Phương trình vi phân đại số

Header Page of 120 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chƣơng I Một số khái niệm hệ phƣơng trình vi phân đại số 1.1 Phép chiếu - Chỉ số cặp ma trận 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) hệ phương trình vi phân đại số 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số 15 2.1 Bán kính ổn định phức hệ phương trình vi phân đại số 15 2.2 Liên hệ bán kính ổn định thực bán kính ổn định phức hệ phương trình vi phân đại số 24 Chƣơng III Bán kính ổn định hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu khái niệm ổn định 37 3.3 Công thức bán kính ổn định 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt 55 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 120 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 120 MỞ ĐẦU Từ cuối kỷ XIX nhiều nhà khoa học quan tâm tìm lời giải cho toán ổn định chuyển động Ở thời điểm đó, người ta đưa nhiều định nghĩa khác khái niệm này, chẳng hạn định nghĩa A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ A.M Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát tính ổn định chuyển động” vào năm 1892 Nga dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định nghiên cứu cách có hệ thống trở thành phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Kể từ đó, lý thuyết ổn định nhiều nhà khoa học khắp giới quan tâm nghiên cứu Đến nay, kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định lĩnh vực toán học nghiên cứu sôi thu nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, Lyapunov giải toán ổn định hai phương pháp, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi phương pháp phổ hay phương pháp thứ Lyapunov) phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi phương pháp thứ hai Lyapunov) Vào năm 70 kỷ trước, số toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng: A  t  x '(t ) +B  t  x(t )  đó, A   , B    C  I , L  R n   , x : I  R n , I   a ,  , a số, det A t   t  I Đây dạng đặc biệt phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE) Ngay sau đó, loại phương trình vi phân nhiều nhà toán học sâu nghiên cứu Để nghiên cứu DAE người ta thường làm sau: phân rã chúng nhờ phép chiếu để hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số Ngoài ra, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 120 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 120 vài phương pháp khác Đến người ta tìm nhiều kết cho phương trình vi phân đại số tương tự phương trình vi phân thường chẳng hạn lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận nghiệm phương trình với ma trận hệ số Trong hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen A.J.Pritchard đưa ra, hai ông hình thành hướng nghiên cứu nghiên cứu tính ổn định vững hệ động lực dựa khái niệm bán kính ổn định Hướng nghiên cứu thu hút ý tâm huyết nhiều nhà toán học tính hiệu tính thời ứng dụng toán kỹ thuật Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh nghiên cứu ổn định hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian đưa công thức bán kính ổn định báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” đăng tải JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006 Đây báo sở để thực luận văn Luận văn gồm 61 trang, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm hệ phương trình vi phân đại số Chương trình bày kiến thức sở để sử dụng chương sau Chương II: Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số Chương trình bày toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax '(t ) - Bx(t )  A, B ma trận thực, det A  Chương III: Bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động Chương nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 120 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 120 A t  x '  t   B  t  x  t  , t  nn A .  Lloc  , B .  Lloc  0, ; K nn  , công thức bán   0, ; K kính ổn định đưa Luận văn hoàn thành khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ khoa học Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên Qua xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ cô không quản thời gian công sức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đào tạo tạo điều kiện tốt để luận văn hoàn thành Sau xin bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, quan nơi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập, nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 120 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 120 CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Phép chiếu - Chỉ số cặp ma trận 9 Định nghĩa 1.1.1 Cho P  L    P gọi phép chiếu P  P Nhận xét 1.1.2 i) Cho P phép chiếu Khi đó, ta có: KerP  Im P   n ii) Mỗi phân tích  n  U  V tồn phép chiếu P cho imP = U KerP = V, P gọi phép chiếu lên U dọc theo V Đặt Q:=I – P Q phép chiếu phép chiếu lên V dọc theo U Định nghĩa 1.1.3 (Chỉ số ma trận) Cho A  L   n  Số tự nhiên k gọi số ma trận A, ký hiệu indA, số nhỏ mà KerAk  KerAk 1 indA  k   : KerAk  KerAk 1 Định lý 1.1.4 Với A  L   n  ta có: imAk  KerAk   n với k thoả mãn 0 toán tử nhân    L Lp  0, T ; K q  , Lp  0, T ; K m   cho 0   L 1  toán tử I  FQG 1E không ổn định Chứng minh Để chứng minh mệnh đề trên, ta chọn T > cho 1 1  esssup FQG 1E    esssup FQG 1E    /  L 0      t  T t      1   /3 (3.3.9) sau ta xây dựng dãy đơn điệu ngặt Tn n    0, T  cho  1   1   esssup FQG E   L  tTn ,Tn 1   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 53 of 120 1  2 / 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 54 of 120 với n = 0, 1, … Theo định nghĩa cận đúng, tồn tập X  0, T  dương đo cho  0 FQG 1E  t   L 1  2 /  1 , t  X Cho   X   độ đo X cho a  inf t,t  X , b  supt,t  X Rõ ràng  a  b  T Đặt T0  a Với n = 0, 1, … chọn Tn 1  T cho độ đo Tn , Tn 1   X   X  / 2n 1 Dễ thấy dãy Tn n  thoả mãn  điều kiện Và ta dễ thấy tồn dãy f n  Lp  0, T ; K m  , với  suppfn  Tn ,Tn1 , 0 f n  FQG 1Ef n  L 1   Thay đổi điều kiện 1 bổ đề 3.3.7 yếu chút, tồn toán tử nhân    n  L Lp  0, T ; K q  , Lp  0, T ; K m  , n = 0, 1, … cho   n  FQG 1 f n   f n1 , 0  n  L 1  ,  supp Δ n h  Tn1 , Tn , h  Lp  0, T ; K q  ,  h  L p  0, T ; K q  với supp h  Tn ,Tn1    n h    n 0 n 0 Ta đặt f :  f n , h :   n h với h  L p  0, T ; K q  g : f0 Dễ thấy    L Lp  0, T ; K q  , Lp  0, T ; K m  0  nhân quả,   L 1    I  FQG 1E  f  f  g Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 54 of 120  54 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 120 Xuất phát từ f  L p  0, T ; K m  , g  Lp  0, T ; K m  mà toán tử I  FQG 1E có   nghịch đảo không bị chặn L Lp  0, T ; K m  , Lp  0, T ; K m   Từ mệnh đề 3.3.3 – 3.3.11 ta xây dựng công thức cho bán kính ổn định Định lý 3.3.12 Cho giả thiết A1, A2 Khi  d K  A, B; E , F   sup L t0  t0 0 1 0 ,L 1    Hệ 3.3.13 Cho A, B, E, F thực giả thiết A1, A2 Khi dC  A, B; E, F   dR  A, B; E, F  Chú ý 3.3.14 Ta ý tính đơn điệu L t coi hàm t (xem bổ đề 3.2.8 (b)), ta có sup L t0 1 t0   lim L t0 1 t0  0 So sánh với (3.4), ta thấy số hạng đặc biệt L 1 độ đo trì tính vững số Đó khác biệt DAEs ODEs 3.4 Các trƣờng hợp đặc biệt 3.4.1 Các hệ nửa hiển Hệ (3.1) gọi nửa hiển, nghĩa  In A 0  B  t  B12  t   B  t    11   B21  t  B22  t   0 , 0 (3.4.1) I n1 ma trận đơn vị, Bij 1  i,j   ma trận có số chiều tương ứng Giả thiết số có nghĩa B22  t  khả nghịch hầu khắp nơi 0,  Trong nhiều ứng dụng, hệ DAEs xuất dạng nửa   hiển Cho tập hợp Q  diag 0, I n2 dễ dàng có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 55 of 120 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 120  In G  0  B12  ,  B22  0  Qs   1   B22 B21 I  Ngoài ra, ta có    t, s    t , s    1   B B  t, s    22 21    t , s  toán tử sinh khai triển phương trình vi phân thường 1 y '   B11  B12 B22 B21  y, (3.4.2) coi ổn định mũ Giả thiết A2 tương đương với giả thiết tính 1 1 bị chặn thực B22 , B22 B21 B12 B221 Ta xây dựng hai ma trận E,F viết lại dạng suy biến sau E  E   ,  E2  F   F1 F2  ma trận có số chiều tương ứng Bằng vài tính toán với ma trận ta có  L u  t  t0 t   F1  F2 B B21     t ,    E1     B12 B221E2     u    d   F2 B221E2u  t  , 1 22 t0  t u )  t   F B 1E u  t  , (L 22 t  t0 (3.4.3) Theo định lý 3.3.12, ta có  d K  A, B; E , F    lim L t0 t  0 1 1    1 ,  esssup F2 B22 E2  t     t 0   3.4.2 Hệ quy ẩn hệ đại số Trước hết, ta xem xét hệ (3.1) với số hạng đầu A không suy biến hầu khắp nơi Và ta giả sử A1 bị chặn hầu khắp nơi 0,  Nhân hai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 56 of 120 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 120 vế hệ (3.1) với A1 ta hệ hiển hoàn toàn nghiên cứu [12] Áp dụng định lý 3.3.12 với việc chọn P  I , Q  tầm thường nhất, công thức bán kính ổn định có giống [12] Trường hợp A = 0, hệ (3.1) thật trở thành hệ đại số  B t  x t  , t  Ta đặt Q  I , P  Điều tương đương với B  khả nghịch hầu khắp nơi 0,  nghịch đảo thực bị chặn Dễ thấy hệ có nghiệm tầm thường Hệ đại số ổn định tất hàm q  Lp  0, ; K n  Hệ không B  t  x  t   q  t  có nghiệm x  Lp  0, ; K n  hệ phụ thuộc vào tính liên tục vế phải (Theo chuẩn Lp ) Theo ý nghĩa kết mục 3.3, toán tử nhiễu  với 0   L 1 1   esssup FB 1E  t   ,  t 0  (3.4.4) hệ nhiễu lại ổn định (3.4.4) cho cận tốt nhất, nghĩa với   0 tồn nhân  với   L 1   làm tính ổn định hệ đại số 3.4.3 Hệ bất biến theo thời gian Ta giả sử tất ma trận A, B, E,F bất biến theo thời gian Dễ thấy giả thiết A2 không cần thiết Bằng phép biến đổi Fourier – Plancherel [11], phát biểu sau, mà thực chất mở rộng định lý 2.1 [11] hệ phương trình vi phân đại số có số 1, chứng minh Mệnh đề 3.4.3.1 Cho A, B, E,F bất biến theo thời gian, hệ (3.1) có số ổn định mũ Nếu chọn p = (xét tính ổn định L2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 57 of 120 57 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 120 L t0  L  sup F  A  B  E 1 iR Hàm F  A  B  E gọi hàm truyền nhân tạo liên kết tới (3.1) 1 Ta ý ổn định mũ hệ bất biến theo thời gian (3.1) có nghĩa xác tất giá trị riêng cặp ma trận (A, B) có phần thực âm Như hàm truyền xác định trục ảo iR mặt phẳng phức Kết là, định lý 3.3.12 viết lại sau Định lý 3.4.3.2 Cho A, B, E, F bất biến theo thời gian, hệ (3.1) có số ổn định mũ Nếu chọn p = d C  A, B; E , F   L 1 1   sup F  A  B  E   iR  1 Chứng minh   L Theo bổ đề 3.2.8 (c), ta dễ dàng xác định Ta cần L giới hạn lim F  A  B  E  FQG 1E 1   cách biến đổi cặp ma trận hệ số (A, B) theo chuẩn Weierstrass – Kronecker (xem [5], [9]) theo hệ nửa hiển (3.4.1) làm rõ ta có: 1 0 sup F  A  B  E  FQG 1E  L iR Từ định lý 3.4.3.2, việc tính bán kính ổn định hệ bất biến theo thời gian giải cách tối ưu giải số, ví dụ xem [4], [18] Cuối lưu ý đẳng thức định lý 3.4.3.2 mang nghĩa xác bán kính ổn định phức nhiễu động nghiên cứu trùng với bán kính ổn định phức nhiễu tĩnh (nghĩa  ma trận bất biến theo thời gian) xét [6], [7], [18] Vì định lý 3.4.3.2 tổng quát kết trước hệ tuyến tính ODEs [10] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 58 of 120 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 120 KẾT LUẬN Bản luận văn trình bày sở luận án [2] báo [8] bán kính ổn định hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động thu số kết sau: Đưa công thức cho toán tìm bán kính ổn định phức hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng, bán kính ổn định phức bán kính ổn định thực hệ phương trình vi phân đại số Một định nghĩa xây dựng bán kính ổn định cho phương trình vi phân đại số tuyến tính có hệ số phụ thuộc tham số thời gian đưa Ở mục cuối cùng, vài trường hợp đặc biệt xem xét, phân tích Những kết thu khiêm tốn, điều kiện đưa tương đối ngặt song kết bước đầu mà thu mang ý nghĩa định Những kết mở số vấn đề để tiếp tục nghiên cứu: Bán kính ổn định thực hệ phương trình vi phân đại số Nếu điều kiện hệ dương đảm bảo d  d R không Nới lỏng giả thiết A1, A2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 59 of 120 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Thị Lan (2000), Một số tính chất hệ phương trình vi phân tuyến tính đại số 1, số 2, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội [2] Đào Thị Liên (2004), Về ổn định hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân đại số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội [3] Phạm Văn Việt (2005), Về ổn định nghiệm số phương trình vi phân đại số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [4] Bracke M (2000), On stability radii of parametrized linear diffirential – algebraic systems, PhD thesis, University of Kaiserslautern [5] Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R (1996), Numerical Solution of Initial Value Problems in Diffirential - Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia, PA [6] Nguyễn Hữu Dư (1999), “Stability radii for diffirential - algebraic equations”, Vietnam J Math (27), 379-382 [7] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh (2006), “Robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in ther leading tern”, IMA J math Control Inform, (23), 67-84 [8] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh (2006) , “Stability radii for linear timevarying diffirential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”, Journal of Differential Equations, (230), 579-599 [9] Griepentrog E., März R (1986), Diffirential - Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner - Texte Math., Teubner, Leipzig Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 60 of 120 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 120 [10] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1992), “Destabilization by output feedback, Differential Integral Equations” (2), 357-386 [11] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1986), “Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation”, Systems Control Lett (8), 105-113 [12] Jacob B (1998), “A formula for the stability radius of time-varying systems”, J Diffirential Equations (142), 167-187 [13] Kolmogorov A.N., Fomin S.V (1970), Introductory Real Analysis, revised English ed., Dover, New York [14] Lamour R., März R., Mattheij R.M.M (1992), On the stability behavious of systems obtained by index - reduction, Fachbereich Mathematic, O - 1086 Berlin, PF1297, BRD, Berlin [15] März R (1991), On quasilinear index diffirential algebraic equations, Fachbereich Mathematic, O - 1086 Berlin, PF1297, BRD, Berlin [16] März R (1992), Numerical methods for diffirential - algebraic equations, in: Acta Numer., Cambridge Univ Press, Cambridge, pp 141-198 [17] März R (1997), Extra-ordinary Diffirential Equation Attempts to an analysis of Algebraic System, Preprint N0 97-8, Humboldt Universitatzu Berlin [18] Qiu L., Davision E.J (1992), “The stability robustness of generalized eigenvalues”, IEEE trans Automat Control, (37), 886-891 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 61 of 120 61 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... hệ phương trình vi phân đại số Người ta phân lớp hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm số hệ phương trình vi phân loại Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm số hệ phương trình vi phân đại số. .. 1.3 Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi phân thƣờng hệ phƣơng trình đại số 1 , 3 Trong mục ta nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số. .. số tuyến tính hệ số có số số thành hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer