MẸO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÓ HAY

Chuyên đề 6 :Kỹ thuật đánh giá giải PT 1.Thăng bằng trên không.

Chuyên đề 6 :Kỹ thuật đánh giá giải PT

1.Thăng bằng trên không

*Nhằm tạo ra sự cân bằng 2 vế rồi đánh giá:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

2 (x 3) x 4 (x 9) x 11 x 9x 10

CASIO x 5

x 5

(x 7) 0(*)

ĐK : x 4

 









 



*CASIO khảo sát PT(*) vô nghiệm vậy ta đi chứng minh như sau:

*Với điều kiện đề bài ta có nhận xét sau:

2x 14 x 9 x 5

x 7

*Lúc này cả x+9 và x+5 đều không âm nên ta đánh giá dễ dàng rồi như sau:

(x 7) 0

x 4 3 x 11 4

x 7

x 4 3 x 11 4

x 4 3 x 11 4

2

x 11 4

PT(*) VN

2

x 4 3 x 4 3

    



Ví dụ 2: Giải phương trình:

2 (x 1) x 2 (x 6) x 7 x 7x

ĐK : x 2

12

 

Lời giải :

x 2

x 4(*)









*Ta đi chứng minh PT(*) vô nghiệm bằng cách như trên :

x 4

2

Với điều kiện ta có x+6 luôn dương nên ta tách 2x+8=x+6+x+2

*Lúc này cả x+2 và x+6 đều không âm nên ta đánh giá dễ dàng rồi như sau:

2

2

x 7 3



2.Kỹ thuật thiết đầu công

*Nội dung kỹ thuật này dùng cái đầu lạnh để công phá bài toán ngay từ đề bài tháo

gỡ nút thắt:

Ví dụ 1: Giải phương trình:

x  24  x  15  3x  2

Lời giải:

x 24 x 15 0( x) 3x 2 0 x

3

         

2 2

x 1

3(*)









Rõ ràng với điều kiện trên thì x+1>0 nên VT(*)<0 nên PT(*) vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình:

5

3

Bài tập rèn luyện:

Bài 1:Giải phương trình:

9x   3 9x 1   9x  15

Bài 2: Giải phương trình:

1  4x  20   x 4x  9

3.Kỹ thuật 98 bẻ gãy sừng trâu

*Nội dung kỹ thuật này là dựa trên bất đẳng thức cơ bản nhưng như vậy là chưa đủ cần có hỗ trợ phương trình còn lại mới bẻ gãy được bài toán

*Trên mạng các em có thể tham khảo đến 17 bất đẳng thức

*Tuy nhiên với tiêu chí của Bộ thì kiến thức hoàn toàn trong sách giáo khoa nên ta chú trọng các BĐT cơ bản như Cauchy,Bunyakovsky, Mincopxki

*Dạng tổng quát 3 bất đẳng thức này như sau:

1.BĐT AM-GM:

1 2 n n

1 2 n 1 2 n

a a a

a a a ( a , a , a 0) n

" " a a a

2.BĐT Cauchy-Schwarz :

(a a a )(b b b ) (a b a b a b )

" "

*SGK còn gọi tên là Bunyakovsky

3.BĐT Mincopxki

*Bản chất Mincopxki là bất đẳng thức vecto đi thi các em phải chứng minh lại BĐT véc tơ : | u | | v | | w | | u      v w |

*Kỹ thuật đánh giá này giúp các em tìm dấu = xảy ra

*Với công cụ CASIO nhiều bạn chọn điểm rơi từ đó tìm cách tách

*Để đi sâu tìm hiểu kỹ cách tư duy chúng ta cùng xét các bài tập cơ bản

*Đánh giá là kỹ thuật khó đòi hỏi các em cần luyện nhiều thì mới hình thành kỹ năng ,hy vọng tài liệu nhỏ này hỗ trợ phần nào cho các em

Bài 1: Giải hệ phương trình

2 2

7 3y

x 4 y

2 x y (x y )(x 1) 4 2xy(x 1)





x 0

ĐK : y 0

x y 0





 



  



*Khi các phương pháp thông thường không hiệu quả hãy nghĩ ngay đến đánh giá

*Nhìn vế phải của PT đầu ta nghĩ tới đánh giá bằng bất đẳng thức (thử nhé )

x 1

4 y 2.2 y 2(y 1)







*Dừng ở đây đã chúng ta khai thác PT sau xem giúp ta điều gì không ???

2 2

2

(x y )(x 1) 4 2xy(x 1)

x(x y ) x y 4 2x y 2xy

x(x y ) 2x y (x y 2xy) 4

x(x y) (x y) 4 x(x y) 4 (x y)

y 0







*Như vậy PT sau cho ta được điều khá quan trọng giúp ta xử lý PT đầu

*Như vậy ta đã có cơ sở tách PT đầu như sau:

x 4y 5 x y 3y 5 2 3y 5 7 3y

x 4 y

0 x y 2

x 1

" "

y 1













*Có thể các em tư duy như sau :

x 1

4 y 2.2 y 2(y 1)







*Dừng ở đây khai thác PT sau     0 x y 2

*Từ đó chúng ta có cách tách như sau :

3y 3y 2 3y 2 x y 3y 2 x 4y 2

0 x y 2

" " x y 1



   

*Lời bình: Các em cần học cách tư duy bài toán và hiểu tách ra thế nào cũng có mục đích tách cho linh hoạt

Bài 2: Giải hệ phương trình :

2 2 4

x 8y 5 y 8x 5 24(x y 4) 11x 6xy 3y 12x 4y





5

x

8

ĐK :

5

y

8

 





 



*Hướng tư duy: PT đầu ta có thể nghĩ tới C-S

2 2

x 8y 5   y 8x   5 (x  y )[8(x y) 10]  

*Dừng ở đây ta khai thác PT sau xem có giúp ta điều gì ???

4

11x 6xy 3y 12x 4y

x 8y 5 y 8x 5 (x y )[8(x y) 10] 6(x y )

24(x y 4) 6(x y ) 24(x y 4) 36(x y )

3(x y ) 2(x y ) 8 0

(x y 2)[3(x y ) 4] 0 x y

2 2

2

x y 2



 



4.Kỹ thuật đánh giá mẫu số (hồi sau sẽ rõ …)