sobolev nghiem yeu cua phuong trinh elliptic

HOÀNG KIM CHI KHÔNG GIAN SOBOLEV NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC Thái Nguyên Năm 2012 ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC KHOA HOC Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học.

ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC KHOA HOC HỒNG KIM CHI KHƠNG GIAN SOBOLEV NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LU N VĂN THẠC SĨ TỐN HOC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn HOÀNG KIM CHI KHƠNG GIAN SOBOLEV NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã so : 60.46.36 LU N VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC PGS.TS HÀ TIEN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 i Mnc lnc L I CẢM ƠN M ĐAU KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 M®t so kien thác chuȁn bị 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; Wk,p (Ω) 1.2.1 Không gian Wk,p (Ω) 1.2.2 Ví dụ 13 1.2.3 Không gian W0k,p (Ω) 14 1.3 Định lý nhúng 20 1.4 Đánh giá the vị định lý nhúng 24 NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 31 2.1 Khái ni m nghi m yeu 31 2.1.1 Cơng thác tích phân tàng phan 31 2.1.2 Định nghĩa 31 2.1.3 Sự ton nhat nghi m yeu .33 2.2 Đ® trơn nghi m yeu 36 2.2.1 Đ® trơn bên mien 36 2.2.2 Đ® trơn toàn mien 40 2.2.3 Nghi m yeu phương trình elliptic tőng quát 42 KET LU N 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LI U THAM KHẢO 45 L I CẢM ƠN Lu n văn hoàn thành hướng dan t n tình bảo nghiêm khac PGS.TS Hà Tien Ngoạn Tôi xin gải lời cảm ơn chân thành sâu sac đen thay giáo Tơi xin kính gải lời cảm ơn chân thành đen đen thay giáo, cô giáo trường Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái Nguyên thay giáo tham gia giảng dạy khóa hoc cao hoc 2010-2012, nhǎng người đem het tâm huyet nhi t tình đe giảng dạy trang bị cho nhieu kien thác sở Tôi xin cảm ơn t p the giáo viên trường Đại hoc Hàng Hải nơi công tác giúp đơ, tạo đieu ki n thu n lợi cho suot khóa hoc q trình làm lu n văn Cuoi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiet nhǎng người ln đ®ng viên chia sẻ, giúp tơi suot q trình hoc t p làm lu n văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Tác giả Hồng Kim Chi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bảng kí hi u N: t p so tự nhiên Rn: không gian n chieu H: không gian Hilbert L: tốn tả tuyen tính I: ánh xạ đong nhat Dα: đạo hàm b c α M ĐAU M®t so phương trình elliptic cap hai thường suy tà định lu t bảo tồn Do đó, nghi m phương trình có the mở r®ng, khơng nhat thiet thu®c lớp C2 , mà can thu®c lớp W 1,2 thỏa mãn m®t đȁng thác tích phân với moi hàm thả v thu®c lớp W 1,2 Dựa tài li u [1], [2], lu n văn trình bày m®t cách h thong lý thuyet lớp nghi m suy r®ng cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai dạng bảo tồn Lu n văn gom hai chương I II Trong chương I, lu n văn trình bày khơng gian Sobolev W k,p (Ω) W k,p (Ω) định lý nhúng Chương II n®i dung lu n văn, trình bày khái ni m nghi m yeu phương trình, nghi m yeu tốn Dirichlet định lý ve ton nhat nghi m yeu Lu n văn trình bày đ® trơn nghi m yeu khȁng định: h so ve phải phương trình cho trước biên thu®c lớp C ∞ (∂Ω) nghi m yeu u(x) sě khả vi vô hạn Ω Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 M t so kien thfíc chuan bị Trong phan ta sě li t kê m®t so định lý định nghĩa can thiet: Định lý 1.1 (Định lý Riesz)Với moi phiem hàm tuyen tính b ch¾n F khơng gian Hilbert H ln ton m®t phan tủ xác đ nh nhat f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với mői x ∈ H ǁF ǁ = ǁf ǁ đong thời ta có: F (x) (x, f ) = ǁf F (f ) ǁ |(x, f )| ǁF ǁ = sup x=0 ǁxǁ ǁf ǁ = (f, f ) = F (f ) Định lý 1.2 Giả sủ T ánh xạ tuyen tính compact khơng gian tuyen tính đ nh chuȁn V vào Khi ho¾c: i) phương trình thuan nhat x− Tx = có nghi m khơng tam thường x ∈ V ho¾c: ii) với moi y ∈ V phương trình x − Tx = y có nghi m xác đ nh nhat x ∈ V Hơn nũa, trường hợp ii) toán tủ (I − T )−1 mà ton khȁng đ nh b ch¾n Định lý 1.3 (Định lý Lax-Milgram) Giả sủ B dạng song tuyen tính búc, b ch¾n khơng gian Hilbert, túc i)∃M > : |B (x, y)| ≤ M ǁxǁ ǁyǁ , ∀x, y ∈ H ii)∃λ > : B (x, x) ≥ λx2 , ∀x ∈ H Khi đó, với moi phiem hàm tuyen tính b chắn F H, ton ti nhat mđt phan tủ f ∈ H cho: B (x, f ) = F (x) với moi x ∈ H Định lý 1.4 Giả sủ H không gian Hilbert T ánh xạ compact tù H vào Khi ú, ton ti mđt em c R khơng có điem giới hạn trù có the λ = cho: neu λ 0, λ ∈/ Λ phương trình λx − Tx = y, λx − T ∗x = y (1.1) có nghi m xác đ nh nhat x ∈ H với moi y ∈ H ánh xạ ngược (λI − T )−1, (λI − T ∗)−1 b ch¾n Neu λ ∈ Λ, không gian không ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có so chieu dương hũu hạn, cịn phương trình (1.1) giải neu chí neu y trực giao với khơng gian khơng λI − T ∗ trường hợp thú nhat λI − T trường hợp lại nh lý 1.5 Mđt dóy b chắn khụng gian Hilbert chúa m®t dãy h®i tự yeu Định nghĩa 1.1 Toán tả vi phân đạo hàm riêng cap hai dạng khơng bảo tồn có dạng: Lu = aij (x) Diju + bi (x) Diu + c (x) u; aij = aji x = (x1, , xn) nam mien Ω Rn, n ≥ L elliptic điem x ∈ Ω neu thỏa mãn ma tr n aij (x) xác định dương V y neu λ (x) , ∆ (x) lan lượt giá trị cực tieu cực đại giá trị riêng aij (x) đó: < λ (x) |ξ| ≤ aij (x) ξiξj ≤ ∆ (x) |ξ| với moi ξ = ξ1, , ξn ∈ Rn\ {0} Neu λ > Ω, L elliptic Ω elliptic ng t neu λ ≥ λ0 > với hang so λ0 > Định lj 1.6 Cho L elliptic ng¾t mien Ω b ch¾n, với c ≤ 0, f h so L thu®c vào C α Ω Giả sủ rang Ω m®t mien C2,α ϕ ∈ C2,α Ω Khi đó, tốn Dirichlet Lu = f Ω, u = ϕ ∂Ω có nhat nghi m nam C2,α Ω Định lj 1.7 Cho Ω m®t mien Ck+2,α (k 0) ϕ Ck+2,α Ω Giả ≥∈ sủ u m®t hàm thu®c C0 Ω C2 (Ω) thóa mãn Lu = f Ω u = ϕ ∩ ∂Ω, f h so tốn t elliptic ngắt thuđc Ck, Khi ú u ∈ Ck+2,α Ω 1.2 Không gian Wk,p (Ω) ; W0 k,p (Ω) M®t nhǎng tốn quan phương trình đạo hàm riêng phương trình Poisson: ∆u = f (1.2) Nghi m phương trình (1.2) thỏa mãn đong nhat thác tích phân: ∫ ∫ DuDϕdx = − fϕdx Ω Ω u = u (x1, , xn) ȁn hàm, f = f (x1, , xn) hàm so cho trước, ϕ = ϕ (x1, , xn) ∈ C 0(Ω) không gian hàm khả vi liên tục có giá compact, n ∂2u Σ ∆u = , i=1 ∂x i KET LU N Trong lu n văn trình bày van đe sau: -Khái ni m không gian Sobolev W k,p (Ω) W k,p (Ω) định lý nhúng - Khái ni m nghi m yeu phương trình elliptic tuyen tính cap hai dạng bảo toàn, định lý ve ton nhat nghi m yeu toán Dirichlet đoi với phương trình định lý mơ tả đ® trơn nghi m yeu Tài li u tham khảo Tài li u tieng Anh [1] David Gibarg - Neil S.Trudinger (1998), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer [2] Jurgen Jost (2002), Partial Differential Equations, Springer Ω ... điem liên quan đen đạo hàm yeu sě hieu thỏa mãn hau khap nơi Chúng ta goi m®t hàm khả vi yeu neu tat đạo hàm yeu b c nhat ton với khả vi yeu b c k, neu tat đạo hàm yeu b c nhỏ ho c bang k ton... dung lu n văn, trình bày khái ni m nghi m yeu phương trình, nghi m yeu toán Dirichlet định lý ve ton nhat nghi m yeu Lu n văn trình bày đ® trơn nghi m yeu khȁng định: h so ve phải phương trình... 24 NGHI M YEU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 31 2.1 Khái ni m nghi m yeu 31 2.1.1 Cơng thác tích phân tàng phan 31 2.1.2 Định nghĩa 31 2.1.3 Sự ton nhat nghi m yeu .33 2.2