Phương pháp runge-kutta giải gần đúng hệ phương trình vi phân đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HUY BÌNH PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Minh Phản biên 1: TS Nguyễn Anh Tuấn Phản biên 2: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 18 tháng 11 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân thường cấp 1.1.1 Vài mô hình đơn giản 1.1.2 Một số khái niệm 1.1.3 Bài toán Cauchy 1.1.4 Sự tồn nghiệm 1.1.5 Phân loại nghiệm phương trình vi phân 1.2 Một số khái niệm hệ phương trình vi phân đại số 1.3 Phân loại hệ phương trình vi phân đại số ([4]) 1.3.1 Các hệ phương trình vi phân đại số phi tuyến 1.3.2 Các hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính 1.3.3 Các hệ phương trình vi phân đại số bán tường minh 1.3.4 Hệ phương trình vi phân đại số ẩn hoàn toàn 1.3.5 Ví dụ 1.4 Chỉ số hệ phương trình vi phân đại số ([2],[11]) PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 2.1 Phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường ([1]) 2.1.1 Phương pháp Runge - Kutta 2.1.2 Phương pháp Euler 2.1.3 Phương pháp Euler cải tiến 2.1.4 Công thức RK4 2.2 Phương pháp số cho hệ phương trình vi phân đại số 2.2.1 Nhận xét 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 10 11 14 14 14 14 14 15 16 21 21 21 22 22 23 24 24 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.2 2.3 2.4 2.5 Công thức lấy vi ngược (BDF) cho hệ phương trình vi phân đại số Phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số 2.3.1 Phương pháp Runge-Kutta 2.3.2 Các phương pháp Runge-Kutta ẩn ([8],[9]) 2.3.3 Tóm tắt kết hội tụ 2.3.4 Các phương pháp nhiễu đơn 2.3.5 Các phương pháp bán tường minh Sự hội tụ toán số 2.4.1 Giải phương trình vi phân thường tương đương 2.4.2 Phương pháp tiếp cận trực tiếp 2.4.3 Sự hội tụ 2.4.4 Khai triển tiệm cận sai số toàn cục Phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số cách tiếp cận 2.5.1 Giới thiệu 2.5.2 Cách tiếp cận 2.5.3 Sự hội tụ hệ phương trình vi phân đại số chuyển sang hệ số 2.5.4 Sự co 25 26 26 28 29 31 34 35 35 36 37 38 40 40 43 48 51 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 52 3.1 Ví dụ giải gần phương trình vi phân thường (ODE) 52 3.2 Ví dụ giải gần hệ phương trình vi phân đại số (DAE) cài đặt Matlab 55 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Hệ phương trình vi phân đại số lớp phương trình có ý nghĩa ứng dụng thực tế cao, xuất lý thuyết điều khiển, mô mạch điện, phản ứng hóa học vấn đề điều khiển đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình dạng: A(t)x + B(t)x + f (t) = A, B ma trận ma trận hàm liên tục cấp n, detA(t) = 0, gọi hệ phương trình vi phân đại số (chú ý det A(t) = đưa dạng: x = −A−1 B(x) phương trình vi phân thường) Lý thuyết phương trình vi phân thường Newton-Leibnitz xây dựng vào cuối kỷ 17 nghiên cứu, phát triển mở rộng theo nhiều hướng thu nhiều kết hoàn chỉnh Hệ phương trình vi phân đại số đóng vai trò quan trọng lĩnh vực như: Toán hoc, kĩ thuật, vật lí, kinh tế số ngành khác Nội dung luận văn nhằm giải hai vấn đề chính: Vấn đề 1: Những khái niệm hệ phương trình vi phân đại số Vấn đề 2: Đưa phương pháp Runge-Kutta giải gần phương trình vi phân đại số ứng dụng phương pháp giải toán cụ thể Luận văn chia làm ba chương Chương 1: Các khái niệm hệ phương trình vi phân đại số Nội dung chương trình bày tóm tắt số kết biết phương trình vi phân thường, số khái niệm hệ phương trình vi phân đại số: Chỉ số, nghiệm, phân loại, toán dẫn đến hệ phương trình vi phân đại số Chương 2: Phương pháp Runge-Kutta giải gần hệ phương trình vi phân đại số Nội dung chương nhắc lại phương pháp số để giải gần phương trình vi phân thường, phương pháp số cho hệ phương trình vi phân đại số có phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số, cách tiếp cận phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3: Thực với ví dụ cụ thể Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Minh Tác giả xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phản biện đọc góp ý để tác giả hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, thầy cô giáo trường Đại học Khoa học- Đại hoc Thái Nguyên Những thầy cô tận tình dạy bảo cho tác giả suốt thời gian học Đã trang bị cho tác giả tập thể lớp kiến thức tạo điều kiện cho lớp học tập trường Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu sót định, tác giả mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn Thái Nguyên, ngày 20 tháng 09 năm 2012 Tác giả Vũ Huy Bình 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 1.1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân thường cấp Vài mô hình đơn giản Sự rơi tự do: Xét vật có khối lượng m thả rơi tự khí gần mặt đất Theo định luật II Newton, chuyển động vật thể mô tả phương trình F = ma (1.1.1) Trong F hợp lực tác động lên vật a gia tốc chuyển động Hợp lực F giả thiết bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng vật hướng xuống) lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển động hướng dv nên (1.1.1) viết lên trên) Ngoài gia tốc chuyển động a = dt dạng m dv = mg − αv dt (1.1.2) Trong g ≈ 9, 8m s2 gia tốc trọng trường, α hệ số cản Vậy vận tốc v vật rơi tự thỏa mãn phương trình (1.1.2) với xuất đạo hàm v Những phương trình gọi phương trình vi phân 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dung dịch hóa học: Giả sử thời điểm ban đầu t = t0 thùng chứa x0 kg muối hòa tan 1000 lít nước Ta cho chảy vào thùng loại nước muối nồng độ a (kg/lít) với lưu lượng r (lít/phút) khuấy Đồng thời cho hốn hợp chảy khỏi thùng với tốc độ Gọi x = x(t) lượng muối thùng thời điểm Rõ ràng tỷ dx hiệu tỷ lệ muối chảy vào lệ thay đổi lượng muối thùng dt rx (kg/phút) trừ tỷ lệ muối chảy thời điểm xét (kg/phút) 1000 Vậy ta có phương trình vi phân rx dx = ar − dt 1000 (1.1.3) với kiện ban đầu x(t0 ) = x0 1.1.2 Một số khái niệm Phương trình vi phân phương trình có dạng F (x, y, y , y , , y (n) ) = (1.1.4) Trong y = y(x) ẩn hàm cần tìm thiết phải có tham gia đạo hàm (đến cấp đó) ẩn Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm hàm nhiều biến (xuất đạo hàm riêng) phương trình vi phân gọi phương trình đạo hàm riêng Để phân biệt người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm hàm biến phương trình vi phân thường đối tượng nói mục Thông thường ta xét phương trình với ẩn hàm hàm số biến thực y = y(x) xác định khoảng mở I ⊂ R, hàm F đẳng thức xác định tập mở G R × Rn+1 Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm véc tơ hàm (hàm với giá trị véc tơ) y(x) = (y1 (x), , ym (x))T ∈ Rm , F ánh xạ nhận giá trị Rm (1.1.4) hiểu hệ phương trình vi phân Ta nói phương trình vi phân có cấp n n cấp lớn đạo hàm ẩn xuất phương trình Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát F (x, y, y ) = F (x, y, y ) giả thiết liên tục với đạo hàm riêng miền G ⊂ R3 Với số giả thiết thích hợp, phương trình vi phân 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thường cấp I viết dạng sau (gọi dạng giải đạo hàm) y = f (x, y) (1.1.5) với f liên tục miền D ⊂ R2 Ví dụ: Các phương trình ey + ey cosx = (y )2 − 2xy = ln x ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y phương trình vi phân thường cấp I, cấp III phương trình đạo hàm riêng cấp II 1.1.3 Bài toán Cauchy Nghiệm phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào hay nhiều số tùy ý Để xác định nghiệm cụ thể, ta cần thêm hay vài kiện nghiệm (tùy theo cấp phương trình x3 + C nghiệm tổng quát phương trình vi phân) Chẳng hạn, y = x3 y = x2 Dễ thấy y = + nghiệm (duy nhất) thỏa mãn y(0) = Ta xét toán sau đặt phương trình F (x, y, y ) = 0, gọi toán Cauchy (hay toán giá trị ban đầu): Bài toán y(x) thỏa y = f (x, y) y(x0 ) = y0 (1.1.6) (x0 , y0 ) ∈ D gọi điều kiện ban đầu Chú ý: Không phải lúc toán Cauchy có nghiệm, có nghiệm không thiết có nghiệm Chẳng hạn phương x3 trình y = x2 , y(0) = có nghiệm y = phương trình xy = y, y(0) = nghiệm nào, phương trình y = y 1/3 , y(0) = có hai nghiệm y ≡ y = x3 27 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Sự tồn nghiệm Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f (x, y) xác định miền D ⊂ R2 ta nói hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y D tồn số dương L (gọi số Lipschitz) cho: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2 | với (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D Nhận xét: Điều kiện Lipschitz yếu so với điều kiện giới nội đạo ∂f ∂f ∂f hàm riêng D Thật giả sử liên tục ≤ L ∂y ∂y ∂y Khi áp dụng định lý Lagrange cho hàm f (x, y) theo biến y ta f (x, y1 ) − f (x, y2 ) = (y1 − y2 ) ∂f [x, y1 + θ(y2 − y1 )] ∂y Định lý 1.1.2 (3) (Định lý tồn nghiệm) Giả sử hàm số f (x, y) (1.1.6) liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y hình chữ nhật D = (x, y) ∈ R2 / |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b Khi nghiệm toán Cauchy(1.1.6) tồn b đoạn I := [x0 − h, x0 + h], với h := min(a, ) M := max |f (x, y)| (x,y)∈D M Chứng minh Sự tồn Chứng minh phép lặp Picard hội tụ I đến nghiệm toán Cauchy Trước tiên ta chứng minh quy nạp − x0 | k+1 |yk+1 (x) − yk (x)| ≤ M L , với x ∈ I (k + 1)! k |x x f (t, y0 (t))dt ≤ M |x − x0 | với k=0, bất đẳng thức x0 bất đẳng thức 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 1.4 Chỉ số hệ phương trình vi phân đại số ([2],[11]) PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 2.1 Phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường ([1])... vi phân đại số Chương 2: Phương pháp Runge-Kutta giải gần hệ phương trình vi phân đại số Nội dung chương nhắc lại phương pháp số để giải gần phương trình vi phân thường, phương pháp số cho hệ phương. .. phương trình vi phân đại số có phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số, cách tiếp cận phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại