Các bài toán cơ bản của tối ưu hóa và điều khiển tối ưu

MGUYÊN )C LIÊU ★ ★ ★ ★ ★ D V 0 -S.TS NGUYỄN NHẬT LỆ CUA Cơ sơ lý thuyết Giái cac toan theo phương pháp so Thí du giai bang Matlab, Manie TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI PGS.TS NGUYỄN NHẬT LỆ CÁC BÀI TỐN Cơ BẢN CỦA TỐI u u HĨAVÀ ĐIÊU KHIỂN TỐI u u c o SỎ LÝ THUYẾT GIẢI CÁC BÀ nráfơPO T?fBJ p PHÁP SỐ THÍ DỤ GIẢI B pl^ |^ & \BfỆN PLẸ NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI - 2009 CÁC lỉàl TỐN BỎN củn TỐI ưu Hón Điêu KHIấN TỐI ưu Tác giả: PGS TS NGUYỄN NHẬT LỆ Chịu trách nhiệm xuất bản: Biên tập: TS PHẠM VĂN DlỄN ThS NGUYÊN h u y t iê n Trình bày bìa: XUÂN DŨNG NHÀ X U Ấ T BẢN KHO A HỌC VÀ K Ỹ THU ẬT 70 Trần Hưng Đạo, Hà Nội In 700 khổ 16 X24cm, Xưởng in NXB Văn hóa Dân tộc Số đăng ký kế hoạch XB: 209 - 2009/CXB/26 - 10/KHKT, ngày 18/3/2009 Quyết định XB số: 197/QĐXB - NXBKHKT, ký ngày 24/6/2009 In xong nộp lưu chiểu Quý III năm 2009 LỜI NĨI ĐẦU Các tốn Tối ưu hoá Điều khiển tối ưu áp dụng cho ngành kỹ thuật kinh tế Với hệ thống tĩnh hệ thống phụ thuộc thời gian điều kiện ràng buộc vê' kỹ thuật, kinh tế, người dặt bùi tốn thường mong mn dạt mục tiêu dó cách tót nhất, sau dó tìm phương pháp đ ể giải toán đặt Nội dung sách dựa vào giảng mơn Tối ưu hố Điêu khiển tơi ưu cho sinh viên chuyên ngành Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Cơ sỏ lý thuyết trình bày ngắn gọn, đủ dùng cho phương pháp tính thuật tốn Các thí dụ khơng phức tạp, minh hoạ cho phương pháp Các tập dền có trà lời Phần phụ lục bao gồm thí dụ giải MATLAB MAPLE, hai phần mềm khoa học kỹ thuật thông dụng dối với sinh viên kỹ sư Khi gặp toán thực tế chuyên ngành phức tạp, bạn đọc đưa vé tốn bán Khi khơng có sẵn phần mém chun dụng, tốn bàn Tối Itu hóa Điều khiển tối líu giải phương pháp số nhờ phần mềm MATLAB, MAPLE, MATHCAD, Quyển sách dùng làm tài liệu học tập mơn Tối ưu hố Điêu khiển tối ưu cho sinh viên Tntờtìg Đại học kỹ thuật làm tài liệu tham kháo cho bạn đọc có quan tám đến toán Tối ưu hoá bùi toán Điêu khiển tối ưu Chúng chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khang PGS.TS Đinh Văn Phong ỞTrường Đại học Bách khoa Hà Nội dã đọc tháo góp nhiều ý kiến thiết thực Chúng tơi mong nhận góp ý, nhận xét phê bình dồng nghiệp bạn đọc dể sách dược hoàn thiện Các ý kiên xin gửi Nhà xuất bán Khoa học Kỹ thuật Hà Nội cho tác giả theo Emaìl: nhatle.nsuventãsmail.com Tác giả MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU .3 MỤC LỤC .5 CÁC KÝ HIỆU VÀ ĐƠN VỊ ANH .8 Chương KHÁI NIỆM VỂ CÁC BÀI TOÁN T ố i u HỐ Bài tốn tối ưu hóa tổng q u át Phân loại toán tối ưu Chương QUY HOẠCH TUYÊN TÍNH Một số thí dụ tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) 17 Phát biểu toán QHTT 19 Phương pháp đồ t h ị 22 Bài toán đối ngẫu định lý QHTT 25 Cơ sở phương pháp đơn hìn h 26 Thuật tốn đơn hình giải toán QHTT tổng quát 38 Chương QUY HOẠCH L ổ l Các khái n iệ m 47 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát 51 Cực tiểu hàm lồi b iế n 53 Quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính 55 Quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến 59 Khái niệm qui hoạch lõ m 64 Khái niệm quy hoạch toàn phương 64 Các phương pháp giải toán quy hoạch lồ i .67 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tối ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIÊN Tốl ưu Chương QUY HOẠCH PHI TUYÊN KHÔNG BỊ RÀNG BUỘC Mờ đầu quy hoạch phi tuyến (QHPT) 71 Điều kiện tối ưu QHPT không bị ràng buộc 72 Các phương pháp dùng đạo h àm 77 Các phương pháp không dùng đạo hàm 83 Chương QUY HOẠCH PHI TUYÊN BỊ RÀNG BUỘC Mở đ ầ u 99 Phương pháp G radient 105 Phương pháp hàm phạt 109 Phương pháp sai lệch linh hoạt 117 Chương PHÂN TÍC H VÀ H ổ i QUY s ố LIỆU Phân tích số liệu 125 Phân tích hồi q u y 130 Chương KHÁI NIỆM VỂ c ự c TRỊ PHIẾM HÀM Cực tiểu phiếm hàm không bị ràng buộc 143 Cực tiểu phiếm hàm bị ràng buộc 148 Chương ĐIỂU KHIỂN TỐI u u (ĐKTự) Một số thí dụ mở đ ầ u 153 Bài toán ĐKTƯtổng quát 159 Phân tích hệ điều khiển 165 Giải toán ĐKTƯtheo phương pháp biến phân 175 Giải toán ĐKTƯtheo nguyên lý cực đại Pontryagin .185 Ckmơng MỘT SỎ BÀI TOÁN TổNG HỢP T ố i ƯU CỦA HỆ ĐIÊU KHIỂN Bài toán tối ưu vể thời gian 207 z ĐKTƯhệ tuvẽn tính, tiêu chuẩn tối ưu có dạng tồn phương 220 3L ĐKTL hẽ phi tuvến với thời gian cho trước .234 MỤC LỤC Chương 10 MỘT s ố BÀI TOÁN THIẾT KẾ TỐI ưu TRONG c o HỌC Quy hoạch phi tuyến 245 Tối ưu hóa tham số 259 Phụ lục A: Giải tốn Tối ưu hóa Điều khiển tối ưu bàng phần mềm M ATLAB Giới thiệu tổng quát MATLAB 267 Một số thí dụ giải MATLAB 268 Phụ lục B: Giải toán Tối ưu hóa Điều khiển tối ưu phần mềm MAPLE Giới thiệu tổng quát M APLE 297 Một số thí dụ giải MAPLE 298 TÀI LIỆU THAM KHẢO 331 CÁC BÀI TỐN c BẢN CỦA Tốl ưu HĨA VÀ ĐIỀU KHIEN Tối ưu ♦ CÁC KÝ HIỆU : A - Ma trận A AT - Ma trận A chuyển vị X = [ X|, ,xJT - V ectơcộtx X = ( aj; ;an) - Các thành phần giá trị X X,) - Véctơ xác định vị trí điểm không gian x = aTb -Tích vơ hướng véctơ cột a b Vf(x) - Véctơ gradient hàm f Thí d ụ : Vf(x(0)) = (2; 8) x = -24 Các cơng thức, hình vẽ, thí dụ dùng với ba chữ số là: chương, mục, số thứ tự Chẳng hạn, cơng thức (3.4.8), hình 8.5.2 , thí dụ 4.5.3 Các thí dụ khơng đánh số thí dụ minh họa mục ❖ MỘT SỐ ĐƠN VỊ C HỌC CỦA HỆ THỐNG ANH Độ dài: inch (in) = 0,0254 m foot (ft) = 12 in = 0,3048 m Khối lượng: pound mass (Ibm) = 0,45359 kg slug (lbf.s2/ft) = 14,594 kg ton = 2000 Ibm = 907,18 kg Lực: pound force (lbf) = slug.ft/s2 = 4,4482 N kip =1000 lbf = 4,4482.103N = 4,4482 kN ounce force = 0,27801 N Gia tốc trọng trường: g = 32,2 ft/s2 = 9,81 m/s2 ChươNq I KHÁI NIỆM V Ề CÁ C BÀI TOÁN T ố l ưu HOÁ BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ TỔNG QUÁT 1.1 Phát biểu Tìm trạng thái tối ưu hệ thống bị ràng buộc cho đạt mục tiêu mong muốn chất lượng theo nghĩa 1.2 Ba yếu tế toán tối ưu hoá * Trạng th i: Mô hệ thống kỹ thuật, kinh tế, quan hệ số liệu, hàm số phương trình chứa số biến * Mục tiêu : Đặc trưng cho tiêu chuẩn hiệu mong muốn (Chi phí nhất, lợi nhuận nhiều nhất, trọng lượng nhỏ nhất, công suất lớn nhất, thời gian ngắn nhất, sai số nhỏ nhất, ) * Ràng buộc : Thể điều kiện kỹ thuật, kinh tế, mà hệ thống phải thoả mãn Như vậy, toán tối ưu hoá ứng dụng áp dụng cho ngành kỹ thuật kinh tế Các yếu tố toán đặt tuỳ thuộc vào người sử dụng PHÂN LOẠI C Á C BÀI TỐN TỐI ƯU c o BẢN 2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính Hệ thống trạng thái tĩnh (khơng phụ thuộc thời gian) có biến trạng thái là: x = [x 1, x2, , x J t (1) Mục tiêu diễn đạt hàm mục tiêu có dạng tuyến tính: f = CT.X =< c ,x > ;c = [c,,c2, ,cn]T (2) CÁC BÀI TOÁN C BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIÊN Tốl 10 ưu Các ràng buộc (giới hạn) diễn đạt phương trình, bất phương trình tuyến tính: A.x = b; A.x < b (3) A = [ajj];i = l, ,m ;j = l, ,n ;b = [b1,b 2, ,b J T Bài toán: Tim trạng thái tối ưu X* = [ x |,x * , x* ]T trạng thái (1) với ràng buộc (3) cho hàm mục tiêu (2) đạt giá trị nhỏ (min) giá trị lớn (max) Thí dụ 1.2.1 Hàm mục tiêu có dạng : f = 50Xj + 20X-, + 28x3 —>max Các ràng buộc: gj = 3x, + x2 - 4x3 < 200 g2 = 8x, + x + l,3 x < 180 g3 = 5x, + x + 2,5 x3 ;i = 1,2,3 Hãy tìm trạng thái tối ưu X* = [X|,X2,X3]T giá trị tương ứng mục tiêu trường hợp: a) Nghiệm có giá trị khơng âm b) Nghiệm có giá trị ngun, khơng âm c) Nghiệm có giá trị Sau giải toán quy hoạch tuyến tính (xem phụ lục) ta nhận giá trị tối ưu: a) x; = 14,32; X* = 0,42; x; = 50; b ) X; = 14;x; = ;x ; =50; c) f* = 2124,57 f*= 2100 x; = l;x; = l;x ; = l;f* =98 2 Bài toán quy hoạch phi tuyến Hệ thống trạng thái tĩnh Tim trạng thái tối ưu X* hàm mục tiêu diền dại bời hàm phi tuyến f(x) có ràng buộc phi tuyến : 327 PHỤ LỤC B odeplot (nghiêm, [ [í, ;t[ l](f)> color - red, thickness =2], [í, ,r[2](í), color = blue, style =point , thickness = 2] ], t = jf, title = "DO THI TRANG THAI xl &x2 ", legend = ["xl(t)’; "x2(t)"j); odeplot (nghiêm, [ x [ \ ] ( t ) , x [ ] ( t ) \ , t = ữ.if, thickness =2, title = "DO THIQUY DAO PHA xl & x2"); D O T H I T R A N O T H A I x l r e s ta r t: w ith (p lo ts) : > # D C M OTOR > #A K H O N G D ỈE U K H IE N > P T 1A := L d i f f { i { t ) , t ) + R - i { t ) = v ( / ) - K - d i f f ( ứ i e t ã ( t ) , t y , P T A J - d i f f ( t h e t a ( t ) , t , t ) + b - d i f f ( t het a( t ) , t) = K - i ( t ) \ v ( := Heaviside(0; P T Ì A : =L I — P T 2A := / #■(/)] + R i ( t ) - v ( t ) - í A7 0(0 + b (-7-0(0 K í Bị t ) \=Ki(t) v ( í) := H eav isid e(/) > # S O L IE U : > L > # DIEUKỈENDAU: > D K D := := 0.5 :R ■■= \ J := 0.01 :b ■■= 0.1 :K ■■= 0.01 : //: = 35: /(0) = 0, theta(0) = 0, D(theta)(0) = 0; D K D := /(0 ) = , ( ) = , D ( e ) ( ) = > # G IA I P T > VE D O THI: > nghiêm ■■= d s o lv e ( { P T I A , P T A , D K D }, n u m e r ic ); n ghiêm : = p r o c ( x J 'k f4 ) e n d p r o c 332 CAC BAI TOAN CO BAN COA TOI 1/U HOA VA DIEU KHIEN TOI l/U > p l o t ( v ( t ) , t = Q tf, th ick n ess = 2, title = "HAM D O N V I H E A V IS ID E " ); HAM DON VI HEAVISIDE 14 - 12 - 1.0 0.8 - - 10 > 20 30 o d e p lo t ( n g h ie m , [ [t, i ( t ) , th ick n ess = 2, s ty le = l i ne], [ i , t h e t a ( i ) , th ickn ess = , s t y l e = p a t c h ], [ i , D ( theta) ( t ) , s t y l e = p o i n t ] ] , t = tf, title = " D O T H I i, theta,d(theta)',' le g e n d = [" i" "theta", "d(theta)"]); DO THI j, theta,d(theta) > # B D IE U K H IE N P H A N H O I > P T IB ~ L - d i f f ( i ( t ) , t ) + R i(t) = u(t ) - K d i f f { Q ( t ) , t ) ; P T B ••= J d i f f ( Q ( t ) , t , t ) + b - d i f f { Q ( t ) , t ) = K - i ( t ) ; u(t) = = -0 •i(t) — 3 t h e t a (t ) — 3 -D (th e ta ) ( i ) + -H e a v isid e (f); 333 PHỤ LỤC B P T I B := 0.5 IẶ P T B : = 0.01 / (/)] + /(/)= !# (/) - ew 0.01 í 0(0 + 0.1 I - J - ( I - / ( l dỏ « (0 := -0 /(0 - 3.3160(0 - 0.323 D(e)(0 + 3.1 Heaviside(0 > > # G IA I P T > VE D O THI: > n ghiêm : = d s o ỉv e ( { P T I B , P T B , D K D } , n u m e ric ); nghiêm : = p r o c ( j r _ rk f4 ) e n d p r o c > o d e p lo t ( n g h iê m , [/, m( ị, / = tf , th ick n ess = 2, title = "HAM DIEU KHIEN"); HAM DIEU KHIEN > o d e p lo t( n g h ie m , [ [ / , / ( , th ick n ess = , s ty le = lin e ], [ / , ( , th ickn ess = 2, s ty le = p a tc h ], [ /, D ( ) (/ ) , s ty le = p o in t ] ], / = //, title = " D O T H I i, theta,d(theta)" le g e n d = ["i", "theta", "d(theta)"]); 334 CÁC BÀI TOÁN C BẢN CỦA Tối ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN tối ưu DO THI Ị, thet«,d(theta) > #O K Chú ý : Khi giải thành công PTVP với điều kiện đầu theo phương pháp RungeKutta, máy tính thơng báo dạng: nghiem:=proc (x_rkf45) end proc 11.2 Giải PTVP ngược theo thời gian Xét thí dụ 9.1.3 sách PTVP trạng thái PTVP liên hợp: X, = x x2 =-Xj - x2 +u p = p2 p2 = - p ,+ p với u = -signum (p2) Điều kiện c u ố i: x ,(tf) = ;x2(tf) = Pl(tf) —Plfí P2^f) —p2f Để giải ngược hệ PTVP trên, ta đổi dấu vế phải PTVP đổi điều kiện cuối (của t) thành điều kiện đầu (của x): PHỤ LỤC B 335 x ,= - x x2 = +X, + x2 —u P i= -P p2 = + p ,- p X j( ) = , x2( ) = p,(0) = p lf,p 2(0) = p2f đó: dx, dp X | = ^ L; p i = :i dx dx Bài toán khảo sát MAPLE > r e s t a r t : w ith {p l o t s ) : > # G IA I N G U O C P T V P > HEPTVP: > PT1 : = d i f f { x ì { t ) , t ) = - x ( t ) - P T ■■= d i f f ( x ( t ) t) = x l ( t ) + ■x2(t ) ~ t t ( í ) ; P T : = d i f f { p l { t ) t) = - p ( t ) ; P T ••= d i f f ( p ( t ) , t ) = p l ( t ) - - p ( t ) ; u ( t ) : = - s i g n u I ĩ ị p ( t ) ) ; PT1 ^ ± x l ( t ) = - x ( t ) PT2 ~ị - x ( t ) = v / ( í) + x ( t ) - u(t) P T : = - ^ p ỉ ( t ) = -p2(t) P T 4^-ịp2{t)=pl{t) -2p2{t) u(l) := -signum(/?2(/)) > # D IE U K IE N D A O & T H O I G IA N TIN H > D K D := jc7 ( ) = , j r ( ) = , p ( ) = l , / > ( ) = - l ; t f ■= 3; D K D := x / (0 ) = ,.r2 (0 ) = 0, p l (0 ) = ỉ , p ( Q ) = - f/:=3 > # G IAI P T V P VE D O THỈ > nghiêm ■= d s o ì v e { { P T I ,P T ,P T ,P T , D K D ) , n um eric)', nghiêm :=proc(.x rkf4 ) end proc 336 CÁC BÀI TỐN Cơ BẢN CỦA Tốl ưu HĨA VÀ ĐIỀU KHIEN TƠÌ ưu o d e p lo t(n g h iê m , [ [ / , « ( / ) ] , [ t , p ( t ) , s t yl e = p o i n t ] ] , t = t f , th ickn ess = 2, le g e n d = [ "u(t)", "p2(t)"]); - t - - -1 - I > u P .l o d e p lo t ( n g h iê m , [x l ( í ) , x ( t ) ], t = ,.tf, th ick n ess = 2, title = "QUY DAO PHA"); > #O K 11.3 Giải PTVP ODE Analyzer Assistant (ODE: Ordinary Differential Equation) Để dễ dàng, tránh nhầm lẫn, nên soạn thảo PTVP từ hình, sau dùng ODE Analyzer Assistant để: soạn thảo điều kiện đầu, tham số, giải PT, vẽ đồ thị, Thí dụ : Giải PTVP cấp 2, với điều kiện đầu thông số b, c, F, k: X + b.x + c.x = F sin(kt) Bài toán giải ODE Analyser > # M APLE 337 PHỤ LỤC B > # O D E A n ly se r > P T V P := x "( t ) + b - x ' { t ) + c - x ( / ) = F -sin (Ả :-t); P T l ' P ~ Đ i2){x)(t) + b D(x) { í ) + c x ( / ) = F sin (Ả -r) > d s o lv e [ in te r a c tiv e ](P T V P )\# E n te r Sau ấn Enter, xuất giao diện hình B 11.2 Hình B.1Ì.2 Các cửa sổ ODE Anlyser Assistant: - Diffrential Equation: để soạn thảo PTVP -Conditions: để soạn thảo điều kiện đầu - Parameters: để soạn thảo thông số Để soạn thảo cửa sổ: Chọn Edit để soạn thảo Sau soạn thảo xong, chọn Add/Done Để giải PTVP, chọn: Solve Nume r ica 11 y : lấy nghiệm dạng số Solve Symb ic a 11 y : lấy nhgiệm dưổi dạng chữ Để vẽ đồ thị nghiệm: chọn Plot 338 CÁC BÀI TỐN Cơ BẢN CỦA Tốl ưu HĨA VÀ ĐIỀU KHIỂN Tối ưu 12 Giải hệ phương trình đại sơ' Thí dụ: > # G IA I H E p H U O N G TR IN H D A I s o > P T I : = ĩ - X Ỉ + - j c - s i n ( alp ha) = 1; P T ■■= - x ỉ - - x • c o s ( alp ha) = - ; P T — Ị P T , P T }\ P T I - x ì + 2.V-2 x / T = P T \= x ỉ - x = - P T := {3 x l + x V T = , x l - X = - } > a lp h a := - y - ; a := jn > n ghiêm ■— s o lv e ( P T ) \ n ghiêm := { x l = - 1 5 ộ x = ì o > #O K Có thể bấm phím phải chuột vào PT, xuất menu phụ, chọn s o l v e s o l v e n u m e r i c a l t r o n g m enu TAI LIEU THAM KHAO Bùi Minh Trí: Quy hoạch toán học Nxb Khoa học Kỹ th u ậ t, Hà nội, 1999 Bùi T hếT âm : Turbo Pascal Những chương trình mẫu KHKT KT Nxb Giao thông vận tải, Hà nội, 1995 David M.Himmelblau : Applied Nonlinear Programming Mc.Graw- Hill Book Company, NewYork,1973 E.B Lee, L Markus : Foundations of optimal control theory John Wiley, Inc 1972 Oskar Lange: Quyết định tối ưu Nxb Đại học & THCN, Hà nội, 1982 Edward J Haug, Jasbir s Arora : Applied Optimal Design Mir, Moskva, 1983 Richard C.Dorf, Robert H.Bishop: Modem Control Systems Addison- Wesley Publishing Company, 1995 Wolfram Stadler: Analytical Robotics and Mechatronics Me Graw- Hill Inc., 1995 Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh : Điều khiển tối ưu & bền vững Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 1999 10 Nguyễn Thương Ngô : Lý thuyết điều khiển tự động đại Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 1999 11 Phạm Công Ngô : Lý thuyết điều khiển tự động Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 1998 12 Nguyễn Nhật Lệ : Điều khiển tối ưu hệ thống có thời gian chậm CÁC BÀI TỐN C BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIEN 340 t o i ưu Luận án TS, Praha, 1975 13 Nguyễn Nhật Lệ, Phan Mạnh Dần MATLAB, MAPLE : Giải tốn tối ưu hóa Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 2005 14 Mokhtar s Bazaa & col.: Nonlinear Programming Hohn Wiley & Sons,Inc., 1993 15 Gordon S.G Beveridge & col.: Optimization - Theory and Practice McGraw- Hill Book Company, 1970 16 Singiresu s Rao.: Engineering Optimization - Theory and Practice John Wiley & Sons Inc., 1995 17 S J Citron.: Elements of Optimal Control Hold, Rinehart and Winston,Inc., 1969 18 Thomas L Vincent & Col.: Nonlinear and Optimal Control Systems John Wiley & Sons Inc., 1997 19 Hồng Đình Hịa: Tối ưu hóa cơng nghiệp thực phẩm Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà n ộ i, 1999 20 Nguyễn Cảnh: Quy hoạch thực nghiệm Nxb Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, 2004 21 Nguyễn Dỗn Ý: Giáo trình Quy hoạch thực nghiệm Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 2002 22 Hồ Đăng Phúc: Sử dụng phần mềm SPSS phân tích số liệu Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 2005 23 Alexander Bogdanov Optimal Control of a Double Inverted Pendulum on a Cart Technical Report CSE -04-006