Hệ phương trình vi phân đại số

MỤC LỤC Trang Mở đầu Chƣơng I Một số khái niệm hệ phƣơng trình vi phân đại số 1.1 Phép chiếu - Chỉ số cặp ma trận 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) hệ phương trình vi phân đại số 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số 15 2.1 Bán kính ổn định phức hệ phương trình vi phân đại số 15 2.2 Liên hệ bán kính ổn định thực bán kính ổn định phức hệ phương trình vi phân đại số 24 Chƣơng III Bán kính ổn định hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu khái niệm ổn định 37 3.3 Công thức bán kính ổn định 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt 55 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Từ cuối kỷ XIX nhiều nhà khoa học quan tâm tìm lời giải cho tốn ổn định chuyển động Ở thời điểm đó, người ta đưa nhiều định nghĩa khác khái niệm này, chẳng hạn định nghĩa A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ A.M Lyapunov (1857-1918) công bố cơng trình “Bài tốn tổng qt tính ổn định chuyển động” vào năm 1892 Nga dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định nghiên cứu cách có hệ thống trở thành phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Kể từ đó, lý thuyết ổn định nhiều nhà khoa học khắp giới quan tâm nghiên cứu Đến nay, kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định lĩnh vực tốn học nghiên cứu sơi thu nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, Lyapunov giải toán ổn định hai phương pháp, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi phương pháp phổ hay phương pháp thứ Lyapunov) phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi phương pháp thứ hai Lyapunov) Vào năm 70 kỷ trước, số tốn có liên quan đến phương trình vi phân dạng: A  t  x '(t ) +B  t  x(t )  đó, A   , B    C  I , L  R n   , x : I  R n , I   a ,  , a số, det A t   t  I Đây dạng đặc biệt phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE) Ngay sau đó, loại phương trình vi phân nhiều nhà toán học sâu nghiên cứu Để nghiên cứu DAE người ta thường làm sau: phân rã chúng nhờ phép chiếu để hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số Ngồi ra, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vài phương pháp khác Đến người ta tìm nhiều kết cho phương trình vi phân đại số tương tự phương trình vi phân thường chẳng hạn lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận nghiệm phương trình với ma trận hệ số Trong hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen A.J.Pritchard đưa ra, hai ông hình thành hướng nghiên cứu nghiên cứu tính ổn định vững hệ động lực dựa khái niệm bán kính ổn định Hướng nghiên cứu thu hút ý tâm huyết nhiều nhà tốn học tính hiệu tính thời ứng dụng tốn kỹ thuật Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh nghiên cứu ổn định hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian đưa cơng thức bán kính ổn định báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” đăng tải JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006 Đây báo sở để thực luận văn Luận văn gồm 61 trang, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm hệ phương trình vi phân đại số Chương trình bày kiến thức sở để sử dụng chương sau Chương II: Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số Chương trình bày tốn tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t )  A, B ma trận thực, det A  Chương III: Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động Chương nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A t  x '  t   B  t  x  t  , t  nn A .  Lloc  , B .  Lloc  0, ; K nn  , công thức bán   0, ; K kính ổn định đưa Luận văn hồn thành khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ khoa học Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên Qua xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc cơng lao vơ bờ cô không quản thời gian công sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đào tạo tạo điều kiện tốt để luận văn hoàn thành Sau tơi xin bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tơi, quan nơi tơi cơng tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập, nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Phép chiếu - Chỉ số cặp ma trận 9 Định nghĩa 1.1.1 Cho P  L    P gọi phép chiếu P  P Nhận xét 1.1.2 i) Cho P phép chiếu Khi đó, ta có: KerP  Im P   n ii) Mỗi phân tích  n  U  V tồn phép chiếu P cho imP = U KerP = V, P gọi phép chiếu lên U dọc theo V Đặt Q:=I – P Q phép chiếu phép chiếu lên V dọc theo U Định nghĩa 1.1.3 (Chỉ số ma trận) Cho A  L   n  Số tự nhiên k gọi số ma trận A, ký hiệu indA, số nhỏ mà KerAk  KerAk 1 indA  k   : KerAk  KerAk 1 Định lý 1.1.4 Với A  L   n  ta ln có: imAk  KerAk   n với k thoả mãn 0