Sáng Kiến kinh nghiệm giải PT vô tỉ bằng phương pháp Hàm số

Sáng Kiến kinh nghiệm giải PT vô tỉ bằng phương pháp Hàm số Sáng Kiến kinh nghiệm giải PT vô tỉ bằng phương pháp Hàm số Sáng Kiến kinh nghiệm giải PT vô tỉ bằng phương pháp Hàm số Sáng Kiến kinh nghiệm giải PT vô tỉ bằng phương pháp Hàm số Sáng Kiến kinh nghiệm giải PT vô tỉ bằng phương pháp Hàm số

BẢN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên Sáng kiến: "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình chứa ẩn dấu căn" Mô tả ý tưởng: a) Hiện trạng nguyên nhân trạng: Tiến hành khảo sát thực tế học sinh lớp 12 (mỗi trường thực khảo sát 50 học sinh) trường THPT: trường PTDTNT THPT, trường THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên Kết quả: 80 % học sinh lớp 12 chưa biết phương pháp giải phương trình vô tỷ; 74 % học sinh lớp 12 giải chưa phương trình vô tỷ 95% học sinh giải phương trình vô tỷ phương pháp Hàm số Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp THPT năm học 2011- 2012, có 90 thí sinh thi môn Toán có 30 (chiếm tỷ lệ 33,3 %) học sinh giải phương trình vô tỷ Trong kỳ thi tuyển sinh đại học Cao đẳng hàng năm, hầu hết cấu trúc đề có giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ học sinh lại bỏ qua lời giải không đầy đủ, xác Nguyên Nhân: Giáo viên chưa có hế thống hoá nhận dạng phương trình vô tỷ, kỹ giải phương trình có chứa ẩn dấu yếu Bài toán giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ thường xuất đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi tuyển học sinh chuyên Toán, thi học sinh giỏi nhiều năm đề kỳ thi tuyển sinh đại học cao đẳng Tuy nhiên, thực tế đa số học sinh chưa nắm đặc trưng phương pháp tối ưu để giải, học sinh thường mắc phải sai lầm trình biến đổi chưa biết sử dụng phương pháp giải ngắn gọn, phù hợp Ở năm học trước đưa số phương pháp giải phương trình vô tỷ như: Chuyển phương trình vô tỷ hệ phương trình hữu tỷ (hệ tạm), chuyển phương trình vô tỷ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp đặt ẩn phụ, Nhằm nâng cao hiệu giáo dục môn Toán trường trung học, đặc biệt đào tạo học sinh mũi nhọn cấp THPT, học sinh tham gia thi tuyển sinh khối A, B, D trường Đại học, Cao đẳng, để giúp học sinh có cách nhận dạng dễ dàng cách giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ giúp bạn đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo ôn luyện cho học sinh, viết đưa phương pháp "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô tỷ có chứa ẩn dấu căn".Qua học sinh rèn luyện nhiều kiến thức toán học có liên quan b) Ý tưởng: Phấn đấu để dạy tốt môn học nói chung môn Toán nói riêng nguyện vọng tha thiết đội ngũ giáo viên Toán bậc THCS, THPT Như biết, Toán khoa hoc suy diễn trừu tượng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể mục tiêu môn toán trung học hình thành biểu tượng toán học ban đầu rèn luyện kĩ toán cho học sinh, tạo sở phát triển tư phương pháp cho học sinh sau Một mặt khác toán học có tính thực tiễn Các kiến thức toán học sống Mỗi mô hình toán học khái quát từ nhiều tình sống Dạy học toán học trung học hoàn thiện vốn có học sinh, cho học sinh làm ghi lại cách thức kiến thức toán học ngôn ngữ kí hiệu toán học Mỗi tiết học dịp để học sinh hình thành kiến thức kĩ mới, vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống sau Chính vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh học sinh thông qua học toán Xuất phát từ thực tế trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” cho học sinh giai đoạn nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trường THPT, công tác đạo chuyên môn quan quản lý giáo dục, nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô có chứa ẩn dấu căn", vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong phạm vi đề tài này, xin đưa kỹ thuật "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô có chứa ẩn dấu căn", để giáo viên học sinh tham khảo Nội dung công việc Bước 1: Khảo sát thực tế: Tôi tiến hành khảo sát thực tế học sinh lớp 12 số trường THPT: PTDTNT THPT, THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên Kết quả: 80 % học sinh lớp 12 chưa biết phương pháp giải phương trình vô tỷ; 74 % học sinh lớp 12 giải chưa phương trình vô tỷ 95% học sinh giải phương trình vô tỷ phương pháp Hàm số Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp THPT năm học 2011- 2012, có 90 thí sinh thi môn Toán có 30 (chiếm tỷ lệ 33,3 %) học sinh giải phương trình vô tỷ Trong kỳ thi tuyển sinh đại học Cao đẳng hàng năm, hầu hết cấu trúc đề có giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ học sinh lại bỏ qua lời giải không đầy đủ, xác Trao đổi với Lãnh đạo, Tổ trường chuyên môn Tổ Toán trường trường THPT: PTDTNT THPT, THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên Bước 2: Cung cấp tài liệu cho giáo viên tài liệu tham khảo giải phương trình vô tỷ Hệ thống hóa phương pháp giải phương trình vô tỷ có phương pháp "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ" Đưa sáng kiến kinh nghiệm để trường triển khai thực Bước 3: Trao đổi với Lãnh đạo, Tổ trưởng chuyên môn kết triển khai sáng kiến Triển khai thực 4.1 Nội dung sáng kiến: Ta nhận thấy việc giải phương trình vô tỷ phức tạp, đố với toán có chứa tham số Đứng trước toán phương pháp đạo hàm tỏ hiệu phương pháp khác Thực chất phương pháp đạo hàm sử dụng giá trị lớn giá trị nhỏ (tính đạo ham) để giải biện luận phương trinh Các bước giải theo phương pháp đạo hàm: - Chuyển phương trình dạng f ( x) = g (m) - Xét hàm số f(x) D (D tập xác định toán) - Tính f’(x) lập bảng biến thiên - Dựa vào bảng biến thiên để xác định yêu cầu toán 4.1 Cơ sở để giải biện luận phương trình Phương trình f ( x) = α có nghiệm x ∈ D ⇔ m = Df ( x) ≤ α ≤ maxDf ( x) = M 4.2 Ví dụ minh họa * Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x − 2(m + 4) x + 5m + 10 + − x = (1) Hướng dẫn giải: x ≥ Phương trình (1) ⇔  2 2 x − 2(m + 4) x + 5m + 10 = ( x − 3) x ≥  ⇔  x2 − 2x + =m   2x − x2 − 2x + Bây giở ta xét hàm số ⇔ f ( x) = tập xác định D = [3; +∞) 2x − Ta có: f ' ( x) = x − 10 x + (2 x − 5) x = ⇔ x = f ' ( x) = ⇔ x − 10 x + = Ta có bảng biến thiên sau: x -∞ +∞ f’ - + +∞ f f ( x) = f (4) = Từ bảng biến thiên ta thấy: lim f ( x) = +∞ x →+∞ Vậy phương trình có nghiệm m ≥ * Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (2) x2 − 4x − + x − x2 + − m = Hướng dẫn giải: Đặt t = + x − x = − ( x − 1) ⇒ Điều kiện t: 0≤t ≤2 (2) ⇔ − 2t − 2t + − m = (*) ⇔ 2t + 2t = − m Xét hàm số f (t ) = 2t + 2t [0; 2] Ta có f ' (t ) = 4t + = 2(2t + 1) Bài toán trở thành: tìm m để pương trình (*) có nghiệm ∈ [0; 2] Ta thấy f ' (t ) > 0∀t ∈ [0; 2] Ta có bảng biến thiên sau: t f’(t) + f(t) 12 Từ bảng biến thiên suy ra: f (t ) = f (0) = t∈[0;2] max f (t ) = f (2) = 12 t∈[0;2] Vậy phương trình có nghiệm ≤ − m ≤ 12 ⇔ −5 ≤ m ≤ Nhận xét cách giải: toán chưa thể áp dụng phương pháp hàm số mà phải sử dụng phương pháp đổi biến số Khi đổi biến số cần lưu ý việc tìm điều kiện ẩn phụ * Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (3) x − x −5 = m Hướng dẫn giải: x≥5 Điều kiện: Xét hàm số: f ( x) = x − x − 5 ⇒ f ( x) = Ta có: f ' ( x) = x − x + x+5 > với ∀x ≥ x −5 − x = < với x −5 x x −5 ∀x > Lập bảng biến thiên: x +∞ f’(x) f(x) Từ bảng biến thiên suy ra: max f ( x) = f (5) = x ≥5 lim f ( x) = x →∞ Vậy phương trình có nghiệm khi: < m ≤ • Chú ý: Khi giải theo phương pháp đạo hàm cân lưu ý tính chất điểm tới hạn hàm số chia miền xác định thành khoảng ma hàm số đồng biến nghịch biến quan trọng hết học sinh phải xét dấu f’(x) D Có nhiều toán việc tính nghiệm f’(x) = khó khăn, để xét dấu f’(x) ta có thẻ dùng phương pháp đánh giá • Một điều ý học sinh hay mắc phải sai lầm toán (như VD3) từ bảng biến thiên học sinh lấy giá trị m = mà khpông phải giá trị nhỏ hàm số mà giá trị chặn tập giá trị * Ví dụ 4: Biện luận tho m số nghiệm phương trình sau (4) x + = m x2 + Hướng dẫn giải: (4) ⇔ m = x+3 x2 + x2 + − Hàm số xác định với ∀ ∈ ¡ x( x + 3) − 3x x2 + = x +1 ( x + 1) x + f ' ( x) = Ta có bảng biến thiên: x −∞ f’(x) + +∞ f(x) - 10 -1 Ta có: lim f ( x) = lim x →−∞ x →−∞ lim f ( x) = lim x →+∞ x →+∞ x+3 x +1 x+3 x2 + = lim x →−∞ = lim x →+∞ x+3 x 1+ x x+3 x 1+ x = −1 =1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = y = - Ta có kết luận sau: + m ≤ −1 m > 10 : Phương trình (4) vô nghiệm + −1 ≤ m ≤ m = 10 Phương trình (4) có nghiệm + ≤ m ≤ 10 Phương trình (4) có nghiệm Chú ý: Trong trình biện luận bảng biến thiên, cần kết hợp tiệm cận hàm số Trong ví dục 4, học sinh dễ mắc sai lầm m = - phương trình có nghiệm Tuy nhiên thực tế lúc ta chuyển phương trình dạng f(x) = g(m), có toán gặp phải khó khăn việc tính f’(x), tìm nghiệm f’(x) = 0, Chẳng hạn ta xét tập sau; * Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x + x + 12 = m( − x + − x ) 0≤ x≤4 Hướng dẫn giải: Điều kiện Nhận xét: ta biến đổi: (5) ⇔ m = Và xét hàm số f ( x) = (5) x x + x + 12 5− x + 4− x x x + x + 12 [0; 4] việc tính đạo hàm xét dấu 5− x + 4− x đạo hàm phức tạp, ta biến đổi sau: Vì ( − x + − x )( − x − − x ) = − x + + x = Nên (5) ⇔ ( x x + x + 12)( − x − − x ) = m Ta xét hàm số: f ( x) = ( x x + x + 12)( − x − − x ) [0; 4] đặt h( x) = ( x x + x + 12) g ( x) = ( − x − − x ) ' + Ta có: h ( x) = x + x x + > với ∀x ∈ (0; 4] x + 12 ⇒ h(x) đồng biến h(x) > với ∀x ∈ [0; 4] ' + g ( x) = −1 1 1 + = ( − ) 5− x 4− x 4− x 5− x = 5− x − 4− x ( )>0 − x − x với ∀x ∈ (0; 4] ⇒ g(x) đồng biến g(x) > với ∀x ∈ [0; 4] Vậy f(x) = h(x).g(x) đồng biến [0; 4] có tập giá trị f (0) ≤ f ( x) ≤ f (4) ⇔ 12( − 4) ≤ f ( x) ≤ 12 Do để phương trình f(x) = m có nghiệm thì: 12( − 4) ≤ m ≤ 12 Vậy với 12( − 4) ≤ m ≤ 12 phương trình (5) có nghiệm 4.3 Kết luận: Khi giải phương trình vô tỷ phương pháp hàm số cho ta lời giải dễ hiểu, ngắn gọn, từ giúp học sinh củng cố sâu kiến thức biến thiên hàm số Khi sử dụng phương pháp hàm số học sinh cần phân biệt giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ hàm số với giá trị bị chặn trên, chặn tập giá trị Chẳng hạn từ bảng biến thiên: x +∞ f’(x) - f(x) f ( x ) = Còn giá trị nhỏ hàm số giá trị chặn Thì max [5; +∞ tập giá trị Tuy nhiên phương pháp chi áp dụng cho học sinh lớp 12 4.4 Bài tập luyện tập Giải phương trình sau: Bài 4.1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) + cos x + + 2s inx = m b) x + x + − x − x + = m Bài 4.2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 + 4x + m + x4 + x + m = Gợi ý cách giải: Bài 4.1 π a) xét hàm số f ( x) = + cos x + + 2s inx TXĐ: − + k 2π ≤ x ≤ 2π + k 2π Tính đạo hàm xét dấu đạo hàm ta kết quả: + ≤ m ≤ + b) Xét f ( x) = x + x + − x − x + có TXĐ ¡ Đáp sô: -1 < m < Bài 4.2 đặt t = x + x + m ; t ≥ Thay vào phương trình cho ⇒ t = x + x + m = ⇔ x + x = 16 − m Xét hàm số: f ( x) = x + x Lập bảng biến thiên ta có kết quả: m > 19 Phương trình vô nghiệm m = 19 Phương trình có nghiệm m < 19 Phương trình có nghiệm Thời gian thực hiện: Từ tháng 9/2012 đến hết tháng 4/2013 Triển khai phối hợp: Phổi hợp với Hiệu trưởng, tổ trưởng chuyên môn trường THPT tiến hành khảo sát để hoàn thành sáng kiến Kết đạt được: Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày toán bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần nhận xét sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em học sinh, để trả lời cách thỏa đáng cấu hỏi “ Tại lại nghĩ làm vậy?” Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ giải toán Ngoài có nhiều toán giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Với phong cách trình bày vậy, tài liệu nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học Tạo không khí sôi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học không gian toán học cho học sinh Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách để viết, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện tài liệu này, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận đóng góp quý báu quý thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp bạn đọc gần xa./ Người thực Hoàng Thị Kim Ngân 10 ... thống hóa phương pháp giải phương trình vô tỷ có phương pháp "Dùng phương pháp Hàm số để giải phương trình vô tỷ, bất phương trình vô tỷ" Đưa sáng kiến kinh nghiệm để trường triển khai thực Bước... 12 số trường THPT: PTDTNT THPT, THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên Kết quả: 80 % học sinh lớp 12 chưa biết phương pháp giải phương trình vô tỷ; 74 % học sinh lớp 12 giải chưa phương. .. trường THPT: PTDTNT THPT, THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên Bước 2: Cung cấp tài liệu cho giáo viên tài liệu tham khảo giải phương trình vô tỷ Hệ thống hóa phương pháp giải phương