Giải số hệ phương trình vi phân đại số bằng phương pháp runge kutta

Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC ĐỒN GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN ĐỨC ĐOÀN GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ LIÊN THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thực Các số liệu, kết luận nghiên cứu trình bày luận văn trung thực chưa công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Tác giả TRẦN ĐỨC ĐOÀN ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hồn thành khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Đào Thị Liên Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo - TS Đào Thị Liên, người hướng dẫn khoa học, người gợi ý đề tài, định hướng nghiên cứu tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo cơng tác Viện Tốn học Việt Nam; khoa Tốn, Phịng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học) Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, thầy cô tạo điều kiện trang bị cho tác giả kiến thức, học liệu kinh nghiệm nghiên cứu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bè bạn gần xa đặc bạn lớp Cao học Toán K21A, động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu hồn thành luận văn Do thời gian nghiên cứu lực thân cịn nhiều hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu, bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp Thái Nguyên, tháng 03 năm 2015 Tác giả Trần Đức Đoàn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC BẢNG iv MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Giới thiệu chung phương trình vi phân đại số 1.1.1 Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số 1.1.2 Hệ với số 1.1.3 Hệ với số 1.1.4 Hệ với số 10 1.1.5 Con lắc 11 1.1.6 Các toán nhiễu suy biến 11 1.1.7 Hệ nhiễu suy biến đơn 13 1.1.8 Các định nghĩa khác số 14 1.2 Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp phương pháp RUNGER-KUTTA 17 Chương GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA 22 2.1 Giải số hệ phương trình vi phân -đại số cấp phương pháp RUNGE-KUTTA 22 2.2 Phương pháp RUNGE-KUTTA cho phương trình vi phân-đại số 23 2.3 Các nhóm phương pháp RUNGE-KUTTA ẩn 24 2.4 Tóm tắt kết hội tụ 27 2.5 Bài toán nhiễu suy biến 29 2.6 Phương pháp nửa 30 2.7 Ví dụ hệ số phương pháp số không áp dụng 31 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 iv DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Phương pháp Radau IIA bậc 26 Bảng 2.2 Phương pháp Radau IIA bậc 26 Bảng 2.3 Bậc hội tụ 27 Bảng 2.4 Cấp hội tụ cho toán số (1.17-18) 28 Bảng 2.5 Cấp sai số toán nhiễu suy biến 30 MỞ ĐẦU Thuật ngữ phương trình vi phân-đại số đưa để đề cập đến phương trình vi phân với ràng buộc (các phương trình vi phân đa tạp) phương trình vi phân ẩn Các toán nảy sinh cần phải giải nhiều ứng dụng, chẳng hạn hệ học có ràng buộc, động lực học chất lỏng, động học phản ứng hóa học, mô mạng điện, kỹ thuật điều khiển Từ quan điểm lý thuyết, nghiên cứu phương trình vi phân-đại số giúp hiểu thấu đáo nguyên tắc phương pháp số cho phương trình vi phân thường cứng Do đó, chủ đề thu hút nhiều quan tâm kỹ sư nhà toán học năm qua Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết giải số hệ phương trình vi phân-đại số ứng dụng nhóm tác giả Ernst Hairer, Chriseian Lubich, Michel Roche giải số hệ phương trình vi phân-đại số phương pháp Runge-Kutta Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức sở Nội dung giới thiệu chung hệ phương trình vi phân-đại số trình bày ngắn gọn cách giải số hệ phương trình vi phân thường cấp phương pháp Runge-Kutta Chương Giải số hệ phương trình vi phân-đại số cấp phương pháp Runge-Kutta Trong chương này, tác giả trình bày giải số hệ phương trình, phương trình vi phân-đại số phương pháp Runge-Kutta, nhóm phương pháp Runge-Kutta ẩn, kết hội tụ, tốn nhiễu, phương pháp ẩn ví dụ số phương pháp số không áp dụng Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Giới thiệu chung phương trình vi phân đại số Ta xét phương trình vi phân-đại số dạng tổng quát F(Y ', Y )  ( 1.1) F Y có chiều, F giả thiết có đạo hàm bị chặn Hệ khơng ơtơnơm F(Y ', Y , x)  sinh từ hệ (1.1) nhờ việc đưa vào biến độc lập x mà x'  Giá trị ban đầu Y ( ) giả thiết biết nghiệm Y(x) tìm đoạn bị chặn 0; x  Nếu F / Y ' khả nghịch ta giải Y ' từ (1.1) ta hệ phương trình vi phân thường Nếu F / Y ' suy biến ta có hệ phương trình vi phân-đại số Một cách để phân loại lớp phương trình vi phân dùng khái niệm số 1.1.1 Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số Chúng ta giới thiệu khái niệm số cách để đo độ nhạy nhiễu nghiệm phương trình Có nhóm nghiên cứu khác đưa số định nghĩa khác số cho hệ phương trình vi phân-đại số Mối liên hệ định nghĩa với định nghĩa khác số trình bày mục 1.1.8 Định nghĩa Phương trình (1.1) có số nhiễu m dọc theo nghiệm Y đoạn 0; x  , m số tự nhiên nhỏ cho hàm Y có   F Y ', Y   (x), ( 1.2 ) tồn đánh giá   Y(x)  Y(x)  C Y( )  Y( )  max  (  )   max  (m 1 ) (  ) ,x  0; x  ( 1.3 ) 0  x 0  x với số hạng vế phải đủ nhỏ Ở C số phụ thuộc vào F độ dài đoạn 0, x  Trong nghiệm số phương trình (1.1), ảnh hưởng nhiễu lên phương trình rời rạc có vai trị quan trọng việc phân tích hội tụ sai số làm tròn Việc xuất đạo hàm cấp (m-1) (1.3) biến đổi nghiệm số thành phép chia nhiễu rời rạc cho h m1 , h tham số rời rạc (nhỏ) Cần lưu ý có ước lượng lớn (1.3) vài hiệu số chênh lệch nghiệm Ta gọi phương trình phương trình số m phương trình có số m dọc theo nghiệm Theo định nghĩa trên, số nhiễu nhỏ Trường hợp số tính đến ta hiểu  ( 1 ) (  ) tích phân  Cụ thể hơn, ta nói phương trình (1.1) có số nhiễu   Y (x)  Y (x)  C  Y ( )  Y ( )  max   (t)d(t)  0  x     Theo Bổ đề Gronwall, điều ln thoả mãn phương trình vi phân thường Y '  f (Y ) Bây ta xem xét lớp hệ với số 1, 3, nhóm hệ thường xuất ứng dụng 1.1.2 Hệ với số Trường hợp đơn giản hệ có dạng y'  f (y, z)  g(y, z) (trong đó, f g hàm khả vi) g z  lân cận nghiệm ( 1.4.a) ( 1.4.b) g có nghịch đảo bị chặn z (1.5) Giá trị ban đầu (y0 , z0 ) cần phải tương thích, nghĩa g(y0 , z0 )  Theo Định lý hàm ẩn, z rút từ phương trình (1.4.b) hàm số y Sau chèn z vào phương trình (1.4.a) ta có phương trình vi phân thường Điều cho thấy tồn nghiệm đơn trị Xét hệ nhiễu    g  y, z    (x) y'  f y, z   (x) Áp dụng Định lý hàm ẩn ta có   z(x)  z(x)  C1 y(x)  y(x)   (x) , với  (x) nhỏ y(x) đủ gần với y(x) Ta trừ phương trình (1.4.a) cho phương trình nhiễu tương ứng, lấy tích phân từ đến x, sử dụng điều kiện Lipschitz cho f ước lượng z(x)  z(x) Ta e(x)  y(x)  y(x) x x e(x)  e( )  C2  e(t)dt  C3   (t) dt  0 x   (t)dt , theo bất đẳng thức Gronwall, ta có  x  y(x)  y(x)  C4  y( )  y( )    (t) dt  max  1(t)dt  0  x 0     Sau chèn bất đẳng thức vào ước lượng z(x)  z(x) , ta có ước lượng (1.3) khơng phụ thuộc vào đạo hàm nhiễu Do đó, hệ có số Bài tốn có dạng BY '  a( Y ) ( 1.6 ) với ma trận số B đưa dạng (1.4) nhờ việc phân tích (như phép khử Gaussian) sau 21 Ví dụ Cho toán Cauchy sau y'  x  y, y( )  Hãy tìm nghiệm gần phương pháp Runge-Kutta dạng (1.39) 0; 0,5 với bước h  0,1 Giải Ta có xi  0,1; i, j  0, 1, 2, 3, 4, y0  k1( )  0,1 0  1  0,1 k2( )  0,1 0  0,05   1  0,05    0,11 k3( )  0,1 0  0,05   1  0,055    0,1105 k4( )  0,1 0  0,1  1  0,1105    0,12105 Từ y1   0,1  2.0,11  2.0,1105  0,12105   1,1103 Tương tự ta tính y2 , y3 , y4 , y5 Ta thấy y( 0,5 )  y5  1,7974 Mặt khác ta biết nghiệm toán Cauchy cho y  2e x  x  Từ ta có y( 0,5 )  2e0,5  0,5   1,79744 Như vậy, kết giải số nhận xác đến chữ số thập phân so với nghiệm Trong chương sau ta đưa cách giải số cho hệ phương trình vi phân-đại số phương pháp Runge-Kutta 22 Chương GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Trong chương này, ta đề cập tới phương pháp Runge-Kutta cách áp dụng phương pháp vào hệ phương trình vi phân-đại số Đồng thời, ta tóm tắt lại kết hội tụ biết 2.1 Giải số hệ phương trình vi phân-đại số cấp phương pháp RUNGE-KUTTA Phương pháp Runge-Kutta vốn thường dùng giải pháp số cho phương trình vi phân thường y' = f(y) Từ giá trị xấp xỉ yn nghiệm xn, phương pháp bước nhảy xây dựng giá trị xấp xỉ yn+1 xn+1 = xn + h thông qua công thức s yn 1  yn  h  bY i ' ni ( 2.1.a) i 1 Y 'ni  f (Yni ) với bậc Yni xác định s Yni  yn  h  aijY 'nj với i = 1, …, s j 1 (2.1.b) aij, bi hệ số để xác định phương pháp s số bậc Nếu aij = với i ≤ j ta tính bậc Yn1, …, Yns theo công thức (2.1.b) đánh giá hàm tường minh Các phương pháp gọi tường minh Ngược lại, (2.1.b) tạo hệ phi tuyến tính cho bậc phương pháp gọi ẩn Ví dụ phương pháp Runge-Kutta bậc 23 h Theo công thức Simpson: h a h yn1  yn   f (yn , tn )  f 6  ab   f (b) ta có    f (t)dt   f (a)  f  h h    y(tn  ), tn    f (yn1 , tn1 ) công thức ẩn 2   phương pháp Runge-Kutta bậc Suy h yn1  yn  (k1  k2  k3  k4 ) với k1  f (yn , tn ); hk h  k  f  y n  , tn   ; 2  hk h  k  f  y n  , tn   ; 2  k4  f (yn  hk3 , tn ) công thức phương pháp Runge-Kutta bậc 2.2 Phương pháp RUNGE-KUTTA cho phương trình vi phân-đại số Ta lưu ý cơng thức thứ hai (2.1.a) có dạng với phương trình vi phân y' = f(y) mối quan hệ phương trình (2.1.a) (2.1.b) phụ thuộc vào hệ số bước nhảy h, không phụ thuộc vào dạng đặc biệt phương trình vi phân Điều gợi ý việc mở rộng phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân-đại số F(y', y)  cách xác định yn+1 nghiệm hệ (2.1.a), (2.1.b) F(Y'ni , Yni )  ( 2.1.c) Từ xuất câu hỏi như: Liệu hệ (2.1) ln có nghiệm khơng? Cách tính nghiệm sao? Nghiệm bị ảnh hưởng nhiễu nào? Phương pháp có tính chất xấp xỉ gì? Làm để thực (hay thử cách khác)? Trong viết này, toán kiểu xử lý cho hệ vi phân-đại số số 1, mô tả chương 24 Các phương pháp Runge-Kutta không phù hợp cách trực tiếp cho cách tiếp cận (2.1) để phục vụ phương trình vi phân-đại số, phần tử số gia Y 'ni cần xác định từ hệ thức (2.1.b) (xét ví dụ hệ y'  z,  y ), đòi hỏi ma trận hệ số A = (aij) khả nghịch Tuy nhiên, sử dụng mở rộng khác, ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta cho hệ ẩn với số số có dạng (1.4) (1.10) Điều lý giải phần cuối chương 2.3 Các nhóm phương pháp RUNGE-KUTTA ẩn Sau đây, ta mơ tả vắn tắt vài nhóm phương pháp Runge-Kutta ẩn Bảng hệ số chi tiết khác dẫn từ Butcher (1987) Dekker & Verwer (1984) Để mô tả phương pháp này, ta sử dụng s ci   aij , (i  1, , s) ( 2.2 ) j 1 điều kiện s B(p) : b c i 1 k 1 i i  s C(q) :  aijc kj 1  j 1 s D(r) : b c i 1 k 1 i i ij k với k = 1, …, p, cik k a  bj k với k = 1, …, q i, (  c kj ) với k =1, …, r j (2.3) (2.4) (2.5) Điều kiện B(p) nghĩa công thức cầu phương với trọng số b1, …, bs nút (node) c1, …, cs đa thức nguyên tới bậc p-1 đoạn [0; 1] điều kiện C(q) cho biết đa thức tới bậc q-1 tích hợp đoạn [0; ci] cho i, công thức cầu phương với trọng số ai1, …, ais Ta xét phương pháp cổ điển dựa phép cầu phương Gauss, Radau Lobatto Các hệ số xác định điều kiện nêu 25 Gauss: B(2s), C(s), D(s) Radau IA: B(2s-1), C(s-1), D(s), c1  Radau IIA: B(2s-1), C(s), D(s-1), cs  (thoả mãn bi = asi) Lobatto IIIA: B(2s-2), C(s), D(s-2), c1  0, cs  (thoả mãn bi = asi) Lobatto IIIC: B(2s-2), C(s-1), D(s-1), c1  0, cs  1, bi  asi Điều kiện bi = asi với i hàm ý yn+1 = Yns trở thành lợi Đối với phương pháp Lobatto IIIA (trong thành phần quan trọng quy tắc hình thang) hàng ma trận A = (aij) đồng 0, để A khơng khả nghịch Vì ma trận (aij )is, j 2 khả nghịch bi = asi với i, phương pháp trở thành xác định Các phương pháp Lobatto IIIB không phù hợp với phương trình vi phân-đại số ma trận hệ số A không khả nghịch không thỏa mãn bi  asi Các hệ số ci aij bj phương pháp Radau IIA cho với s = 1, Bảng 2.1 2.2 Phương pháp với s = phương pháp Euler ẩn Phương pháp với s = chon cho chương trình FORTRAN Các phương pháp Runge-Kutta ẩn đường chéo đơn (SDIRK, nghĩa phương pháp Alexander (1977) Norsett & Thomsen (1986) đặc trưng đặc tính aij = (i < j), với phần tử chéo aii Các phương pháp thoả mãn C(1), phương pháp Alexander có bi = asi Phép ngoại suy làm xuất nhóm phương pháp Runge-Kutta khác: ta xét sơ đồ Euler ẩn  y  yn  F  n 1 , y n 1   h   ( 2.6 ) rời rạc hoá cho ngoại suy h Ta gọi yh (x)  yn với x = x0 + nh, chọn dãy số nguyên dương n1 < n2 < n3 < … xác định bước nhảy 26 h1  h2  h3  h j  H / n j H > bước nhảy sở Bảng ngoại suy đưa dựa công thức T j1  yhj (x0  H) T j , k 1  T j , k  T j ,k  T j 1, k nj 1 n j k ( 2.7 ) Mỗi giá trị Tjk bảng ngoại suy viết kết phương pháp Runge-Kutta (2.1) với bước nhảy H Phương pháp thoả mãn C(1) Bảng 2.1 Phương pháp Radau IIA bậc 1 12 1 4 4  12 Bảng 2.2 Phương pháp Radau IIA bậc 4 10 88  360 296  169 1800 2  225 4 10 296  169 1800 88  360 2  225 16  36 16  36 16  36 16  36 27 2.4 Tóm tắt kết hội tụ Bậc hội tụ tất phương pháp Runge-Kutta Tuy nhiên, so với yếu tố khác, khó tính lại dễ tóm tắt bậc hội tụ Do vậy, ta thu thập kết hội tụ Bảng 2.3 2.4 Cần lưu ý bậc hội tụ cao bảng che khó khăn tính tốn gặp phải với tốn số cao hơn, hội tụ lặp dạng Newton hệ phi tuyến tính (2.1) ước số sai số Ta gọi bậc hội tụ p sai số (sự chênh lệch nghiệm số nghiệm đúng) bị chặn số h p khoảng hữu hạn bước nhảy h đủ nhỏ Bảng 2.3 2.4 cho thấy bậc hội tụ khác với thành phần khác hệ Các bậc y cho toán (1.4) số (1.4) hoàn toàn giống với cấp phương trình vi phân thường (chỉ số 0) Vì phương pháp Runge-Kutta (2.1) bất biến theo phép biến đổi tốn B(y)y’ = a(y) mơ tả (1.10) chương nên cấp hội tụ cho phần tử y toán số (1.10), (1.11) cho nghiệm số phương trình B(y) y'  a(y) với điều kiện (1.7), (1.8) Bảng 2.3 Bậc hội tụ Phương pháp Gauss Bậc le  chan s Chỉ số (1.4-5) y z s  2s  s Chỉ số (1.10-11) y z s  s    s s  Radau IA s 2s  s s Labatto IIIC SDIRK (Alexander) s 2s  2s  2s  2 s 1 s s   s s 1 Radau IIA s 2s  2s  2s  2s  2s  2s  SDIRK (N&T) 3 2 k k k k Labatto IIIA Extrap Euler Tjk le  chan s 28 Kết hoàn hảo toàn số (1.17), (1.18) Trừ điều kiện C(2) thoả mãn, hệ phi tuyến tính (2.1) khơng có nghiệm, hệ có nghiệm (trường hợp tốn tuyến tính với u), thường khơng có hội tụ cho thành phần u Điều kiện C(2) không thoả mãn cho phương pháp SDIRK phương pháp ngoại suy Euler Ta chưa nghiên cứu phương pháp Gauss Lobatto IIIA cho số Đối với phương pháp Radau IA (với s > 3), ta thể bậc hội tụ (s, s – 1, s – 2) cho thành phần (y, z, u) Đối với phương pháp Radau IIA (với s ≥ 2), ta có bậc (s, s – 1) cho thành phần (z, u) Đối với thành phần y, ta giả định bậc 2s – (và 2s – cho tốn tuyến tính với u) thể bậc hội tụ s + (thay tối thiểu s + 2s – 2s – 1) Đối với Lobatto IIIC (với s ≥ 3), ta có bậc (s – 1, s – 2) cho phần tử (z, u) dự đoán 2s – cho thành phần y (ít cao bậc cho tốn tuyến tính u) Các kết tóm tắt bảng 2.4 Đối với thành phần y, ta đưa dự đoán chứng minh Chú ý kết phương pháp Lobatto IIIA chứng minh s = 2, dự đoán s lớn Bảng 2.4 Cấp hội tụ cho toán số (1.17-18) y (kuu  ) y Phương pháp Dự đoán/ Đã z u chứng minh s  Radau IA  s   s  2, Radau IIA  s   s  3,4 Labatto IIIC  s  Dự đoán / Đã chứng minh 2 /  s / s s 1 s2 s/s 2s  / 2s   2s  / s  s s 1 2s  / 2s   2s  / s  2s  / 2s   2s  / s  s 1 s2  2s  / s  29 2.5 Bài toán nhiễu suy biến Đối với toán nhiễu suy biến (1.21), (1.22) Hairer, Lubich & Roche (1988) sai số nghiệm số có є -mở rộng mà hệ số (cấp єk ) sai số phương pháp áp dụng cho hệ vi phân-đại số (1.24.0-k) Để có kết này, ta cần nhắc lại khái niệm A-độ ổn định: áp dụng phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vơ hướng y'   y ta nhận yn1  R(h  ) yn hàm ổn định R(w) xác định Trong A = (aij) ma trận Runge-Kutta, bT = (b1, …, bs) Phương pháp Runge-Kutta gọi A-ổn định, R( w )  với Re w  ( 2.9 ) Định lý 2.1 Xét hệ nhiễu suy biến (1.21), (1.22) với giá trị ban đầu y(0), z(0) nhận nghiệm trơn (1.23) Giả sử phương pháp Runge-Kutta thoả mãn điều kiện B(q+1) C(q) (xem (2.3), (2.4)), A-ổn định, nghĩa giá trị riêng ma trận Runge-Kutta có phần thực dương R(  )  Khi nghiệm (yn, zn) thoả mãn Với є  h : yn  y(xn )   y0 n  є  y1 n  ( є2 h q ) zn  z(xn )   z0 n  є  z1 n  ( є2 h q1 ) ( 2.10 ) Trong  y0 n ,  z0 n ,  y1 n ,  z1 n sai số toàn cục phương pháp Runge-Kutta áp dụng cho hệ vi phân-đại số (1.24.0,1) Các ước lượng với h ≤ h0 xn  nh  const Trên thực tế, sai số  y0 n ,  z0 n sai số toàn cục phương pháp Runge-Kutta áp dụng cho hệ có số (1.24.0) hệ không phụ thuộc vào y1 z1 Do đó, cấp sai số phần tử tương ứng y0, z0, y1, z1 xác cột Bảng 2.3 chuỗi Kết hợp Định lý 2.1 Bảng 2.3 ta có kết Bảng 2.5 30 Bảng 2.5 Cấp sai số toán nhiễu suy biến (1.21), với є  h Phương pháp Thành phần y Thành phần z Radau IA h 2s1  єh s hs Radau IIA h 2s1  є2 h s h 2s1  єh s h 2s2  є2 h s1 h 2s2  єh s1 SDIRK (Alexander) h3 h  єh SDIRK (N & T) h3 h2 Lobatto IIIC Đối với tốn nhiễu suy biến đơn (1.30) ta nhận mở rộng є sai số phần tử y z = y' với dạng yn  y(xn )   y0 n  ( є2 h q2 ) zn  z(xn )   z0 n  ( є2 h q2 ), ( 2.11)  y0 n ,  z0 n sai số phương pháp Runge-Kutta áp dụng cho hệ với số (1.31), k tuyến tính u Các cấp sai số xác định cột y (kuu = 0) z Bảng 2.4 2.6 Phương pháp nửa Với tốn có dạng y'  f (y, z)  g(y, z) ( 2.15 ) phương pháp Runge-Kutta áp dụng sau i 1 Yni  yn  h aij f (Ynj , Z nj ), i  1, , s ( 2.16.a) j 1  g(Yni , Z ni ), i  1, , s ( 2.16.b) s yn 1  yn  h  bi f (Yni , Z ni ), ( 2.16.c) i 1  g(yn 1 , zn 1 ) ( 2.16.d) 31 Đầu tiên ta xét trường hợp số (1.4), (1.5), với gz khả nghịch Bắt đầu từ Yn1 = yn, giá trị Zn1 tính theo (2.16.b) Chèn Zn1 vào (2.16.a) giúp ta tính Yn2 bước Từ ta tính Zn2 theo (2.16.b), Trong trường hợp này, cấp hội tụ hai phần tử phương trình vi phân thường Các phương pháp Dormand & Prince (1980) thích hợp thuật tốn ngoại suy Gragg (1965) Trong trường hợp số (1.10), (1.11), g khơng phụ thuộc vào z gyfz khả nghịch, cơng thức áp dụng Tương tự trên, ta bắt đầu với Yn1 = yn Chèn công thức (2.16.a) với i = vào (2.16.b) giúp ta tính Zn1, sau Yn2 tính từ bước (2.16.a) Tiếp tục theo cách này, ta tìm Zns yn+1 ta khơng thể xác định zn+1 Để có giá trị xấp xỉ z(xn+1), ta xem xét phương pháp với cs = có zn 1  zns ( 2.17 ) Tuy nhiên, hai phần tử, bậc thấp phương trình vi phân thường Sự mở rộng đưa việc mở rộng phương pháp ngoại suy h2 Gragg Trong phương pháp này, bậc đầy đủ trì f tuyến tính theo z Đối với tốn số (1.17), (1.18) với k tuyến tính theo u, ngoại suy phương pháp Euler ẩn xét phần sau 2.7 Ví dụ hệ số phương pháp số không áp dụng Phần tóm tắt kết hội tụ áp dụng cho hệ với số 1, Các hệ bao quát hầu hết phương trình vi phân-đại số phát sinh thực tế Tuy nhiên, Gear, Hsu & Petzold (1981) lưu ý tồn hệ với số có nghĩa gây khó khăn cho phương pháp số Bài tồn 32  0   y'    x   y   f (x)    x   z'        z    g(x)          ( 2.12 ) Lấy đạo hàm phương trình (2.12) chèn kết vào phương trình hai tìm z(x) = g(x) - f '(x) Do phần tử nghiệm phụ thuộc vào đạo hàm tính khơng f(x), số hệ (2.12) 2, không phụ thuộc vào việc lựa chọn  Ta nhấn mạnh (2.12) có dạng (1.13) không thoả mãn điều kiện (1.8) Do kết Bảng 2.3 khơng Nếu ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta ẩn vào (2.12) (như giải thích trên) ta có xni = xn + cih Yni   xni Zni  f (xni ) Yni'   xni Zni'  (   )Z ni  g(xni ) ( 2.13.a) s Yni  yn  h  a Y , j 1 ' ij nj s Z ni  zn  h  aij Z nj' , ( 2.13.b) j 1 nghiệm số sau bước tính s yn 1  yn  h  bY , i 1 ' i ni s zn 1  zn  h  bi Z ni' , ( 2.13.c) i 1 ' ' , , hZ ns' ) , hệ Chèn (2.13.b) vào (2.13.a) khử Yni thu (hZ n1 tuyến tính với ma trận s s    aij (ci  c j )  (   ) aik akj  k 1  i , j 1 phải s  f (xni )  f(xn )   aij g(xnj )  ci zn h j 1 Sử dụng (2.13.c) ta có hệ thức hồi quy zn  dạng ( 2.14 ) 33 zn1  Q(  ) zn  , Q(  ) hàm hữu tỉ có cực điểm (khi ma trận (2.14) suy biến) Phép đệ quy không ổn định Q(  )  Với ví dụ này, phương pháp Euler ẩn dẫn đến Q(  )    , nghiệm số (2.12) phân kỳ    Như vậy, chương chúng tơi trình bày phương pháp Runge-Kutta để tìm nghiệm số chúng Chúng cố gắng xem xét chủ đề nhiều khía cạnh khác từ lí thuyết đến phân tích số thực thi ứng dụng Nhiều ý tưởng phương pháp trình bày không áp dụng hạn chế cho phương pháp Runge-Kutta, mà áp dụng cho phương pháp khác chẳng hạn phương pháp ẩn tuyến tính phương pháp đa bước 34 KẾT LUẬN Giải số hệ phương trình vi phân-đại số đóng vai trị quan trọng ứng dụng nhiều thực tiễn đặc biệt nhiều lĩnh vực kinh tế, khoa học kĩ thuật, hố sinh học, mơi trường, sinh thái học, Vì giải số hệ phương trình vi phân-đại số nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu đến phát triển mạnh mẽ với kết đạt nhiều sâu sắc Trong phạm vi luận văn tác giả trình bày số vấn đề kiến thức sở phương pháp giải số hệ phương trình vi phân-đại số phương pháp Runge-Kutta tác giả Ernst Hairer, Chriseian Lubich, Michel Roche cuốn: “The numerical solution of differential algebraic system by Runge-Kutta methods” Tiếc nhiều vấn đề chưa làm sáng tỏ, chẳng hạn: Kết hội tụ bậc, cấp hội tụ; Bài toán hội tụ lặp dạng Newton hệ phi tuyến tính ước sai số, Tác giả hy vọng vấn đề tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Do thời gian, kinh nghiệm nghiên cứu, kiến thức tốn học trình độ tiếng Anh tác giả cịn nhiều hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu bảo chân tình q thầy giáo bạn đồng nghiệp quan tâm, để tác giả hoàn thiện nội dung luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn trước góp ý hữu ích cho việc hồn thiện luận văn! 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (2004); “Giải tích số”; NXB ĐHQG Hà Nội Berzins and R.M Furzeland (1985); “A user's manual for SPRINT - a versa-tile software package for solving systems of algebraic, ordinary and partial differential equations: part - algebraic and ordinary dif-ferential equations”; Thornton Research Centre, Shell Research Ltd TNER.85.058 Ernst Hairer, Chriseian Lubich, Michel Roche (1989); “The numerical solution of differential algebraic system by Runge - Kutta methods”; Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstr K.E Brenan (1983); “Stability and convergence of difference approximations for higher-index differential-algebraic systems with applicatios in tra-jectory control”; Doctoral thesis, Dep Math; Univ of California; Los Angeles R Alexander (1977); “Diagonally implicit Runge-Kutta methods for stiff ODE's”; SIAM J Numer Anal., vol.14, pp 1006-1021 R.K Alexander and J.J Coyle (1988); “Runge-Kutta methods and differential-algebraic systems”; Report, Iowa State University, Ames V.I Arnold (1978); “Mathematical Methods of Classical Mechanics”; Springer Ver-lag ... hệ phương trình vi phân- đại số trình bày ngắn gọn cách giải số hệ phương trình vi phân thường cấp phương pháp Runge- Kutta Chương Giải số hệ phương trình vi phân- đại số cấp phương pháp Runge- Kutta. .. TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE- KUTTA 22 2.1 Giải số hệ phương trình vi phân -đại số cấp phương pháp RUNGE- KUTTA 22 2.2 Phương pháp RUNGE- KUTTA cho phương trình vi. .. tác giả trình bày giải số hệ phương trình, phương trình vi phân- đại số phương pháp Runge- Kutta, nhóm phương pháp Runge- Kutta ẩn, kết hội tụ, toán nhiễu, phương pháp ẩn ví dụ số phương pháp số không