PP SAI PHÂN HỮU HẠN :
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với điều kiện biên
p(x)y” + q(x)y’ + r(x)y = f(x), a≤x≤b y(a) = α, y(b) = β
❖ PP sai phân hữu hạn :
▪ Chia đoạn [a,b] thành n đoạn bằng nhau với bước h=(b-a)/n và các điểm nút
▪ sử dụng các công thức sai phân hướng tâm ta xấp xỉ
y’(xk) ≈ (yk+1 – yk-1) /2h
y”( xk) ≈ (yk+1 – 2yk + yk-1)/h2
với yk là giá trị xấp xỉ của hàm tại điểm xk.
▪ thay xk vào phương trình ta được
pk (yk+1–2yk + yk-1)/h2+ qk (yk+1–yk-1)/(2h) +rkyk= fk với pk = p(xk), qk = q(xk), rk = r(xk), fk = f(xk),
▪ biến đổi phương trình trên ta thu được hệ phương trình sau :
Đây chính là hệ phương trình tuyến tính Ay = b
Ví dụ : Giải gần đúng pt vi phân cấp 2 y“ - y’ – (x+1)y = x-1, 0≤x≤1
y(0) = 1, y(1) = 0 với bước h = 0.25 giải n = 4 x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1 k 1 2 3 qk -1 -1 -1 rk -1.25 -1.5 -1.75 fk -0.75 -0.5 -0.25
Vậy nghiệm gần đúng
y(0) =1, y(0.25) = 0.8093, y(0.5) = 0.5827, y(0.75)=0.3182, y(1)=0
Ví dụ : Giải gần đúng pt vi phân cấp 2 Mx2y”+xy’-8My = -3M2x2, 1.4≤x≤1.8 y(1.4) = 0.5M, y(1.8) = 1.5M với bước h = 0.1, M= 2.7 giải n = 4 x0 = 1.4, x1 = 1.5, x2 = 1.6, x3 = 1.7, x4 = 1.8 k 1 2 3 pk 6.075 6.912 7.803 qk 1.5 1.6 1.7 rk -21.6 -21.6 -21.6 fk -49.2075 -55.9872 -63.2043
giải hệ phương trình tuyến tính : Ay = b
Vậy nghiệm gần đúng