Sáng Kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉ

Sáng Kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉSáng Kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉSáng Kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉSáng Kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉSáng Kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉSáng Kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉ

BẢN SÁNG KIẾN Tên Sáng kiến: "Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển phương trình chứa ẩn dấu hệ phương trình hữu tỷ ẩn phụ" Mô tả ý tưởng: a) Hiện trạng nguyên nhân trạng: Tiến hành khảo sát thực tế học sinh lớp trường THCS: trường THCS Mỹ Bằng - huyện Yên Sơn, trường THCS Hồng Thái huyện Sơn Dương trường THCS Lê Quý Đôn - thị xã Tuyên Quang; học sinh lớp 10 trường THPT: THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên Kết quả: 90 % học sinh lớp chưa biết phương pháp giải phương trình vô tỷ; 84 % học sinh lớp 10 giải chưa phương trình vô tỷ Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp THCS năm học 2010 - 2011, có 45 thi môn Toán có 12 (chiếm tỷ lệ 17,8 %) học sinh giải phương trình vô tỷ Nguyên Nhân: Giáo viên chưa có hế thống hoá nhận dạng phương trình vô tỷ, kỹ giải phương trình có chứa ẩn dấu yếu Bài toán giải phương trình vô tỷ thường xuất đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi tuyển học sinh chuyên Toán, thi học sinh giỏi nhiều năm đề kỳ thi tuyển sinh đại học cao đẳng Tuy nhiên, thực tế đa số học sinh chưa nắm đặc trưng phương pháp tối ưu để giải, học sinh thường mắc phải sai lầm trình biến đổi chưa biết sử dụng phương pháp giải ngắn gọn, phù hợp Nhằm nâng cao hiệu giáo dục môn Toán trương trung học, đặc biệt đào tạo học sinh mũi nhọn từ cấp THCS, để giúp học sinh có cách nhận dạng dễ dàng cách giải phương trình vô tỷ, viết đưa phương pháp "Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình chứa ẩn dấu hệ phương trình hữu tỷ ẩn phụ".Qua học sinh rèn luyện nhiều kiến thức toán học có liên quan b) Ý tưởng: Phấn đấu để dạy tốt môn học nói chung môn Toán nói riêng nguyện vọng tha thiết đội ngũ giáo viên Toán bậc THCS, THPT Như biết, Toán khoa hoc suy diễn trừu tượng Toán học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể mục tiêu môn toán trung học hình thành biểu tượng toán học ban đầu rèn luyện kĩ toán cho học sinh, tạo sở phát triển tư phương pháp cho học sinh sau Một mặt khác toán học có tính thực tiễn Các kiến thức toán học sống Mỗi mô hình toán học khái quát từ nhiều tình sống Dạy học toán học trung học hoàn thiện vốn có học sinh, cho học sinh làm ghi lại cách thức kiến thức toán học ngôn ngữ kí hiệu toán học Mỗi tiết học dịp để học sinh hình thành kiến thức kĩ mới, vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống sau Chính vậy, người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh học sinh thông qua học toán Xuất phát từ thực tế trên, để góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” cho học sinh giai đoạn nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trường THPT, công tác đạo chuyên môn quan quản lý giáo dục, nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ "Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình chứa ẩn dấu hệ phương trình hữu tỷ ẩn phụ", vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong phạm vi đề tài này, xin đưa kỹ thuật "Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình chứa ẩn dấu hệ phương trình hữu tỷ ẩn phụ", để giáo viên học sinh tham khảo Nội dung công việc Bước 1: Khảo sát thực tế: Tôi tiến hành khảo sát thực tế học sinh lớp số trường THCS: trường THCS Mỹ Bằng, THCS Trần Phú - huyện Yên Sơn, trường THCS Hồng Thái, THCS Lê Văn Hiến huyện Sơn Dương trường THCS Lê Quý Đôn, THCS Phan Thiết - thành phố Tuyên Quang; PTDTNT THCS Na Hangvà học sinh lớp 10 trường THPT: THPT Sơn Dương, THPT Sông Lô, THPT Nguyễn Văn Huyên Kết quả: 90 % học sinh lớp chưa biết phương pháp giải phương trình vô tỷ; 84 % học sinh lớp 10 giải chưa phương trình vô tỷ Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp THCS năm học 2011 - 2012, có 45 thi môn Toán có 12 (chiếm tỷ lệ 17,8 %) học sinh giải phương trình vô tỷ Trao đổi với Lãnh đạo, Tổ trường chuyên môn Tổ Toán trường PTDT NTTHCS Na Hang, TPDTNT THPT, THPT Sơn Dương, THPT Kim Xuyên, THPT Xuân Huy, THPT Tháng 10; Phụ trách chuyên môn Môn Toán Phòng GD&ĐT Yên Sơn tình hình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, lớp 10 Bước 2: Cung cấp tài liệu cho giáo viên tài liệu tham khảo giải phương trình vô tỷ Hệ thống hóa phương pháp giải phương trình vô tỷ có phương pháp "Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình chứa ẩn dấu hệ phương trình hữu tỷ ẩn phụ" Đưa sáng kiến kinh nghiệm để trường triển khai thực Bước 3: Trao đổi với Lãnh đạo, Tổ trưởng chuyên môn kết triển khai sáng kiến Triển khai thực 4.1 Nội dung sáng kiến: Nhận dạng: Phương trình có dạng: a n f ( x) + b m g ( x) = c (1) Trong a, b, c ∈ ¡ ; f ( x), g ( x) biểu thức chứa ẩn; n, m ∈ ¥ * và: f(x) + g(x) = c (hằng số) f(x) - g(x) = k ( số) Phương pháp giải: u = n f ( x) Bằng cách đặt ẩn phụ ta đặt:  m , ta phải tìm điều kiện u v v = g ( x)  au + bv = c n m u + v = k Biến đổi phương trình cho hệ:   au + bv = c  n m u − v = k Giải hệ phương trình với ẩn u v, so sánh với điều kiện từ dễ dàng tìm nghiệm theo ẩn x Bài tập minh họa: Bài 3.1: Giải phương trình: − x + x − + x − x = (3.1)  − x + x ≥  ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ −1 ≤ x ≤ Điều kiện:   −1 ≤ x ≤  + x − x ≥ Nhận xét: Ta nhận thấy − x + x + + x − x = (hằng số) Như phương trình cho có dạng phương trình (1) Ta đặt: u = − x + x ; v = + x − x  u≥0 11 ⇔u≥  ∆ = 4u − 11 ≥ Điều kiện u:  v≥0 ⇔0≤v≤ 2  ∆ = − 4v ≥  Điều kiện v:  u + v =   u −v =1  Khi phương trình (3.1) trở thành:  u ≥ 11    0≤v≤  u = (thỏa mãn điều kiện) v =1 Giải hệ ta được:  Đến ta giải phương trình u = phương trình v = để tìm nghiệm phương trình cho Với u = ta giải phương trình:  1− x = 2 (thỏa mãn điều kiện) − x + x2 = ⇔ − x + x = ⇔ x − x −1 = ⇔   1+ x =  Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 = 1− 1+ ; x2 = 2 Bài 3.2 Giải phương trình: x + 34 − x − = (3.2) Hướng dẫn giải: Nhận thấy: x + 34 − ( x − 3) = 37 (hằng số) Đặt : u = x + 34; v = x − Điều kiện: số thực u, v thỏa mãn (do tính chất bậc ba) u −v =1  u −v =1  ⇔ 3 2 u − v = 37 (u − v)(u + uv + v ) = 37 Khi (3.2) trở thành:  u −v =1  u − v − ⇔  (u − v)((u − v) + 3uv) = 37 u.v = 12  u =  v = ⇔  u = −3   v = −4 Với u = ta có phương trình: Với u = - ta có phương trình: x +34 = ⇔ x + 34 = 64 ⇔ x = 30 x +34 =−3 ⇔x +34 = 27 ⇔x =−61 Chú ý: toán dùng phép biến đổi tương đương, nhiên học sinh gặp khó khăn biến đổi Bài 3.3 Giải phương trình: − x + x − = (3.3) Điều kiện: x ≥ Nhận xét: Ta có - x + x + = (hằng số) Đặt − x = u; x − = v Điều kiện: số thực u thỏa mãn v ≥  u + v =1 u + v = Khi phương trình (3.3) trở thành hệ phương trình hữu tỷ:  u = ; v =1 Giải hệ nghiệm:  u = ;  v = u = −2   v=3 Từ ta có nghiệm phương trình (3.3): x = 1, x = 2, x = 10 Bài 3.4 Giải phương trình: 25 − x − 10 − x = (3.4) Điều kiện: − 10 ≤ x ≤ 10 Đặt 25 − x = u; 10 − x = v(u, v ≥ 0) Theo (3.4) ta có hệ:  u−v=3 ⇔  2 u − v = 15  u =  v =1 Từ suy phương trình (3.4) có nghiệm x = −3 x = Nhận xét: Bài toán giải theo cách biến đổi tương đương (bình phương hai vế), sau đặt điều kiện lời giải khó khăn ta gặp phải phương trình bậc không quy phương trình bậc Bài 3.5 Giải phương trình: + x + − x = (3.5) Điều kiện: x ≥ Đặt + x = u; − x = v  u+v = ⇒ u = v =1⇒ x = ⇒ x = 3 u + v = Theo (3.5) ta có:  Bài 3.6 Giải phương trình: 97 − x + x = (3.6) Điều kiện: ≤ x ≤ 97 Đặt 97 − x = u; x = v (u , v > 0)  u =   u+v =5 v =  x = 81 ⇒ ⇒ Ta có:  4 u + v = 97  u =  x = 16    v = Bài 3.7 Giải phương trình x − x + = x − x + Đặt x2 − 5x + = t (t ≥ 0) Phương trình cho trở thành: t = t − 3t + = ⇔  t =  x − x + = ⇔  x − x + =  x =  ⇔ x =   x = ± 21  Bài tập luyện tập Giải phương trình sau: 1 17 1 +x+ − x = Đáp sô: x = ; x = − ; x = − 2 2 2 12 − x + 14 + x = Đáp số: x = - 15; x = 13 x + − x + + x + − x + = x −1 + x + = 2x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = Đáp số x = 4.2 Thời gian thực hiện: Từ tháng 11/2011 đến hết tháng 3/2012 4.3 Triển khai phối hợp: Phổi hợp với Hiệu trưởng trường THCS, THPT tiến hành khảo sát để hoàn thành sáng kiến Kết đạt được: Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày toán bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần nhận xét sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em học sinh, để trả lời cách thỏa đáng cấu hỏi “ Tại lại nghĩ làm vậy?” Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ giải toán Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải toán tổng hợp nhiều kiến thức Ngoài có nhiều toán giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Với phong cách trình bày vậy, tài liệu nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học Tạo không khí sôi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học không gian toán học cho học sinh Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách để viết, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp để dần hòan thiện tài liệu này, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận đóng góp quý báu quý thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp bạn đọc gần xa Người thực Hoàng Thị Kim Ngân Xác nhận Phòng Giáo dục Trung học Trưởng phòng Nguyễn Minh Anh Tuấn Xác nhận Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo ... giải phương trình vô tỷ Hệ thống hóa phương pháp giải phương trình vô tỷ có phương pháp "Dùng ẩn phụ để chuyển phương trình chứa ẩn dấu hệ phương trình hữu tỷ ẩn phụ" Đưa sáng kiến kinh nghiệm. .. −v =1  Khi phương trình (3.1) trở thành:  u ≥ 11    0≤v≤  u = (thỏa mãn điều kiện) v =1 Giải hệ ta được:  Đến ta giải phương trình u = phương trình v = để tìm nghiệm phương trình cho Với... (3.3) trở thành hệ phương trình hữu tỷ:  u = ; v =1 Giải hệ nghiệm:  u = ;  v = u = −2   v=3 Từ ta có nghiệm phương trình (3.3): x = 1, x = 2, x = 10 Bài 3.4 Giải phương trình: 25 − x −