Một số phương pháp số giải gần đúng phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THỊ CHINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THỊ CHINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội - Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Vũ Thị Chinh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Một số phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Vũ Thị Chinh Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Khái niệm số gần 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 1.1.2 Sai số thu gọn 1.1.3 Một số toán ước lượng sai số Sai phân tính chất sai phân 1.2.1 Định nghĩa sai phân 1.2.2 Các tính chất sai phân 10 1.2.3 Hệ 14 Khái quát phương trình vi phân 15 1.3.1 Một số khái niệm 15 1.3.2 Bài toán Cauchy phương trình vi phân cấp PHƯƠNG PHÁP EULER 16 18 2.1 Nguồn gốc phương pháp Euler 18 2.2 Phương pháp Euler 19 2.3 Sai số phương pháp θ 30 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Tổng quát phương pháp bước PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA 3.1 33 41 Phương pháp Runge - Kutta 41 3.1.1 Phương pháp Runge – Kutta bậc 42 3.1.2 Phương pháp Runge – Kutta bậc hai 42 3.1.3 Phương pháp Runge – Kutta bậc ba 44 3.1.4 Phương pháp Runge – Kutta bậc bốn 47 Tính ổn định tuyệt đối phương pháp Runge – Kutta 51 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 3.2 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Thoạt đầu, Toán học phát sinh nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với phát triển nội Toán học ngành khoa học khác, Toán học chia thành hai lĩnh vực: Toán học lí thuyết Toán học ứng dụng Trong lĩnh vực Toán ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân thường Vì việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lý thuyết Toán học Chúng ta biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác, phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ toán thực tiễn không tìm nghiệm xác Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phương trình vi phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà Toán học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Dưới góc độ sinh viên chuyên ngành Toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp, hướng dẫn tận tình PGS.TS Khuất Văn Ninh, em xin trình bày hiểu biết vấn đề: “Một số phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường” Em sâu vào nghiên cứu hai phương pháp số: phương pháp Euler phương pháp Runge – Kutta Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu khái quát kiến thức bản, nghiên cứu phương pháp số để giải phương trinh vi phân Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Khóa luận gồm ba chương Chương " Kiến thức chuẩn bị" Chương nhắc lại số kiến thức số gần sai số, khái quát phương trình vi phân toán Cauchy phương trình vi phân cấp Chương "Phương pháp Euler" Mục đích chương trình bày số phương pháp Euler ứng dụng giải gần phương trình vi phân thường Chương "Phương pháp Runge - Kutta" Mục đích chương trình bày phương pháp Runge - Kutta ứng dụng giải gần phương trình vi phân thường Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức số gần sai số, khái quát phương trình vi phân toán Cauchy phương trình vi phân cấp 1.1 Khái niệm số gần 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong nhiều toán, xác định giá trị xác đại lượng mà làm việc với số gần Độ lệch giá trị xác giá trị gần gọi sai số Việc đánh giá sai số cho ta đánh giá chất lượng việc giải toán Nghiên cứu đánh giá sai khác yêu cầu bắt buộc ta sử dụng số gần vào tính toán việc giải toán Định nghĩa Số a gọi số gần số xác A xấp xỉ A Ta kí hiệu a ≈ A Định nghĩa Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thực số gần a Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Trong thực tế, không tính A, ta cần tìm số dương ∆a bé tốt thỏa mãn |a − A| ≤ ∆a (1.1) Định nghĩa ∆a gọi sai số tuyệt đối số gần a Kí hiệu A = a ± ∆a Định nghĩa Sai số tương đối số gần a số dương δa tính theo công thức δa = ∆a \ |a| Ví dụ Giả sử A = π, a = 3.14 số gần π Hãy xác định sai số? Giải Ta có π = 3.14159265358979323846264338327 ⇒ 3.14 − 0.01 < π < 3.14 + 0.01 ⇒ |3.14 − π| < 0.01 ⇒ ∆a = 0.01, δa = 3, 18.10−3 Mặt khác 3.14 − 0.002 < π < 3.14 + 0.002 ⇒ ∆a = 0.002, δa = 6, 37.10−3 Kết luận: giá trị gần có nhiều sai số tuyệt đối khác nhau, ví dụ sai số 0.002 tốt Trong tính toán ta thường gặp loại sai số sau: • Sai số giả thiết – Do mô hình hóa, lý tưởng hóa toán thực tế Sai số không loại trừ • Sai số phương pháp – Các toán thường gặp phức tạp, giải mà phải sử dụng phương pháp gần Chương PHƯƠNG PHÁP RUNGE KUTTA Chương trình bày phương pháp Runge - Kutta ứng dụng giải gần phương trình vi phân thường 3.1 Phương pháp Runge - Kutta Phương pháp Runge – Kutta có độ xác cao, khác với phương pháp Euler, đánh giá lại f (., ) điểm trung gian (xn , y (xn )) (xn+1 , y (xn+1 )) Họ phương pháp Runge – Kutta bậc – R tổng quát định nghĩa yn+1 = yn + hΦ (xn , yn ; h) , R Φ (x, y; h) = cr kr , r=1 k1 = f (x, y) , 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán r−1 kr = f x + har , y + h brs ks , r = 2, , R, (3.1) s=1 r−1 ar = brs , r = 2, , R s=1 3.1.1 Phương pháp Runge – Kutta bậc Giả sử R = Khi đó, phương pháp Runge – Kutta bậc phương pháp Euler yn+1 = yn + hf (xn , yn ) 3.1.2 (3.2) Phương pháp Runge – Kutta bậc hai Tiếp theo, xét trường hợp R = 2, tương ứng với điều kiện sau phương pháp yn+1 = yn + h (c1 k1 + c2 k2 ) , (3.3) k1 = f (xn , yn ) , (3.4) k2 = f (xn + a2 h, yn + b21 hk1 ) , (3.5) tham số c1 , c2 , a2 , b21 xác định Rõ ràng (3.3 – 3.5) viết lại dạng (2.23) họ phương pháp bước Do điều kiện (2.27), phương pháp từ dãy thích hợp c1 + c2 = 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Hơn điều kiện tham số thu cách cố gắng tối đa hóa cấp xác phương pháp Thật vậy, mở rộng sai số thu gọn (3.3 – 3.5) khả h, sau số phân tích đại số ta thu 1 Tn = hy (xn ) + h2 y (xn ) − c2 h [a2 fx + b21 fy f ] −c2 h2 1 a2 fxx + a2 b21 fxy f + b221 fyy f + O h3 2 ∂f (xn , y (xn )) ∂x cho f với Ở ta sử dụng chữ viết tắt f = f (xn , y (xn )) , fx = Nhưng lưu ý y = fx + fy f , Tn = O h2 điều kiện a2 c2 = b21 c2 = , hàm ý b21 = a2 , c2 = 1/ (2a2 ), c1 = − 1/ (2a2 ) phương pháp có cấp xác hai; a2 tham số tự Hai ví dụ phương pháp Runge – Kutta bậc hai dạng (3.3 – 3.5) Phương pháp Euler sửa đổi: Trong trường hợp ta lấy a) a2 = để có yn+1 = yn + hf b) 1 xn + h, yn + hf (xn , yn ) , 2 Phương pháp Euler cải tiến: điều có cách chọn a2 = 1 yn+1 = yn + h [f (xn , yn ) + f (xn + h, yn + hf (xn , yn ))] 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Đối với hai phương pháp người ta dễ dàng xác nhận nhờ khai triển Taylor Sai số thu gọn có dạng tương ứng 1 Tn = h2 fy F1 + F2 + O h3 , 1 Tn = h2 fy F1 − F2 + O h3 , F1 = fx + f fy , F2 = fxx + 2f fxy + f fyy (3.3 – 3.5) gọi phương pháp Runge – Kutta bậc hai 3.1.3 Phương pháp Runge – Kutta bậc ba Bây giả sử R = để minh hoạ khái niệm tổng quát Ta xét dãy yn+1 = yn + h [c1 k1 + c2 k2 + c3 k3 ] , k1 = f (x, y) , k2 = f (x + ha2 , y + hb21 k1 ) , k3 = f (x + ha3 , y + hb31 k1 + hb32 k2 ) , a2 = b21 , a3 = b31 + b32 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Viết lại b21 = a2 , b31 = a3 − b32 định nghĩa k2 k3 , nhờ công thức Taylor (x, y) cho k2 k3 ta có k2 = f + ha2 (fx + k1 fy ) + h2 a22 fxx + 2k1 fxy + k12 fyy + O h3 2 = f + ha2 (fx + f fy ) + h a2 fxx + 2f fxy + f fyy + O h3 2 = f + ha2 F1 + h a2 F2 + O h3 , F1 = fx + f fy , F2 = fxx + 2f fxy + f fyy , k3 = f + k {a3 fx + [(a3 − b32 ) k1 + b32 k2 ] fy } + h2 {a23 fxx + 2a3 [(a3 − b32 ) k1 + b32 k2 ] fxy + [ (a3 − b32 ) k1 + b32 k2 ]2 fyy } + O h3 = f + ha3 F1 + h2 a2 b32 F1 fy + a23 F2 + O h3 Thay biểu thức k2 k3 vào (3.1) với R = 3, ta thấy Φ (x, y; h) = (c1 + c2 + c3 ) f + h (c2 a2 + c3 a3 ) F1 + h2 2c3 a2 b32 F1 fy + c2 a22 + c3 a23 F2 + O h3 Ta kết hợp điều với công thức Taylor y (x + h) ta có y (x + h) − y (x) 1 = y (x) + hy (x) + h2 y (x) + O h3 h 1 = f + hF1 + h (F1 fy + F2 ) + O h3 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Suy c1 + c2 + c3 = 1, c2 a2 + c3 a3 = , c2 a22 + c3 a23 = , c3 a2 b32 = Giải hệ bốn phương trình cho sáu ẩn số: c1 , c2 , c3, a2 , a3 , b32 , ta có họ hai tham số phương pháp Runge – Kutta bậc ba Ta nhấn mạnh hai ví dụ đáng ghi nhận hệ thống (i) Phương pháp Heun tương ứng 2 c1 = , c2 = 0, c3 = , a2 = , a3 = , b32 = , 4 3 Suy yn+1 = yn + h (k1 + 3k3 ) , k1 = f (xn , yn ) , k2 = f k3 = f (ii) xn + h, yn + xn + h, yn + hk1 , hk2 Phương pháp Runge – Kutta cấp ba tiêu chuẩn 1 c1 = , c2 = , c3 = , a2 = , a3 = 1, b32 = 2, 6 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Suy yn+1 = yn + h (k1 + 4k2 + k3 ) , k1 = f (xn , yn ) , k2 = f 1 xn + h, yn + hk1 , 2 k3 = f (xn + h, yn − hk1 + 2hk2 ) 3.1.4 Phương pháp Runge – Kutta bậc bốn Cho R = 4, công thức phương pháp Runge – Kutta bậc bốn có dạng yn+1 = yn + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) , k1 = f (xn , yn ) , k2 = f k3 = f xn + h, yn + xn + h, yn + hk1 , hk2 , k4 = f (xn + h, yn + hk3 ) Ở k2 k3 thể phép xấp xỉ đạo hàm y (.) điểm đường cong nghiệm, trung gian (xn , y (xn )) (xn+1 , y (xn+1 )) Φ (xn , yn ; h) với trọng số trung bình ki , i = 1, , 4, trọng số tương ứng phù hợp với quy tắc phương pháp Simpson (mà phương pháp Runge ∂f – Kutta cấp bốn giảm ≡ 0) ∂y 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Ở phần này, ta xác định phương pháp Runge – Kutta bậc – R với cấp xác định O hR , R = 1, 2, 3, Hỏi cách tự nhiên liệu có tồn phương pháp bậc R cấp R với R ≥ Trả lời cho câu hỏi phủ định: loạt công trình John Butcher cho thấy R = 5, 6, 7, 8, cấp cao đạt phương pháp Runge – Kutta bậc R 4, 5, 6, 6, R ≥ 10 theo cấp cao ≤ R − Ví dụ 10 Tìm nghiệm gần phương trình y = x + y với điều kiện ban đầu y (0) = khoảng x ∈ [0, 0.4] với bước h = 0.1 phương pháp Runge – Kutta Giải Từ công thức ta có bảng sau i xi yi k = hf (xi , yi ) x0 y0 h x0 + h x0 + x0 + h k y0 + (0) k2 y0 + (0) y0 + k3 ∆yi (0) k1 (0) (0) 2k2 (0) 2k3 (0) k4 k1 (0) (0) k2 (0) k3 (0) k4 x1 = x0 + h y1 = y0 + ∆y0 (1) k1 Áp dụng vào cho ví dụ với h = 0.1 ta có bảng kết sau 48 = ∆y0 (1) k1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học i Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán xi yi k = h (xi , yi ) ∆yi 0.1000 0.1000 0.05 1.05 0.1100 0.2200 0.05 1.055 0.1105 0.2210 0.1 1.1105 0.1210 0.1210 0.1 = 0.1103 1.1103 0.1210 0.1210 0.15 1.1708 0.1321 0.2642 0.15 1.1763 0.1326 0.2652 0.2 0.1443 0.1443 1.2429 0.2 = 0.1324 1.2427 0.1443 0.1443 0.25 1.3149 0.1565 0.3130 0.25 1.3209 0.1571 0.3142 0.3 0.1700 0.1700 1.3998 0.3 = 0.1569 1.3996 0.1700 0.1700 0.35 1.4846 0.1835 0.3670 0.35 1.4914 0.1841 0.3682 0.4 0.1984 0.1984 1.5837 0.4 = 0.1839 1.5835 Các nghiệm gần tìm y0 = 1, y1 = 1.1103, y2 = 1.2427, y3 = 1.3996, y4 = 1.5835 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Ví dụ 11 Sử dụng phương pháp Runge – Kutta tìm nghiệm phương trình y = 0.25y + x2 Với y (0) = −1, x ∈ [0, 0.3] , chọn h = 0.1 Giải Áp dụng bảng công thức cho ví dụ ta i xi yi k = h (xi , yi ) ∆yi -1 0.025 0.025 0.05 -0.98750 0.024629 0.049258 0.05 -0.98769 0.024638 0.049276 0.1 0.024783 0.024783 -0.97536 0.02472 0.1 -0.97528 0.024779 0.024779 0.15 -0.96289 0.025429 0.050858 0.15 -0.96257 0.025413 0.050826 0.2 0.026557 0.026557 -0.94987 0.02550 0.2 -0.94978 0.026553 0.026553 0.25 -0.93650 0.028176 0.056352 0.25 -0.93569 0.028138 0.056276 0.3 0.030236 0.030236 -0.92164 0.02824 0.3 -0.92428 0.030357 0.030357 Các giá trị gần tìm y0 = −1, y1 = −0.97528, y2 = −0.94978, y3 = −0.92428 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Tính ổn định tuyệt đối phương pháp Runge – Kutta Xét toán mô hình y = λy, y (0) = yo (= 0) , (3.6) Với λ thực âm Bằng cách thông thường, ta tìm nghiệm cho toán giá trị ban đầu y (x) = y0 exp (λx), hội tụ đến theo cấp số mũ x → +∞ Câu hỏi muốn khảo sát điều kiện kích thước h để phương pháp Runge – Kutta mô tả tính chất Sự hiểu biết vấn đề cung cấp thông tin hữu ích lựa chọn tương thích h số xấp xỉ toán giá trị ban đầu phương pháp Runge – Kutta đoạn [x0 , XM ] với XM x0 Để cho đơn giản, hạn chế trường hợp phương pháp Runge – Kutta bậc R với cấp xác R, với ≤ R ≤ Hãy bắt đầu với R = ¯ yn , yn+1 = + h n ≥ 0, ¯ = λh Như vậy, h ¯ n y0 yn = + h ¯ Do đó, dãy {yn }∞ n=0 hội tụ + h < 1, suy ¯ ∈ (−2, 0); cho h phương pháp Euler cho hoàn toàn h ổn định khoảng (−2, 0) khoảng ổn định tuyệt đối phương pháp Bây giờ, xét R = tương ứng với cấp hai phương pháp Runge – 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vũ Thị Chinh - K39A Sư phạm Toán Kutta bậc hai yn+1 = yn + h (c1 k1 + c2 k2 ) , k1 = f (xn , yn ) , k2 = f (xn + a2 h, yn + b21 hk1 ) với a2 c2 = b21 c2 = c1 + c2 = 1, Áp dụng điều từ (3.6) ta có, ¯ yn , ¯ + 1h 1+h yn+1 = ¯ + 1h ¯2 1+h yn = n ≥ 0, n y0 Do phương pháp ổn định ¯ < 1, ¯ + 1h 1+h ¯ ∈ (−2, 0) cụ thể h Trong trường hợp R = ta có yn+1 = ¯ + 1h ¯2 + 1+h ¯3 h yn Đòi hỏi khắt khe ¯ + 1h ¯2 + 1+h 52 ¯3 h