Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường

HOÀNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI - 2017... Với mong muốn học hỏi và t

HOÀNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI - 2017

HOÀNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC

ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã nhận được sự dìu dắt, chỉ bảo và tạo điều kiện giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong khoa Toán nói chung và trong tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt là sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp

đỡ hết sức tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh

Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô tổ Giải

tích, các thầy, cô giáo trong khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn sinh viên quan tâm, đóng góp ý kiến cho đề tài của em

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Hoàng Thị Thu Hà

Lời cam đoan Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh và sự nỗ lực nghiên cứu của bản thân, em đã hoàn thành khóa luận

tốt nghiệp này Để nghiên cứu hoàn thành đề tài này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết quả của

đề tài “Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân

không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Hoàng Thị Thu Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1

1.1 Khái niệm về số gần đúng 1

1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đương 1

1.1.2 Sai số thu gọn 2

1.1.3 Chữ số chắc 4

1.2 Sai phân và tính chất của sai phân 4

1.2.1 Định nghĩa sai phân 4

1.2.2 Các tính chất của sai phân 5

1.2.3 Công thức nội suy Newton tiến, lùi 6

1.3 Một số kiến thức về phương trình vi phân thường 8

1.3.1 Khái niệm về phương trình vi phân thường cấp một 8

1.3.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp một 9

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC TUYẾN TÍNH ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 11

2.1 Phương pháp Runge – Kutta 11

2.1.1 Nội dung phương pháp 12

2.1.2 Ví dụ 15

2.2 Phương pháp Adams 22

2.2.1 Công thức Adams – Bashforth 22

2.2.2 Công thức Adams – Moultons 24

2.2.3 Ví dụ 25

2.3 Phương pháp dự báo – hiệu chỉnh 28

2.3.1 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp dự báo – hiệu chỉnh 31

2.3.2 Sự chính xác của phương pháp dự báo – hiệu chỉnh 35

2.3.3 Giải bài toán bằng phương pháp dự báo – hiệu chỉnh 36

Chương 3: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 40

3.1 Cách sử dụng Maple 40

3.2 Ví dụ 41

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng trong toán học Các bạn sinh viên đã rất quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm đúng của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường Nhưng chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm chính xác Trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn không tìm được nghiệm chính xác Bởi vậy việc tìm nghiệm của chúng

ta phải áp dụng các phương pháp gần đúng khác nhau Và mỗi phương pháp

có thể sử dụng thuật toán Maple để đơn giản bài toán

Với mong muốn học hỏi và tích lũy thêm kiến thức cho bản thân, đồng thời để hiểu thêm về phương trình vi phân thường em chọn đề tài:

“Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức về một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng dụng vào đó để giải toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp đa bước

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân thường cấp một

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng kết các tài liệu

6 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Chương 2: Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường

Chương 3: Ứng dụng Maple trong tính toán

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về số gần đúng và sai

số, khái quát về phương trình vi phân và bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một

1.1 Khái niệm về số gần đúng

1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đương

Trong tính toán, ta phải thường làm việc với các giá trị gần đúng của

các đại lượng Ta nói a là số gần đúng của a, nếu a không sai khác a

nhiều

Đại lượng : a a    gọi là sai số thật sự của a Do không biết a

nên ta cũng không biết  Tuy nhiên, ta có thể tìm được  a 0, gọi là sai

số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện:

aa  a (1.1)

Hay a   a a   a a Đương nhiên, a thỏa mãn điều kiện

(1.1) càng nhỏ càng tốt Sai số tương đối của a là a: a

a

  

Ví dụ 1

Giả sử a  ; a3.14 Do 3.14a 3.153.140.01 nên ta có thể lấy  a 0.01 Mặt khác, 3.14  3.1423.140.002 do đó có thể coi  a 0.002

Nếu 0.5 10 jthì j j, nếu j là chẵn và ~j  j1, nếu j lẻ

vì tính toán với số chẵn tiện hơn

Định nghĩa Chữ số chắc có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0”, nếu nó

kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

1.2 Sai phân và tính chất của sai phân

1.2.1 Định nghĩa sai phân

Giả sử là một hàm số cho trước và hconst h, 0 Ta gọi sai phân cấp một của f x là đại lượng:  

là sai phân cấp hai của f x  tại

1.2.2 Các tính chất của sai phân

1) Sai phân là một toán tử tuyến tính , nghĩa là:

i i

f x C f x n h



     5) Giả sử n ,

f C a b và x x, nh a b, Khi đó:

  ( ) 

n

n n

1.2.3 Công thức nội suy Newton tiến, lùi

Giả sử  x i ,i0, ,n là n1 mốc nội suy

Giả sử P x là đa thức nội suy Lagrange của hàm số n  y f x , nghĩa là P x n j  y j  f x j , j0, ,n Ký hiệu P x x ,0 ; 0 P x x x0 ; ;0 1,…,

là các tỉ sai phân của P x Khi ấy ta có: 0 

P x n  f x 0  f x x 0; 1xx0 f x x x 0; 1; 2 xx0xx1  f x x 0; ; ;1 x nxx0xx1  xx n1

là đa thức nội suy Newton

Giả sử rằng mốc nội suy x0   x1 x x n, i1 x i h, i 0, ,n1

Ta tìm đa thức nội suy P x dưới dạng: n 

Công thức (1.2) là công thức nội suy Newton tiến

Giả sử rằng các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự x n x n1  x0,



 thì x x n th ta thu đƣợc kết quả:

Công thức (1.3) là công thức nội suy Newton lùi

1.3 Một số kiến thức về phương trình vi phân thường

1.3.1 Khái niệm về phương trình vi phân thường cấp một

Phương trình vi phân thường cấp một có dạng tổng quát:

thì ta được phương trình vi phân thường cấp một đã giải ra đạo hàm

Hàm y x xác định và khả vi trên khoảng I  a b, được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu:

Có nghiệm là hàm yce 2 x xác định trên khoảng ( , ) (c là hằng số tùy

với  0,T cho trước hàm f t x và  , x0 cho trước được gọi là bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường cấp một, điều kiện (1.6) được gọi

là điều kiện Cauchy (hay điều kiện ban đầu)

Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền hàm f t x thỏa mãn theo điều kiện  ,

Lipschitz theo biến y nếu tồn tại hằng số L0 sao cho với hai điểm

( ̅) , ( ̿) bất kỳ ta có bất đẳng thức:

| ( ̅) ( ̿)| | ̅ ̿|

Định lý 1 (Định lý tồn tại nghiệm)

Xét bài toán (1.5 – 1.6),  t x,  R   0,T  x0r x, 0r

Nếu f t x là hàm liên tục trên hình chữ nhật  , R r,( 0) cố định thì

tồn tại ít nhất một nghiệm x t của phương trình (1.5) thỏa mãn điều kiện  

(1.6), tức là x t là nghiệm của bài toán (1.5 – 1.6)  

a f t x liên tục trên R và do R đóng và bị chặn nên  , f t x , M

Chương 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC TUYẾN TÍNH ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG

Trong các phương pháp một bước như Euler, Euler cải tiến, Runge – Kutta giá trị y n1 tính được nhờ x n, y n và bước h n h

Có thể tính y n1 với độ chính xác cao hơn bằng cách huy động các

giá trị y n, y n1 ,…, tức là sử dụng phương pháp đa bước Các phương pháp loại này có độ chính xác cao hơn, tiết kiệm được bộ nhớ và thời gian máy Tuy nhiên các thuật toán đa bước khá phức tạp và có độ ổn định kém hơn

Chương này trình bày một số phương pháp đa bước tuyến tính và ứng dụng vào việc giải gần đúng các phương trình vi phân thường

2.1 Phương pháp Runge – Kutta

2.1.1 Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy trên đoạn x X đối với phương trình vi phân 0, 

y  f x y , (2.1) với điều kiện ban đầu

Theo điều kiện ban đầu ta có x0, y0

h x

K y

h x

Nếu  a10 ,(02  a 10) thì chọn bước chia bằng h, trong trường

hợp ngược lại phải giảm h

Sai số của nghiệm có bậc tương đương h trên toàn đoạn 4 x X 0, 

-0,93723

-0,87819

0,33333 0,62771 0,60903 0,70429

0,06667 0,12554 0,12181 0,14086

0,06667 0,25108 0,24362 0,14086

0,04045

0,19948

0,13216 0,14550 0,14485 0,15515

0,13216 0,29100 0,28970 0,15515

0,14733 0,15713 0,15681 0,16571

0,14733 0,31426 0,31362 0,16571

0,16082 0,17048 0,17034 0,17997

0,16082 0,34095 0,34068 0,17997

0,17889 0,19012 0,19018 0,20208

0,17889 0,38024 0,38036 0,20208

0,00059

0,31703

5 1 0,30344

1,5 1,75 1,775 2,055

0,3 0,35 0,355 0,411

0,3 0,7 0,71 0,411

2,35024

2,61855

2,2885 2,61735 2,65024 3,01855

0,4577 0,52347 0,53005 0,60371

0,4577 1,04694 1,0601 0,60371

0,67355 0,76091

0,67355 1,52182 0,02058

0,76964 0,86748

1,53928 0,86748 1,27721

0,96899 1,08589 1,09758 1,22851

0,96899 2,17178 2,19516 1,22851

1,37337 1,53071 1,54644 1,72266

1,37337 3,06142 3,09288 1,72266

1,10538

1 1,05125 1,05382 1,11038

0,1 0,10513 0,10538 0,11104

0,1 0,21025 0,21076 0,11104

0,11805 0,12458 0,12491 0,13204

0,11805 0,24918 0,24982 0,13204

0,14035 0,14849 0,14890 0,15774

0,14035 0,29698 0,29780 0,15774

0,16765 0,17765 0,17815 0,18896

0,16765 0,35530 0,35630 0,18896

0,00533

0,29664

0,20081 0,21298 0,21358 0,22667

0,20081 0,42596 0,42716 0,22667

0,97583

0,95161

-0,25 -0,24175 -0,24196 -0,22990

-0,05 -0,04835 -0,04839 -0,04598

-0,05 -0,0967 -0,09678 -0,04598

0,00173

-0,08049

-0,04438 -0,04127 -0,04134 -0,03751

-0,04438 -0,08254 -0,08268 -0,03751

-0,03612 -0,03164 -0,03175 -0,02655

-0,03612 -0,06328 -0,06350 -0,02655

-0,02550 -0,01967 -0,01981 -0,01331

-0,02550 -0,03934 -0,03962 -0,01331

-0,01266 -0,00555 -0,00573 0,00202

-0,01266 -0,01109 -0,01145 0,00202

-0,22929

-0,00929

5 1 0,75600

Khi đó ta sẽ tìm được giá trị nghiệm gần đúng y i  y x i ,

i1,2, ,n của bài toán (2.5 – 2.6) tại những điểm x n1, ,x N, x x0

N

h





Giá trị gần đúng của bài toán là y , i i 1,2, ,n có thể tính được bằng

phương pháp Runge – Kutta

2.2.1 Công thức Adams - Bashforth

Tích phân hai vế từ x đến n x n1 của (2.5) ta được:

 

, ta có

1 1

( 1)!

q q q

2.2.2 Công thức Adams – Moultons

Một cách tổng quát, lấy tích phân (2.5) từ x n r tới x n1 và đặt

Adams – Bashfoth và công thức Adams – Moultons Từ (2.11) ta có công thức Adams – Bashforth bậc năm:

0,02812 0,04119 0,05317 0,06420 0,07432 0,08539

0,01307 0,01198 0,01103 0,01012 0,01107

-0,00109 -0,00095 -0,00091 0,00095

0,00014 0,00004 0,00186

Thứ tự tính để điền trong bảng

 Điền vào bảng giá trị x0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 và tương ứng với

nó là các giá trị y đã được tính theo phương pháp Runge – Kutta, tìm k

 Dùng công thức Adams – Bashforth (2.11) tính giá trị y6

1,38353

1 1,18051 1,40353

0,18051 0,22302 0,04251

0,27294 0,33164 0,40062 0,31922

0,04992 0,05870 0,06898 -0,08140

0,00741 0,00878 0,01028 -0,15038

0,00137 0,00150 -0,16066

2.3 Phương pháp dự báo – hiệu chỉnh

Giả sử ta muốn sử dụng phương pháp k bước tuyến tính ẩn

Nếu h k /L k trong đó L là hằng số Lipschitz của f đối với

y, thì phương trình này có một nghiệm duy nhất y n k , hơn nữa y n k có thể được tính theo phương pháp tìm điểm bất động

 

1 1

0

k s

Về mặt lý thuyết, ta sẽ lặp lại đến khi sự lặp lại cho y n k s hội tụ (trong

thực tế, khi một vài tiêu chuẩn dừng lại như y n k s1 y n k s 

    được thỏa mãn, trong đó  là số dương nhỏ tùy ý cho trước) Sau đó ta xét giá trị hội tụ như

một xấp xỉ chấp nhận được y n k là giá trị xấp xỉ của y x n k Thủ thuật này

thường được gọi là hiệu chỉnh để hội tụ

Trong thực tế không may rằng phép xấp xỉ như vậy thường không

được chấp nhận do các thao tác phức tạp và mỗi bước của phép lặp liên

quan đến tính giá trị của f x n k ,y n k s  mà sẽ khá tốn thời gian Để có được

sự tối thiểu về số lần f x n k ,y n k s  được tính toán, giả định ban đầu y n k 0

phải được lựa chọn chính xác Điều này đạt được bằng cách đánh giá y n k 0

bằng một phương pháp hiện rõ ràng được gọi là dự báo và coi điều này như

giả định ban đầu cho phép lặp dựa trên phương pháp ẩn Phương pháp ẩn

được gọi là hiệu chỉnh

Giả sử dự báo và hiệu chỉnh có cùng số bước là k, nhưng trong

trường hợp của hiệu chỉnh ta cho phép cả 0 và 0 triệt tiêu Phương pháp

đa bước tuyến tính được sử dụng như hiệu chỉnh có các đa thức đặc trưng

 

0

k

j j j

z z



 (2.17)

Giả sử rằng m là một số nguyên dương biểu thị số lần việc hiệu chỉnh

được áp dụng; trên thực tế m2 Nếu P chỉ ra ứng dụng của phép dự báo,

C là sự ứng dụng của phép hiệu chỉnh, và E là một sự đánh giá của f trong

các số hạng của các giá trị đã biết với đối số của nó, khi đó  m

2.3.1 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp dự báo - hiệu chỉnh

Ta áp dụng phương pháp dự báo - hiệu chỉnh  m

mô hình

y y, y(0) y0, ( 0) , (2.18)

trong đó 0, mà nghiệm là không tầm thường và là hàm số mũ

  0 x

y x  y e hay y x  y0exp x Mục tiêu của chúng ta là xác định các

giá trị của cỡ bước h theo công thức nghiệm tính bởi phương pháp

 m

của phép truy hồi là

truy hồi trên

Đầu tiên ta lấy s = 0 và loại bỏ  0

n k

y từ cặp kết quả của các phương trình để thu được

y y  Để đảm bảo rằng nghiệm thể hiện là hàm số mũ giảm khi

n, ta giả sử tất cả các nghiệm để phương trình đặc trưng liên hợp

   1 1

0

k m k

m m

Bằng cách theo đuổi một đối số tương tự ta cũng có thể suy ra phương trình đặc trưng của phương pháp dự báo hiệu chỉnhP EC m Elà

trong đó  z h,  z h z là đa thức ổn định của phép hiệu chỉnh

Điều này có nghĩa là trong phương thức của phép hiệu chỉnh để hội tụ thì các tính chất ổn định tuyệt đối cùa phương pháp dự báo - hiệu chỉnh là của riêng phép hiệu chỉnh với hk 1