ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC BÙI THỊ HUỆ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC[.]
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC BÙI THỊ HUỆ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hồng Văn Thi THANH HĨA, NĂM 2013 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình khoa học cơng bố Người cam đoan Bùi Thị Huệ ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, tác giả xin gửi đến thầy giáo - TS Hoàng Văn Thi lòng biết ơn sâu sắc hướng dẫn giúp đỡ thầy tác giả suốt thời gian học tập việc hoàn thành luận văn Thầy truyền đạt cho tác giả ý tưởng, cảm hứng đề tài nghiên cứu Thầy giúp đỡ mặt chuyên mơn mà cịn giúp đỡ tác giả mặt tinh thần lúc tác giả gặp khó khăn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giảng dạy truyền đạt cho tác giả kiến thức năm học cao học; cảm ơn quý thầy cô khoa Khoa Học Tự Nhiên trường Đại học Hồng Đức tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu, trang bị kiến thức cần thiết cho tác giả suốt năm học cao học Tác giả xin chân thành cảm ơn học viên lớp cao học Tốn giải tích trường Đại học Hồng Đức hỗ trợ mặt thời gian qua Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình giúp đỡ hỗ trợ tinh thần cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Thanh Hóa, ngày 20 tháng 10 năm 2013 Tác Giả Bùi Thị Huệ iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Kí hiệu dùng luận văn iii Mở đầu Chương 1.Hệ ngẫu nhiên số khái niệm điều khiển 1.1 Một số khái niệm sở 1.2 Hệ ngẫu nhiên quan sát 1.3 Toán tử điều khiển ngẫu nhiên 1.4 Các định nghĩa tính điều khiển 1.5 Nguyên lí lượng cực tiểu 13 Chương Một số kết tính điều khiển hệ ngẫu nhiên tuyến tính 15 2.1 Tính điều khiển hồn toàn 15 2.2 Tính điều khiển xấp xỉ 17 2.3 Tính S-điều khiển 19 2.4 Ứng dụng 23 Kết luận 27 iv KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN R: Tập số thực Rn : Không gian Euclide n chiều D(A): Miền xác định A δ(A): Phổ A L(X, Y ): Tập toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L0 (X, Y ): Tập tốn tử tuyến tính liên tục có miền xác định tồn khơng gian X h· , · i: Tích vơ hướng k· k: Chuẩn R−1 : Ma trận nghịch đảo R H k (D) := {x ∈ L2 (D)| x có đạo hàm suy rộng Dα x ∈ L2 (D), ∀|α| ≤ k} ⊕: Tổng trực tiếp dy : Đạo hàm bậc y theo t dt dˆ x(t): Đạo hàm bậc biến ngẫu nhiên x theo t Dt x(t, · ): Đạo hàm riêng bậc hàm x(t, · ) theo t Rb a f (t)dt: Tích phân Bochner Lebesgue hàm f (t) : [a, b] → X MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực tốn học có nhiều ứng dụng quan trọng, xuất phát triển thập kỉ gần Trong thực tiễn khoa học kĩ thuật, có nhiều tốn điều khiển hệ thống mơ tả phương trình tốn học có chứa mối quan hệ vào-ra Một mục đích tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển (đầu vào) cho hệ thống (đầu ra) có tính chất mà ta mong muốn Thông thường, việc chuyển hệ thống có điều khiển từ vị trí tới vị trí khác thực nhiều phương pháp tác động biến điều khiển Căn vào mục đích cụ thể hệ thống để xác định toán điều khiển khác (như Bài toán điều khiển được, Bài toán điều khiển tối ưu, Bài tốn ổn định ổn định hóa, .) Tính điều khiển hệ động lực bắt đầu ý tưởng kết quan trọng R Kalman (xem [2]) từ đầu thập kỉ 60 kỉ XX, tiêu chuẩn đại số (còn gọi tiêu chuẩn hạng Kalman) điều kiện điều khiển hệ vi phân tuyến tính có hệ số số Sau mở rộng cho hệ vơ hạn chiều (xem [3], [4]) nhận nhiều kết thú vị (xem [5],[6],[7]) Sau có nhiều cơng trình tính điều khiển hệ ngẫu nhiên nghiên cứu (xem [8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15]) Trong lí thuyết điều khiển, hệ vô hạn chiều người ta thường phân biệt tính điều khiển hồn tồn tính điều khiển xấp xỉ Nguyên do, hệ điều khiển vơ hạn chiều, việc tìm điều khiển để hệ điều khiển hoàn toàn khó khăn khơng phải hệ điều khiển hoàn toàn Một hệ gọi điều khiển xấp xỉ từ trạng thái điều khiển lân cận trạng thái khác điều khiển chấp nhận Đối với tính điều khiển hệ ngẫu nhiên, có ba khái niệm tính điều khiển được, là: điều khiển hồn toàn, điều khiển xấp xỉ S-điều khiển Một ba khái niệm tính điều khiển hệ ngẫu nhiên tuyến tính nghiên cứu Bashirov, A.E, Mahmudov, N.I (xem [13],[14]).Khi xét đến không gian Hilbert vô hạn chiều, ba loại điều khiển nói tổng quát hóa nên lớp hệ xác định không gian vô hạn chiều Các phân tích nhiều nhà tốn học rằng: (i) Xét tính điều khiển hồn tồn hệ ngẫu nhiên tuyến tính thời điểm T, tính điều khiển hoàn toàn với thời gian đủ nhỏ hệ ngẫu nhiên tuyến tính hệ xác định tương đương (ii) Xét tính điều khiển xấp xỉ hệ ngẫu nhiên tuyến tính thời điểm T, tính điều khiển xấp xỉ với thời gian đủ nhỏ hệ ngẫu nhiên tuyến tính hệ xác định tương đương (iii) Điều khiển xấp xỉ hệ ngẫu nhiên tuyến tính thời điểm T với S-điều khiển hệ với tập Gauss-điều khiển Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính điều khiển hệ ngẫu nhiên tuyến tính ứng dụng Mục đích luận văn trình bày có hệ thống khái niệm tính điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên mô tả phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian Hilbert vô hạn chiều Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận phần Tài liệu tham khảo Chương trình bày khái niệm bản, hệ ngẫu nhiên quan sát được, toán tử điều khiển ngẫu nhiên, định nghĩa nguyên lí lượng cực tiểu Chương chứng minh điều kiện cần đủ tính điều khiển hệ ngẫu nhiên tuyến tính Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm bản; hệ ngẫu nhiên quan sát được; toán tử điều khiển ngẫu nhiên; định nghĩa nguyên lí lượng cực tiểu 1.1 Một số khái niệm Cho (Ω, F, P) không gian xác suất với phép lọc {Ft : ≤ t ≤ T }, X, H, E U không gian Hilbert tách được; ω(t) trình Wiener E với toán tử hiệp phương sai Q x0 biến Gauss-giá trị H với trung bình toán tử hiệp phương P0 ; ω1 (t) vector giá trị trình Wiener Rk với ma trận hiệp phương sai Q1 Chúng ta giả sử x0 , ω, ω1 độc lập với L2 (Q1/2 E, H) không gian tất toán tử Hilbert-Schimidt từ Q1/2 vào H với chuẩn Hilbert-Schimidt k· k2 L(U, H) không gian tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ U vào H LF2 (0, T ; X) không gian tất Ft thích nghi, X-giá trị đo ϕ(t, ω) (0, T ) cho RT E kϕ(t, ω)k2 dt < +∞, U = LF2 (0, T ; U ) B2 (∆; L(Rk , U )) không gian hàm giá trị L(Rk , U ) ∆ = {(t, s) : ≤ s ≤ t ≤ T }-đo mạnh bình phương khả tích tương ứng với độ đo Lebesgue ∆ L2 (FT , H) := L2 (Ω, FT , H) Kí hiệu D(R) miền xác định ImR ảnh tốn tử tuyến tính R Mỗi tốn tử tự liên hợp R không gian Hilbert H gọi không âm (R ≥ 0), hRz, zi ≥ với z ∈ D(R); R gọi cưỡng (R − γI ≥ 0) tồn γ > cho hRz, zi ≥ γkzk2 Lấy f hàm P-đo từ Ω tới L2 (0, T ; Y ) Với < t ≤ T , ta kí hiệu ft hạn chế f lên [0, t] × Ω σ(ft ) σ-đại số sinh ft (s), ≤ s ≤ t Cho Xft = L2 (Ω, σ(ft ), P, X) Khi đó, tập Rφ Xft dt = {x ∈ L2 (0, T ; X) : xt ∈ Xft với ∀t ∈ [0, T ]} tổng Hilbertian không gian Xft 1.2 Hệ ngẫu nhiên quan sát Chúng ta xem xét lớp hệ ngẫu nhiên quan sát vô hạn chiều sau đoạn [0, T ] dạng: dx(t) = [Ax(t) + Bu(t)]dt + X dw(t), x(0) = 0, (1.1) dz(t) = Cx(t) + F dw1 (t), với A phần tử sinh vơ nhỏ C0 -nửa nhóm S(t) H, P B ∈ L(U, H), ∈ L2 (Q1/2 E, H), C ∈ L(H, Rk ), Q1 F khả nghịch, −1 Q−1 ∈ L(Rk ) sau đây, để tránh vấn đề phụ thuộc Uzt , F, F vào trình điều khiển cơng trình Bensoussan Viot (xem [17]) lấy lớp điều khiển chấp nhận dạng: Z Φ Z Φ Uad = Uzt dt ∩ Uzt dt ⊂ L2 ([0, T ] × Ω; U ), (1.2) z (· ) trình quan sát điều khiển Đối với điều khiển chấp nhận được, u ∈ Uad này, [17] Uzt0 = Uzt khơng phụ thuộc vào việc chọn điều khiển Vì vậy, với u ∈ Uad , (1.1) q trình ngẫu nhiên hồn tồn xác định u điều khiển ngược lại xác định 16 Chứng minh Rõ ràng (b) ⇔ (c) (d) ⇒ (a) Ta chứng minh (a) ⇒ (b) (b) ⇒ (d) (a) ⇒ (b): Giả sử hệ ngẫu nhiên (1.4) điều khiển hồn tồn [0, T ] theo Định lí 2.1.1: EhΠT0 z, zi ≥ γEkzk2 với γ > với z ∈ L2 (ZT , H) Để tính điều khiển hồn toàn hệ xác định (1.6) ta viết vế trái bất đẳng thức theo phần tử ΓTs Để làm điều đó, ta sử dụng Bổ đề 1.3.1: k Z T k Z T D E X X T T T E(Π0 z, z) = E Γ0 Ez + Γs ϕj (s)dwˆj (s), Ez + ϕj (s)dwˆj (s) j=1 = hΓT0 Ez, Ezi +E j=1 k X ≥ γ kEzk + E k X j=1 T Z hΓTs ϕj (s), ϕj (s)ids αj j=1 Z T kϕj (s)k ds αj Nếu Ez = ϕ(s) cho: h s ∈ [r, r + ε) ϕ1 (s) = 0 s khoảng lại ϕj (τ ) = 0, j = 2, 3, , k, τ ∈ [0, T ] bất đẳng thức cuối viết dạng Z r r+ε hΓTs ϕ1 (s), ϕ1 (s)ids Z ≥ r+ε kϕ1 (s)k2 ds r Lấy giới hạn ε → 0+ ta thấy hΓTr h, hi ≥ γkhk2 , với γ > , nghĩa hệ (1.6) điều khiển hoàn toàn đoạn [r, T ] (c) → (d): Nếu hệ xác định (1.6) điều khiển [s, τ ], 17 tốn tử Γτs khả nghịch toán tử xác định Z τ τ τ −1 A0 z = (Γ0 ) Ez + (Γτs )−1 ϕ(s)dw(s) ˆ nghịch đảo Πτ0 Từ tính khả nghịch Πτ0 với τ > thu hệ điều khiển hoàn tồn thời gian nhỏ hệ (1.4) 2.2 ♦ Tính điều khiển xấp xỉ Định lí 2.2.1 [15] Hệ điều khiển (1.4) điều khiển xấp xỉ [0, T ] điều kiện sau nghiệm đúng: (a) ΠT0 > (b) λR(λ, ΠT0 ) hội tụ tới toán tử λ → 0+ tốn tử tơpơ mạnh (c) λR(λ, ΠT0 ) hội tụ tới toán tử λ → 0+ tốn tử tơpơ yếu Định lí 2.2.2 Các điều kiện sau tương đương: (a) Hệ ngẫu nhiên (1.4) điều khiển xấp xỉ [0, T ] (b) Hệ xác định (1.6) điều khiển xấp xỉ [s, T ], ≤ s < T (c) Hệ xác định (1.6) điều khiển xấp xỉ thời gian nhỏ (d) Hệ ngẫu nhiên (1.4) điều khiển xấp xỉ thời gian nhỏ Chứng minh Rõ ràng (b) ⇔ (c), (d) ⇒ (a) (a) ⇒ (b): Cho hệ ngẫu nhiên (1.4) điều khiển xấp xỉ [0, T ] EkλR(λ, ΠT0 )zk2 → 18 Từ kết hợp với phương trình (1.13) ta có: E|λR(λ, ΠT0 )zk2 = kλR(λ, ΓT0 )Ezk2 +E k X T Z kλR(λ, ΓT0 )ϕj (s)k2 ds → αj j=1 (2.1) Từ E k X j=1 Z αj T kλR(λ, ΓT0 )ϕj (s)k2 ds → 0 Z(0,T,L2 (Rk ,H)) với ϕ(· ) ∈ L2 , hệ có dãy {λk } cho với h ∈ H kλk R(λk , ΓTs )hk → hầu khắp nơi [0, T ] Do tính liên tục R(λ, ΓTs ) nên tính chất nghiệm với ≤ s < T (c) ⇔ (d): Nếu hệ xác định (1.6) điều khiển xấp xỉ [s, T ] kλR(λ, ΓTs )hk → λ → 0+ Từ k X j=1 αj kλR(λ, ΓTs )ϕj (s)k2 ≤ k X αj kϕj (s)k2 j=1 Theo định lí hội tụ trội Lebesgue có dạng (2.1) ta E|λR(λ, ΠT0 )zk2 → nghĩa hệ ngẫu nhiên (1.4) điều khiển xấp xỉ thời gian nhỏ ♦ Định lí 2.2.3 Cho S(t) đơn lập Những phát biểu sau tương đương: (a) Hệ ngẫu nhiên (1.4) điều khiển xấp xỉ [0, T ] (b) Hệ xác định (1.6) điều khiển xấp xỉ [0, T ] (c) Hệ xác định (1.6) điều khiển xấp xỉ thời gian nhỏ 19 Chứng minh Ta biết (b) ⇔ (c) Nếu S(t) nửa nhóm đơn lập (a) ⇔ (c) suy từ Định lí 2.2.2 Vì thế, định lí chứng ♦ minh 2.3 Tính S-Điều khiển Để so sánh điều khiển xấp xỉ điều khiển chung ta hạn chế g trường hợp tập điều khiển phải tập Gauss Uad Định lí 2.3.1 (i) Tính điều khiển hệ (1.4) với tập điều khiển g Uad kéo theo tính S-điều khiển hệ g (ii) Tính S-Điều khiển hệ (1.4) với tập điều khiển Uad kéo theo tính điều khiển xấp xỉ hệ Chứng minh (i): Hệ (1.4) điều khiển xấp xỉ nên theo Định lí 2.2.2 điều khiển xấp xỉ [s, T ], ≤ s < T , λR(λ, ΓTs ) → hội tụ mạnh λ → 0+ Bổ đề 1.5.1 nói với h ∈ H tồn điều khiển Gauss uλ (t) = −B ∗ S ∗ (T − t){R(λ, ΓT0 )(S(t)x0 − h) Z t + R(λ, ΓTs )S(T − s)σ(s)dw(s)}, ˆ g Uad cho: xˆ(T ; x0 , uλ ) − h = λR(λ, ΓT )(S(t)x0 − Eh) Z T + λR(λ, ΓTs )S(T − s)σ(s)dw(s)} ˆ Từ ta có: Ekˆ x(T ; x0 , uλ ) − hk2 → λ → 0+ 20 g suy từ Bất Từ tính điều khiển hệ (1.4) với tập điều khiển Uad đẳng thức Chebyshev (ii) Giả sử hệ (1.4) S-điều khiển Cho h ∈ H dãy {εn : εn > 0, εn → 0} {pn : ≤ pn < 1, pn → 0} Khi đó, tồn g cho: dãy {un } ∈ Uad P{kˆ x(T ; x0 , un ) − hk2 ≤ εn } ≥ pn và, hệ với ε > có số N cho < εn < ε2 P{kˆ x(T ; x0 , un ) − hk > ε} = − P{kˆ x(T ; x0 , un ) − hk ≤ ε} ≤ − P{kˆ x(T ; x0 , un ) − hk2 ≤ εn } = P{kˆ x(T ; x0 , un ) − hk2 > εn } ≤ − pn , với n > N Bất đẳng thức kéo theo hội tụ xˆ(T ; x0 , un ) tới h, với ε > P{kˆ x(T ; x0 , un ) − hk2 > ε} → 0, n → ∞, n lim Eeihˆx(T ;x0 ,u ),xi = Eeihh,xi Mặt khác, xˆ(T ; x0 , un ) biến Gauss ngẫu nhiên, nghiệm g (1.4) tương ứng với điều khiển Gauss Uad từ hội tụ hàm đặc trưng tính Gauss xˆ(T ; x0 , un ) h, ta có: lim eihmn ,xi−(1/2)hAn x,xi = eihh,xi n→∞ Do đó, với x ∈ H hmn , xi → hh, xi hΛn x, xi → n → ∞ 21 mn = Eˆ x(T ; x0 , un ) Λn = cov(ˆ x(T ; x0 , un )) Từ với ∀i p p Ehˆ x(T ; x0 , un ) − h, ei i2 = Ehˆ x(T ; x0 , un ) − mn , ei i2 + hmn − h, ei i p = hΛn ei , ei i + hmn − h, ei i → 0, n → ∞, với {ei } tập sở trực chuẩn H Từ Ehˆ x(T ; x0 , un ) − h, e1 i2 → n → ∞ nên tồn dãy giảm Ehˆ x(T ; x0 , u1n )−h, e1 i2 → n → ∞ Dãy {Ehˆ x(T ; x0 , u1n ) − h, e2 i2 } có dãy giảm {Ehˆ x(T ; x0 , u2n ) − h, e2 i2 } cho Ehˆ x(T ; x0 , u2n ) − h, e2 i2 → n → ∞ Ta tiếp tục lấy dãy giảm {Ehˆ x(T ; x0 , ukn ) − h, · i2 } cho hội tụ đến e1 , e2 , , ek tương ứng Lấy dãy đường chéo ta thấy dãy giảm {Ehˆ x(T ; x0 , unn ) − h, · i2 } dần tới điểm ei , i = 1, 2, với i Ehˆ x(T ; x0 , unn ) − h, ei i2 ≤ Ehˆ x(T ; x0 , u11 ) − h, ei i2 Do nn Ekˆ x(T ; x0 , u ) − hk = ≤ ∞ X i=1 ∞ X Ehˆ x(T ; x0 , unn ) − h, ei i2 Ehˆ x(T ; x0 , u11 ) − h, ei i2 i=1 = Ekˆ x(T ; x0 , u11 ) − hk2 , đổi vị trí giới hạn tổng bất đẳng thức để thu lim Ekˆ x(T ; x0 , unn ) − hk2 = n→∞ (2.2) 22 Bây cho h ∈ L2 (ZT , H) Từ tập hợp hàm đơn trù mật L2 (ZT , H) tồn hàm P-hàm đơn S= k X hj χAj , hj ∈ H, j=1 k [ Aj = Ω j=1 Aj rời rạc cho ε2 Ekh − sk < , theo (2.2) tồn u¯j ∈ U cho: Ekˆ x(T ; x0 , u¯j ) − hk2 < Cho u¯(· ) = k P (2.3) ε2 4k (2.4) u¯j (· )χAj Khi đó, q trình j=1 xˆ(T ; x0 , u¯) = k X xˆ(T ; x0 , u¯j )χAj j=1 nghiệm phương trình (1.4) tương ứng với u¯ Từ từ đẳng thức (2.3), (2.4) , theo sau: p Ekˆ x(T ; x0 , u¯) − hk2 p p Ekˆ x(T ; x0 , u¯) − sk2 + Ekh − sk2 k q X p Ek[ˆ x(T ; x0 , u¯j ) − hj ]χAj k2 + Ekh − sk2 j=1 k X ε ε + = ε 2k j=1 Điều có nghĩa hệ (1.4) điều khiển xấp xỉ ♦ Chú ý 2.3.2 Nếu H không gian thứ nguyên hữu hạn, tính điều khiển hồn tồn, tính điều khiển xấp xỉ tính S-điều khiển hệ ngẫu nhiên (1.4) tính điều khiển hệ tương ứng xác định (1.6) trùng 23 2.4 Ứng dụng Nói chung, chặt chẽ để chứng minh hệ điều khiển hoàn toàn Chúng ta xét ví dụ đơn giản sau ứng dụng Định lí 2.1.1 Xét phương trình sóng điều khiển với điều khiển phân bố u(t, · ) ∈ L2 (0, 1) dyt (t, x) = (∂ /∂x2 )y(t, x) + u(t, x) + dw(t) y(t, 0) = y(t, 1) = y(0, x) = f (x), yt (0, x) = g(x), (2.5) w(· ) trình Wiener 1-chiều Theo cơng trình nghiên cứu phương pháp đồng dạng [7], ta làm quen khơng gian Hilbert X = D(A02 ) ⊕ L2 (0, 1), với tích trong: D w1 v1 E , hw, vi = v2 w2 X = n = 1∞ {n2 π hw1 , en ihen , v1 i + hw2 , en ihen , v2 i}, √ y f en (θ) = sin(nπθ) Tập hợp z = , z(0) = , B = g yt 0 , D = Chúng ta viết toán (2.5) sau: I I f dz = (Az + Bu)dt + Ddw, ˆ z(0) = , g 24 A = −A0 D(A0 ) = I , A0 h = −(d2 /dθ2 )h với miền: h ∈ L2 (0, 1)|h, (d/dθ)h hoàn toàn liên tục ) (d2 /dθ2 )h ∈ L2 (0, 1) h(0) = = h(1) Và A phần tử vô bé phép co nửa nhóm S(t) X xác định bởi: ∞ −1 X z1 cos(nπt) (nπ) sin(nπt) z1n en S(t) = z2n z2 cos(nπt) n=1 −nπ sin(nπt) Dễ dàng nhận thấy S ∗ (t) = S(−t) B ∗ = [0, I] Theo định lí 2.4, hệ điều khiển hoàn toàn [0, T ] kλR(λ, −ΓT )k → λ → 0+ Phép tính R(λ, −ΓT ) cho Z T ΓT z = S(t)BB ∗ SS ∗ (t)zdt sin(2nπT ) ∞ 1 X ) 4n2 π2 (cos(2nπT ) − 1) z1n (T − 2nπ en = sin(2nπT ) 1 z2n ) n=1 (cos(2nπT ) − 1) (T + 2nπ zn λ 1 (λI + ΓT )z = An en n z2 n=1 ∞ λ X an bn z1n en = λ z2n n=1 cn dn sin(2nπT ) ∞ T X λ + − 4nπ − 2n2 π2 (cos(2nπT ) − 1) z1n en = sin(2nπT ) 1 ) z2n n=1 (cos(2nπT ) − 1) (T + 2nπ ∞ X aλn = λ + sin(2nπT ) ,λ 4nπ T − sin(2nπT ) , cn 4nπ = n2 π b0n = − 21 sin2 (nπT ), dλn = λ + > det Aλn sin2 (nπT ) = λ + λT + T − n2 π 2 T + 25 = λ2 + λT + det A0n ≥ det A0n zn −1 λ −1 en (λ + ΓT ) z = (An ) n z2 n=1 ∞ λ X dn = bn z1n = en λ det A λ n n −c a z n=1 ∞ X D −1 E * (λ + ΓT ) z, z = ∞ X n=1 = = ≤ ≤ ≤ ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n=1 ∞ X n n det Aλn −c0 −b0n dλn n + n z en , z aλn z2n i h 2 λ n2 ¯n n n ¯n λ n n π dn |z1 | − bn z1 z2 + − cn z1 z2 + an |z2 | det Aλn 2 λ n2 n ¯n λ n n π d |z | − 2c Re(z z ) + a |z | n n n det Aλn 2 λ n λ n (n π d + c )|z | + (a + c )|z | n n n n det Aλn 2 λ n λ n (n π d + c )|z | + (a + c )|z | n n n n det A0n 2 n π d˜0n + b˜0n |z1n |2 + a˜0n + c˜0n |z2n |2 n=1 sin(2nπT ) T + d n 2nπ = , d˜0n = sin (nπT ) det An T − n2 π sin(2nπT ) T − a n 2nπ a˜0n = = , sin (nπT ) det An T − n2 π c0n −2 sin2 (nπT ) c˜0n = = , sin2 (nπT ) det A0n T − 2 b˜0n = b0n det A0n n π = −2 sin (nπT ) n2 π T − sin2 (nπT ) n2 π 26 D −1 (λ + ΓT ) z, z E ∞ X 2 ≤ n π d˜0n |z1n |2 − 2c˜0n Re(z1n z¯2n ) + a˜0n |z2n |2 ≤ = n=1 ∞ X n=1 ∞ X n2 π d˜0n + c˜0n |z1n |2 + a˜0n + c˜0n |z2n |2 2 n π d˜0n + b˜0n |z1n |2 + a˜0n + c˜0n |z2n |2 n=1 Dễ dàng nhận thấy d˜0n → T2 , a˜0n → T2 , |c˜0n | ≤ γc , a˜0n → Do dãy d˜0n , a˜0n , c˜0n , b˜0n bị chặn, nói max{d˜0n , a˜0n , c˜0n , b˜0n } ≤ γ0 , n≥1 từ hai bất đẳng thức cuối được: D −1 (λ + ΓT ) z, z E ∞ X 2 ≤ n π d˜0n + b˜0n |z1n |2 + a˜0n + c˜0n |z2n |2 n=1 ∞ X 2 n2 n π |z1 | + |z2n |2 = γkzk2 , ≤ γ0 n=1 từ suy ra: kλ(λ + ΓT )−1 k → λ → 0+ , tức là, hệ xác định tương ứng với (2.5), đó, hệ ngẫu nhiên (2.5) điều khiển hoàn toàn 27 KẾT LUẬN Những kết mà tác giả đạt trình nghiên cứu tốn tính điều khiển hệ tuyến tính ngẫu nhiên Trình bày tính chất, khái niệm tính điều khiển hệ ngẫu nhiên tuyến tính Chứng minh số tính chất hệ điều khiển ngẫu nhiên tính điều khiển hệ ngẫu nhiên tuyến tính Trình bày chứng minh số định lí kết tính điều khiển hệ ngẫu nhiên tuyến tính Tài liệu tham khảo [1] Vũ Ngọc Phát, Giáo trình nhập mơn lí thuyết điều khiển tốn học NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2001 [2] Kalman, R E A new approach to linear filtering and prediction problems Transactions ASME, Ser D, J Basic Engineering, Vol 82, pp.35-45, 1960 [3] Fattorini, H.O Some remarks on complete controllability SIAM J Control, Vol 4, pp 686-694, 1967 [4] Russel, D.L Nonharmonic Fourier series an the control theory of distributed parameter systems, J Math Anal Appl., Vol 18, pp 542-560, 1967 [5] Zabczyk, J Mathematical Control Theory, Birkhauser, Boston Basel Berlin, 1992 [6] Bensoussan, A., Da Prato, G., Delfour, M.C., and Mitter, S.K Representation and Control of Infinite Dimensional Systems Volume 2, Systems&Control: Foundations&Applications, Birkhauser, Boston, 1993 [7] Curtain, R., and Zwart, H.J An Introduction to Infinite Dimensional Linear Systems Theory, Springer-Verlag, 1995 28 29 [8] Sunahara, Y., Kabeuchi, T., Asada, S., Aihara, S., Kishino, K On stochastic Controllability for Nonlinear Systems IEEE Trans Automat Control, Vol 19, No 5, pp 49-54, 1974 [9] Klamka, J., Socha, L Some remarks about stochastic controllability IEEE Trans Automat Control, vol 22, No 5, pp 880-881, 1977 [10] Zabczyk, J Controllability of Stochastic Linear Systems Syst Control Lett., Vol 1, No 1, pp 25-31, 1981 [11] Ehrhard, M., Kliemann, W Controllability of Stochastic Linear Systems Syst Control Lett., Vol 2, No 3, pp 145-153, 1982 [12] Bashirov, A.E., and Kerimov, K.R On controllability conception for stochastic systems SIAM J Control and Optimization, Vol 35, No 2, pp 384-398, 1977 [13] Bashirov, A.E On weakening of the controllability concepts Proceedings of the 35th IEEE Conference on Decision and Control, Kobe, Japan, December 11-13, Vol 1, pp 640-645, 1996 [14] Bashirov, A.E., and Mahmudov, N.I On Concepts of Controllability for Deterministic and Stochastic Systems SIAM J on Control and Optim., Vol 37, No 6, pp 1808-1821, 1999 [15] Mahmudov, N.I., and Denker, A On Controllability of linear stochastic systems Int J Control, Vol.73, No 2, pp 144-152, 2000 [16] Mahmudov, N.I On Controllability of linear systems 30 [17] Bensoussan, A., and Viot, M Optimal Control of Stochastic Linear Distributed Parameter systems SIAM J Control, Vol 13, pp 904926, 1975 [18] Curtain, R.F., and Ichikawa, A The Separation Principle for Stochastic Evolumtion Equations., SIAM J on Control and Optim., Vol 15, pp 367-383, 1977 [19] Lindquist, A On feedback control on linear stochastic systems SIAM J Control, Vol 11, pp 323-343, 1973 [20] Liptser, R.S., and Shiryaev, A.N Statistics of Random Processes, Springer-Verlag, New York, 1977