∂ f (y, t)  ∂tp ∂ f (x, t) vk (x) dx vk (y) dy dt ∂tp D  ∂ p f (x, t) (p) gk (t) dt vk (x) dx p ∂t  = D đó, hàm  p  T  p ∂ f (x, t) (p) gk (t)dt ∆q−p vk (x) dx, p ∂t (p) gk (t) = ∆ D q−p ∂ p f (x, t) vk (x)dx ∂tp (2.81) 69 p thuộc vào L2 (0, T ) Hàm ∆q−p ∂ f∂t(x,t) ∈ L2 (QT ), với hầu hết t ∈ p (0, T ) ∂ p f (x, t) ∈ L2 (Dt ) ∆q−p ∂tp với hầu hết t ∈ (0, T ) ∞ (p) gk (t) = ∆ q−p ∂ p f ∂tp k=1 L2 (Dt ) Do đó, ta có ∞ k=1 (p) gk L2 (0,T ) = ∆ q−p ∂ p f ∂tp const f L2 (QT ) H 2q,q (QT ) Vì theo bổ đề (2.2.3) hệ bổ đề (2.2.2), hàm thuộc 2(q−p) (D) HN T ∂ p f (x,t) ∂tp (2.82) (p) gk (t) dt nên từ (2.81) ta có T |λk |  = D T ∆q−p  T (p) gk (t) = dp fk (t) dtp 2(q−p) 2 dt  ∂ p f (x, t) (p) gk (t) dt vk (x) dx ∂tp dt kết hợp với (2.82), ta có (2.80) Bổ đề 2.2.5 Cho ∂D ∈ C 2q+2 với q cho ϕ ∈ HN2q+1 (D), f ∈ HN2q,q (QT ) Khi đó, với p thỏa p q + ta có bất đẳng thức ∞ k=1 |λk | 2(q+1−p) d p Uk dtp C L2 (0,T ) ϕ H 2q+1 (D) với C số dương không phụ vào ϕ f + f H 2q,q (QT ) (2.83) 70 Chứng minh bổ đề (2.2.5) Vì hàm f ∈ H 2q,q (QT ) ⊂ H q (QT ) nên hàm fk (t), k = 1, 2, thuộc vào H q (0, T ) Do đó, theo (2.64) (2.65), hàm Uk (t), k = 1, 2, thuộc vào H q+1 (0, T ) Từ (2.65) suy với p, p q + 1, ta có p−1 dp Uk = λpk Uk + p dt r=0 r p−r−1 d fk , λk dtr t ∈ (0, T ) Do đó, để chứng minh (2.83), theo bất đẳng thức (2.80) bổ đề (2.2.4) ta cần thiết lập ∞ k=1 |λk |2(q+1) Uk L2 (0,T ) const ϕ H 2q+1 (D) + f H 2q,q (QT ) (2.84) Nhân hai vế (2.65) cho Uk lấy tích phân hai vế đồng thức thu t ∈ (0, T ) Áp dụng (2.66), ta có 1 Uk (T ) − ϕ2k − λk 2 T T Uk2 (t) dt = fk (t) Uk (t) dt, 0 mà từ ta có bất đẳng thức ϕ + fk L2 (0,T ) Uk L2 (0,T ) , λk k đó, ta có bất đẳng thức |λk |2q+2 Uk 2L2 (0,T ) ϕk (λk )2q+1 + (|λk |q fk L2 (0,T ) )(|λk |q+1 Uk 1 ϕk |λk |2q+1 + |λk |2q fk 2L2 (0,T ) + |λk |2q+2 Uk 2L2 (0,T ) 2 Vì |λk | Uk L2 (0,T ) |λk |2q+2 Uk L2 (0,T ) ϕ2k |λk |2q+1 + |λk |2q fk L2 (0,T ) Do đó, từ bất đẳng thức (2.80) (với p = ) bất đẳng thức ∞ k=1 ϕ2k |λk |2q+1 ta suy bất đẳng thức (2.84) const ϕ H 2q+1 (D) L2 (0,T ) ) 71 Định lý 2.2.3 Cho ∂D ∈ C 2s với s cho ϕ ∈ HN2s−1 (D), f ∈ 2(s−1),(s−1) (QT ) toán hỗn hợp (2.76), (2.77), (2.78) Khi đó, HN nghiệm yếu u(x, t) tốn thuộc vào khơng gian H 2s,s (QT ) Hơn nữa, ta có bất đẳng thức u H 2s,s (QT ) C ϕ H 2s−1 (D) + f H 2(s−1),(s−1) (QT ) (2.85) với C số dương không phụ thuộc vào ϕ hay f Chú ý giả thiết định lí (2.2.3), bên cạnh tính trơn hàm cho, người ta bổ sung thêm điều kiện ∂ϕ ∂n ∂f ∂n = = ∂ s−2 ∆ ϕ |∂D = ∂n = = ∂ s−2 ∆ f |ΓT = ∂n ∂D ΓT Những điều kiện cần thiết để định lí (2.2.3) cho ta hội tụ H 2s,s (QT ) chuỗi (2.68) nghiệm yếu toán hỗn hợp Tuy nhiên, ta quan tâm đến tính trơn nghiệm yếu (và khơng quan tâm đến hội tụ chuỗi Fourier) điều kiện làm yếu đi, chúng thay điều kiện tương thích ϕ f ∂D0 Chứng minh định lí (2.2.3) Ta có hàm fk (t), k = 1, 2, xác định (2.61) thuộc vào không gian H s−1 (0, T ) (và thuộc vào C s−2 ([0, T ]) với s 2) Do đó, hàm Uk (t), k = 1, 2, xác định (2.64) thỏa mãn phương trình (2.65) (0, T ) thuộc vào không gian H s (0, T ) thuộc vào C s−1 ([0, T ]) Do đó, theo tính chất hàm riêng vk (x), tổng riêng N SN (x, t) = Uk (t) vk (x) chuỗi (2.68) thuộc không gian HN2s,s (QT ) k=1 với t ∈ [0, T ], chúng thuộc vào không gian HN2s (Dt ) Hơn nữa, với p = 1, , s hàm ∂∂tSpN thuộc vào không gian H 2(s−p),s−p (QT ) với t ∈ [0, T ], ta có thuộc vào khơng gian HN2s (Dt ) Do đó, theo tính trực giao hàm riêng vk (x) L2 (Dt ) với t ∈ [0, T ], p = 0, , s p 72 M N thỏa M < N , ta có bất đẳng thức ∂ p SN ∂ p SM − ∂tp ∂tp C1 ∆ s−p H 2(s−p) (Dt ) N = C1 k=M +1 |λk |s−p d p Uk vk (x) dtp N = C1 k=M +1 |λk | ∂p (SN − SM ) ∂tp d p Uk dtp 2(s−p) L2 (Dt ) L2 (Dt ) (2.86) Tương tự, với t ∈ [0, T ], với p = 0, , s N ∂ p SN ∂tp H 2(s−p) (Dt ) dp U1 dtp 2 |D| H 2(s−p) (Dt ) + k=2 |λk | dp (U1 ) dtp C3 H 2(s−p) (D t) H 2(s−p) (Dt ) H 2(s−p) (Dt ) dp Uk dtp 2(s−p) với λ1 = Vì vậy, với t ∈ [0, T ], p = 0, , s, N ∂ p SN ∂tp ∂ p (SN − S1 ) +2 ∂tp N d p U1 dtp C2 ∂ p (U1 v1 ) ∂ p (SN − S1 ) + = ∂tp ∂tp 1, ta có N ta có + k=1 |λk | d p Uk dtp 2(s−p) (2.87) Tích phân hai vế bất đẳng thức (2.86) t ∈ (0, T ) lấy tổng p, p = 0, , s ta có N s SN − SM 2H 2s,s (QT ) C1 p=0 k=M +1 |λk | 2(s−p) d p Uk dtp (2.88) L2 (0,T ) Tương tự, từ bất đẳng thức (2.87), ta có s SN 2H 2s,s (QT ) C3 p=0 d p U1 dtp N + L2 (0,T ) k=1 |λk | 2(s−p) dp Uk dtp L2 (0,T ) (2.89) 73 Theo bổ đề (2.2.5) (với q = s − 1), từ bất đẳng thức (2.88) ta suy chuỗi (2.68) hội tụ H 2s,s (QT ) Do đó, nghiệm yếu tốn (2.76), (2.77), (2.78) thuộc khơng gian H 2s,s (QT ) (và chí thuộc vào không gian HN2s,s (QT )) Qua giới hạn N → ∞ (2.89) thay vào (2.83) bất đẳng thức dp U dtp L2 (0,T ) const ϕ với p = 0, , s, ta có bất đẳng thức (2.85) L2 (D) + H 2(s−1),(s−1) (QT ) f Nhận xét 2.2.5 Nếu f ∈ H 2,1 (QT ) hàm Uk (t), k = 1, 2, xác định (2.64) thuộc khơng gian H (0, T ) đó, thuộc khơng gian C ([0, T ]) Nhận xét 2.2.6 Nếu ∂D ∈ C [ ]+3 hàm riêng vk (x) toán giá n trị biên tốn tử Laplace D thuộc khơng gian H [ ]+3 (D) n thuộc vào khơng gian C (D) Khi đó, tổng riêng SN chuỗi (2.68) thuộc khơng gian C 2,1 (QT ) Bổ đề 2.2.6 Cho f (t) hàm tùy ý H (0, T ) ε số tùy ý thuộc (0, T ] Khi đó, với t ∈ [0, T ], ta có bất đẳng thức f (t) f ε L2 (0,T ) + 2ε f ′ L2 (0,T ) (2.90) Chứng minh bổ đề (2.2.6) Đặt α giá trị trung bình f (0, T ): α= T T f (t)dt [0, T ] xét hàm liên tục fα (t) = f (t) − α Vì T fα (t) dt = nên tồn điểm t0 ∈ (0, T ) cho fα (t0 ) = Do ′ đó, với t ∈ [0, T ] ε > t ′ fα2 (t) = fα (t) fα (t) dt t0 ε T T ′ f (t) dt fα2 (t) dt + ε 0 74 Do đó, với t ∈ [0, T ] với ε, < ε  T 1 f (t) − 2α f (t) + α2 f (τ ) dτ − 2α ε T f (τ ) dτ = ε ′ +ε ε f (τ ) dτ + ε  f (τ ) dτ + α2 T  ′ f (τ ) dτ + ε 0 0 T T α2 T f (τ ) dτ − ε ′ 2 T T T T , ta có f (τ ) dτ − α2 , mà từ suy bất đẳng thức f ε L2 (0,T ) +ε f √ = ′ 2α2 − 2α f (t) + f (t) L2 (0,T ) 2α − √ f (t) 2 + f (t) f (t) trùng với bất đẳng thức (2.90) Như bổ đề (2.2.6) chứng minh Bây giờ, ta chứng minh định lí tồn nghiệm cổ điển toán (2.76), (2.77), (2.78) Định lý 2.2.4 Cho ∂D ∈ C 2s0 +1 2s0 + [ n2 ] + lấy ϕ ∈ HN2s0 +1 (D), f ∈ HN2s0 ,s0 (QT ) toán hỗn hợp (2.76), (2.77), (2.78) Khi đó, chuỗi (2.68) hội tụ C 2,1 (QT ) tổng nghiệm cổ điển toán hỗn hợp (2.76), (2.77), (2.78) Hơn nữa, ta có bất đẳng thức u C(QT ) C ϕ H 2s0 −1 (D) + f H 2(s0 −1),s0 −1 (QT ) với C số dương không phụ thuộc vào ϕ f Chứng minh Từ cơng thức (2.64) ta có |Uk (t)| |ϕk | + fk 2|λk | L2 (0,T ) k > (2.91) 75 với C1 = √ |U1 (t)| L2 (0,T ) T Khi đó, từ (2.65) ta suy ′ |Uk (t)| k |ϕ1 | + C1 f1 |λk | |Uk | + |fk | |λk | |λk | |ϕk | + |fk | + √ fk L2 (0,T ) 1, với t ∈ [0, T ] Do đó, với t ∈ [0, T ] 2|ϕk |2 + Uk2 (t) U12 (t) fk |λk | L2 (0,T ) , ϕ21 + C12 f1 (2.92) k > 1, (2.93) L2 (0,T ) , (2.94) |λk | fk 2L2 (0,T ) + |fk |2 , k Xét bất đẳng thức (2.94) với k thỏa |λk | 1/T Gọi k0 số nhỏ số giá trị k Khi đó, theo bổ đề (2.2.6), với k k0 (nhắc lại dãy |λk | đơn điệu khơng giảm) ta có ′ Uk2 (t) λ2k ϕ2k + |fk (t)|2 L2 (0,T ) 2|λk | fk + ′ fk |λk | L2 (0,T ) Thay bất đẳng thức cuối vào (2.94), với t ∈ [0, T ] k ′ Uk2 (t) ϕ2k 3λ2k 15 + |λk | fk λ2k ϕ2k + |λk | fk L2 (0,T ) L2 (0,T ) + ′ + fk |λk | ′ fk |λk | k0 , ta có L2 (0,T ) L2 (0,T ) (2.95) Theo bất đẳng thức (2.92) (2.95), với t ∈ [0, T ] với M N , k0 M < N , ta có SN − C1 SN − SM 2C (Dt ) ∂ + (SN − SM ) ∂t SM 2H 2s0 +1 (Dt ) C(Dt ) ∂ + (SN − SM ) ∂t H 2s0 −1 (Dt ) 76  C2  N Uk (t)∆s0 vk (x) k=M +1 H (Dt ) N  N ′ + Uk (t)∆s0 −1 vk (x) k=M +1 H (Dt ) ′ C3 k=M +1 N |λk |2s0 +1 Uk2 (t) + |λk |2s0 −1 Uk2 (t) ϕ2k |λk |2s0 +1 + λ2s fk k C4 k=M +1 L2 (0,T ) Do ′ −2 + λ2s fk k L2 (0,T ) N SN − SM 2C 2,1 (QT ) (ϕ2k |λk |2s0 +1 C5 k=M +1 + |λk |2s0 fk L2 (0,T ) ′ −2 fk + λ2s k L2 (0,T ) (2.96) ) Tương tự, từ (2.93) ta nhận thấy với t ∈ [0, T ] với N bất đẳng thức N SN 2C(Dt ) SN 2H 2s0 −1 (Dt ) C6 U12 (t) C7 + k=1 |λk |2s0 −1 Uk2 (t) N C8 ϕ21 + f1 2L2 (0,T ) + k=1 −2 fk ϕ2k |λk |2s0 −1 + λ2s k L2 (0,T ) ta có bất đẳng thức N SN 2C(QT ) C9 (ϕ21 + f1 2L2 (0,T ) + k=1 −2 fk (ϕ2k |λk |2s0 −1 + λ2s k ∞ Vì hàm ϕ thuộc vào không gian HN2s0 +1 (D) nên chuỗi hội tụ Bên cạnh đó, ϕ thuộc vào ∞ k=1 const ϕ2k |λk |2s0 −1 Vì f ∈ HN2s0 ,s0 (QT ) nên chuỗi ∞ k=1 |λk | 2s0 fk 2L2 (0,T ) HN2s0 −1 (D) ∞ k=1 ϕ k=1 nên suy (2.97) ϕ2k |λk |2s0 +1 (2.98) H 2s0 −1 (D) ′ |λk |2(s0 −1) fk L2 (0,T ) )) L2 (0,T ) 77 hội tụ theo bổ đề (2.2.4) 2(s −1),s0 −1 (QT ) theo bất đẳng Hơn nữa, f thuộc vào không gian HN thức (2.80) bổ đề (2.2.4) ta có ∞ k=1 |λk |2(s0 −1) fk L2 (0,T ) const fk H 2(s0 −1),s0 −1 (QT ) (2.99) Do từ bất đẳng thức (2.96) suy chuỗi (2.68) hội tụ C 2,1 (QT ) tổng u(x, t) thuộc vào C 2,1 (QT ) nghiệm cổ điển toán hỗn hợp Hệ thức (2.91) suy từ bất đẳng thức (2.97), (2.98), (2.99) Như định lí (2.2.4) chứng minh 78 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu hướng dẫn tận tình tiến sĩ Trần Nhân Tâm Quyền phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt tốn parabolic, luận văn hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: • Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm không gian hàm liên tục, không gian hàm khả vi liên tục khơng gian hàm khả tích • Giới thiệu khơng gian Sobolev tính chất • Hệ thống lý thuyết nghiệm yếu tốn parabolic khơng gian Sobolev xây dựng tính trơn nó, từ tìm nghiệm cổ điển tốn parabolic khơng gian Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn, tác giả chưa sâu vào giải tốn parabolic cho số tốn parabolic khơng q tầm thường Đó hướng phát triển luận văn Trong trình làm luận văn, thân cố gắng nhiều không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn để luận văn phát triển hoàn thiện Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn bảo tận tâm nhiệt tình tiến sĩ Trần Nhân Tâm Quyền giúp tơi hồn thành luận văn Ngồi ra, tơi gởi lời cảm ơn đến thầy tham gia giảng dạy suốt khố học Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến ban giám hiệu nhà trường nơi công tác, đồng nghiệp, người thân bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian qua TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (2000), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thừa Hợp ( 1976), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Tiếng Anh [3] Browder, F.E (1959), Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems, Sci,USA [4] Mikhailov, V P (1978), Partial Differential Equations, Mir Publishers Moscow QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN ... hệ thống lý thuyết nghiệm yếu khơng gian Sobolev tốn parabolic Nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn hỗn hợp tính trơn nghiệm yếu tốn Từ đó, nêu lên điều kiện kiện toán để nghiệm yếu nghiệm cổ điển Đối... CHƯƠNG NGHIỆM YẾU CHO BÀI TOÁN PARABOLIC 30 2.1 TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT 30 2.1.1 Tính chất nghiệm phương trình nhiệt 30 2.1.2 Bài. .. CHƯƠNG NGHIỆM YẾU CHO BÀI TỐN PARABOLIC 2.1 TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT 2.1.1 Tính chất nghiệm phương trình nhiệt Chúng ta xét phương trình parabolic