Giải bài toán ngược động lực học bay như một dạng của bài toán biên

Bài viết này đặt ra nhiệm vụ giải quyết một phần của bài toán ngược phức tạp đó, cụ thể là theo yêu cầu về quỹ đạo phải tìm lực đẩy động cơ P(t), góc tấn α(t) và góc cren α(t) của khí cụ bay sao cho khí cụ bay thực hiện được quỹ đạo bay mong muốn.

Cơ học – Cơ khí động lực GIẢI BÀI TỐN NGƯỢC ĐỘNG LỰC HỌC BAY NHƯ MỘT DẠNG CỦA BÀI TOÁN BIÊN Nguyễn Hải Minh1*, Nguyễn Nam Quý1, Nguyễn Quang Tuân1, Phan Văn Từ2 Tóm tắt: Trong thực tế thiết kế chế tạo khí cụ bay (tên lửa, đạn, ) vấn đề cấp thiết tính tốn, thiết kế cho khí cụ bay thực theo quỹ đạo mong muốn Về mặt động lực học, tốn ngược, nghĩa phải tìm kết cấu, động lực học điều khiển khí cụ bay để đạt nhiệm vụ đặt Bài báo đặt nhiệm vụ giải phần tốn ngược phức tạp đó, cụ thể theo yêu cầu quỹ đạo phải tìm lực đẩy động P(t), góc (t) góc cren (t) khí cụ bay cho khí cụ bay thực quỹ đạo bay mong muốn Từ khóa: Thuật phóng ngồi; Bài tốn ngược động lực học bay; Lực đẩy động cơ; Góc tấn; Góc cren ĐẶT VẤN ĐỀ Để giải tốn chuyển động khơng gian khí cụ bay (KCB), việc sử dụng phương pháp biến phân cổ điển phương pháp động lực học Беллман, nguyên lý Maximum Понтрягин không hiệu Để xây dựng trình điều khiển động lực học bay ta dựa vào khái niệm toán ngược động lực học điều khiển chuyển động [1, 2] Giải toán ngược động lực học bay dạng toán biên đề xuất В.Т Тараненко [3] Trong phạm vi báo này, tác giả trình bày nội dung phương pháp giải toán ngược động lực học bay dạng tốn biên, tức phải tìm tham số điều khiển chuyển động KCB bao gồm lực đẩy động cơ, góc tấn, góc cren phụ thuộc thời gian cho KCB thực theo quỹ đạo bay mong muốn Quỹ đạo KCB xác định dựa vào điều kiện biên trạng thái pha điểm đầu, điểm cuối thời gian KCB thực quỹ đạo Để lấy ví dụ minh họa, báo thực lập trình, tính tốn tham số điều khiển kể cho mẫu tên lửa giả định BÀI TOÁN NGƯỢC ĐỘNG LỰC HỌC BAY NHƯ MỘT DẠNG CỦA BÀI TOÁN BIÊN 2.1 Phát biểu tốn Theo [2], mơ hình trạng thái pha KCB biểu diễn thơng qua hệ phương trình: dV dθ g d g  g nxa  sin θ ;  n ya cos γ  cosθ ;  n y sin γ; dt dt V dt V cosθ a dx dy dz  V cosθ cos ;  V sin θ;  V cosθsin ; dt dt dt nxa  ( P cos α  X a ) / (mg ); n ya  ( P sin α  Ya ) / (mg )     (1) Trong đó: V – Độ lớn véc-tơ vận tốc; nxa , n ya – Các thành phần véc-tơ tải theo trục X a , Ya hệ tọa độ vận tốc; γ – Góc cren; θ – Góc nghiêng quỹ đạo;  – Góc hành trình; x , y, z – Tọa độ tâm khối KCB hệ tọa độ mặt đất; P – Lực đẩy động cơ;  – Góc tấn; X a , Ya – Lực cản diện lực nâng (hình 1); g – Gia tốc trọng trường; m – Khối lượng KCB: m  m0  m t Hệ phương trình (1) hệ phương trình rút gọn mơ tả chuyển động dọc bên sườn KCB với giả thiết góc   t  góc trượt   t  bé, chứa chín tham số phụ thuộc thời 268 N H Minh, …, P V Từ, “Giải toán ngược động lực học bay … toán biên.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ gian, sáu tham số V ,θ, , x, y, z đặc trưng cho trạng thái pha KCB, ba tham số lại P, ,  hàm điều khiển Bài toán ngược động lực học bay phát biểu sau: Cho trạng thái khơng gian pha KCB có điều khiển thời điểm đầu ( t0  ): x    x0 ; y    y0 ; z    z0 ; x    x0 ; y    y ; z    z0 , (2) xác định hàm điều khiển P  t  ,   t  ,   t  cho sau khoảng thời gian tk  T , KCB di chuyển từ điểm đầu cho vào điểm cuối quỹ đạo có khơng gian pha cho trước x  tk   xT ; y  tk   yT ; z  tk   zT ; x  tk   xT ; y  tk   yT ; z  tk   zT (3) Với cách phát biểu này, toán hai điều kiện biên, để giải sau ta sử dụng phương pháp dựa khái niệm toán ngược động lực học Hình Các lực tác dụng lên KCB chuyển động 2.2 Phương pháp giải Giả sử cho trước quỹ đạo tựa x* (t ), y* (t ), z * (t ) thỏa mãn điều kiện biên (3), (4), hàm liên tục, khả vi bậc hai theo thời gian t đoạn t  [0, tk ] , để xác định hàm P(t ), (t ),  (t ) ta chúng vào vị trí x  t  , y  t  , z  t  hệ (1) loại bỏ biến trung gian Từ phương trình thứ ba, bốn, năm hệ (1) ta có: sin θ  y / V ; sin   z / V cosθ  ; V  x  y  z (4) Từ hai biểu thức đầu (4) ta có: θ  t   arcsin  y / V  ;   t   arcsin   z / V cosθ   (5) Để xác định thành phần véc-tơ tải góc cren (t) trước hết cần xác định  t )  (t ) : giá trị đạo hàm θ(  t )  (Vy  Vy  ) / (V cosθ);  (t )  ( xz   zx ) cos 2 / x θ( (6) Xem V  t  ,θ  t    t  biết, từ ba phương trình đầu (1) ta có:  g  cosθ) / cos γ; tgγ  ( cosθ)/(θ  g cosθ/V ) nxa  sin θ  (V / g ); n ya  (Vθ/ (7) Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Hội thảo Quốc gia FEE, 10 - 2020 269 Cơ học – Cơ khí động lực Biểu thức sau (7) trực tiếp xác định hàm điều khiển cần tìm Hai hàm cịn lại P  t    t  tìm từ cơng thức sau: P t    mgn xa  Xa    mgn ya  Ya  ; α  t   arctg mgn ya  Ya mgnxa  X a (8) Những công thức nêu hàm điều khiển đảm bảo lời giải toán biên đặt 2.3 Phương pháp xây dựng quỹ đạo tựa chuyển động khí cụ bay Trong phạm vi báo này, trình bày phương pháp xây dựng quỹ đạo tựa chuyển động KCB đơn giản theo trình tự sau Thay tham số thời gian thực t thời gian tương đối  phép biến đổi toán học   (t  t0 ) / (tk  t0 )  (t  t0 ) / T Kết cuối ta phải nhận hàm số: x  t ( )   Fx   ; y  t ( )   Fy   ; z  t ( )   Fz   (9) Giả thiết rằng, hàm số Fx   , Fy   , Fz   phụ thuộc vào hàm sở Thí dụ đơn giản coi Fx   , Fy   , Fz   đa thức có dạng: Fx     ki xi  ; Fy    i 0  li yi  ; Fz    i 0  n    i (10) zi i 0 Trong đó: ki , li , ni ,(i  0, ,3) hệ số số;  xi   ,  yi   ,  zi   , (i  0, ,3) hàm sở tuyến tính độc lập Để đơn giản hóa q trình tính tốn, hàm sở chọn tối giản đảm bảo hàm số Fx   , Fy   , Fz   liên tục khả vi bậc hai đoạn [0,1] Trong trường hợp riêng, chọn hàm sở hàm mũ dạng:  x    1; x1     ; x     ; x     (11) chọn kết hợp hàm mũ hàm lượng giác dạng:  x    1; x1     ; x    sin  π  ; x    cos  π  (12) Các hệ số ki , li , ni ,(i  0, ,3) tìm sau Lấy đạo hàm hàm số (10) theo  ta có: Fx     ki xi  , Fy    i 0  li yi  , Fz    i 0  n    i (13) zi i 0 Các đa thức Fx   , Fy   , Fz   đạo hàm phải thỏa mãn điều kiện biên: Fx    x  t0   x0 ; Fy    y  t0   y0 ; Fz    z  t0   z0 ; Fx 1  x  tk   xT ; Fy 1  y  tk   yT ; Fz 1  z  tk   zT ; Fx    x  t0  T  x0T ; Fy    y  t0  T  y 0T ; Fz    z  t0  T  z0T ; F 1  x  t  T  x T ; F 1  y  t  T  y T ; F 1  z  t  T  z T ; x k T y k T z k T Trên sở biểu thức này, ta thành lập ba hệ phương trình: 270 N H Minh, …, P V Từ, “Giải toán ngược động lực học bay … tốn biên.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ   ki xi    x0  i 0   ki xi    x0T  i 0   k  x i xi   T  i 0    ki xi 1  xT T  i 0       li yi    y0  i 0   li yi    y 0T  i 0   l  y i yi   T  i 0    li yi 1  yT T  i 0       ni zi    z0  i 0   ni zi    z0T  i 0   n  z i zi   T  i 0    ni zi 1  zT T  i 0   (14)   Hệ phương trình (14) bao gồm 12 phương trình chứa 12 ẩn (k0 , k1 , k2 , k3 ) , (l0 , l1 , l2 , l3 ) (n0 , n1 , n2 , n3 ) , giải VÍ DỤ TÍNH TỐN GIẢI BÀI TỐN BIÊN ĐỘNG LỰC HỌC BAY TÊN LỬA CÓ ĐIỀU KHIỂN Sau đây, ta xem xét giải toán biên động lực học bay cho tên lửa có điều khiển X giả định Thơng số tên lửa X: m0 = 780 kg ; m  20 kg/s ; S  0,12 m ; T  20s Các điều kiện biên: x0  0; y0  0; z0  0; x0  10 m/s ; y  60 m/s ; z0  5m/s xT  1000m; y0  10000m; z0  500m; x0  50 m/s ; y  1000 m/s ; z0  30m/s Giải toán với hai phương án quỹ đạo tựa có dạng (10) dựa hàm sở (11) – phương án phương án – hàm sở (12), điều kiện ban đầu tên lửa điều kiện biên hoàn toàn Ở đồ thị đây, tham số khảo sát theo phương án thể nét liền, phương án – nét đứt Áp dụng phương pháp trình bày mục 2.3, ta nhận quỹ đạo tựa hai phương án khảo sát Phương án 1: x1  t  =10t +4t  0,1t ; y1  t  =60t +19t +0,15t ; z1  t  =5t +1,75t  0,0375t (15) Phương án 2:  x2  t   233,3  27,6t  117,5sin  0,15t   233,3cos  0,15t    y2  t   113,5  533,6t  3157,1sin  0,15t   113,5cos  0,15t    z2  t   89,8  16,6t  77, 4sin  0,15t   89,8cos  0,15t  (16) Đồ thị chúng thể hình Khơng khó để nhận thấy rằng, quỹ đạo tên lửa mơ tả hàm khác chúng thỏa mãn điều kiện biên điểm đầu điểm cuối Điều khẳng định rằng, mặt lý thuyết, cho trước trạng thái không gian pha điểm đầu điểm cuối tồn vơ số quỹ đạo thỏa mãn điều kiện biên Với quỹ đạo tựa vừa nhận được, tiến hành giải toán biên động lực học bay tên lửa sở khái niệm tốn ngược trình bày mục 2.2, ta thu quy luật thay đổi tham số động lực học tên lửa thể hình Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Hội thảo Quốc gia FEE, 10 - 2020 271 Cơ học – Cơ khí động lực Hình Quỹ đạo tựa mong muốn Hình Quy luật biến đổi tham số động lực học Đồ thị hình cho thấy, tham số động lực học hai phương án khảo sát không khác biệt nhiều, biến đổi liên tục, q tải dọc khơng q lớn (0,8÷8,3) đảm bảo cho thiết bị điện tử hoạt động tốt, tải ngang nhỏ (nhỏ 1) không phá vỡ độ bền kết cấu khoang tên lửa Tuy nhiên, phương án khoảng biến đổi tham số nhỏ so với phương án 2, vậy, mặt động lực học điều khiển phương án tốt phương án Đồ thị hàm điều khiển P(t ), (t ),  (t ) thể hình Dễ thấy, P(t ) α(t ) phương án biến đổi khoảng nhỏ so với phương án 2, γ(t ) phương án lại thay đổi nhanh (từ 0÷2 giây đầu tiên), xuất điểm gián đoạn, rõ ràng rằng, theo quan điểm lý thuyết điều khiển phương án tốt phương án Tuy nhiên, mặt kỹ thuật, để giữ lực đẩy động ổn định, thay đổi khoảng nhỏ tốn khơng dễ dàng Hình Quy luật biến đổi hàm điều khiển 272 N H Minh, …, P V Từ, “Giải toán ngược động lực học bay … toán biên.” Nghiên cứu khoa học công nghệ KẾT LUẬN Như vậy, tốn ngược động lực học bay giải dạng toán biên Nếu biết trước trạng thái không gian pha điểm xuất phát điểm mà sau khoảng thời gian ta mong muốn tên lửa đạt trạng thái khơng gian pha u cầu đó, ta tìm quy luật biến đổi hàm điều khiển: lực đẩy động cơ, góc tấn, góc cren để tên lửa thực nhiệm vụ Việc giải tốn này, có ý nghĩa quan trọng thiết kế chế tạo tên lửa có điều khiển xây dựng chương trình điều khiển cho máy bay thiết bị khơng người lái (UAV) để chúng thực quỹ đạo mong muốn cho trước TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Борисенко А Д., Борисенко Н Д., Маничев В Б., “О некоторых приближенных методах решения обратной задачи внешней баллистики” Электронный журнал «Инженерный весник», МГТУ им Н.Э Баумана, 2015, №7, с 541-551 [2] Крутько П.Д., “Абратьные задачи динамики управляемых систем (линейные модели)”, М.: Наука (1987) [3] Тараненко В.Т., Момджи В.Г., “Прямой вариационный метод в краевых задачах динамики полета”, М.: Машиностроение (1986) ABSTRACT SOLVING THE INVERSE PROBLEM OF FLIGHT DYNAMICS AS A KIND OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS In designing and manufacturing flying objects (missiles, ammunition, etc.), one important requirement is that the objects have to fly on given desired trajectories In terms of dynamics, this is the inverse problem, that means designers have to find out the structure, dynamics and type of guidance for objects to satisfy the requirement This paper presents a solution to part of that complex inverse problem, to be concrete, this paper presents methods of finding such parameters as thrust P(t), attack angle (t) and roll angle (t) based on the given desired trajectory Keywords: Exterior ballistics; The inverse problem of flight dynamics; Thrust; Attack angle; Roll angle Nhận ngày 18 tháng năm 2020 Hoàn thiện ngày 05 tháng 10 năm 2020 Chấp nhận đăng ngày 05 tháng 10 năm 2020 Địa chỉ: 1Học viện Kỹ thuật quân sự; Viện Khoa học Cơng nghệ qn *Email: nguyenhaiminhtb2013@gmail.com Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san Hội thảo Quốc gia FEE, 10 - 2020 273 ... l2 , l3 ) (n0 , n1 , n2 , n3 ) , giải VÍ DỤ TÍNH TỐN GIẢI BÀI TỐN BIÊN ĐỘNG LỰC HỌC BAY TÊN LỬA CÓ ĐIỀU KHIỂN Sau đây, ta xem xét giải toán biên động lực học bay cho tên lửa có điều khiển X giả... giữ lực đẩy động ổn định, thay đổi khoảng nhỏ tốn khơng dễ dàng Hình Quy luật biến đổi hàm điều khiển 272 N H Minh, …, P V Từ, ? ?Giải toán ngược động lực học bay … toán biên. ” Nghiên cứu khoa học. .. đạo tựa vừa nhận được, tiến hành giải toán biên động lực học bay tên lửa sở khái niệm tốn ngược trình bày mục 2.2, ta thu quy luật thay đổi tham số động lực học tên lửa thể hình Tạp chí Nghiên