Phương pháp runge kutta giải gần đúng hệ phương trình vi phân đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ HUY BÌNH PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Minh Phản biên 1: TS Nguyễn Anh Tuấn Phản biên 2: TS Nguyễn Thị Thu Thủy Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 18 tháng 11 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện Đại học Thái Nguyên 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân thường cấp 1.1.1 Vài mơ hình đơn giản 1.1.2 Một số khái niệm 1.1.3 Bài toán Cauchy 1.1.4 Sự tồn nghiệm 1.1.5 Phân loại nghiệm phương trình vi phân 1.2 Một số khái niệm hệ phương trình vi phân đại số 1.3 Phân loại hệ phương trình vi phân đại số ([4]) 1.3.1 Các hệ phương trình vi phân đại số phi tuyến 1.3.2 Các hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính 1.3.3 Các hệ phương trình vi phân đại số bán tường minh 1.3.4 Hệ phương trình vi phân đại số ẩn hồn tồn 1.3.5 Ví dụ 1.4 Chỉ số hệ phương trình vi phân đại số ([2],[11]) PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 2.1 Phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường ([1]) 2.1.1 Phương pháp Runge - Kutta 2.1.2 Phương pháp Euler 2.1.3 Phương pháp Euler cải tiến 2.1.4 Công thức RK4 2.2 Phương pháp số cho hệ phương trình vi phân đại số 2.2.1 Nhận xét 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 10 11 14 14 14 14 14 15 16 21 21 21 22 22 23 24 24 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.2 2.3 2.4 2.5 Công thức lấy vi ngược (BDF) cho hệ phương trình vi phân đại số Phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số 2.3.1 Phương pháp Runge-Kutta 2.3.2 Các phương pháp Runge-Kutta ẩn ([8],[9]) 2.3.3 Tóm tắt kết hội tụ 2.3.4 Các phương pháp nhiễu đơn 2.3.5 Các phương pháp bán tường minh Sự hội tụ toán số 2.4.1 Giải phương trình vi phân thường tương đương 2.4.2 Phương pháp tiếp cận trực tiếp 2.4.3 Sự hội tụ 2.4.4 Khai triển tiệm cận sai số toàn cục Phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số cách tiếp cận 2.5.1 Giới thiệu 2.5.2 Cách tiếp cận 2.5.3 Sự hội tụ hệ phương trình vi phân đại số chuyển sang hệ số 2.5.4 Sự co 25 26 26 28 29 31 34 35 35 36 37 38 40 40 43 48 51 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 52 3.1 Ví dụ giải gần phương trình vi phân thường (ODE) 52 3.2 Ví dụ giải gần hệ phương trình vi phân đại số (DAE) cài đặt Matlab 55 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Hệ phương trình vi phân đại số lớp phương trình có ý nghĩa ứng dụng thực tế cao, xuất lý thuyết điều khiển, mơ mạch điện, phản ứng hóa học vấn đề điều khiển đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình dạng: A(t)x + B(t)x + f (t) = A, B ma trận ma trận hàm liên tục cấp n, detA(t) = 0, gọi hệ phương trình vi phân đại số (chú ý det A(t) = đưa dạng: x = −A−1 B(x) phương trình vi phân thường) Lý thuyết phương trình vi phân thường Newton-Leibnitz xây dựng vào cuối kỷ 17 nghiên cứu, phát triển mở rộng theo nhiều hướng thu nhiều kết hồn chỉnh Hệ phương trình vi phân đại số đóng vai trị quan trọng lĩnh vực như: Tốn hoc, kĩ thuật, vật lí, kinh tế số ngành khác Nội dung luận văn nhằm giải hai vấn đề chính: Vấn đề 1: Những khái niệm hệ phương trình vi phân đại số Vấn đề 2: Đưa phương pháp Runge-Kutta giải gần phương trình vi phân đại số ứng dụng phương pháp giải toán cụ thể Luận văn chia làm ba chương Chương 1: Các khái niệm hệ phương trình vi phân đại số Nội dung chương trình bày tóm tắt số kết biết phương trình vi phân thường, số khái niệm hệ phương trình vi phân đại số: Chỉ số, nghiệm, phân loại, toán dẫn đến hệ phương trình vi phân đại số Chương 2: Phương pháp Runge-Kutta giải gần hệ phương trình vi phân đại số Nội dung chương nhắc lại phương pháp số để giải gần phương trình vi phân thường, phương pháp số cho hệ phương trình vi phân đại số có phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số, cách tiếp cận phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3: Thực với ví dụ cụ thể Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Minh Tác giả xin tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo phản biện đọc góp ý để tác giả hồn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Ban Giám hiệu, thầy cô giáo trường Đại học Khoa học- Đại hoc Thái Ngun Những thầy tận tình dạy bảo cho tác giả suốt thời gian học Đã trang bị cho tác giả tập thể lớp kiến thức tạo điều kiện cho lớp học tập trường Dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót định, tác giả mong nhận góp ý thầy giáo bạn Thái Nguyên, ngày 20 tháng 09 năm 2012 Tác giả Vũ Huy Bình 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 1.1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân thường cấp Vài mơ hình đơn giản Sự rơi tự do: Xét vật có khối lượng m thả rơi tự khí gần mặt đất Theo định luật II Newton, chuyển động vật thể mơ tả phương trình F = ma (1.1.1) Trong F hợp lực tác động lên vật a gia tốc chuyển động Hợp lực F giả thiết bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng vật hướng xuống) lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển động hướng dv nên (1.1.1) viết lên trên) Ngồi gia tốc chuyển động a = dt dạng m dv = mg − αv dt (1.1.2) Trong g ≈ 9, 8m s2 gia tốc trọng trường, α hệ số cản Vậy vận tốc v vật rơi tự thỏa mãn phương trình (1.1.2) với xuất đạo hàm v Những phương trình gọi phương trình vi phân 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dung dịch hóa học: Giả sử thời điểm ban đầu t = t0 thùng chứa x0 kg muối hịa tan 1000 lít nước Ta cho chảy vào thùng loại nước muối nồng độ a (kg/lít) với lưu lượng r (lít/phút) khuấy Đồng thời cho hốn hợp chảy khỏi thùng với tốc độ Gọi x = x(t) lượng muối thùng thời điểm Rõ ràng tỷ dx hiệu tỷ lệ muối chảy vào lệ thay đổi lượng muối thùng dt rx (kg/phút) trừ tỷ lệ muối chảy thời điểm xét (kg/phút) 1000 Vậy ta có phương trình vi phân rx dx = ar − dt 1000 (1.1.3) với kiện ban đầu x(t0 ) = x0 1.1.2 Một số khái niệm Phương trình vi phân phương trình có dạng F (x, y, y , y , , y (n) ) = (1.1.4) Trong y = y(x) ẩn hàm cần tìm thiết phải có tham gia đạo hàm (đến cấp đó) ẩn Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm hàm nhiều biến (xuất đạo hàm riêng) phương trình vi phân cịn gọi phương trình đạo hàm riêng Để phân biệt người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm hàm biến phương trình vi phân thường đối tượng nói mục Thơng thường ta xét phương trình với ẩn hàm hàm số biến thực y = y(x) xác định khoảng mở I ⊂ R, hàm F đẳng thức xác định tập mở G R × Rn+1 Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm véc tơ hàm (hàm với giá trị véc tơ) y(x) = (y1 (x), , ym (x))T ∈ Rm , F ánh xạ nhận giá trị Rm (1.1.4) hiểu hệ phương trình vi phân Ta nói phương trình vi phân có cấp n n cấp lớn đạo hàm ẩn xuất phương trình Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát F (x, y, y ) = F (x, y, y ) giả thiết liên tục với đạo hàm riêng miền G ⊂ R3 Với số giả thiết thích hợp, phương trình vi phân 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thường cấp I viết dạng sau (gọi dạng giải đạo hàm) y = f (x, y) (1.1.5) với f liên tục miền D ⊂ R2 Ví dụ: Các phương trình ey + ey cosx = (y )2 − 2xy = ln x ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y phương trình vi phân thường cấp I, cấp III phương trình đạo hàm riêng cấp II 1.1.3 Bài tốn Cauchy Nghiệm phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào hay nhiều số tùy ý Để xác định nghiệm cụ thể, ta cần thêm hay vài kiện nghiệm (tùy theo cấp phương trình x3 + C nghiệm tổng quát phương trình vi phân) Chẳng hạn, y = x3 y = x2 Dễ thấy y = + nghiệm (duy nhất) thỏa mãn y(0) = Ta xét tốn sau đặt phương trình F (x, y, y ) = 0, gọi toán Cauchy (hay toán giá trị ban đầu): Bài toán y(x) thỏa y = f (x, y) y(x0 ) = y0 (1.1.6) (x0 , y0 ) ∈ D gọi điều kiện ban đầu Chú ý: Khơng phải lúc tốn Cauchy có nghiệm, có nghiệm khơng thiết có nghiệm Chẳng hạn phương x3 trình y = x2 , y(0) = có nghiệm y = phương trình xy = y, y(0) = khơng có nghiệm nào, phương trình y = y 1/3 , y(0) = có hai nghiệm y ≡ y = x3 27 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.4 Sự tồn nghiệm Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm f (x, y) xác định miền D ⊂ R2 ta nói hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y D tồn số dương L (gọi số Lipschitz) cho: |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L |y1 − y2 | với (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D Nhận xét: Điều kiện Lipschitz yếu so với điều kiện giới nội đạo ∂f ∂f ∂f hàm riêng D Thật giả sử liên tục ≤ L ∂y ∂y ∂y Khi áp dụng định lý Lagrange cho hàm f (x, y) theo biến y ta f (x, y1 ) − f (x, y2 ) = (y1 − y2 ) ∂f [x, y1 + θ(y2 − y1 )] ∂y Định lý 1.1.2 (3) (Định lý tồn nghiệm) Giả sử hàm số f (x, y) (1.1.6) liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y hình chữ nhật D = (x, y) ∈ R2 / |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b Khi nghiệm tốn Cauchy(1.1.6) tồn b đoạn I := [x0 − h, x0 + h], với h := min(a, ) M := max |f (x, y)| (x,y)∈D M Chứng minh Sự tồn Chứng minh phép lặp Picard hội tụ I đến nghiệm toán Cauchy Trước tiên ta chứng minh quy nạp − x0 | k+1 |yk+1 (x) − yk (x)| ≤ M L , với x ∈ I (k + 1)! k |x x f (t, y0 (t))dt ≤ M |x − x0 | với k=0, bất đẳng thức x0 bất đẳng thức 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Chứng minh Có thể dễ dàng chứng minh ma trận A + (B − A )Q quy ma trận A + (B − AP )Q quy Từ AQ = P Q = A Q = −AQ P Q = −P Q A Q = −AQ = −AP Q = AP Q A + (B − A )Q = A + (B − AP )Q Chúng ta thấy với (2.5.69) (2.5.70) nhận sử dụng xấp xỉ số thành phần cụ thể sử dụng An xn nhận An+1 xn+1 phải tính gần x ˜n+1 từ An+1 xn+1 điểm cần xét tn+1 tùy thuộc vào hệ phương trình vi phân đại số vào phương pháp Runge-Kutta có khả khác Nếu phương pháp chính xác cứng, có An+1 xn+1 = An+1 Xs lựa chọn cho x ˜n+1 Xs trường hợp dễ thấy mối quan hệ cách tiếp cận cổ điển cách tiếp cận hệ tuyến tính với ma trận A Định lý 2.5.4 Chúng ta xét hệ phương trình vi phân đại số với A số ký hiệu giai đoạn bện sơ đồ cổ điển ˜ ni Xni X ˜ ni = Xni sơ đồ tương ứng X Chứng minh Nếu nhân với A hệ (2.5.71) từ tính nghiệm giai đoạn bên ˜ ni = Xni Nếu ký hiệu nghiệm số phương pháp cổ điển X x˜n+1 thu A˜ xn+1 = Axn+1 = A¯ xn+1 Hệ 2.5.5 [13] Chúng ta xét hệ phương trình vi phân đại số với A khơng đổi phương pháp xác cứng nghiệm số thu với phương pháp tiếp cận với x ¯n+1 = Xs phương pháp tiếp cận cổ điển Nếu phương pháp khơng xác cứng phải tính đến loại hệ phương trình vi phân đại số Đối với hệ phương trình vi phân đại số hệ số số số loại phép chiếu thực để nhận gần từ Axn+1 Ở đưa khía cạnh trường hợp số Đối với hệ phương trình vi phân đại số số 1, có Rn = S(t) + Ker(A(t)) với S(t) = {x|B(t)x ∈ Img(A(t))} Qs (t) ký hiệu mơt số phép chiếu tắc lên Ker(A(t) dọc theo S(t) Ps (t) = I − Qs (t) có Ps (t) = [A(t) + B(t)Qs (t)]−1 A(t) 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 nghiệm viết x(t) = Ps (t)x(t) + Qs (t)x(t) = [A(t) + B(t)Qs (t)]−1 A(t)x(t) + Qs (t)[A(t) + B(t)Qs (t)]−1 f (t) Điều có nghĩa Ps (t)x(t) tính từ A(t)x(t) Qs (t)x(t) tính từ số hạng khơng Vì nghiệm số tính x¯n+1 = un+1 + vn+1 (2.5.72) với un+1 ∈ S(t) từ An+1 xn+1 un+1 = (An+1 + Bn+1 Qs,n+1 )−1 An+1 xn+1 (2.5.73) vn+1 ∈ Ker(A(tn+1 )) vn+1 = Qs (tn+1 )[A(tn+1 ) + B(tn+1 )Qs (tn+1 )]−1 f (tn+1 ) (2.5.74) Nếu phương pháp xác cứng mà chọn giai đoạn bện thứ s gần tn+1 , x ¯n+1 = Xs phần nghiệm giống (2.5.72)-(2.5.74) Định lý 2.5.6 Đối với phương pháp xác cứng un+1 (2.5.73) trùng với Ps,n+1 Xs Chứng minh Đối với phương pháp xác cứng, thực An+1 xn+1 = An+1 xs un+1 = (An+1 + Bn+1 Qs,n+1 )−1 An+1 xn+1 = (An+1 + Bn+1 Qs,n+1 )−1 An+1 Xs = Ps,n+1 Xs Đối với hệ phương trình vi phân đại số số 1, Qs,n+1 Xs vn+1 (2.5.74) trùng Định lý 2.5.7 Đối với phương pháp xác cứng hệ phương trình vi phân đại số số với A số phép chiếu (2.5.73) (2.5.74) x ¯n+1 = Xs , cho gần Chứng minh Vì A số viết (2.5.71) DB X = h1 DA (A−1 ⊗ I)(e ⊗ xn − X) + F (Tn ) ký hiệu A1 = (A + BQs ) DQs X = −DA −1 X = h1 DA−1 (A−1 ⊗ I)(e ⊗ xn − X) + DA−1 F (Tn ) BPs A −1 Chúng ta nhân với DQs sử dụng A−1 A = Ps , Qs A1 A = Qs để thu DQs X = DQs A−1 F (Tn ) đặc biệt giai đoạn cuối điều muốn nói đến (2.5.74) 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Nếu A số hệ phương trình vi phân đại số nhất, phép chiếu x ¯n+1 = Xs cho giá trị gần Định lý 2.5.8 Đối với phương pháp xác cứng hệ phương trình vi phân đại số Img(A(t)) = R không phụ thuộc t A (t)P (t) = Xs ∈ S(tn+1 ) Chứng minh Thực (2.5.71) cho ta DB−A X = h1 (A ⊗ I)−1 (e ⊗ An xn − DA X) Hoặc dùng A (t) = A (t)P (t) + A (t)Q(t) = A (t)P (t) − A (t)Q(t) A (t)P (t) = DB X = −DAQ X + h1 (A ⊗ I)−1 (e ⊗ An xn − DA X) ∈ R đặc biệt giai đoạn bên cuối Bn+1 Xs ∈ R Xs ∈ S(tn+1 ) Hệ 2.5.9 Đối với phương pháp xác cứng hệ phương trình vi phân đại số Img(A(t)) = R không phụ thuộc vào t A (t)P (t) = phép chiếu x¯n+1 = Xs cho giá trị gần Chứng minh Từ định lý Xs ∈ S(tn+1 ) Qs,n+1 Xs = Từ hệ (2.5.5) công thức (2.4.53) phương pháp xác cứng, ma trận A số, phương pháp tiếp cận x ¯n+1 = Xs phép chiếu (2.5.73) (2.5.74) phương pháp tiếp cận cũ cho giá trị gần Đối với phương pháp xác khơng cứng, A số, phương pháp cổ điển phương pháp tiếp cận cho kết khác Nếu sử dụng (2.5.72) (2.5.73) để thu cách tiếp cận mới, dạng A˜ xn+1 = Axn+1 thu Ps (tn+1 )xn+1 = Ps (tn+1 )˜ xn+1 phần S(tn+1 ) giống hai cách tiếp cận Tuy nhiên, nói chung Qs (tn+1 )xn+1 = Qs (tn+1 )˜ xn+1 = Qs (tn+1 )[A + B(tn+1 )Qs (tn+1 )]−1 f (tn+1 ) Hãy xét ví dụ, trường hợp hệ số số bán tường minh Cách tiếp cận đơn giản tiếp cận gián tiếp cho hệ phương trình vi phân đại số số bán tường minh[8, p 404] Cách tiếp cận cổ điển tương ứng với phương pháp tiếp cận trực tiếp Chú ý: Đối với phương pháp Lobatto IIIA, ma trận A suy biến 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 ma trận A = (aij )i,j≥2 khả nghịch phương pháp xác cứng Phương pháp áp dụng giống thực cho hệ phương trình vi phân đại số [10] cách định nghĩa Xn1 = xn tính Xn+1 = Xns Đối với phương pháp tiếp cận mới, giai đoạn bên thứ nhất, có An Xn1 − An xn = Nếu An suy biến, có vơ số vectơ thỏa mãn hệ thức có hai khả để tìm Xn1 chọn Xn1 = xn chiếu Bởi phương pháp xác cứng, để thu x ¯n+1 chọn x¯n+1 = Xns chiếu Vì vậy, có bốn khả năng: (1) Xn1 = xn x ¯n+1 = Xns (2) Xn1 = xn x ¯n+1 chiếu (3) Xn1 chiếu x ¯n+1 = Xns (4) Xn1 chiếu x ¯n+1 chiếu Các tùy chọn (1) (3) áp dụng cho quy tắc hình thang (phương pháp gần hình thang) Nếu A ma trận hằng, chọn lựa Xn1 = xn dẫn đến sơ đồ quy tắc hình thang đưa [9] 2.5.3 Sự hội tụ hệ phương trình vi phân đại số chuyển sang hệ số Đối với phương pháp BDF k bước định j=0k αkj xn−j = hfn phương pháp k bước cải biên định nghĩa cho hệ phương trình vi phân đại số hệ số biến đổi tuyến tính (2.5.62) k [αk,0 An + h(Bn − An )] xn + αkj An−j xn−j = hfn j=1 đó, phương pháp đề xuất cho phương pháp Euler ẩn (BDF1) trùng hợp với cách tiếp cận cho phương pháp Runge-Kutta với x¯n+1 = Xs Sự hội tụ nghiên cứu cho hệ phương trình vi phân đại số chuyển sang hệ số hằng, tức hệ phương trình vi phân đại số tồn L(t) khả vi không suy biến cho phép biến đổi x = L(t)y chuyển (2.5.62) sang hệ có hệ số giải Các hệ đặc trưng định lý sau Định lý 2.5.10 Hệ (2.5.62) biến đổi sang hệ số (1) sA + B − A khả nghịch I s đó, (2) 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 A(sA + B − A )−1 không đổi I Nếu (1) (2) đúng, chọn L(t) = (sA + B − A )−1 để thu hệ Cy (t) + (I − sC)y(t) = f (t) C = AL −1 Vì vậy, kí hiệu yn = L−1 n xn , Yni = Lni Xni tính đến B − A = (I − sC)L−1 cho hệ chuyển (2.5.69) (2.5.70) s s Cyn+1 − Cyn + h bi (I − sC)Yni = h i=1 bi fni (2.5.75) i=1 với Yni nghiệm s s aij (I − sC)Yni = h Cyni − Cyn + h i=1 aij fnj , i = 1, , s (2.5.76) j=1 Tương ứng với việc lấy tích phân hệ phương trình vi phân đại số hệ số tuyến tính Cy (t) + (I − sC)y(t) = f (t) với phương pháp Trong trường hợp này, thấy nghiệm thu (2.5.75) phù hợp với (2.5.76) Đối với trường hợp số 1, hệ phương trình vi phân đại số hệ số chuyển đổi có số Nếu tìm gần số (nghiệm gần phương pháp số) x ¯n+1 qua (2.5.73) (2.5.74) thực x(tn+1 ) − x¯n+1 = (An+1 + Bn+1 Qs,n+1 )−1 [An+1 x(tn+1 ) − An+1 xn+1 ] = (An+1 + Bn+1 Qs,n+1 )−1 [Cy(tn+1 ) − Cyn+1 ] (2.5.77) Đối với hệ phương trình vi phân đại số nào, phương pháp xác cứng tìm gần số qua x ¯n+1 = Xs có x(tn+1 ) − x¯n+1 = L(tn+1 ) [y(tn+1 ) − Ys ] (2.5.78) Chúng ta nghiên cứu bậc hội tụ cho phương pháp áp dụng cho hệ phương trình vi phân đại số chuyển sang hệ số Đối với chùm (A, B) số v dạng chuẩn tắc Kronecker P AQ = diag(I, N ),P BQ = diag(C, I) P Q ma trận quy, N lũy linh với bậc lũy linh v Nếu nhân với P thực phép đổi biến x = Q(y t , z t )t tách hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số Dạng chuẩn tắc Kronecker cho phép tách (2.5.69) (2.5.70) để thu yn nghiệm số cho phương trình vi phân thường y(t) + Cy(t) = f (t) Vì vậy, phương pháp có bậc p phương 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 trình vi phân thường, có yn − y(tn ) = v(hp ) Nếu hệ phương trình vi phân đại số có số chuyển sang hệ số hằng, hệ phương trình vi phân đại số có số Trong định lý sau, đưa bậc sai số Cy(tn ) − Cyn (2.5.77) Định lý 2.5.11 Xét hệ phương trình vi phân đại số hệ số tuyến tính với số v = Nếu phương pháp Runge-Kutta có bậc Kd đối phương trình vi phân thường nghiệm số thu với phương pháp thỏa mãn Ax(tn ) − A¯ xn = v(hkd ) Chứng minh Đối với tốn số 1, có, ma trận quy P cho dạng chuẩn tắc Kronecker Ax (tn+1 ) − Axn+1 = P I y(tn+1 ) − yn+1 z(tn+1 ) − zn+1 =P y(tn+1 )−yn+1 = v(hp ) Từ định lý công thức (2.5.77), phát biểu định lý sau Định lý 2.5.12 Hãy xét hệ phương trình vi phân đại số số tuyến tính chuyển sang hệ số Nếu phương pháp Runge-Kutta có bậc Kd phương trình vi phân thường, nghiệm số thu với phương pháp qua phép chiếu (2.5.74) (2.5.73) thỏa mãn x(tn ) − x¯n = v(hkd ) Đối với hệ phương trình vi phân đại số số cao chuyển sang hệ số hằng, có kết sau Định lý 2.5.13 Chúng ta xét hệ phương trình vi phân đại số (2.5.62) chuyển sang hệ phương trình vi phân đại số hệ số Nếu phương pháp Runge-Kutta xác cứng có bậc Kd phương trình vi phân thường, giá trị gần tính phương pháp số x ¯n+1 = Xs cho thấy x(tn+1 ) − Xs = v(hkv ) với Kv = (p, Ka,i − i + 2) Ka,l số nguyên lớn cho 2≤i≤v bt A−l cl−i , i = 1, 2, , l − (l − i)! bt A−i ci = i(i − 1) (i − l + 2), i = l, l + 1, , kal bt A−i e = Chứng minh Hệ (2.5.5) phát biểu phương pháp tiếp cận với x ¯n+1 = Xs phương pháp tiếp cận cổ điển cho gần Do x(tn+1 ) − Xs = v(hkv ) với Kv bậc phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số hệ số tuyến tính với số v [6] Chúng ta thấy Ka,l = ∞ phương pháp xác cứng 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 2.5.4 Sự co Mục tiêu đưa phương pháp tiếp cận để trì tính chất co nghiệm số, tương tự nghiệm xác Với cách tiếp cận đưa ra, điều chứng minh dễ dàng Định lý 2.5.14 Chúng ta xét hệ phương trình vi phân đại số (2.5.62) giá trị gần An+1 xn+1 thu qua (2.5.69) (2.5.70) Nếu phương pháp Runge-Kutta ổn định đại số , xni ∈ Vni không gian cho µV [Ani , Bni − Ani ] ≤ Thì An+1 xn+1 ≤ An Xn Chứng minh Nếu kí hiệu Wni = h(Bni − Ani )Xni ,M = BA + At B − bbt , mi,j yếu tố (i, j) M, theo [8] ta nhận An+1 xn+1 = An xn ≤ An xn 2 = An xn s − s s + An xn , bi Wni + i=1 s mij Wni , Wnj + 2h i=1 s i,j=1 s − mij Wni , Wnj + 2h i,j=1 i=1 s bk Wnk , k=1 bi Wni i=1 bi Ani Xni , −(Bni − Ani )Xni bi µVi [Ani , Bni − Ani ] Ani xni ≤ An xn Đối với trường hợp số 1, Img(A(t)) số A P = 0, theo hệ (2.5.9), giai đoạn bên Xni nghiệm xác điểm tni nằm khơng gian S(tni ) Vì thế, chọn Vni = S(tni ) 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 3.1 Ví dụ giải gần phương trình vi phân thường (ODE) Ví dụ Dùng cơng thức Runge-Kutta tìm nghiệm gần toán Cauchy y = y − x2 + 1, ≤ x ≤ Với n = y(0) = 0.5 Tính sai số biết nghiệm xác : y(x) = (x + 1)2 −0.5ex Bai giải Ta có h = 0.2 x0 = 0,x1 = 0.2,x2 = 0.4,x3 = 0.6,x4 = 0.8,x5 = Công thức Runge-Kutta bậc yk+1 = yk + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )/6 k1 = hf (xk , yk ) k2 = hf (xk + h2 , yk + k21 ) k3 = hf (xk + h2 , yk + k22 ) k4 = hf (xk + h, yk + k3 ) (3.1.1) Áp dụng công thức Runge-Kutta bậc ta có k1 = hf (xk , yk ) = 0.2(yk − x2k + 1) 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 h k1 k2 = hf (xk + , yk + ) = 0.2 yk + 0.1(yk − x2k + 1) − (xk + 0.1)2 + 2 = 0.2(1.1yk − 1.1x2k − 0.2xk + 1.09) h k2 k3 = hf (xk + , yk + ) 2 = 0.2 yk + 0.1(1.1yk − 1.1x2k − 0.2xk + 1.09) − (xk + 0.1)2 + = 0.2(1.11yk − 1.11x2k − 0.22xk + 1.099) k4 = hf (xk + h, yk + k3 ) = 0.2 yk + 0.2(1.11yk − 1.11x2k − 0.22xk + 1.099) − (xk + 0.2)2 + = 0.2(1.222yk − 1.222x2k − 0.444xk + 1.1798) Xây dựng hàm rk4 matlab để giải phương trình vi phân theo phương pháp function[x, y] = rk4(f, x0, x1, y0, h) if nargin < 4, error( Vuilongnhapdudoiso!! ), end; if nargin < 5, m = input( Nhapsodoanchian = ); , h = (x1 − x0)/m; end; x = []; x(1) = [x0]; n = (x1 − x0)/h; for i = : n, x(i + 1) = x(i) + h; end; y = []; y(1) = [y0]; for i = : n K1 = h ∗ f(x(i), y(i)); K2 = h ∗ f(x(i) + h/2, y(i) + K1/2); K3 = h ∗ f(x(i) + h/2, y(i) + K2/2); K4 = h ∗ f(x(i) + h, y(i) + K3); y(i + 1) = y(i) + (K1 + ∗ K2 + ∗ K3 + K4)/6; end; 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Ví dụ: Ta giải lại phương trình: y = y − x2 + 1, ≤ x ≤ 1, y(0) = 0.5, với n = Định nghĩa trực tiếp hàm f từ sổ Command Windows: >> [X , Y ] = rk4 (inline( y − x + , x , y ), , , ) Định nghĩa hàm f sổ Editor lưu thành file f.m f unction[dy] = f (a, b) dy = b − a2 + 1; >> [X, Y] = rk4(@f, 0, 1, 0.5) Vẽ đồ thị từ giá trị xk,yk (giá trị trả hàm rk4): plot(X, Y, rd− , LineWidth , 3) xlabel( TrucX ) ylabel( TrucY ) title( DOTHICUAHAMDACHO ) gridon Kết cửa sổ Command Windows: >> [X, Y ] = rk4(inline( y − x2 + , x , y ), 0, 1, 0.5) Nhapsodoanchian = n= X= 00.20000.40000.60000.80001.0000 Y= 0.50000.82931.21411.64892.12722.6408 >> ve >> 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 3.2 Ví dụ giải gần hệ phương trình vi phân đại số (DAE) cài đặt Matlab F V dx = (xF − x) − (y − x) dt H H αx 0=y− + (α − 1)x Mã matlab Trong cửa sổ Editor tạo tệp có tên Vidu.m sau f = @(x)binary_flash (x) ; xss = f solve(f, [1 1], []) df = @(t, x)binary_flash (x) ; M = [1 0; 0]; options = odeset( M ass , M ); [t1, y1] = ode15s(df, [0, 10], xss, options); [t2, y2] = ode15s(df, [0, 10], xss, options); t1 = t1 y1 = y1 t2 = t2 y2 = y2 Tương tự tạo tệp thứ hai có tên binary flash.m sau 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 f unctionf = binary_flash (x) ; H = 5; F = 10; xf = 0.5; V = 2; alpha = 10; xv = x(1); yv = x(2); f(1) = F/H*(xf-xv)-V/H*(yv-xv); f(2) = yv-alpha*xv/(1+(alpha-1)*xv); f = f’; 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Kết luận Luận văn này, trình bày sở tài liệu [4], [10],[11] vấn đề lý thuyết hệ phương trình vi phân đại số phương pháp số cho hệ phương trình vi phân đại số có phương pháp RungeKutta giải gần hệ phương trình vi phân đại số sở báo [12] đưa cách tiếp cận phương pháp Runge-Kutta giải gần hệ phương trình vi phân đại số sử dụng phương pháp Runge-Kutta thực giải ví dụ cụ thể cách sử dụng phần mềm matlab điều cho phép hiểu sâu sắc sở lý thuyết hệ phương trình vi phân đại số 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải Tich Số, Nxb Đại học Quốc gia Hà nội [2] Lưu Thị Thu Hồi (2008), Hệ phương trình vi phân đại số, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Thái Nguyên -Đại học Thái Nguyên [3] Trịnh Đức Tài (2008), Phương trình vi phân, Bài giảng tóm tắt, Khoa Toán – Tin, Đại học Đà Lạt [4] Dr Abebe Geletu 12 (2011), Introduction to Differeltial Algebraic Equations, IImenau University of Technology Department of Simulation and Optimal Processes (SOP) [5] Uri M Ascher, Linda R Petzold, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, University of British Columbia Vancouver, British Columbia, Canada [6] K.E Brenan, L.R Petzold (1989),The numerical solution of higher index Differential-Algebraic Equations by implicit Runge-Kutta methods, SIAM J, Numer, Anal, pp 837-851 [7] J.C Butcher (1987), The Numerica Analysis of Ordinary Differential Equations, John Wilay Sons [8] K Dekker, J.D Verwer (1984),Stability of Runge-Kutta methods for Stiff Nonlinear Differential Equations, North-Holland, Amsterdam [9] E Griepentrog, R Ma ărz (1986), Differential Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner Texte zur Mathematik 88, Leipzig, [10] Ernrst Hairer, Michel Roche, Christian Lubich, (1989), The Numerical Solution of Differeltial-Algebraic Systems by Runge-Kutta Methods, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1409, Springer, Berlin 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 [11] Steffen Schulz, june 13 (2003), Four Lectures on Dif fereltial Algebraic Equations, Humboldt Universita ăt zu Berlin [12] Inmaculada Higueras, Berta Garcớa-Celayete (1998) Runge-Kutta methods for Differential-Algebraic Equations A new approach, preprint [13] L.R Petzold (1986), Order results or implicit Runge-Kutta methods applied to differential/algebraic systems, SIAM J, Numer, Anal., vol.23, pp 837-851 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 1.4 Chỉ số hệ phương trình vi phân đại số ([2],[11]) PHƯƠNG PHÁP RUNGE- KUTTA GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 2.1 Phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường ([1])... Phương pháp Runge- Kutta giải gần hệ phương trình vi phân đại số Nội dung chương nhắc lại phương pháp số để giải gần phương trình vi phân thường, phương pháp số cho hệ phương trình vi phân đại số. .. Chỉ số hệ phương trình vi phân đại số ([2],[11]) Người ta phân lớp hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm số hệ phương trình vi phân loại nói cách khác số số đo độ lệch phương trình vi phân