Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HOÀNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI - 2017 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HOÀNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI - 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em nhận đƣợc dìu dắt, bảo tạo điều kiện giúp đỡ thầy, cô giáo khoa Toán nói chung tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt hƣớng dẫn, bảo giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, cô tổ Giải tích, thầy, cô giáo khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè bạn sinh viên quan tâm, đóng góp ý kiến cho đề tài em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Thu Hà SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lời cam đoan Dƣới hƣớng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh nỗ lực nghiên cứu thân, em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Để nghiên cứu hoàn thành đề tài em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Thu Hà SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khái niệm số gần 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đƣơng 1.1.2 Sai số thu gọn 1.1.3 Chữ số 1.2 Sai phân tính chất sai phân 1.2.1 Định nghĩa sai phân 1.2.2 Các tính chất sai phân 1.2.3 Công thức nội suy Newton tiến, lùi 1.3 Một số kiến thức phƣơng trình vi phân thƣờng 1.3.1 Khái niệm phƣơng trình vi phân thƣờng cấp 1.3.2 Bài toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng cấp Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC TUYẾN TÍNH ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 11 2.1 Phƣơng pháp Runge – Kutta 11 SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1.1 Nội dung phƣơng pháp 12 2.1.2 Ví dụ 15 2.2 Phƣơng pháp Adams 22 2.2.1 Công thức Adams – Bashforth 22 2.2.2 Công thức Adams – Moultons 24 2.2.3 Ví dụ 25 2.3 Phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh 28 2.3.1 Tính ổn định tuyệt đối phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh 31 2.3.2 Sự xác phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh 35 2.3.3 Giải toán phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh 36 Chương 3: ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 40 3.1 Cách sử dụng Maple 40 3.2 Ví dụ 41 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhƣ biết lĩnh vực toán học ứng dụng thƣờng gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phƣơng trình vi phân, việc nghiên cứu phƣơng trình vi phân thƣờng đóng vai trò quan trọng toán học Các bạn sinh viên quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng Nhƣng biết số phƣơng trình vi phân thƣờng tìm đƣợc nghiệm xác Trong phần lớn phƣơng trình vi phân nảy sinh từ toán thực tiễn không tìm đƣợc nghiệm xác Bởi việc tìm nghiệm phải áp dụng phƣơng pháp gần khác Và phƣơng pháp sử dụng thuật toán Maple để đơn giản toán Với mong muốn học hỏi tích lũy thêm kiến thức cho thân, đồng thời để hiểu thêm phƣơng trình vi phân thƣờng em chọn đề tài: “Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường” Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức số phƣơng pháp đa bƣớc để giải phƣơng trình vi phân thƣờng Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng dụng vào để giải toán Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phƣơng pháp đa bƣớc 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp đa bƣớc giải phƣơng trình vi phân thƣờng cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu số phƣơng pháp đa bƣớc để giải phƣơng trình vi phân thƣờng Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích tổng kết tài liệu Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng 1: Một số kiến thức Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp đa bƣớc để giải phƣơng trình vi phân thƣờng Chƣơng 3: Ứng dụng Maple tính toán SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Chƣơng trình bày số kiến thức số gần sai số, khái quát phƣơng trình vi phân toán Cauchy phƣơng trình vi phân cấp 1.1 Khái niệm số gần 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đƣơng Trong tính toán, ta phải thƣờng làm việc với giá trị gần đại lƣợng Ta nói a số gần a  , a không sai khác a  nhiều Đại lƣợng  : a  a gọi sai số thật a Do a  nên ta  Tuy nhiên, ta tìm đƣợc a  , gọi sai số tuyệt đối a , thỏa mãn điều kiện: a  a  a SVTH Hoàng Thị Thu Hà (1.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hay a  a  a   a  a Đƣơng nhiên, a thỏa mãn điều kiện (1.1) nhỏ tốt Sai số tƣơng đối a  a : a a Ví dụ Giả sử a    ; a  3.14 Do 3.14  a   3.15  3.14  0.01 nên ta lấy a  0.01 Mặt khác, 3.14    3.142  3.14  0.002 coi a  0.002 Ví dụ Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta đƣợc a = 10cm b = 1cm với a  b  0.01 Khi ta có  a  0.01 0.01  1% hay  0.1%  b  10  b  10 a Hiển nhiên phép đo a xác hẳn phép đo b a  b Nhƣ độ xác phép đo phản ánh qua sai số tƣơng đối 1.1.2 Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát nhƣ sau: a     p 10 p   p 110 p 1    p s 10 p s   i   i  p  1; p  s  ;  p  số nguyên Nếu p  s  a số nguyên, p  s  m(m  0) a có phần lẻ gồm m chữ số, SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bằng cách theo đuổi đối số tƣơng tự ta suy phƣơng trình đặc trƣng phƣơng pháp dự báo hiệu chỉnh PEC  E m  P EC  m  z; h     z   h   z   E Mm h  h k    z   z     z   z      Ở đây,  P ( EC )  z; h  đƣợc gọi đa thức ổn định phƣơng pháp m dự báo - hiệu chỉnh PEC m Với lý thuyết dự báo hiệu chỉnh, kiểm tra cách sử dụng tiêu chuẩn Schur tiêu chuẩn Routh - Hurwitz, nhƣ trƣờng hợp phƣơng pháp đa bƣớc nhất, liệu tất nghiệm  P ( EC ) m E  z; h   P EC   z; h  có nằm hình tròn đơn vị m mở z  qua đảm bảo tính ổn định tuyệt đối phƣơng pháp PEC  E PEC tƣơng ứng m m Chẳng hạn, giả sử h  k  , nghĩa  h  1/ k ; đó, limm M m (h)  kết lim  P ( EC ) m  m E  z; h     z; h  , lim  P ( EC )  z; h     z; h  , m  m   z, h     z   h  z  đa thức ổn định phép hiệu chỉnh Điều có nghĩa phƣơng thức phép hiệu chỉnh để hội tụ tính chất ổn định tuyệt đối cùa phƣơng pháp dự báo - hiệu chỉnh riêng phép hiệu chỉnh với h  k  SVTH Hoàng Thị Thu Hà 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3.2 Sự xác phƣơng pháp dự báo - hiệu chỉnh Giả sử phép dự báo P có cấp xác p * phép hiệu chỉnh có cấp xác p Câu hỏi ta muốn nghiên cứu là: độ xác tổng thể phƣơng pháp dự báo - hiệu chỉnh gì? m Xét phƣơng pháp P( EC ) E áp dụng vào toán mô hình (2.17) với m  Ta có  P ( EC )  z; h  E  e ; h     e   h   e   M  h     e   h   e   h m E h h  h m   O  h p 1   M m  h  O h p 1    O h p 1  h p  m1 (̅ { (̅ (̅  h ̅    ) ) ̅ ) m Kết là, biểu thị sai số thu gọn phƣơng pháp PEC  E TnP EC  E , có m ( ) (̅ ) { (̅ ) (̅ ) Điều có nghĩa từ quan điểm xác tổng thể lợi đặc biệt việc sử dụng phép dự báo cấp p  p Thật vậy, miễn SVTH Hoàng Thị Thu Hà 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học p  m  p , phƣơng pháp dự báo - hiệu chỉnh P  EC  E có cấp m xác p Các báo cáo tƣơng tự đƣợc thực phƣơng pháp dự báo - hiệu chỉnh loại PEC m với m  Trong cách viết    z    z      z    z       z   h    z    z      z     z   h   z   Ta suy  P ( EC )  eh ; h   O  h p 1  h P  m  h p  m   m Kết là, miễn p  m  p  phƣơng pháp dự báo - hiệu chỉnh P( EC) m có cấp xác p 2.3.3 Giải toán phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh Xét toán y  f  x, y  với điều kiện ban đầu y  x0   y0 , x0  x  x Quá trình tính nghiệm toán nút xn1 phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh đƣợc thực nhƣ sau: Ta tính đƣợc giá trị y số nút giả sử phƣơng pháp Runge – Kutta, Bước 1: Dùng (2.14) tính giá trị xấp xỉ ban đầu yn01 : yn01  yn  SVTH Hoàng Thị Thu Hà h  55 yn  59 yn1  37 yn2  yn3  24 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bước 2: Tính f n11  f  xn1 , yn01  Bước 3: Dùng (2.15) tính y1n1 y1n 1  yn  h f n11  19 yn  yn 1  yn    24 Bước 4: Nếu đại lƣợng y1n1  yn01 đạt độ xác theo yêu cầu dừng tính yn1 để tính tiếp nút Nếu độ xác chƣa đạt đƣợc tính tiếp từ bƣớc thứ hai Ví dụ Áp dụng phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh tìm nghiệm phƣơng trình y  0,25 y  x2 , y    1 đoạn [0;0,5] với h = 0,1tại điểm x  0,6 ; x  0,7 Lời giải Dựa vào phƣơng pháp Runge – Kutta ta tính đƣợc giá trị tƣơng ứng với i = 0,1,…,5 đƣợc đƣa vào bảng Khi ta có bảng giá trị cần tìm: i xi yi yi  fi 0 -1 0,25 0,1 -0,97528 0,24779 0,2 -0,94978 0,26552 0,3 -0,92154 0,30231 SVTH Hoàng Thị Thu Hà 37 y1n1  yn01 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 0,4 -0,88870 0,35745 0,5 -0,84945 0,43039 0,6 -0,80204 0,52082 0,00001 0,6 -0,80203 0,7 -0,74472 0,62865 0,00001 0,7 -0,74471 Nếu ta chấp nhận sai số 0,00001 bƣớc tính dừng lại nhƣ bảng Ví dụ Áp dụng phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh tìm nghiệm phƣơng trình y  x  y , y  0  1 đoạn [0;1] với h  0, điểm x  1,2 ; x  1, Lời giải Áp dụng phƣơng pháp Runge – Kutta để tính giá trị phía trƣớc áp dụng phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh ta tìm đƣợc bảng giá trị toán nhƣ sau: i xi yi yi  fi 0 -1 0,33333 0,2 -0,80052 0,66082 0,4 -0,55907 0,73664 SVTH Hoàng Thị Thu Hà 38 y1n1  yn01 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 0,6 -0,29760 0,80412 0,8 -0,01359 0,89449 0,30344 1,03069 1,2 0,52874 1,18863 0,00353 1,2 0,52521 1,18739 0,00009 1,2 0,52512 1,4 0,77817 1,38507 0,00343 1,4 0,78160 1,38685 0,00014 1,4 0,78174 1,38692 1,4 0,78174 SVTH Hoàng Thị Thu Hà 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Chƣơng ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Sử dụng Maple V tìm đƣợc nhiều nghiệm nhiều phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình vi phân với điều kiện ban đầu 3.1 Cách sử dụng Để tìm nghiệm phƣơng trình vi phân thƣờng Maple, trƣớc tiên ta khởi động chƣơng trình lệnh: [> restart; Nạp gói công cụ DEtools, sau giải phƣơng trình vi phân thƣờng lệnh: [> with (DEtools); Sau nạp gói công cụ DEtools, ta cần khai báo cho máy chạy dòng lệnh SVTH Hoàng Thị Thu Hà 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học [>dsolve ({deq, x  t0   x0 }; Error, (in pdsolve / sys / info) not an ODE system with respect to the unknows [ x  t  ]; Trong đó, deq (viết tắt differential equation) phƣơng trình vi phân cần giải, x  t  nghiệm, x  t0   x0 điều kiện ban đầu (Khi điều kiện ban đầu, Maple tự động sinh số c1 kết quả) Sau dấu “;” ấn phím “Enter”, hình đáp số, tức nghiệm phƣơng trình vi phân cần giải Sau vào giải số tập để thấy rõ ứng dụng Maple 3.2 Ví dụ Chúng ta sử dụng lệnh [>dsolve (deq, x  t0   x0 , { x  t  }); Ví dụ Dùng thuật toán Maple V để giải phƣơng trình sau: a) y  x  y , b) y  x  y, y  0  1 y 1  c) y  x  y  , SVTH Hoàng Thị Thu Hà y 1  41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học d) y  xy  x2 , y  0  Giải a) Ta thực lệnh sau [> diff_eql:= D  y  x   x  y ; {lệnh để gán cho phƣơng trình cần giải} Sau ấn phím Enter, hình xuất hiện: diff_eql:= D  y  x   x  y [> init_con:= y  0  1 ; {lệnh dùng để nhập điều kiện ban đầu} Sau ấn phím Enter hình xuất hiện: init_con:= y  0  1 [> dsolve ({diff_eql, init_con}, { y  x  }); {lệnh để giải phƣơng trình} Kết quả: y  x    x  b) Ta thực lệnh sau: [> diff_eql2:= D  y  x   x /  y ; [> init_con: = y 1  1; SVTH Hoàng Thị Thu Hà 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học [> dsolve ({diff_eql2, init_con},{ y  x  }); Kết quả: 1 ex y  x   x   2 e c) Ta thực lệnh sau: [> diff_eql3:= D  y  x   x ^  y  ; [> init_con:= y 1  ; [> dsolve ({diff_eql3, init_con},{ y  x  }); Kết quả: y  x    x2  2x   ex e d) Ta thực lệnh sau: [> diff_eql4:= D  y  x    x * y  /sqrt 1  x ^  ; [> init_con:= y  0  ; [> dsolve ({diff_eql4, init_con},{ y  x  });  1 x  Kết quả: y  x  e e Ví dụ Giải phƣơng trình biến số phân ly sau: SVTH Hoàng Thị Thu Hà 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học a) dx  dt t  b) dx   sin t dt Giải a) Thực lệnh sau: [> dsolve ( D  x  t   /  t ^   ,x  t  ); Kết quả: 1  x  t   arctan  t   C1 3  b) Thực lệnh sau: [> dsolve  D  x  t    sin  t  , x  t  ; Kết quả: x  t   t  cos t  C1 Ví dụ Giải phƣơng trình vi phân sau: a) x(t )  t ( x  1) (t  1) x b) x(t )  t ( x3  1) (t  1) x SVTH Hoàng Thị Thu Hà 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Giải a) Thực lệnh [> dsolve  D  x  t    t *  x ^  1  /   t  a  * x  ,x  t  ; x  t   e 2t t  C1  2e t t  C1   e t   C1 Kết quả: b) Thực lệnh [> dsolve  D  x  t    t *  x ^  1  /   t ^  1 * x  ,x  t  ; Kết quả: 1 1  ln  x  t   1  ln  x  t   x  t   1  arctan   x t   1  3  1  ln  t  1  ln  t  1  C1 2 Ví dụ Giải phƣơng trình vi phân dx 4tx  dt t  x Giải Thực lệnh   [> dsolve D  x  t    * t * x  /  t ^  x ^  , x  t  ; SVTH Hoàng Thị Thu Hà 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học  Kết quả: 2t x t   2 x t  C1     Ví dụ Giải phƣơng trình Bernoulli sau t dx  4x  t x dt Giải Thực lệnh   [> dsolve t * D  x  t   * x  t ^ * x, x  t  ; Kết quả: 1 2 t   x t   t e SVTH Hoàng Thị Thu Hà  C1 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học KẾT LUẬN Giải gần phƣơng trình vi phân thƣờng có nhiều cách Nhƣng điều kiện thời gian, trình độ lực hạn chế nên khóa luận em nghiên cứu số phƣơng pháp đa bƣớc nhƣ phƣơng pháp Runge – Kutta, phƣơng pháp Adams, phƣơng pháp dự báo – hiệu chỉnh để giải phƣơng trình vi phân thƣờng Qua trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận em rút nhiều điều bổ ích việc nghiên cứu khoa học Vấn đề nghiên cứu nhiều điều bổ ích lý thú Tuy nhiên lần tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận tốt nghiệp em nhiều điều cần bổ sung Em kính mong nhận đƣợc giúp đỡ thầy cô, nhƣ bạn sinh viên khoa Toán Để hoàn thành khóa luận em nhận đƣợc giúp đỡ nhiệt tình thầy, cô giáo khoa Toán, thầy, cô giáo tổ môn Giải tích bạn sinh viên Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình hƣớng dẫn để em hoàn thành khóa luận cách tốt Em xin chân thành cảm ơn! SVTH Hoàng Thị Thu Hà Khóa luận tốt nghiệp Đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2002), Giải tích số Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Anh Bảo – Nguyễn Văn Khải – Phạm Văn Kiều – Ngô Xuân Sơn (2002), Giải tích số Nhà xuất Đại học Sƣ phạm [3] Nguyễn Minh Chƣơng – Nguyễn Văn Khải – Khuất Văn Ninh – Nguyễn Văn Tuấn – Nguyễn Tƣờng (2001), Giải tích số Nhà xuất Giáo dục [4] Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành (tập 1) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] Endre S li ( Octorber 18, 2014), Numerical Solution of Ordinary Differential Equations Mathematical Institute, University of Oxford SVTH Hoàng Thị Thu Hà ... đề tài: Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức số phƣơng pháp đa bƣớc để giải phƣơng trình vi phân thƣờng... nghiệp Để nghiên cứu hoàn thành đề tài em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài Một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân thường kết vi c... 1.3 Một số kiến thức phƣơng trình vi phân thƣờng 1.3.1 Khái niệm phƣơng trình vi phân thƣờng cấp 1.3.2 Bài toán Cauchy phƣơng trình vi phân thƣờng cấp Chương 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP ĐA BƢỚC