Bài giảng Phương pháp tính - Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân” trang bị cho cho người học các kiến thức: Giải gần đúng phương trình vi phân cấp 1, giải gần đúng hệ phương trình vi phân, giải gần đúng phương trình vi phân cấp cao, giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 bằng phương pháp sai phân hữu hạn,… Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP : Xét toán Cauchy : tìm nghiệm y=y(x) phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0 y’ = f(x, y), ∀x ∈ [a,b] y(a) = y0 Các phương pháp giải gần : ➢ Công thức Euler ➢ Công thức Euler cải tiến ➢ Công thức Runge-Kutta Công thức Euler : Để tìm nghiệm gần tốn Cauchy ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b Nghiệm gần toán dãy {yk} gồm giá trị gần hàm xk Ta có yk ≈ y(xk) , k =0, n Công thức Euler : yk+1 = yk + h f(xk, yk) , k = 0, n-1 Ví dụ : Dùng cơng thức Euler tìm nghiệm gần toán Cauchy y’ = y – x2 +1, 0≤x≤1 y(0) = 0.5 với n = Tính sai số biết nghiệm xác : y(x) = (x+1)2 – 0.5ex giải ta có h = 0.2 x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Công thức Euler y0 = 0.5 yk+1 = yk + 0.2 (yk - xk2 +1) k xk yk y(xk) |y(xk) - yk | 0 0.5 0.5 0.2 0.8 0.8292986 0.0292986 0.4 1.152 1.2140877 0.0620877 0.6 1.5504 1.6489406 0.0985406 0.8 1.98848 2.1272295 0.1387495 2.458176 2.6408591 0.1826831 * Nhận xét : công thức Euler đơn gian, sai số cịn lớn nên sử dụng Cơng thức Euler cải tiến : yk+1 = yk + (k1+k2)/2 k = 0,1, , n-1 k1 = hf(xk, yk), k2 = hf(xk+h, yk + k1) Ví dụ : Làm lại ví dụ trước dùng công thức Euler cải tiến giải ta có h = 0.2 x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = Công thức Euler cải tiến yo = 0.5 yk+1 = yk + (k1 +k2) /2 k1= 0.2(yk - xk2 +1) k2 = 0.2(yk + k1 – (xk+0.2)2 +1) k xk yk y(xk) |y(xk) - yk | 0 0.5 0.5 0.2 0.826 0.8292986 0.0033 0.4 1.20692 1.2140877 0.0072 0.6 1.6372424 1.6489406 0.0117 0.8 2.1102357 2.1272295 0.0170 2.6176876 2.6408591 0.0232 Ví dụ : Sử dụng công thức Euler giải gần pt vi phân cấp (tính xấp xỉ y y’) y “ – y’ + 2y = sinx e2x , 0≤x≤0.5 điều kiện ban đầu y(0) = -0.4, y’(0) = -0.6 với bước h = 0.1 đặt y1 = y, y2 = y’ chuyển pt hệ y’1 = y2 y’2 = sinx e2x– y1 + 2y2 điều kiện y1(0) = -0.4, y2(0) = -0.6 Công thức Euler y1 = -0.4 y1 k+1 = y1 k + 0.1 y2k y2 = -0.6 y2 k+1 = y2 k + 0.1 (sinxke2xk - 2y1k +2y2 k) xk y1 k=y y2 k=y’ -0.4 -0.6 0.1 -0.46 -0.64 0.2 -0.524 -0.6638 0.3 -0.5904 -0.6621 0.4 -0.6566 -0.6226 0.5 -0.7189 -0.5292 Ví dụ : Xét tốn Cauchy x“(t) = (Mt+5) x2(t) – 2Mx’(t)+1.2t + M, 1≤t điều kiện ban đầu x(1) = 1.3M, x’(1) = 1.8M Dùng công thức Euler cải tiến, xấp xỉ giá trị hàm x(t) x’(t) điểm t = 1.2 với bước h = 0.2 M = 2.7 giải đặt y1 = x, y2 = x’ chuyển pt hệ y’1 = y2 y’2 = (Mt+5)y12-2My2+1.2t+M điều kiện y1(1) = 1.3M, y2(1) = 1.8M Công thức Euler cải tiến y1 = 1.3M y1 = y1 + (K11+K21)/2 y2 = 1.8M y2 = y2 + (K12+K22)/2 K11= 0.2*y2 K12= 0.2( (Mt0+5)y102 -2My20+ 1.2t0+M) K21= 0.2*(y2 0+K12) K22= 0.2( (M(t0+h)+5)(y10 +K11)2 -2M(y20+K12) + 1.2(t0+h)+M) K11 = 0.972 K12 =14.504154 K21 = 3.8728308 K22 = 13.02027163 x(1.2) = y1 =5.9324154 x’(1.2) = y2 1=18.622212816 IV GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH CẤP BẰNG PP SAI PHÂN HỮU HẠN : Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp với điều kiện biên p(x)y” + q(x)y’ + r(x)y = f(x), a≤x≤b y(a) = α, y(b) = β ❖ PP sai phân hữu hạn : ▪ Chia đoạn [a,b] thành n đoạn với bước h=(b-a)/n điểm nút x0 = a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b ▪ sử dụng công thức sai phân hướng tâm ta xấp xỉ y’(xk) ≈ (yk+1 – yk-1) /2h y”( xk) ≈ (yk+1 – 2yk + yk-1)/h2 với yk giá trị xấp xỉ hàm điểm xk ▪ thay xk vào phương trình ta pk (yk+1–2yk + yk-1)/h2+ qk (yk+1–yk-1)/(2h) +rkyk= fk với pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk), fk = f(xk), ▪ biến đổi phương trình ta thu hệ phương trình sau : Đây hệ phương trình tuyến tính Ay = b Với A ma trận đường chéo Ví dụ : Giải gần pt vi phân cấp y“ - y’ – (x+1)y = x-1, 0≤x≤1 y(0) = 1, y(1) = với bước h = 0.25 giải n=4 x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = k qk -1 -1 -1 rk -1.25 -1.5 -1.75 fk -0.75 -0.5 -0.25 giải hệ phương trình tuyến tính: Ay = b Vậy nghiệm gần y(0) =1, y(0.25) = 0.8093, y(0.5) = 0.5827, y(0.75)=0.3182, y(1)=0 Ví dụ : Giải gần pt vi phân cấp Mx2y”+xy’-8My = -3M2x2, 1.4≤x≤1.8 y(1.4) = 0.5M, y(1.8) = 1.5M với bước h = 0.1, M= 2.7 giải n=4 x0 = 1.4, x1 = 1.5, x2 = 1.6, x3 = 1.7, x4 = 1.8 k pk 6.075 6.912 7.803 qk 1.5 1.6 1.7 rk -21.6 -21.6 -21.6 fk -49.2075 -55.9872 -63.2043 giải hệ phương trình tuyến tính : Ay = b Vậy nghiệm gần y(1.4) =1.35, y(1.5) = 2.0499, y(1.6) = 2.7247, y(1.7)=3.3882, y(1.8)=4.05 ... qk -1 -1 -1 rk -1 .25 -1 .5 -1 .75 fk -0 .75 -0 .5 -0 .25 giải hệ phương trình tuyến tính: Ay = b Vậy nghiệm gần y(0) =1, y(0.25) = 0.8093, y(0.5) = 0.5827, y(0.75)=0.3182, y(1)=0 Ví dụ : Giải gần. .. y1(0) = -0 .4, y2(0) = -0 .6 Công thức Euler y1 = -0 .4 y1 k+1 = y1 k + 0.1 y2k y2 = -0 .6 y2 k+1 = y2 k + 0.1 (sinxke2xk - 2y1k +2y2 k) xk y1 k=y y2 k=y’ -0 .4 -0 .6 0.1 -0 .46 -0 .64 0.2 -0 .524 -0 .6638...I GIẢI GẦN ĐÚNG PTVP CẤP : Xét tốn Cauchy : tìm nghiệm y=y(x) phương trình vi phân với giá trị ban đầu y0 y’ = f(x, y), ∀x ∈ [a,b] y(a) = y0 Các phương pháp giải gần : ➢ Công thức