1. Lý do chọn luận văn Trong thời gian gần đây, các nhà toán học dành sự quan tâm nghiên cứu các toán tử không địa phương loại elliptic và ứng dụng trong toán tối ưu, tài chính, cơ học lượng tử, khoa học vật liệu. Toán tử Laplace thứ là một dạng mở rộng của toán tử Laplace, được định nghĩa thông qua tích phân kỳ dị và cũng cung cấp một mô hình đơn giản để mô tả các quá trình Lévy trong lý thuyết xác suất. Một mở rộng của toán tử Laplace thứ là toán từ pLaplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) và hàm u ∈ L n (R N ), n > 2s, khi đó toán tử Laplace thứ (−∆)su được định nghĩa bởi (−∆)su(x) = C(n, s) lim ε→0 Z RN B(x,ε) u(x) − u(y) |x − y| n+2s dy), trong đó C(n, s) = 1 Z RN 1 − cosς1 |ς| n+2s dς , ς = (ς1, ς0 ), ς0 ∈ R n+1 . Ngoài định nghĩa trên, toán tử Laplace thứ (−∆)s còn được định nghĩa thông qua phép biến đổi Fourier 26, s mở rộng điều hòa được giới thiệu bởi CaffarelliSilvestre 12. Các bài toán dạng Kirchhoff mô tả một số hiện tượng vật lý, cụ thể Kirchhoff nghiên cứu bài toán ρ ∂ 2u ∂t2 − p0 h + E 2L Z L 0 ∂u ∂x 2 dx ∂ 2u ∂x2 = 0, (1.1) một mở rộng phương truyền sóng D’Alambert, mô tả sự thay đổi độ dài của dây trong quá trình dao động, trong đó ρ, p0, h, E, L là các hằng số. Phương trình trên chứa đại lượng không địa phương p0 h + E 2L Z L 0 ∂u ∂x 2 dx,
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TOÁN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NITHSAVAD VONGSY NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU SCHRODINGER KIRCHHOFF CHỨA TỐN TỬ P-LAPLACE PHÂN THỨ TRÊN ℝN Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Thin THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Nithsavad VONGSY Vasia VAYINGTUVUE Xác nhận Trưởng khoa Toán Xác nhận người hướng dẫn khoa học i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn Thầy tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Toán thầy tổ Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện cho làm luận văn, quan tâm đơn đốc tơi q trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng 86 năm 2020 Nithsavad VONGSY ii Mục lục Mở đầu 1 Nghiệm yếu phương trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ 1.2 Sự tồn nghim yu cho phng trỡnh kiu SchrăodingerKirchhoff khụng thun nht chứa toán tử p-Laplace phân thứ RN 12 Nghiệm yếu phương trình kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th, s mũ tới hạn đại lượng Hardy 2.1 29 Phương trỡnh khụng suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng cha toỏn t p-Laplace phân thứ đại lượng Hardy 2.2 29 Phng trỡnh suy bin kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng chứa toán tử p-Laplace phân thứ số mũ tới hạn 41 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Mở đầu Lý chọn luận văn Trong thời gian gần đây, nhà toán học dành quan tâm nghiên cứu tốn tử khơng địa phương loại elliptic ứng dụng toán tối ưu, tài chính, học lượng tử, khoa học vật liệu Toán tử Laplace thứ dạng mở rộng tốn tử Laplace, định nghĩa thơng qua tích phân kỳ dị cung cấp mơ hình đơn giản để mơ tả q trình Lévy lý thuyết xác suất Một mở rộng toán tử Laplace thứ toán từ p-Laplave phân thứ.Với s ∈ (0, 1) hàm u ∈ Ln (RN ), n > 2s, tốn tử Laplace thứ (−∆)s u định nghĩa (−∆)s u(x) = C(n, s) lim ε→0 RN \B(x,ε) u(x) − u(y) dy), |x − y|n+2s , ς = (ς1 , ς ), ς ∈ Rn+1 Ngoài định − cos ς1 dς |ς|n+2s C(n, s) = RN nghĩa trên, tốn tử Laplace thứ (−∆)s cịn định nghĩa thơng qua phép biến đổi Fourier [26], s- mở rộng điều hòa giới thiệu CaffarelliSilvestre [12] Các toán dạng Kirchhoff mô tả số tượng vật lý, cụ thể Kirchhoff nghiên cứu toán L ∂ 2u p0 E ∂u ∂ u ρ − + dx = 0, ∂t h 2L ∂x ∂x2 (1.1) mở rộng phương truyền sóng D’Alambert, mơ tả thay đổi độ dài dây trình dao động, ρ, p0 , h, E, L số L p0 E Phương trình chứa đại lượng không địa phương + h 2L ∂u ∂x dx, ∂u ∂u phụ thuộc vào trung bình dx động [0, L] Hơn ∂x ∂x toán dạng (1.1) sử dụng nhiều mơ hình hệ sinh học, u mơ tả q trình Có nhiều tốn kiểu Kirchhoff nghiên cứu cho lớp toán tử khác Có thể kể đến L | u|2 dx ∆u = h(x, u) − a + b Ω Thời gian gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu [4, 3, 37] mở rộng toán cho phng trỡnh kiu Schrăodinger RN : ()s u + V (x)u = f (x, u) RN Một mở rộng (−∆)s toán tử p-Laplace phân thứ (−∆)sp định nghĩa (sai khác số) (−∆)sp u(x) = lim ε→0 RN \B(x,ε) |u(x) − u(y)|p−2 (u(x) − u(y)) dy |x − y|n+ps Hiện tốn tồn nghiệm phương trình chứa tốn tử khơng địa phương loại elliptic (trong có tốn tử Laplace phân thứ p-Laplace phân thứ) thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới: Pucci (Đại học Degli Studi di Perugia, Italy), Giovanni (Đại học Mediterranea’ di Reggio Calabria, Italy), Repovˇs (Đại học Ljubljana, Slovenia), Servadei (Đại học Degli Studi di Urbino ‘Carlo Bo’, Italy), Radulescu (Viện Toán “Simion Stoilow”- Viện hàn lâm khoa học Romanian), Zhang (Đại học Heilongjiang, Trung Quốc), Ambrosio (Đại học DegliStudidiUrbino‘Carlo Bo’, Italy), Wei (Đại học British Columbia, Canada), Fazly (Đại học Alberta, Canada), Cabre (Đại học Politècnica de Catalunya, Tây Ban Nha), Tan (Đại học Técnica Federico Santa María, Chile), Barrios (Đại học Autónoma de Madrid, Tây Ban Nha), Tiếp tục hướng nghiên cứu này, nghiên cứu toỏn kiu SchrăodingerKirchhoff cho phng trỡnh p-Laplace phõn th RN có dạng: p |u(x) − u(y)| (−∆)sp u = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|p∗s −2 u M dx dy |x − y|n+ps R2n Khi M không suy biến, nghiên cứu tồn nghiệm toán chứa số hạng kỳ dị Hardy sau RN : p |u(x) − u(y)| |u|p−2 u s M dx dy (−∆)p u − γ |x − y|n+ps |x|ps R2n ∗ = λw(x)|u|q−2 u + K(x)|u|ps −2 u Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu bản, sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến toán tử Laplace thứ Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề luận văn Mục đích luận văn Mục đích luận văn nghiên cứu nghiệm yếu ca mt s lp phng trỡnh Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phân thứ Nội dung luận văn Luận văn gồm chương: - Chương Nghiệm yếu phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th với đại lượng nhiễu - Chương Nghiệm yếu phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th, số mũ tới hạn đại lượng Hardy Chương Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schră odinger-Kirchhoff cha toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu 1.1 Giới thiệu toán số kết bổ trợ Trong chương nghiên cứu phương trình p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff nh sau M [u]ps,p ()sp u + V (x) |u|p−2 u = f (x, u) + g(x) RN , [u]ps,p |u(x) − u(y)|p−2 := R2N |x − y|N +ps (1.1) dxdy, (1.2) đó, < s < < p < ∞ với ps < N, (−∆)sp toán tử p-Laplace phân thứ định nghĩa dọc theo hàm ϕ ∈ C0∞ (RN ) (−∆)sp ϕ(x) = lim+ ε→0 |ϕ(x) − ϕ(y)|p−2 (ϕ(x) − ϕ(y)) |x − y|N +ps RN \Bε (x) dy với x ∈ RN , Bε (x) := {y ∈ RN : |x − y| < ε, xem [20, 23] tài liệu tham khảo để biết thêm chi tiết tốn tử p-Laplace phân thứ Hàm g = g(x) xem số hạng nhiễu loạn Khi p = M ≡ phương trình (1.1) trở thành phương trình Laplace phân thứ (−∆)s u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN , coi dạng phân thứ ca phng trỡnh Schrăodinger dng c in sau õy u + V (x)u = f (x, u) + g(x) RN Trong năm gần đây, phương trình Kirchhoff thuộc kiểu |∇u|2 dx ∆u = h(x, u) Ω, − a+b (1.3) Ω Ω ⊂ RN miền trơn nhẵn, a > 0, b u thỏa mãn số điều kiện biên nhận quan tâm lớn Bài toán (1.3) liên quan đến tương tự dừng phương trình Kirchhoff |∇u|2 dx ∆u = h(x, u), utt − a + b (1.4) Ω đề xuất Kirchhoff năm 1883 mở rộng phương trình truyền sóng D’Alembert tiếng ∂ 2u ρ − ∂t p0 E + λ 2L L ∂u dx ∂x ∂ 2u = h(x, u) ∂x2 Mơ hình Kirchhoff có tính đến thay đổi độ dài dây tạo dao động ngang Ở đây, L độ dài dây, h diện tích tiết diện ngang, E môđun Young vật liệu, ρ khối lượng riêng p0 pha ban đầu Trong [2], toán (1.4) vài mơ hình vật lý, u mơ tả trình phụ thuộc vào mức trung bình Bài tốn khơng địa phương tìm thấy ứng dụng hệ thống sinh học Một ứng dụng khác tốn (1.3) sử dụng để mô tả tăng trưởng di chuyển loài cụ thể Chuyển động mơ hình hóa số hạng tích phân, giả định phụ thuộc lượng toàn hệ thống với u mật độ tập hợp Ngồi ra, chuyển động lồi cụ thể phải chịu ảnh hưởng mật độ dân số miền, dẫn đến phương trình kiểu ut − ψ( Ω udx)∆u = h(x, u) vậy, với u ∈ Ds,p (RN ), phiếm hàm u, · s,p tuyến tính liên tục Ds,p (RN ) Do đó, áp dụng (2.7), (2.13) (2.17) n → ∞ ta có o(1) = Jγ,λ (un ) − J αγ,λ (uγ,λ ), un − uγ,λ = M ([un ]ps,p )[un ]ps,p p + M (αγ,λ )[uγ,λ ]ps,p − M ([un ]ps,p ) un , uγ,λ s,p p − M (αγ,λ ) uγ,λ , un s,p w(x)(|un |p−2 un − |uγ,λ |p−2 uγ,λ )(un − uγ,λ )dx −γ RN ∗ ∗ K(x)(|un |ps −2 un − |uγ,λ |ps −2 uγ,λ )(un − uγ,λ )dx −λ RN p p = M (αγ,λ )(αγ,λ − [uγ,λ ]ps,p ) p∗ + uγ,λ ps∗s ,K + o(1) p p = M (αγ,λ )(αγ,λ − [uγ,λ ]ps,p ) − γ un p H + γ uγ,λ − γ un − uγ,λ p H p H − un p∗s p∗s ,K − un − uγ,λ p∗s p∗s ,K + o(1) Theo (2.13) ta có w(x)(|un |p−2 un − |uγ,λ |p−2 uγ,λ )(un − uγ,λ )dx = lim n→∞ RN Hơn nữa, sử dụng lại (2.13) Bổ đề Brézis - Lieb [11], ta có [u]ps,p = [u − uγ,λ ]ps,p + [uγ,λ ]ps,p + o(1), p∗s p∗s ,K un pH un p∗s p∗s + u ∗ γ,λ ps ,K p∗s ,K + o(1), uγ,λ pH + uγ,λ pH + o(1) = un − uγ,λ = un − n → ∞ Cuối cùng, [u]s,p → αγ,λ n → ∞, nên ta thu công thức p∗s p∗s ,K M (αγ,λ ) lim [un − uγ,λ ]ps,p = lim un − uγ,λ n→∞ = n→∞ p∗s γ,λ + + γ lim un − uγ,λ n→∞ p H γtpγ,λ (2.18) Khi xảy hai trường hợp sau Trường hợp K γ,λ = Rõ ràng γ,λ = (2.18) Giả sử ngược lại > Khi đó, từ (2.3) (2.18) ta có ∞ p M (αγ,λ ) lim [un − uγ,λ ]ps,p = γ lim un − uγ,λ n→∞ ≤ n→∞ p M (αγ,λ ) lim [un n→∞ 39 p H − < aH lim un − uγ,λ uγ,λ ]ps,p , n→∞ p H vơ lý Do đó, γ,λ γ,λ = 0, với λ > Tiếp tục sử dụng (2.18) kết = 0, ta có p H lim [un − uγ,λ ]ps,p = lim un − uγ,λ n→∞ n→∞ =0 theo (2.2) Vậy, un → uγ,λ , Ds,p (RN ) n → ∞, với λ > Trường hợp K ∞ > Theo (2.14) Bổ đề Brézis - Lieb, n → ∞, ta có 1 − ∗ q ps cγ,λ + o(1) ≥ ps∗ p∗s ,K un 1 − ∗ q ps = p∗s γ,λ + uγ,λ ps∗ p∗s ,K + o(1) Khi đó, từ bổ đề 2.1.4 bổ đề (2.16) kéo theo lim λ→∞ γ,λ = (2.19) Vì γ < aH nên tồn c ∈ [0, 1) cho γ + = c a H Do đó, (2.18) viết lại sau p p ) lim [un − uγ,λ ]ps,p + cM (αγ,λ ) lim [un − uγ,λ ]ps,p = (1 − c)M (αγ,λ n→∞ n→∞ p∗s p γ,λ + γιγ,λ Tiếp theo, với λ > 0, ta có p∗s γ,λ + γ + ιpγ,λ ≥ (1 − c)S K −p/p∗s ∞ a p γ,λ p + c a Hγ,λ (K), (2.3) (2.2), với c ∈ [0, 1) Vì γ = c a H nên p∗s γ,λ ≥ (1 − c) K −p/p∗s ∞ a p γ,λ (2.20) Vì vậy, (2.19) (2.20) kéo theo tồn λ∗ = λ∗ (γ) > cho γ,λ = với λ ≥ λ∗ Nói cách khác, lim un − uγ,λ n→∞ p∗s ,K =0 với λ ≥ λ∗ Từ đây, tiếp tục trường hợp đầu = với λ ≥ λ∗ Do đó, tiếp tục sử dụng (2.18), Ds,p (RN ) n → ∞ với λ ≥ λ∗ tiên chứng minh ta có un → uγ,λ γ,λ Định lý 2.1.6 Giả sử (2.1) không suy biến, nghĩa (2.2) Khi đó, với γ (−∞, κH), tốn (2.1) nhận nghiệm Vượt núi không tầm thường uγ,λ với λ > uγ,λ thỏa mãn dáng điệu tiệm cận lim [uγ,λ ]s,p = 0, λ→∞ 40 (2.21) = Trong trường hợp K ∞ > tồn λ∗ = λ∗ (γ) > cho với λ ≥ λ∗ , tốn (2.1) nhận nghiệm Vượt núi khơng tầm thường uγ,λ thỏa mãn (2.21) K ∞ Chứng minh Cố định γ ∈ (−∞, κH) Theo bổ đề 2.1.3 bổ đề 2.1.5, phiếm hàm Jγ,λ thỏa mãn giả thiết Định lý Vượt núi với λ > = với λ ≥ λ∗ , λ∗ = λ∗ (γ) > K ∞ > Điều đảm bảo tồn điểm tới hạn uγ,λ ∈ Ds,p (RN ) Jγ,λ cấp cγ,λ Vì Jγ,λ (uγ,λ ) = cγ,λ > = Jγ,λ (0) ta có uγ,λ = Ngồi ra, dáng điệu tiệm cận (2.21) có (2.16) K 2.2 ∞ Phương trình suy biến kiu Schră odinger-Kirchhoff dng cha toỏn t p-Laplace phõn th số mũ tới hạn Giả sử điều kiện (M) thỏa mãn Nếu tồn số t0 > 0, cho M (t0 ) > tθ0 M (t) ≥ M (t0 )tθ với t ∈ [0, t0 ] (2.22) ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Giả sử M đồng không R+ (M) thỏa mãn, với θ = Khi M (0) = M0 > Chứng minh Giả sử M (1) > Theo (2.22), ta có t M (1)t ≤ M (t) = M (τ )dτ, với t ∈ [0, 1] Lấy (tn )n dãy cho tn ∈ (0, 1) với n ∈ N tn ↓ as n → ∞ Theo định lý giá trị trung bình, thu tồn dãy (τn )n , với n ∈ (0, tn ), cho M (1)tn ≤ M (τn )tn với n ∈ N (2.23) M (1) ≤ M (τn ) với n ∈ N tn > Ta thấy M (τn ) → M (0) n → ∞, τn → n → ∞ M liên tục Do đó, (2.23), cho n → ∞ ta M (0) ≥ M (1) Vậy bổ đề dược chứng minh, M (1) > theo giả thiết 41 Sau đây, nghiên cứu toán (2.1) trường hợp suy biến, nghĩa M (0) = inf+ M (t) = t∈R0 Cụ thể, xem xét phương trình khơng chứa số hạng Hardy ∗ M [u]ps,p (−∆)sp u = λw(x) |u|q−2 u + K(x) |u|ps −2 u RN , (2.24) (2.2) thay M (0) = (M1 ) Với τ > tồn mτ > cho M(t) ≥ mτ với t ≥ τ (M2 ) Tồn b > cho M (t) ≥ bt với t ∈ [0, 1] Trường hợp suy biến hấp dẫn trình bày báo tiếng lý thuyết Kirchhoff, [15, 30] Đặc biệt, [15], hàm Kirchhoff M giả sử Lipschitz liên tục, khơng đơn điệu Ngồi trường hợp suy biến có số hàm M khơng tăng R+ , thỏa mãn (M), (M1 ) (M2 ) Trong Vật lý, trường hợp M (0) = có nghĩa mức sở dây 0, mơ hình thực tế Định nghĩa 2.2.2 Chúng ta nói u ∈ Ds,p (RN ) nghệm (yếu) (2.24) M ([ups,p ]) u, ϕ s,p w(x) |u(x)|q−2 u(x)ϕ(x)dx =λ RN ∗ K(x) |u(x)|ps −2 u(x)ϕ(x)dx, + RN với ϕ ∈ Ds,p (RN ) Phiếm hàm lượng (2.24) Jλ : Ds,p (RN ) → R, cho λ u Jλ (u) = M ([u]ps,p ) − p q q q,w − u p∗s p∗s p∗s ,K Rõ ràng, Jλ xác định thuộc lớp C (Ds,p (RN )) Bổ đề 2.2.3 Giả sử M thỏa mãn (M1 ) (M2 ) Với λ > 0, tồn α > ρ > cho Jλ (u) ≥ α, với u ∈ Ds,p (RN ), với [u]s,p = ρ hàm e ∈ C0∞ (RN ), với [e]s,p > ρ Jλ (e) < Hàm e độc lập với λ K > hầu khắp nơi RN 42 Chứng minh Theo giả thiết, tồn t0 > cho M (tp0 ) > Cố định λ > lấy u ∈ Ds,p (RN ), với [u]s,p ≤ t0 Theo (M), (K), (2.3), (2.4) (2.22), tồn số dương SK cho λ p∗ u qq,w − ∗ u ps∗s ,K q ps λ q q p∗s ≥ m[u]θp − C [u] − S [u] K s,p , s,p q w s,p Jλ (u) ≥ m[u]θp s,p − m = M (tp0 )t−θp /p > 0, Đặt λ ∗ ηλ (t) = mtθp − Cwq tq − SK tps với t ∈ [0, t0 ], q lưu ý tồn ρ ∈ (0, t0 ] cho maxt∈[0,t0 ] ηλ (t) = ηλ (ρ) > 0, θp < q < p∗s Vì vậy, Jλ (u) ≥ α = ηλ (ρ) > 0, với u ∈ Ds,p (RN ), với [u]s,p = ρ Tiếp theo, lấy v ∈ C0∞ (RN ) cho [v]s,p = Theo (2.6), t → ∞ ta có ∗ tq tps p∗ q θp Jλ (tv) ≤ mt − λ v q,w − ∗ v ps∗s ,K → −∞, q ps θp < q < p∗s theo (w) Do đó, lấy e = τ0 v với τ0 > đủ lớn, ta thu [e]s,p > 2t0 Jλ (e) < Đặc biệt, [e]s,p > ρ e không phụ thuộc vào λ K > hầu khắp nơi RN Theo chứng minh Bổ đề 2.2.3, rõ ràng e hàm xác định số λ0 > 0, e thỏa mãn Jλ (e) < với λ ≥ λ0 [e]s,p ≥ 2t0 > ρ = ρ(λ), ρ ∈ (0, t0 ] Cố định λ > đặt cλ = inf max Jλ (ξ(t)), ξ∈Γ t∈[0,1] Γ = {ξ ∈ C([0, 1], Ds,p (RN )) : ξ(0) = 0, ξ(1) = e} Rõ ràng cλ > theo Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.4 Nếu M khơng đồng khơng lim cλ = λ→∞ 43 Chứng minh Lập luận chứng minh Bổ đề 2.2.3 Bổ dề 2.1.4, mặt hình thức lấy γ = 0, λ0 > 0, thay M (1) M (tp0 )/tθp (2.9) xác định Λ = {λ > λ0 : tλ [e]s,p ≥ t0 } Giả sử (un )n ⊂ Ds,p (RN ) dãy Palais-Smale Jλ cấp cλ ∈ R Khi Jλ (un ) → cλ Jλ (un ) → n → ∞ (2.25) Bổ đề 2.2.5 Giả sử (M1 ) − (M2 ) thỏa mãn giả sử ps < N < 2ps Nếu K = 0, phiếm hàm Jλ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale cấp cλ với λ > Nếu K ∞ > tồn λ∗ > cho Jλ thỏa mãn điều kiện Palais-Smale cấp cλ với λ ≥ λ∗ ∞ Chứng minh Cố định λ > Giả sử (un )n ⊂ Ds,p (RN ) dãy PalaisSmale cấp cλ Ta xem xét hai tình huống: inf [un ]s,p = dλ > n∈N inf [un ]s,p = n∈N Trường hợp thứ inf [un ]s,p = dλ > Ta thấy (un )n bị chặn n∈N D (R ) Theo (M1 ), với τλ = dpλ , tồn mλ = mτλ > cho s,p N M ([un ]ps,p ) ≥ mλ với n ∈ N (2.26) Áp dụng (M), ta J (un ), un q λ 1 = M ([un ]ps,p ) − M ([un ]ps,p )[un ]ps,p + p q 1 ≥ − M ([un ]ps,p )[un ]ps,p + − θp q q Jλ (un ) − 1 − ∗ q ps un p∗s un p∗s p∗s ,K p∗s p∗s ,K (2.27) Khi đó, theo (2.25) (2.26), tồn σλ > cho n → ∞ ta có cλ + σλ [un ]s,p + o(1) ≥ mλ 1 − [un ]ps,p θp q Do đó, (un )n bị chặn Ds,p (RN ) < p < θp < q theo (M), (w) Bổ đề 2.2.1 44 Theo (2.3) Bổ đề 2.1.1, tồn uλ ∈ Ds,p (RN ) cho bỏ qua dãy cần thiết, ta giả sử un uγ,λ Ds,p (RN ), un uγ,λ Lps (RN ), [u]s,p → αλ , ∗ un − uλ un → uλ Lq (RN , w), p∗s ,K → λ, (2.28) un → uλ hầu khắp nơi RN Đặc biệt, theo (2.27), n → ∞ ta có 1 cλ + o(1) ≥ − M ([un ]ps,p )[un ]ps,p θp q (2.29) Hơn nữa, αλ > dλ > Do M ([un ]ps,p ) → M (αλp ) > n → ∞, tính liên tục M thực tế là không điểm M theo (M1 ) Ta chứng minh lim αλ = (2.30) λ→∞ Ngược lại, giả sử lim sup αλ = α > Do đó, tồn dãy λk → ∞ λ→∞ cho αλk → α k → ∞ Khi đó, từ (2.29) Bổ đề 2.2.4, cho k → ∞ ta có 1 − M (αp )αp > θp q (M1 ) Mâu thuẫn chứng tỏ khẳng định (2.30) Hơn nữa, 0≥ [uλ ]s,p ≤ lim [uλ ]s,p = αλ , n→∞ un s,p N uλ D (R ) (K), (2.3) (2.30) kéo theo lim uλ λ→∞ p∗s ,K = lim [u]s,p = (2.31) λ→∞ Áp dụng (2.25), lập luận Bổ đề 2.1.5, ta thu M (αλp ) uλ , ϕ s,p w(x)(|uλ (x)|q−2 uλ (x)ϕ(x)dx =γ RN ∗ K(x) |uλ (x)|ps −2 uλ (x)ϕ(x)dx, + RN với ϕ ∈ Ds,p (RN ) Do đó, uλ điểm tới hạn phiếm hàm C (Ds,p (RN )) λ Jαλ (u) = M (αλp )[u]ps,p − u p q 45 q q,w − u p∗s p∗s p∗s ,K (2.32) Vì vậy, áp dụng (2.25), (2.28) (2.32) n → ∞, ta o(1) = Jλ (un ) − Jαλ (uλ ), un − uλ = M ([u]ps,p )[u]ps,p + M (αλp )[uλ ]ps,p − M ([u]ps,p ) un , uλ − M (αλp ) un , uλ s,p s,p w(x)(|un |q−2 un − |uλ (x)|q−2 uλ )(un − uλ )dx −γ RN ∗ = = ∗ K(x)(|un |ps −2 un − |uλ |ps −2 uλ )(un − uλ )dx − RN M (αλp )(αλp − [uλ ]ps,p ) − M (αλp )([un − uλ ]ps,p ) − p∗s p∗s ,K un + uλ p∗s p∗s ,K un − uλ p∗s p∗s ,K + o(1) + o(1) (2.33) Như vậy, thu kết p∗s p∗s ,K M (αλp ) lim [un − uλ ]ps,p = lim un − uλ n→∞ n→∞ (2.34) = Khi λ = (2.34) un → uλ Ds,p (RN ) n → ∞, với λ > M (αλp ) > Mặt khác, K ∞ = theo (2.25), (2.27), (2.28) Bổ đề Brézis - Lieb, n → ∞ ta có Giả sử K ∞ cλ + o(1) = Jλ (un ) − = J (un ), un ≥ q λ 1 − ∗ q ps p∗s λ + uλ p∗s p∗s ,K 1 − ∗ q ps un p∗s p∗s ,K + o(1) Khi đó, theo bổ đề 2.2.4 (2.31), ta có lim λ λ→∞ = (2.35) Từ (K) (2.34), n → ∞ ta có un − uλ p∗s p∗s ,K ≥S K −p/p∗s ∞ M (αλp ) un − uλ p p∗s ,K + o(1), S số Sobolev phân thứ tốt cho (2.3) Do đó, áp dụng (2.28), với λ ∈ R+ ta có p∗s λ ≥S K Vì vậy, tồn λ∗ > cho dãy λk → ∞ cho λk = λ k −p/p∗s ∞ M (αλp ) pλ (2.36) = với λ ≥ λ∗ Mặt khác, tồn > Chú ý (2.33) cho ta kết 46 đặc biệt M (αλp )(αλp − [uλ ]ps,p ) = p∗s λ , với λ > Khi đó, ký hiệu αλk = λk uλk = uk theo (2.36) ta ( p∗s ps/N k ) = M (αkp )ps/N (αkp − [uk ]ps,p )ps/N ≥ S K −p/p∗s ∞ M (αkp ) Nhờ bất đẳng thức trên, (M2 ) (2.30), cho k đủ lớn, ta thu p2 s/N αk −p/p∗s ∞ ≥ (αkp − [uk ]ps,p )ps/N ≥ S K −p/p∗s ∞ ≥ cS K p(1−ps/N ) αλ M (αλp )1−ps/N , c = b1−ps/N Do đó, từ αk > với k ∈ N, kéo theo với k đủ lớn p(2ps/N −1) αk −p/p∗s ∞ ≥ cS K Điều mâu thuẫn với (2.30) 2ps > N theo giả thiết Do đó, với λ ≥ λ∗ lim un − uλ n→∞ p∗s ,K = Vì vậy, theo (2.34), n → ∞ un → uλ Ds,p (RN ) với λ ≥ λ∗ yêu cầu Trường hợp thứ hai inf [u]s,p = Nếu điểm tụ ([un ]s,p )n , có n∈N dãy hội tụ mạnh đến uλ = Ds,p (RN ) cλ = Jλ (uλ ) = 0, mâu thuẫn với cλ > Do đó, điểm cô lập với dãy thực ([un ]s,p )n Khi đó, có dãy ([unk ]s,p )k cho inf [unk ]s,p = dλ > ta k∈N tiếp tục q trình Định lý 2.2.6 Cho M (0) = ps < N < 2ps Giả sử M thỏa mãn (M1 ) − (M2 ) Khi đó, tốn (2.24) nhận nghiệm Vượt núi không tầm thường uλ với λ > u thỏa mãn dáng tiệm cận lim [uλ ]s,p = 0, λ→∞ (2.37) = Nếu K ∞ > tồn λ∗ > cho λ ≥ λ∗ toán (2.24) nhận nghiệm Vượt núi không tầm thường uλ thỏa mãn (2.37) K ∞ 47 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.5, phiếm hàm Jλ thỏa mãn tất giả thiết Định lý Vượt núi với λ > K = với λ > λ∗ , λ∗ > K ∞ > Điều đảm bảo tồn điểm tới hạn uλ ∈ Ds,p (RN ) cho Jλ cấp cλ Vì Jλ (uλ ) = cλ > = Jλ (0) nên ta có uλ = Ngoài ra, dáng điệu tiệm cận (2.37) theo (2.31) 48 ∞ Kết luận Luận văn trình bày số kết nghiệm yếu phương trình kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toỏn t p-Laplace phõn th vi i lượng nhiễu, số mũ tới hạn đại lượng Hardy Các kết luận văn gồm có: - Chng Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toán tử p-Laplace phân thứ với đại lượng nhiễu - Chng Nghim yu ca phng trỡnh kiu Schrăodinger-Kirchhoff cha toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy • Trong Chương I, tơi trình bày số tính chất khơng gian Sobolev phân thứ, tồn hai nghiệm không tm thng ca phng trỡnh p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff [31] cách sử dụng Dịnh lý Vượt núi Nguyên lý biến phân Ekeland tồn hai nghiệm đối xứng cầu không tầm thường ca phng trỡnh p-Laplace phõn th kiu Schrăodinger-Kirchhoff trng hợp đặc biệt V (x) ≡ f (x, u) = |u|q−2 u, với q = (θp, p∗s ) • Trong Chương II, tơi trình bày kết qu v nghim yu ca bi toỏn kiu Schrăodinger-Kirchhoff dng [13] chứa toán tử p-Laplace phân thứ, số mũ tới hạn đại lượng Hardy 49 Tài liệu tham khảo [1] Adams R.A., Fournier J.J.F (2003), Sobolev Spaces, 2nd edn, Academic Press, New York [2] Alves C.O., Corrês F.J.S.A., Ma T.F (2005), Positive solutions for a equasilinear elliptic equation of Kirchhoff type, Comput Math Appl 49, 85–93 [3] Applebaum D (2004), Lévy processes-from probability to finance quantum groups, Notices Am Math Soc 51, 1336–1347 [4] Ambrosetti A., Rabinowiz P (1973), Dual variational methods in critical point theory and applications, J Funct Anal 14, 349–381 [5] Autuori G., Fiscella A., Pucci P (2015), Stationary Kirchhoff problems involving a fractional elliptic operator and a critical nonlinearity, Nonlinear Anal 125, 699–714 [6] Autuori G., Pucci P (2013), Elliptic problems involving the fractional Laplacian in RN , J Differ Equ 255, 2340–2362 [7] Autuori G., Pucci P (2013), Existence of entire solutions for a class of quasilinear elliptic equations, Nonlinear Differ Equ Appl NoDEA 20, 977–1009 [8] Barrios B., Colorado E., De Pablo A., Sanchez U (2012), Onsome critical problems for the fractionalLaplacian operator, J Differ Equ 252, 6133–6162 [9] Bartsch T., Wang Z.Q (1995), Existence and multiplicity results for some superlinear elliptic problems on RN , Commun Partial Differ Equ 20, 1725–1741 50 [10] Brézis H (2011), FunctionalAnalysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer, New York [11] Brézis H., Lieb E (1983), Arelation between pointwise convergence of functions and convergence of functional, Proc Am Math Soc 88, 486–490 [12] Caffarelli L., Silvestre L (2007), An extension problem related to the fractional Laplacian, Commun PartialDiffer Equ 32, 1245-1260 [13] Caponi M., Pucci P (2016), Existence theorems for entire solutions of stationary Kirchhoff fractional p-Laplacian equations, Annali di Matematica Pura ed Applicata 195, 2099-2129 [14] Di Nezza E., Palatucci G., Valdinoci E (2012), Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces, Bull Sci Math 136, 521–573 ´ Ancona P., Spagnolo S (1992), Global solvability for the degenerate [15] D Kirchhoff equation with real analytic data, Invent Math 108, 247–262 [16] Dipierro S., Palatucci G., Valdinoci, E (2013), Existence and symmetry results for a Schrăodinger type problem involving the fractional Laplacian, Matematiche 68, 201–216 [17] Ekeland L (1974), On the variational principle, J Math Anal Appl 47, 324–353 [18] Fiscella A., Valdinoci E (2014), A critical Kirchhoff type problem involving a nonlocal operator, Nonlinear Anal, 94, 156–170 [19] Fiscella A., Pucci P., On certain nonlocal Hardy–Sobolev critical elliptic Dirichlet problems Kirchhoff, Adv Differ Equ (to appear) [20] Franzina G., Palatucci G (2014), Fractional p-eigenvalues, Riv Mat Univ Parma 5, 315–328 [21] Felmer P., Quaas A., Tan J (2012), Positive solutions of the nonlinear Schrăodinger equation with the fractional Laplacian, Proc R Soc Edinb Sect A 142, 1237–1262 51 [22] Iannizzotto A., Squassina M (2014), Weyl-type laws for fractional peigenvalue problems, Asymptotic Anal 88, 233–245 [23] Iannizzotto A., Liu S., Perera K., Squassina M (2014), Existence results for fractional p-Laplacian problems via Morse theory, Adv Calc Var doi:10.1515/acv-2014-0024 [24] Lindgren E., Lindqvist P (2014), Fractional eigenvalues, Calc Var Partial Differ Equ 49, 795–826 [25] Maz’ya V., Shaposhnikova T (2002), On the Bourgain, Brezis, and Mironescu theorem concerning limiting embeddings of fractional Sobolev spaces, J Funct Anal 195, 230–238 [26] Molica Bisci G., Radulescu V.-D, Servadei S (2016), Variational Methods for Nonlocal Fractional Equations, Encyclopedia Math Appl 162, Cambridge University Press, Cambridge [27] Metzler R., Klafter J (2004), The restaurant at the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics, J Phys A 37, 161–208 [28] Laskin N (2000), Fractional quantum mechanics and Lévy path integrals, Phys Lett A 268, 298-305 [29] Nyamoradi N (2013), Existence of three solutions for Kirchhoff nonlocal operators of elliptic type, Math Commun 18, 489–502 [30] Ono K (1997), Blowing up and global existence of solutions for some degenerate nonlinear wave equations with some dissipation, In: Proceedings of the Second World Congress of Nonlinear Analysts, Part (Athens, 1996) Nonlinear Analysts, vol 30, pp 4449–4457 [31] Pucci P., Xiang M.Q., Zhang B (2015), Multiple solutions for nonhomogeneous Schrăodinger-Kirchhoff type equations involving the fractional p-Laplacian in RN , Calc.Var Partial Differ Equ 54, 2785–2806 52 [32] Pucci P., Xiang M.Q., Zhang B (2016), Existance andmultiplicity of entire solution for fractional p-Kirchhoff equation, Adv Npnlinear Anal 5, 27-55 [33] Pucci P., Zhang Q (2014), Existence of entire solutions for a class of variable exponent elliptic equations, J Differ Equ 257, 1529–1566 [34] Pucci P., Saldi S (2016), Critical stationary Kirchhoff equations in RN involving nonlocal operators, Rev Mat Iberoam 31, 1–22 [35] Lions P.-L (1982), Symétrie et compacité dans les espaces de Sobolev, J Funct Anal 49, 315–334 [36] Rabinowitz P.(1986), Minimax methods in critical point theory with applications to diferential equations Vol 65, CBMS Regional Conference Series in Mathematics Providence (RI): American Mathematical Society [37] Secchi S (2013), Ground state solutions for nonlinear fractional Schrăodinger in RN , J Math Phys 54, 031501 [38] Willem M (1996),Minimax Theorems, Birkhăauser, Boston [39] Xiang M.Q., Zhang B.L., Ferrara M (2015), Existence of solutions for Kirchhoff type problem involving the non-local fractional p-Laplacian, J Math Anal Appl 424, 1021–1041 53 ... [u]ps ,p + u pp,V − F (x, u)dx − g(x)dx p RN RN min{1, a} u pW − ε u pLp (RN ) − Cε u qLq (RN ) − g Lp (RN ) u Lp (RN ) ≥ p min{1, a} ≥ u pW − εCpp u pW − Cε Cqq u qW − Cpp g Lp (RN ) u W p min{1,... u p p∗s s(1 − s) ≤ CN ,p [u]ps ,p , p? ??1 (N − ps) RN |u(x) |p s(1 − s) [u]ps ,p ps ≤ CN ,p p |x| (N − ps) với u ∈ Ds ,p (RN ), CN ,p số dương phụ thuộc vào N p Do đó, ph? ?p nhúng Sobolev phân thứ Ds ,p. .. [u]ps ,p + u pLp (RN ) − u qLq (RN ) − g(x)udx p q RN min{1, a} ≥ u pW s ,p (RN ) − u qLq (RN ) − g Lp (RN ) u Lp (RN ) p q min{1, a} Cq u pW s ,p (RN ) − u qW s ,p (RN )) − Cp g Lp (RN ) u ≥ p q I(u)