Sáng Kiến kinh nghiệm PT nghiệm nguyên

Sáng Kiến kinh nghiệm PT nghiệm nguyên Sáng Kiến kinh nghiệm PT nghiệm nguyên Sáng Kiến kinh nghiệm PT nghiệm nguyên Sáng Kiến kinh nghiệm PT nghiệm nguyên Sáng Kiến kinh nghiệm PT nghiệm nguyên Sáng Kiến kinh nghiệm PT nghiệm nguyên

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KIM XUYÊN -o0o - BÁO CÁO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ BẬC HAI HAI ẨN’’ Họ tên : Nguyễn Văn Hùng Ngày tháng năm sinh :22- -1981 Ngày vào ngành : 01-09-2003 Đơn vị công tác : Trường THPT Kim Xuyên Kim Xuyên Tháng – 2013 Tên sáng kiến kinh nghiệm: "CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ BẬC HAI HAI ẨN” Mô tả ý tưởng a Hiện trạng nguyên nhân chủ yếu trạng Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trương trình SGK toán THPT không đề cập tới, thực tế có tài liệu viết vấn đề Do học sinh thường lúng túng không định hình phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên Bên cạnh kì thi tuyển sinh vào lớp 10 hay đặc biệt kì thi tuyển học sinh giỏi tỉnh Tuyên Quang số tỉnh nước thường có câu giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hai ẩn bậc hai hai ẩn” Là giáo viên có tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Kim Xuyên thân có quan tâm đề để từ giúp học sinh đội tuyển thi HSG trường nắm phương pháp, biết cách giải loại tập b Ý tưởng Do nguyên nhân trạng nêu giáo viên nhà trường, tổ chuyên môn phân công tham gia bồi dưỡng đội tuyển HSG trường thân tìm hiểu nghiên cứu kĩ “Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ẩn bậc hai hai ẩn” viết thành phương pháp cụ thể với ví dụ cụ thể nhằm mục tiêu giúp em giải tốt loại tập kì thi HSG Nội dung công việc - Nghiên cứu câu phương trình nghiệm nguyên đề thi HSG tỉnh Tuyên Quang tỉnh khác - Tìm hiểu tài liệu viết phương trình nghiệm nguyên - Viết nội dung chuyên đề - Triển khai thực học sinh khối 11 12 đội tuyển ôn thi HSG môn toán cấp Tỉnh trường THPT Kim Xuyên Triển khai thực - Chuyên đề triển khai thực theo theo bươc sau: Bước Nghiên cứu chương trình giải phương trình nghiệm nguyên tỉnh Tuyên quang, số tài liêu tham khảo khả học sinh vấn đề Bước Xây dựng ý tưởng viết chuyên đề Bước Áp dụng thực chuyên đề 3 - Thời gian thực hiện: Từ tháng 5/8/2012 đến tháng 25/12 năm 2012 Bước Phối hợp để thực chuyên đề: Trong qua trình thực chuyên đề có phối hợp với Ban giám hiệu trường THPT Kim Xuyên, em học sinh lớp 11B1, 12C1 Nội dung chuyên đề PHƯƠNG PHÁP RÚT HÀM Phương pháp giải f(x,y)=0 với a) f(x,y) có bậc x y b) f(x,y) đa thức hai biến bậc hai mà số mũ y (hoặc x) bậc Cách giải: f(x;y) =0 => y = g ( x) = ax + b + nguyên m (hoặc x=h(y)), từ đánh giá g(x) để cx + d Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình xy + y − x − = Giải xy + y − x − = ⇔ y ( x + 1) = x + (*) Ta thấy x =-1 (*) vô nghiệm => x + ≠ đó: (*) ⇔ y = 2x + = 2+ x +1 x +1 Giả sử (x; y) nghiệm nguyên của phương trình Khi x + ước Nghiệm: (x; y) = (0; 3), (-2; 1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình xy + 10 y − x − = Giải Ta có xy + y − x − = ⇔ y (2 x + 5) = x + Dễ thấy 2x + ≠ ( x nguyên ) đó: y= x+3 2x + ⇔ 2y = = 1+ 2x + 2x + 2x + Nghiệm: (x; y) = (-2; 1), (-3; 0) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 Giải 5x – 3y = 2xy – 11 (2x + 3)y = 5x + 11 Dễ thấy 2x + ≠ ( x nguyên ) đó: y = x + 11 10 x + 22 ⇔ 2y = = 5+ 2x + 2x + 2x + Để y ∈ Z , 2x+ ước => (2; 6) ; (5; 4) ; (-1; 12) ; (-2; -2) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình xy – 2x = y2 – 2y + Giải xy – 2x = y  – 2y + ⇔ (y-2)x= y  – 2y + (*) y =2 (*) vô nghiệm => y≠ (*) ⇔ x= y  – 2y + 3 = y+ y−2 y−2  y − = ±3 x, y ∈ Z nên y – ước =>   y − = ±1 + y = => x = + y = -1 => x = -2 + y = => x = + y = => x = -4 Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: yx – x2 + y – x – = (*) Giải (*) ⇔ y(x + 1) = x + x + (**) *) Nếu x = - (**) ⇔ 0.y = vô nghiệm => x ≠ - (**) ⇔ y = x2 + x + 1 = x+ x +1 x +1 Giả sử (x; y) nghiệm nguyên (*) Khi 1 ∈ Z ⇒ x + ước x +1 ⇒ x + = - x + = ⇒ x = - x = Thử lại ta nghiệm (3) là: (x; y) = (- 2; - 3), (0; 1) PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ Phân tích vế trái phương trình dạng  f ( x, y ) =  Dạng 1: f(x,y).g(x).h(y) =0 ⇔  g ( x) =  h( y ) = Dạng 2: f(x,y).g(x).h(y) = m.n.p (với m,n,p số nguyên)  f ( x, y ) = m  ⇔  g ( x) = n hoán vị chúng  h( y ) = p  Ví dụ Giải phương trình nghiệm nguyên (x, y ẩn số): x + y + 3xy = Giải x + y + 3xy = ⇔ x(2 + y ) + y = ⇔ x(2 + y ) + 15 y = 24 ⇔ x(2 + y) + 5(2 + y ) = 34 ⇔ (3 x + 5)(3 y + 2) = 34 = 1.34 = 17.2  x + = 34  3x + =  3x + = −  3x + = − 34 ⇔   y + = −   3 y + =  y + = 34  y + = − 34  3x + =  3x + = 17  x + = − 17 3x + = −   y + = −  y + = − 17   3 y + =  y + = 17   x = −1 x =  x = − 13  x = −2 ⇔  y = − 12     y = −1 y = y = Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − x − 11 = y Giải: 2 2 x − x + − 12 = y ⇔ ( x − 1) − y = 12 ⇔ ( x − + y )( x − − y ) = 12 (*) Mặt khác ta có: ( x − + y ) − ( x − − y ) = y chẵn nên x − + y x − − y nên dấu chẵn:  x − + y =  x + y =  x =     x − − y =  x − y =   y = −2   x − + y = −2   x + y = −1   x = −3      x − − y = −6   x − y = −5  y = (*) ⇔  ⇔ ⇔  x − + y =  x + y =  x =    x − − y =  x − y =   y =      x − + y = −6   x + y = −5   x = −3   x − − y = −2   x − y = −1   y = −2    Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + x + = y Giải x + x + = y ⇔ x + x + 24 = y ⇔ (2 y ) − (2 x + 1) = 23 ⇔ (2 y − x − 1)(2 y + x + 1) = 23 = 1.23 = (−1).(−23) 2 y − x − = y − x =1 x = + ⇔ ⇔  y + x + = 23  y + x = 11  y =  y − x − = 23  y − x = 12  x = −6 + ⇔ ⇔ 2 y + x + = y + x = y =  y − x − = −1 y − x =  x = −6 + ⇔ ⇔  y + x + = −23  y + x = −12  y = −6  y − x − = −23  y − x = −11  x = + ⇔ ⇔  y + x + = −1  y + x = −1  y = −6 Vậy phương trình có nghiệm (5;6), (-6;6), (-6;-6), (5;-6) Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy - 8x – 2y = Giải: 3x2 + y2 + 4xy - 8x – 2y = ⇔ (2x + y - 1)2 – (x + 2)2 = -3 ⇔ (x +y - 3)(3x + y + 1) = - Có trường hợp sau xảy ra: +) x + y – = 3x + y + = - ⇔ x = - 4, y = +) x + y – = - 3x + y + = ⇔ x = 0, y = +) x + y – = - 3x + y + = ⇔ x = 0, y = +) x + y – = 3x + y + = - ⇔ x = - 4, y = 10 Vậy phương trình (1) có nghiệm (x; y) = (- 4; 8), (0; 2), (0; 0), (- 4; 10) Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 – 3y2 + 2xy + 2x – 4y – = Giải x2 – 3y2 + 2xy + 2x – 4y – = 0.⇔ (x+y+1)2–(2y+1)2=7 ⇔ (x + 3y + 2)(x – y) = Có trường hợp sau xảy ra: +) x + 3y + = x – y = ⇔ x = 2, y = +) x + 3y + = x – y = ⇔ x = 5, y = - +) x + 3y + = - x – y = - ⇔ x = - 6, y = 7 +) x + 3y + = - x – y = - ⇔ x = - 3, y = - Vậy phương trình (2) có nghiệm (x; y) = (2; 1), (5; - 2), (- 6; 1), (- 3; - 2) Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 – y2 = 1999 (4) HD: Ta có: (4) ⇔ (x – y) (x + y) = 1999 Vì 1999 số nguyên tố nên ước số nguyên 1999 ± 1; ± 1999 Từ suy nghiệm nguyên dương (4) (x; y) = (1000; 999) Ví dụ 7: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 1 + = (trong p số nguyên tố) x y p Giải 1 + = => xy = px + py ⇒ (x - p)(y - p) = p2 x y p Vì p số nguyên tố nên ước số nguyên p2 là: ± 1; ± p; ± p2 Thử với ước ta nghiệm là: (p + 1; p + p2), (2p; 2p), (p + p2; p + 1) Ví dụ Tìm số nguyên tố x, y nghiệm phương trình: x2 - 2y2 - = Giải PT Û x2 - = 2y2 Û (x - 1)(x + 1) = 2yy Vì x, y số nguyên tố nên có khả sau sảy ra: + + + + x +1 = y x = ⇔   x −1 = y y =  x +1 = y x = −3 ⇔  x −1 = y y = (thoả mãn) (loại) x + = y (không có nghiệm thoả mãn)   x −1 =  x +1 = vô nghiệm  x − = y Thử lại (3; 2) thoả mãn PT Vậy (3; 2) nghiệm phương trình 8 PHƯƠNG PHÁP TÁCH VỀ TỔNG CÁC BÌNH PHƯƠNG  f ( x, y ) =  Dạng 1: f ( x, y ) + g ( x) + h ( y ) = ⇔  g ( x) =  h( y ) =  2 Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y + xy − y − x + 14 = Giải x + y + xy − y − x + 14 = ⇔ x + y + xy + x + y − x − y + 14 = 2 2 ⇔ (2 x + y ) − 2(2 x + y ) + + x + y − x − y + 13 = ⇔ (2 x + y − 1) + ( x − 2) + ( y − 3) = 2 x + y − = x =  ⇔ x − = ⇔ y = y −3 =  Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y + 14 − xy − y − x = Giải x + y + 14 − xy − y − x = ⇔ x + y + x + y + 14 − xy − y − x = 2 2 ⇔ ( x − y ) + 2( x − y ) + + y + x − y − x + 13 = x − y +1 = x =  ⇔ ( x − y + 1) + ( x − 3) + ( y − 2) = ⇔  x − = ⇔ y = y − =  Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x + 10 y − 12 xy + y − x + = Giải x + 10 y − 12 xy + y − x + = ⇔ ( x − y − 1) + ( x + 1) + ( y + 1) = 2 2 x − y − =  x = −1  ⇔  y +1 = ⇔  y = −1 x +1 =  Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình 10 x + y − 12 xy + 20 y − 36 x + 34 = Giải 10 x + y + 12 xy − 20 y − 36 x + 34 = ⇔ x + y + 25 + 12 xy − 30 x − 20 y + x − x + = 3 x + y − = x = ⇔ ( x + y − ) + ( x − 3) = ⇔  ⇔ x − =  y = −2  f ( x, y ) = m  2 2 2 Dạng 2: f ( x, y ) + g ( x) + h ( y ) = m + n + p ⇔  g ( x) = n hoán vị   h( y ) = p chúng (với m, n, p ∈ Z) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − x − + y = Giải x + y − x − = ⇔ x − x + y − 24 = ⇔ ( x − 1) + (2 y ) = 25 = + 52 = 32 + 2 2 2   x − = (I )   y = Do 2x -1 lẻ, 2y chẵn nên ta có   x − = ( II )  y =   Giải (I) & (II) ta nghiệm: (2;2), (3;0), (-1;-2), (-3;0), (2;-2), (-1;2), (-2;0) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x = 100 + xy − 13 y Giải x = 100 + xy − 13 y ⇔ x − xy + y + y = 100 ⇔ ( x − y ) + (2 y ) = + 10 = + 82 2 2 x − 3y = ⇔ có nghiêm (3;5) (-15;-5) 2 y = ±10  x − y = ±10 hoac  có nghiêm (10;0), (-10;0) 2 y =  x − y = ±6 hoac  có nghiêm (18; 4), (-18;4), ( −6; −4), (-18;-4)  y = ±8  x − y = ±8 hoac  có nghiêm (17;3), (1;3), ( −4; −3), (-4;-3)  y = ±6 Vậy phương trình có nghiệm: (3;5), (-15;-5),(10;0), (-10;0),(18; 4), (-18;4), (−6; −4), (-18;-4),(17;3), (1;3), (−4; −3), (-4;-3) PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 10 Cách thường dùng cho phương trình bậc hai hai ẩn ta coi ẩn số Chẳng hạn phương trìnhbậc hai hai ẩn: f(x,y)=0 ta coi y số Ta có: ∆ y = ay + by + c ∆ y = by + c * Trường hợp 1: ∆ y = ay + by + c với a < (hoặc ∆ y = by + c với b −0, 01 < y < 3,3 mà y ∈Z nên y=0 y =1 y= y =3 x = + Nếu y =0 => 3x – x = =>x(3x -1) = ⇒  x= loai  x =1 + Nếu y = => 3x +2x -5 = ⇒  x=− loai  + Nếu y =2 => 3x2 +5x - = Có ∆ = 73 (không phải số phương) + Nếu y = => 3x2 +8x +3 = Có ∆ ' = (không phải số phương) Vậy phương trình có nghiệm (0;0), (1;1) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x + xy + y − x − y = Giải x + xy + y − x − y = ⇔ x + ( y − 2) x + y − y = 2 2 ∆ = y2 − y + − y2 + y = − y2 Phương trình có nghiệm − y ≥ ⇔ − x = x = x = + Nếu y = => x − x = ⇔  x = 2 + Nếu y = -1 => x − 3x + = ⇔  2 ≤ y≤ mà y ∈ Z => y = −1, 0,1 3 11 x = x =1 + Nếu y =1 ⇒ x − x = ⇔  Vậy phương trình có nghiệm (1;-1), (2;-1), (0;0), (2;0), (0;1), (1;1) * Trường hợp 2: ∆ y = ay + by + c với a > Phương trình f(x,y)=0 có nghiệm nguyên ∆ y = k từ tìm y => x Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − x − 11 = y (*) Giải Viết thành phương trình bậc hai x: x − x − (11 + y ) = ∆ ' = + 11 + y = 12 + y Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên: ∆ ' số phương ⇔ 12 + y = k (k ∈ Z ) ⇔ k − y = 12 ⇔ ( k + y )( k − y ) = 12 Mặt khác (k + y) – (k – y) = 2y nên k + y k – y tính chẵn lẻ phải chẵn Từ nhận xét ta có:  k + y = −6 => y = −2 thay vào (*)  k − y = −2 Hoặc  x − x − = có ∆ ' = + = (loại) k + y = => y = k − y = Hoặc  Thay vào (*): x − x − 15 = ⇒ x1 = 5, x2 = −3 Ta có bốn nghiệm: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + 3xy − x − y + = (1) Giải: Viết thành phương trình bậc hai x: x + (3 y − 1) x + (2 y − y + 3) = ∆ = (3 y − 1) − 4(2 y − y + 3) = y − y − 11 (2) Điều kiện cần đủ để (2) có nghiệm nguyên ∆ số phương ⇔ y − y − 11 = k ( k ∈ Z ) (3) Giải (3) với nghiệm nguyên ta y1 = 5, y2 = −3 + Với y = thay vào (2) x + 14 x + 48 = Ta có: x1 = −8, x2 = −6 + Với y = -3 thay vào (2) x − 10 x + 24 = Ta có x3 = 6, x4 = Vậy nghiệm phương trình (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3) 12 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + xy − x − y = Giải x + y + xy − x − y = ⇔ x + (3 y − 2) x + y − y − = 2 ∆ = y − y + 28 Để phương trình có nghiệm nguyên ∆ = y − y + 28 = m (m ∈ Z) ⇔ m − ( y − ) = 12 ⇔ (m − y + 4)(m + y − 4) = 12 Mặt khác (m − y + 4) + (m + y − 4) = 2m => m − y + 4, m + y − chẵn  m − y + =  m − y = −2 (I)    m + y − =  m + y = 10   m − y + = −2  m − y = −6   (II)   m + y − = −6  m + y = −2 ⇔ =>  m − y + =    m − y = (III)   m + y − =  m + y =     m − y + = −6  m − y = −10   m + y − = −2  m + y = (IV)   => y =6 thay vào phương trình cho x + 16 x + 60 = (VN ) + Từ (I) x = => y =2 thay vào phương trình cho x + x = ⇔   x = −4 + Từ (III) => y = trường hợp + Từ (IV) => y = thay vào phương trình cho x + 16 x + 60 = (VN ) Vậy phương trình có nghiệm (0;2), (-4;2) + Từ (II) Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y − x y = Giải x + xy + y − x y = ⇔ (1 − y ) x + yx + y = 2 2 ∆ = y − y (1 − y ) = y (4 y − 3) 2 13 Để phương trình có nghiệm nguyên ∆ = y − = m (m ∈ Z) ⇔ (2 y ) − m = ⇔ (2 y − m)(2 y + m) =  2 y − m =   2 y + m =  2 y − m =   2 y + m = y =1 ⇔ ⇒  2 y − m = −3  y = −1  2 y + m = −1   2 y − m = −1  2 y + m = −3  + y = thay vào phương trình cho x + = ⇔ x = −1 + y = -1 thay vào phương trình cho − x + = ⇔ x = −1 Vậy phương trình có nghiệm (-1;1), (1;-1) Kết đạt Khi chưa học chuyên đề cho em giải số phương trình nghiệm nguyên em lúng túng, băn khoăn không định hướng đường đi, cách giải dạng tập trên; đa phần em không giải Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho cho em nhận thấy em hứng thú tích cực tìm tòi, sáng tạo Từ mà gặp dạng toán đa số em giải nhanh gọn xác Kết trước sau học chuyên đề qua khảo sát sau Kết Trước thực hiên SKKN Sau thực SKKN Giỏi Khá TB Yếu Kém ≈ 0, 0% 11 = 63, 6% 11 = 0,9% 11 = 27,3% 11 = 18, 2% 11 = 0,9% 11 = 27,3% 11 = 0% 45 = 46, 6% 11 = 0% 45 Đặc biệt kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh năn học 2012 -2013 có tập giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai có 5/ học sinh giải dạng Khả phát huy, mở rộng sáng kiến thực Một cách để tạo chuyển biến tích cực công tác giảng dạy giáo viên viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy học Từ nhận thức đó, hàng năm chọn đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao lực chuyên môn, góp phần chia sẻ đồng nghiệp, em học sinh ý tưởng phục vụ cho việc dạy học tốt 14 Chuyên đề không sử dụng cho học sinh luyên thi HSG mà ứng dụng cho tất học sinh học lực toàn trường Phương trình nghiệm nguyên không gói gọn phương trình bậc bậc hai nhiều ẩn mà có nhiều dạng khác nhiều cách giải khác khả thời gian có hạn nên sáng kiến xin tạm dừng Rất mong đóng góp ý kiến đồng chí, đồng nghiệp để sáng kiến phát huy tốt Xin chân thành cảm ơn ! Đánh giá tổ chuyên môn Kim xuyên, Ngày 10 tháng năm 2013 Giáo viên viết SKKN Nguyễn Văn Hùng Đánh giá xếp loại Hội đồng thi đua khen thưởng nhà trường  ... sáng kiến kinh nghiệm: "CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ BẬC HAI HAI ẨN” Mô tả ý tưởng a Hiện trạng nguyên nhân chủ yếu trạng Phương pháp giải phương trình nghiệm. .. trình nghiệm nguyên bậc hai có 5/ học sinh giải dạng Khả phát huy, mở rộng sáng kiến thực Một cách để tạo chuyển biến tích cực công tác giảng dạy giáo viên viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm. .. số nguyên tố nên ước số nguyên p2 là: ± 1; ± p; ± p2 Thử với ước ta nghiệm là: (p + 1; p + p2), (2p; 2p), (p + p2; p + 1) Ví dụ Tìm số nguyên tố x, y nghiệm phương trình: x2 - 2y2 - = Giải PT