BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN 1/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân + =0.. Nghiệm tổng quát.. Nghiệm kì dị.. Nghiệm cơ bản... PTVP đẳng cấp 1/ Phương trình vi phân nào s

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN 1/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân + =0.

cos sin

dx dy

A siny− cosx C=

B cosx+ siny C=

C C1 cosx C+ 2 siny= 0.

D − sinx+ cosy C= .

2/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân + + =

−

dx dy

A arctanx+ arcsiny C= .

B arctany+ arcsinx C= .

C arctanx− arcsiny C= .

arctanx+ ln y+ 1 −y =C.

3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′ sin 2 x y+ = 0.

A cot x

B y Ce= −cot x

C y C e= + −cot x

4/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1 x) x 0.

A y C= (1 −e x).

B (1 x)

C y

e

=

− .

2

x

5/ Nghiệm x = -1 của phương trình vi phân xydx+ + (1 x dy) = 0 được gọi là:

A Nghiệm tổng quát

B Nghiệm riêng

C Nghiệm kì dị

D Nghiệm cơ bản

6/ Nghiệm riêng của phương trình vi phân (1 +e yy x) ′ =e x thỏa điều kiện ban đầu y(0) = -1 là:

A e y2 2 = e(1 +e x)

2e y =e(1 +e x)

C 2e y2 2 = e(1 +e x)

D e y2 2 = e(2 −e x)

7/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = -y/x với điều kiện đầu y(1)=2

A y=-2/x

B y= 2/x

C y= 1/x

D y=-1/x

8/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân (1+x 2 )dy+ydx=0 với điều kiện đầu y(1)=1

4 x x

D y= e−arctan x

9/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : 1 −y dx x2 + lnxdy= 0.

A x 1 +y dx xy2 + lnx C=

B ln lnx +arcsiny C= .

C ln lnx + 1 y− 2 =C

D ln lnx arctgy C+ = .

10/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 2 2 0.

x + y =

A arcsin x + arctg y =C

B arcsin x - arctg y =C

C arctg x + arcsin y =C

D arctg x - arcsin y =C

11/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : 2

1 −x dy y+ lnydx= 0.

A ln|lny|+arcsinx = C

B ln|lnx|+arcsiny = C

C ln|lny|-arcsinx = C

D ln|lnx|+arctgy = C

12/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : 1 2 2

y

y

A ln x+ 1 +x2 + 1 −y2 =C.

B ln y+ 1 +y2 − 1 −x2 =C.

C ln x+ 1 +x2 − 1 −y2 =C.

D ln y+ 1 +y2 + 1 −x2 =C.

13/ Nghiệm của bài toán: ' cos , (0)

sin

x

A sinx+ cosy+ = 1 0.

B sinx+ cosy= 1.

C sinx+cosy=0.

D sinx− cosy= 1.

14/ Nghiệm của bài toán: (1 +y dx x xdy2 ) + ln = 0, ( ) 1y e = là:

A ln ln arctan

4

x + y=π

B ln ln arctan

4

x = y+π

C ln lnx +arctany=1.

D ln lnx = arctany+ 1.

15/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 1 +y dx xy2 + lnxdy= 0.

A ln lnx + 1 +y2 =C.

B ln y+ 1 +y2 + ln lnx =C.

C ln lnx +arcsiny C= .

D ln lnx + arctany C=

PTVP đẳng cấp

1/ Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình đẳng cấp?

+

B

.

+

=

C

.

+

=

+

D

2 + 2

=

+

2/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:

; (1) 2 2

y

+

A (y22 1)x 3

B (y 1)x 3

D (y22 1)x 3

3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y' y y22.

x x

= −

ln | |

x

y

=

+

ln | |

x

y

−

=

+

ln | |

x

y

=

−

ln | |

x

y

−

=

4/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: xy' = +y x.

A y x C= ( + ln | |).x

B y x C= ( − ln | |).x

ln | |

x

y

=

−

ln | |

x

y

=

+

5/ Tìm nghiệm của phương trình vi phân y' y 1

x

= + , với điều kiện đầu y(1) = 1.

x = +

x = −

PTVP toàn phần 1/ Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?

A ( 2) ( 2 )

B e y x( 2 +x dx) +(e x+x2 siny dy) = 0.

D e y x( 2 +x dx) +(e x−y2 siny dy) = 0.

2/ Phương trình nào cho sau đây là phương trình vi phân toàn phần?

B (ye x−xsiny x)d +(e x−ycosy y)d = 0.

C (ye x−xsinx x)d +(e x−xcosy y)d = 0.

3/ Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?

A (ye x −xe dx x) +(e x − y2sin )y dy=0

B (ye x +xe dx x) +(e x +x2sin )y dy=0

C (ye x+xe dx y) +(e x+ y2sin )y dy =0

D (ye x −xe dx y) +(e x − y2sin )y dy=0

4/ Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?

A ( siny x−cos )y dx−(cosx x− sin )y dy=0.

B ( siny x−cos )y dx+(cosx x− sin )y dy=0.

C ( siny x+cos )y dx+(cosx x+ sin )y dy =0.

D ( siny x+cos )y dx−(cosx x− sin )y dy =0.

5/ Phương trình nào cho sau đây không phải là phương trình vi phân toàn phần?

A ( ye x−xsinx x)d +(e x−xcosy y)d = 0

B (ye x+y2 sinx x)d +(e x− 2 cosy x y)d = 0

D ( ye x− siny x)d +(e x−xcosy y)d = 0

PTVP tuyến tính cấp 1 và PTVP Bernoulli 1/ Hàm số y= 2x Ce+ x , với C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của phương

trình nào sau đây?

A y' − =y 2 1( −x).

B y' + =y 2 1( −x).

y − = −y x

y+ = −y x .

2/ Hàm số y Ce= 2x+x2, với C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát của phương

trình nào sau đây?

A y' 2 − y= 2 1x( −x).

B y' 2 + y= 2 1x( −x).

' 2 1

D ( )2

' 2 1

3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 3

' y 3

x

− =

y Cx x= +

x

= + .

C y Cx= 2 +x3

D y Cx= 2 +x

4/ Tìm nghiệm của phương trình vi phân y'cos 2x y+ = 0, với điều kiện y(0)= 1.

A y e= −tan x

B y e= cot x

C y = 0.

D y e= −tanx −1

5/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' 2 y 0

x

+ = .

y

x

y

x

x

D y Cx=

6/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy y'− =3 x4

A y x= 4 +Cx

x

C y x= 4 +C

D y x= 3+C

7/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy' 2− y=2 x3

A y= 2x3 +Cx2

x C

y

x

+

=

2

2

5

y

x

D y= 2x3+C

8/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y' 2− y e= 2x

A y= +(x C e) 2x

B y= − +( x C e) 2x

C y xCe= 2x

D y Ce= 2x

9/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy' 2 + y= 5 x3

2

C

y x

x

= +

x

= +

C y Cx= 2 +x3

3

= x + +

10/ Chọn cách đổi biến thích hợp để biến phương trình Bernoulli 3

2 1

4 ' 4y y x

y

+

− =

thành phương trình vi phân tuyến tính.

A Đặt z= y4, phương trình đã cho trở thành z' 4 − z= 2x+ 1

z= y , phương trình đã cho trở thành z z' − = 4 2( x+ 1).

x

x

− = + .

D Đặt y ux= , phương trình đã cho trở thành y' = +x xu'.

PTVP.TT cấp 2 hệ số hằng – thuần nhất 1/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y'' 3 ' 2 − y+ y= 0.

1 x 2 x; , 1 2

B y e C= x( 1 cos 2( )x +C2 sin 2( )x ); ,C C1 2 ∈ R

C y e C= x( 1 cos 3( )x +C2 sin 3( )x ); ,C C1 2 ∈ R

1 x 2 x; , 1 2

2/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y'' 5 ' 6 − y+ y= 0.

1 x 2 x; , 1 2

1 cos 3 2 sin 3 ; , 1 2

x

1 x 2 x; , 1 2

1 x 2 x; , 1 2

3/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y'' 4 ' 4 − y+ y= 0.

1 x 2 x; , 1 2

1 cos 2 2 sin 2 ; , 1 2

x

1 x 2 x; , 1 2

1 x 2 x; , 1 2

4/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y'' 6 ' 9 − y+ y= 0.

1 x 2 x; , 1 2

1 cos 3 2 sin 3 ; , 1 2

x

1 x 2 x; , 1 2

1 x 2 x; , 1 2

5/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′′ + 5y′ + 6y= 0.

c e +c e−

c e− +c e− .

D y= 5

6/ Nghiệm của bài toány′′ − 5y′ + 6y= 0, (0) 2, '(0) 3y = y = là:

A y= 3e2x−e3x

B y e= 2x− 3e3x

C y e= 2x+e3x

D y= 2e2x+ 3e3x

7/ Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’’+y’-2y=0 thỏa: y(0)=0, y’(0)=1.

8/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : y’’- 3y’=0.

x

x

y C= +C e− .

9/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : y’’+ 4y’+4y=0.

B 2 2

y C e= − +C xe− .

y C e= − +C e− .

10/ Nghiệm của phương trình vi phân y'' 6 ' 9 + y + y= 0, với điều kiện y(0)= 1 và

y’(0)=1 là:

A y e= −3x+ 4xe−3x

B y e= −3x+xe−3x

C y e= −3x+ 2xe−3x

3

x

e

y= −

PTVP.TT cấp 2 hệ số hằng, không thuần nhất 1/ Một nghiệm riêng của phương trình '' 4 ' 5 x

y + y− y xe= có dạng:

r

r

r

1 x 2 x; , 1 2

r

2/ Một nghiệm riêng của phương trình 2 2

'' ' 6 x

y + −y y=x e− có dạng:

r

r

y =x ax +bx c e+ −

r

y =ax e−

D 2 3

r

3/ Một nghiệm riêng của phương trình y'' 4 ' 3 − y + y=(2x+ 1)e x có dạng:

r

r

r

r

4/ Một nghiệm riêng của phương trình 2

'' 3 ' 2 2 3

y − y + y= x − có dạng:

r

y =ax + +bx c.

r

r

r

'' 4 ' 4 3 2 x

y − y + y= − +x e có dạng:

r

r

r

r

6/ Nghiệm tổng quát của phương trình y”+3y’-4y=x là:

3 y=C e + C e

4 16

x

− − −

B x 4x

3 y=C e + C e

4 16

x

− + +

3 y=C e + C e

4 16

x

− + −

3 y=C e + C e

4 16

x

− − +

7/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân : y’’- 4y’ + 3y = x

4 y=C e + C e

3 9

x

+ +

4 y=C e + C e

3 9

x

− +

4 y=C e + C e

3 9

x

− −

4 y=C e + C e

3 9

x

+ −

8/ Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'' + =y' e x là:

A

1 2

2

x

y C= +C e− +

2

x

x xe

y C= +C e− +

C y C= 1+C e2 −x +e x

2

x

y C x C e= + − +

9/ Một nghiệm riêng của phương trình vi phân y'' + −y' 2y= − 4x là:

A y= 2x+ 1

B y x= + 3

C y x x= ( + 2)

y C e= +C e−

10/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y’’-2y’+y=xe x

1

6

x

1

6

x

1

6

x

5

6

x