Các phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN PHNG THO CC PHNG PHP H THP CP PHNG TRèNH VI PHN THNG CP CAO LUN VN THC S TON HC H NI, 2017 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN PHNG THO CC PHNG PHP H THP CP PHNG TRèNH VI PHN THNG CP CAO Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS HONG NG HUN H NI, 2017 Li cm n hon thnh khúa lun tt nghip ny, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Hong Ng Hun, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun Tụi cng xin chõn thnh cm n s giỳp quý bỏu ca cỏc ging viờn ging dy lp cao hc K19 chuyờn ngnh Toỏn gii tớch núi riờng, cỏc thy, cụ giỏo trng i hc S phm H Ni núi chung ng thi, tụi xin gi li cm n ti gia ỡnh, bn bố v ng nghip ó luụn quan tõm, ng viờn tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 06 nm 2017 Tỏc gi Nguyn Phng Tho Li cam oan Tụi xin cam oan lun ny l kt qu nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS Hong Ng Hun Trong quỏ trỡnh nghiờn cu khúa lun ca mỡnh, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n Cỏc kt qu trớch dn lun ny ó c ch rừ ngun gc v a vo mc ti liu tham kho H Ni, thỏng 06 nm 2017 Tỏc gi Nguyn Phng Tho Mc lc M u Chng Phng phỏp lý thuyt nhúm gii tớch 1.1 Nhúm 1.2 Nhúm cỏc phộp bin i im 1.3 Vớ d gim cp ca phng trỡnh vi phõn 16 1.3.1 p dng lý thuyt nhúm gii tớch gii phng trỡnh vi phõn y + y = 16 x2 y x 17 1.3.2 p dng lý thuyt nhúm gii tớch gii phng trỡnh vi phõn y = 1.3.3 Gim cp ca phng trỡnh vi phõn cp 18 1.4 S lc v thut toỏn gim nhiu cp ca lý thuyt nhúm 19 1.5 Tỡm toỏn t ca phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 22 Chng Phng phỏp tớch phõn u 28 2.1 Lý thuyt tớch phõn u 29 2.2 Phng phỏp gim cp bng tớch phõn u 30 2.3 Tỡm tớch phõn u ca phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 31 Chng Mi liờn h gia toỏn t i xng v tớch phõn u 37 3.1 Bin i ca tớch phõn u di tỏc ng ca toỏn t i xng 37 3.2 Phi hp hai phng phỏp h ton b cp, gii phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 41 Kt lun 46 Ti liu tham kho 47 M u Lý chn ti Nh chỳng ta ó bit, phng trỡnh vi phõn cú nhiu loi khỏc nhau: phng trỡnh vi phõn thng, phng trỡnh vi phõn o hm riờng hay phng trỡnh vi phõn hm Gia nhng loi ú thỡ phng trỡnh vi phõn thng ht sc thỳ v vỡ nhiu bi toỏn sau bin i cui cựng li quy v gii phng trỡnh vi phõn thng Cho n thi im hin ti, phng phỏp ch yu tỡm nghim chớnh xỏc ca cỏc phng trỡnh vi phõn thng cp cao l phng phỏp h thp cp bng tớch phõn th nht v lý thuyt nhúm gii tớch Phng phỏp u tiờn ta ó c bit n qua rt nhiu ti liu vit v phng trỡnh vi phõn Trong ú, phng phỏp th hai li l phng phỏp hon ton mi Nú c vit bi nh toỏn hc Sophus Lie (1842 - 1899) ngi Na Uy nh l mt lý thuyt tng t nh lý thuyt Galoa i vi phng trỡnh i s Cụng c chớnh ca lý thuyt ny l s khỏm phỏ cỏc nhúm bin i liờn tc (c gi theo tờn ụng l nhúm Lie) v nghiờn cu cỏc trng vect c to t chỳng õy l i tng cho mt dng tuyn tớnh húa ca lut nhúm v cú cu trỳc ngy gi l mt i s Lie Vi mong mun trỡnh by c th phng phỏp th nht v gii thiu n phng phỏp th hai, c s hng dn ca TS Hong Ng Hun, tụi ó chn ti Cỏc phng phỏp h thp cp phng trỡnh vi phõn thng cp cao thc hin lun tt nghip chng trỡnh o to thc s chuyờn ngnh toỏn gii tớch 2 Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu v hai phng phỏp h thp cp phng trỡnh vi phõn thng cp cao l: lý thuyt nhúm gii tớch v tớch phõn u T ú, ỏp dng c th vo gii phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu phng trỡnh vi phõn thng cp cao Tỡm hiu phng phỏp lý thuyt nhúm gii tớch, phng phỏp tớch phõn u v nh lý v s kt hp hai phng phỏp ny p dng gii phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Lý thuyt nhúm gii tớch v phng phỏp tớch phõn u Phm vi nghiờn cu: Nghiờn cu lý thuyt chung v ỏp dng vo phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 Phng phỏp nghiờn cu Cỏc phng phỏp ca lý thuyt phng trỡnh vi phõn thng, lý thuyt nhúm gii tớch c in, lý thuyt phng trỡnh vi phõn o hm riờng v cỏc cụng c ca lý thuyt tớch phõn u úng gúp ca lun Trỡnh by lý thuyt v tớch phõn u, nhõn t tớch phõn a phng phỏp tỡm tớch phõn u v nhõn t tớch phõn trc tip t phng trỡnh nh ngha v ta gi l phng phỏp trc tip.1 Gii thiu lý thuyt nhúm gii tớch h thp cp phng trỡnh vi phõn thng cp cao a cỏch kt hp hai phng phỏp tỡm nghim chớnh xỏc ca phng trỡnh ó cho Tn ti mt phng phỏp th hai tỡm tớch phõn u ú l phng phỏp toỏn t Euler Chng Phng phỏp lý thuyt nhúm gii tớch i vi cỏc phng trỡnh vi phõn cp 1, cp ó cú nhiu phng phỏp gii, chng hn nh phng trỡnh thun nht y = dy y = dx x y hay y = ux Khi ú, phng trỡnh thun x nht tr thnh phng trỡnh phõn li bin s c gii bng cỏch t u = du dx = (u) u x Nguyờn hm hai v ca phng trỡnh ny ta nhn c du = ln x + C (u) u Hay phng trỡnh vi phõn khụng cha x cú dng F (y, y , y , , y (n) ) = (1.0.1) bng cỏch t y = z thỡ tt c cỏc o hm bc cao u biu din c qua z nhng cp nh hn mt mt n v nh sau y = zy z, y = [zy + (zy ) ]z, y (n) = (z, zy , , zy(n1) ) Khi ú, phng trỡnh ban u (1.0.1) tng ng vi phng trỡnh P (y, z, z , z , , z (n1) ) = (1.0.2) Rừ rng, phng trỡnh (1.0.2) ó c gim mt cp so vi phng trỡnh (1.0.1) Cho n nay, phng trỡnh vi phõn cp cao thng c gii bng cỏch h thp cp xung Vy c s no tỡm cỏch t cỏc hm ph cho c hai phng trỡnh trờn? Nu cho mt phng trỡnh bc cao bt kỡ khỏc vi cỏc dng c in trờn thỡ ta lm th no tỡm hm t gim cp ca phng trỡnh dn n li gii Chng ny, ta s trỡnh by lý thuyt nhúm gii tớch gii quyt trờn v ỏp dng c th vo phng trỡnh y (IV ) = y 5/3 1.1 Nhúm nh ngha 1.1.1 Mt nhúm G l mt hp cỏc phn t vi qui tc hp thnh gia cỏc phn t tha cỏc tiờn sau (i) Tớnh cht úng Vi bt kỡ cỏc phn t a v b ca G (a, b) G (ii) Tớnh cht kt hp Vi bt kỡ cỏc phn t a, b, c ca G a, (b, c) = (a, b), c (iii) Phn t ng nht Tn ti nht mt phn t ng nht e ca G cho vi bt kỡ phn t a ca G (a, e) = (e, a) = a (iv) Phn t nghch o Vi bt kỡ phn t a ca G tn ti nht mt phn t nghch o a1 G cho (a, a1 ) = (a1 , a) = e A = A(x), B = yAx + C2 (x) Dn n Vy, R = M = Ay1 yAx + C2 (x) Thay R va tỡm c vo (2.3.9c) ta c 2y1 Axx + yAxxx C2xx + C1y1 = Do ú, C1y1 = 2y1 Axx yAxxx + C2xx V trỏi ca phng trỡnh trờn l o hm theo y1 cũn v phi l hm bc nht y1 nờn d dng tỡm c C1 = (y1 )2 Axx yy1 Axxx + C2xx y1 + C3 (x, y) (2.3.10) Th C1 t (2.3.10) vo (2.3.9d) ta c Axxx (y1 )2 + y1 yAxxxx + C2xxx + C3y + C3x = Ay1 y 5/3 + Ax y 2/3 C2 y 5/3 Phng trỡnh trờn l phng trỡnh thun nht bc hai ca y1 Búc tỏch h s theo bin y1 ta c Axxx = 0, yAxxxx + C2xxx + C3y = Ay 5/3 , C3x = Ax y 2/3 C2 y 5/3 (2.3.11a) (2.3.11b) (2.3.11c) Vỡ A = A(x) nờn t (2.3.11a) ta cú A = C4 x2 C5 x + C6 , vi C4 , C5 , C6 l cỏc hng s 3 Do ú, B = (C4 x + C5 )y 33 C4 x2 C5 x + C6 y1 + (C4 x + C5 )y 3 = nờn Axxxx = 0, phng trỡnh (2.3.11b) tr thnh Vy, R = M = Vỡ Axxx C3y + Ay 5/3 = C2xxx V phi phng trỡnh trờn l hm cha x, v trỏi l hm cha x, y nờn C3y + Ay 5/3 = 0, C2xxx = T phng trỡnh u ca h suy C3 = Ay 2/3 + C7 (x) 2 Thay A = C4 x2 C5 x + C6 vo C3 ta c 3 C3 = y 2/3 C4 x2 C5 x + C6 2 + C7 (x) (2.3.12) Mt khỏc, vi A = C4 x2 C5 x + C6 thỡ phng trỡnh (2.3.11c) tr 3 thnh C3x = y 2/3 (C4 x + C5 ) C2 y 5/3 Do ú, C3 = y 2/3 C4 x2 + C5 x C2 y 5/3 x + C8 (y) (2.3.13) Kt hp (2.3.12) v (2.3.13) ta thy 2/3 y C6 + C7 (x) = C2 y 5/3 x + C8 (y) C7 (x) = y 2/3 C6 C2 y 5/3 x + C8 (y) V phi ca phng trỡnh trờn l hm ca x, y ; v trỏi l hm ca x, búc tỏch phng trỡnh ny d thy C7 (x) = Khi ú, C3 = y 2/3 C4 x2 C5 x + C6 2 Phng trỡnh (2.3.11c) c vit li nh sau 2 y 2/3 (C4 x + C5 ) = y 2/3 C4 x C5 C2 y 5/3 3 34 D thy, C2 (x) = Thay A, C2 , C3 ó cú vo (2.3.10) ta thu c C1 = C4 (y1 )2 + y 2/3 C4 x2 C5 x + C6 2 T ú, ta tớnh Q 1 1 Q = (y2 )2 C4 x2 C5 x + C6 y2 y1 C4 x + C5 + C4 y 3 3 + C4 (y1 )2 + y 2/3 C4 x2 C5 x + C6 2 Do ú, tớch phõn th nht cú dng C4 x 1 + C5 x C6 P = y3 C5 x + C6 y1 + (C4 x + C5 )y + (y2 )2 C4 x2 1 y2 y1 C4 x + C5 + C4 y + C4 (y1 )2 3 3 + y 2/3 C4 x2 C5 x + C6 2 Vỡ tớch phõn u P ph thuc vo cỏc tham s C4 , C5 , C6 nờn ta tỡm c tớch phõn u 1 P1 (1, 0, 0) = a1 = y3 x2 y1 + xy + x2 (y2 )2 xy1 + y y2 + (y1 )2 x2 y 2/3 , (2.3.14) 3 2 1 P2 (0, 1, 0) = a2 = y3 xy1 + y + x(y2 )2 y1 y2 xy 2/3 , 3 (2.3.15) P3 (0, 0, 1) = a3 = y3 y1 (y2 )2 + y 2/3 2 Rỳt y3 t phng trỡnh (2.3.16) a3 + (y2 )2 y 2/3 2 y3 = y1 35 (2.3.16) Th vo (2.3.15) ta c 6a2 y1 = 3y(y2 )2 2(y1 )2 y2 4xa3 y1 + 6a3 y 9y 1/3 (2.3.17) Nhõn c hai v ca phng trỡnh trờn vi x ta c 6xa2 y1 = 3xy(y2 )2 2x(y1 )2 y2 4x2 a3 y1 + 6a3 xy 9xy 1/3 (2.3.18) Thay y3 vo (2.3.14) ta c 6a1 y1 = 3xy(y2 )2 y2 2x(y1 )2 + 6yy1 2a3 x2 y1 + 4(y1 )3 + 6xya3 9xy 1/3 (2.3.19) Tr v vi v ca (2.3.18) cho (2.3.19) ta c 3(xa2 a1 ) = 3yy2 a3 x2 2(y1 )2 Rỳt y2 t phng trỡnh trờn a3 x2 + 2(y1 )2 + 3a2 x 3a1 y2 = 3y Th vo (2.3.17) ta c a3 x2 + 2(y1 )2 + 3a2 x 3a1 6a2 y1 = 3y 3y 2(y1 ) 4xa3 y1 a3 x2 + 2(y1 )2 + 3a2 x 3a1 3y + 6a3 y 9y 1/3 Rỳt gn li ta c 2(y1 )2 (a3 x2 + 3a2 x 3a1 ) 6yy1 (2a3 x + 3a2 ) + 18a3 y 27y 4/3 + (a3 x2 + 3a2 x 3a1 )2 = (2.3.20) Vy phng trỡnh vi phõn ban u tng ng vi phng trỡnh (2.3.20) v cp ó gim c n v 36 Chng Mi liờn h gia toỏn t i xng v tớch phõn u Trong chng ny, ta s trỡnh by kt qu chớnh ca lun Nhng phn truc, ta ó nghiờn cu hai phng phỏp h thp cp phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 Chng th nht tỡm c toỏn t bin i im, chng th tỡm c tớch phõn u V mt lớ thuyt, mi chng ch gim c cp ca phng trỡnh vi phõn thng cp trờn Chng ny s a lớ thuyt kt hp gia hai phng phỏp, trung tõm l nh lý Zaitsep gim mt cp na dn n gii phng trỡnh vi phõn thng phi tuyn phc ó cho 3.1 Bin i ca tớch phõn u di tỏc ng ca toỏn t i xng = (y )y = y nh ngha 3.1.1 Hai toỏn t X = x+y v X tng ng theo ngha nu phng trỡnh vi phõn cú toỏn t X thỡ v ngc li cng cú toỏn t X nh lý 3.1.1 ([7]) Xột phng trỡnh vi phõn cp n y (n) = f (x, y, y , y , , y (n1) ) (3.1.1) Gi s P (x, y, y1 , , y (n1) ) l tớch phõn u ca phng trỡnh vi phõn (3.1.1) vi nhõn t tớch phõn R(x, y, y , y , , y (l) ) v X = x + y l 37 toỏn t im ca phng trỡnh (3.1.1) Khi ú, nu tỏc ng X lờn P ta thu c biu thc P = X P + c, c = const n1 v biu thc ny l tớch phõn u ca phng trỡnh (3.1.1) vi nhõn t tớch phõn tng ng = X R + n1 R, R n1 ú, n1 (n1) = y ny y (n 1)x y(n1) Chng minh Ta chng minh cho trung hp n = v trng hp tng quỏt l tng t Tỏc ng toỏn t im X lờn phng trỡnh nh ngha Dx P (x, y, y ) = [y f (x, y, y )]R ta thu c (X R)(y f ) + R[X (y f )] = X (Dx P ) (3.1.2) M (2) (1) X (y f ) = fx fy fy = (y y y 2D)(y f ), t vo (3.1.2) ta thu c v trỏi ca nú [X R + (R D)R](y f ) Tớnh v phi theo cụng thc D X X D = (D)D, 2 cui cựng ta thu c D(X P ) = (X R + R)(y f ) 1 38 õy l phng trỡnh xỏc nh ca tớch phõn u mi v ú l iu phi chng minh nh lý 3.1.2 ([3]) Gi s phng trỡnh (3.1.1) cú k toỏn t i xng dng chớnh tc nh sau: {X }, X = y , = 1, , k v cú s tớch phõn u {P }, = 1, , s Khi ú, phng trỡnh (3.1.1) cú mt toỏn t i xng dng k XB = F y (3.1.3) =1 vi F , = 1, , k l hm bt kỡ ca tớch phõn u P1 , , Ps Chng minh D thy ch cn lu ý rng mi hm s ca tớch phõn u ca phng trỡnh (3.1.1) u l hng s trờn a nghim ca phng trỡnh (3.1.1) nh lý 3.1.3 ([7]) (nh lý Zaitsep) Gi s phng trỡnh (3.1.1) cú toỏn t (3.1.3) Khi ú, vi mi tớch phõn u P ca phng trỡnh (3.1.1) (khụng nht thit thuc vo {P }) thỡ phng trỡnh P = C (3.1.4) cú s tớch phõn u c lp tuyn tớnh P suy t {P } vi = 1, , s P = P (3.1.5) P =C v nú cú mt toỏn t i xng dng nh sau k XB = =1 = ú, Q = X [P ] P =C Q )F y, Q Q = (3.1.6) , F l hm bt kỡ ca s tớch phõn u P 39 Chng minh Phn th nht ca nh lý l d thy P l cỏc hng s trờn a nghim ca phng trỡnh (3.1.1) Nhng phng trỡnh (3.1.4) v (3.1.1) l tng ng nhau, tc l nú cựng biu din mt a nghim Kt hp vi (3.1.5) suy rng P l tớch phõn u ca (3.1.4) Vỡ P l c lp tuyn tớnh nờn P cng c lp tuyn tớnh Bõy gi, ta tỡm toỏn t ca (3.1.4) t (3.1.3) Gi s rng XB (P ) n1 Do ú k = P =C n1 D(i) ( F ) =1 i=0 P y (i) = (3.1.7) P =C Vit li phng trỡnh trờn di dng k n1 D(i) ( ) F =1 i=0 P + y (i) n2 D(i) ( )D(n1i) (F ) + i=0 k n2 D(i) ( )D(n1i) (F ) F Q + =1 i=0 P y (i) P y (i) = (3.1.8) P =C = (3.1.9) P =C Chỳ ý rng F l tớch phõn u ca (3.1.1) Vỡ th D(i) F chuyn thnh trờn a P = C t vo (3.1.9) ta thu c k F Q = (3.1.10) =1 Gi s = , F = Biu din F qua cỏc s hng cũn li ta thu c k F = Q F Q =1 = 40 (3.1.11) t vo (3.1.3) ta thu c (3.1.6) nh sau k XB = =1 = Q F y, Q Q = (3.1.12) Kim tra phng trỡnh (3.1.4) cú toỏn t (3.1.6) khụng Theo nh lý Q v F l tớch (3.1.1), Q l tớch phõn u ca phng trỡnh (3.1.1) Q phõn u ca (3.1.4) Tớnh toỏn tng t nh trờn, ta thu c k XB (P ) n1 Q = P =C =1 = Q Q F = Q Vy phng trỡnh (3.1.4) cú toỏn t (3.1.6) 3.2 Phi hp hai phng phỏp h ton b cp, gii phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 Xột phng trỡnh vi phõn cp y (IV ) = y 5/3 (3.2.13) Theo kt qu chng 1, phng trỡnh (3.2.13) cú toỏn t X = x2 + xy , x y X2 = x +y , x y X3 = , x toỏn t ny cú cỏc toỏn t dng chớnh tc sau X1 = xy x2 y y, X2 = y xy y, X3 = y y Theo kt qu chng 2, ta ó tỡm c tớch phõn u ca phng trỡnh (3.2.13) 41 P1 = y P2 = y P3 = y y 1 2 x y + xy + x2 (y ) xy + y y + (y ) x2 y 2/3 , 3 2 1 2/3 xy + y + x(y ) y y xy , 3 3 (y ) + y 2/3 2 Ta tỡm cỏch h cp ca phng trỡnh u bng cỏch trit tiờu y v y t h sau P1 = C P2 = C P = C 3 (3.2.14) thỡ tớch phõn u ca phng trỡnh (3.2.13) tr thnh 2Qy + 6Q yy 18C3 y Q2 + 27y 4/3 = (3.2.15) vi Q = C3 x2 + 3C2 x 3C1 Theo nh lớ (3.1.2) thỡ phng trỡnh (3.2.13) cú toỏn t Lie-Băacklund1 XB = (1 + 2 + 3 )y, (3.2.16) ú , , l cỏc ta ; i l hm bt kỡ ca tớch phõn u Chỳ ý rng trờn a cho bi phng trỡnh (3.2.15) thỡ toỏn t (3.2.16) l toỏn t bin i im Nu ta chn c hm i , i = 1, , cho phng trỡnh (3.2.15) cú toỏn t (3.2.16) thỡ thu c toỏn t im phi tỡm Bõy gi, ta xỏc nh dng ca hm s i theo nh lý (3.1.3) Phng trỡnh P = C3 Biu thc toỏn t dng (3.1.3) cũn c gi l toỏn t Lie Bă acklund 42 (3.2.17) cú hai tớch phõn u P13 = P1 , P23 = P2 P3 =C3 , (3.2.18) P3 =C3 v cú toỏn t XB = Q33 Q23 23 + 33 y Q13 Q13 Trong ú, Q23 = X2 [P3 ] P3 =C3 Q13 = X1 [P3 ] Q33 = X3 [P3 ] P3 =C3 = C3 , = P23 , = P3 =C3 Do ú, XB = + C3 23 + 33 y P23 (3.2.19) Gỏn mt tớch phõn u t mt hai tớch phõn (3.2.18) bng mt hng s ta thu c mt phng trỡnh cp nh sau P13 = C1 (3.2.20) Phng trỡnh ny li cú tớch phõn u l P231 = P23 (3.2.21) P13 =C1 Nu gn tớch phõn ny bng mt hng s ta li thu c phng trỡnh (3.2.15) Gỏn kt qu tỏc ng ca toỏn t XB lờn (3.2.20) bng Khi ú ta thu c toỏn t X= C3 C2 + + F331 y C2 C1 43 (3.2.22) Vỡ F331 tựy ý, n gin ta chn F331 = 6C1 thỡ toỏn t X tr thnh X = 3(2C1 + 3C2 + 2C3 )y, (3.2.23) c vit li nh sau = (3Q y 2Qy )y X (3.2.24) l toỏn t i xng im Bng cỏch kim tra d thy rng toỏn t X ca phng trỡnh (3.2.15) Do ú, ta cú th gii hon ton phng trỡnh tng ng vi toỏn t im X = 2Qx + ban u Toỏn t chớnh tc X 3Q y Ta vit li (3.2.15) qua ta chớnh tc ca (3.2.24) t iu kin X(t) = 1, X(u) = Hay t t + 3Q = 1, 2Q x y u u + 3Q = 2Q x y Dn n, dx t = , Q u = yQ3/2 T ú ta cú dt = , dx 2Q du = Q5/2 Q y + Q3/2 y dx Do ú, du = Q3/2 Q y + 2Q1/2 y , dt 44 du dt = Q3 (3Q y + 2Qy )2 Mt khỏc, phng trỡnh (3.2.15) c bin i nh sau 4Q2 (y )2 12QQ yy + 36C3 Qy + 2Q3 54Qy 4/3 = Hay (2Qy 3Q y)2 = 9(Q )2 y 36C3 Qy 2Q3 + 54Qy 4/3 Thay Q v Q ó cú vo 9(Q )2 y 36C3 Qy thỡ phng trỡnh trờn tr thnh (2Qy 3Q y)2 = 27y (3C2 + 4C1 C3 ) 2Q3 + 54Qy 4/3 (3.2.25) du = Q3 (3Q y + 2Qy )2 v y = uQ3/2 vo phng trỡnh dt (3.2.25) ta c Th du dt = 27u2 (3C2 + 4C1 C3 ) + 54u4/3 Do ú, du = dt 27(3C2 + 4C1 C3 )u2 + 54u4/3 Ly nguyờn hm hai v, ta thu c du 27(3C2 + 4C1 C3 = )u2 + 54u4/3 dt + C (3.2.26) Nh vy, ta ó tỡm c li gii ca phng trỡnh vi phõn (3.2.13) dng cha du tớch phõn (3.2.26) v thnh cụng vic h thp cp ca phng trỡnh ú xung n v 45 Kt lun Lun nghiờn cu hai phng phỏp h thp cp phng trỡnh vi phõn thng Cỏc kt qu chớnh ca lun bao gm Gii thiu lý thuyt nhúm gii tớch h thp cp phng trỡnh vi phõn thng cp cao Trỡnh by lý thuyt v phng phỏp tớch phõn u a cỏch kt hp hai phng phỏp tỡm nghim chớnh xỏc ca phng trỡnh vi phõn y (IV ) = y 5/3 46 Ti liu tham kho [A] Ti liu Ting Vit [1] Nguyn Th Hon v Phm Phu (2007), C s phng trỡnh vi phõn v lớ thuyt n nh, NXB Giỏo dc [2] Nguyn Th Hon v Trn Vn Nhung (2009), Bi phng trỡnh vi phõn, NXB Giỏo dc [B] Ti liu Ting Anh [3] G W Bluman and S C Anco (2002), Symmetry and Integration Methods for Differential Equation, Springer, New York, 34 290 [C] Ti liu Ting Nga [4] [5] ộửồõ ễ ẽợởớốớ ẹùõợữớốờ ùợ ợỏỷờớợõồ ớớỷỡ ởốụụồồớửốởỹớỷỡ úõớồớốỡ ễốỗỡũởốũ ỏóốỡợõ ế ỗỏúờ óúùùợõợóợ ớởốỗ ũốờ ờốỏồớồũốờ [6] ớớốồ ủồ ủ ỏóốỡợõ ế ùỷũ óúùùợõợóợ ớởốỗ ờốỏồớồũốờ ũồỡ ũồỡũốờ ớớốồ ủồ ủ [7] Hoang Ngu Huan (2010), ẽồõỷồ ốớũồóởỷ ố ũồợồỡ ớũồ ẹớờũ ẽồũồỏúó 47 ... Như biết, phương trình vi phân có nhiều loại khác nhau: phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng hay phương trình vi phân hàm Giữa loại phương trình vi phân thường thú... giải phương trình vi phân thường Cho đến thời điểm tại, phương pháp chủ yếu để tìm nghiệm xác phương trình vi phân thường cấp cao phương pháp hạ thấp cấp tích phân thứ lý thuyết nhóm giải tích Phương. .. hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao • Đưa cách kết hợp hai phương pháp tìm nghiệm xác phương trình cho Tồn phương pháp thứ hai tìm tích phân đầu phương pháp toán tử Euler Chương Phương